專題03一元二次方程及其應用（分層訓練）

分層訓練

【基礎訓練】

一、單選題

1.（2324九年級上?陜西西安?階段練習）一元二次方程2/+*—5=（）的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.無實數根D.無法確定

2.（2223上?上海?期中）下列方程中是一元二次方程的為（）

A.x2—xy—2B.5x（x+1）=x（5x—1）+2

C.久之一久+1=0D.——2x+1=0

*

3.（2122九年級上?山東濟南?期末）已知關于x的方程——2x-1=0,則下列關于該方程根的判斷，正確

的是（）

A.沒有實數根B.有兩個相等的實數根C.有兩個不相等的實數根D.不能確

定

4.（2223九年級上?北京西城?階段練習）方程/-2乂+3=0的根的情況是（）

A.方程有兩個不相等的實數根B.方程有兩個相等的實數根

C.方程沒有實數根D.無法確定

5.（23-24九年級上?廣東潮州?階段練習）若a為方程九+2x-1=0的解，則2a2+4a+2022的值為（）

A.2023B.1C.2024D.2022

6.（2223上?鄂州?期中）我們知道方程3=0的解是久1=一1,%2=3,現給出另一個一元二次方

程（2x+I）2-2（2x+1）-3=0,它的解是（）

A.%1=1,久2=3B.%1=1,久2=一1C.%!=-1,%2=3D.%!=—1,

x2=一3

7.（2021九年級E福建龍巖?階段練習）若實數X、y滿足（/+y2+2）Q2+y2—i）=o,則/+y2的值

是（）

A.-2或1B.2C.2或一1D.1

8.（2021九年級上?河北廊坊?階段練習）有一人患了某種流感，在每輪傳染中平均一個人傳染X個人，在進

入第二輪傳染之前有兩人被及時隔離治療并治愈，若兩輪傳染后還有24人患流感，則》=（）

A.3B.4C.5D.6

9.（21.22九年級上?四川德陽?期末）己知根是一元二次方程/-3x-l=0的一個根，則一3病+9m+2022

的值為（）

A.2022B.2021C.2020D.2019

10.（2L22八年級下?北京延慶?期末）某農業基地現有雜交水稻種植面積36公頃，計劃兩年后將雜交水稻

種植面積增加到48公頃，設該農業基地雜交水稻種植面積的年平均增長率為x,則可列方程為（）

A.48（1+X）2=36B.48（1-x）2=36

C.36（1+x）2=48D.36（1-x）2=48

IL（2022?安徽六安?模擬預測）2021年，某省固定資產投資比2020年增長9.4%,若2022年的增長保持不

變，2020年和2022年全省固定資產投資分別為a億元和b億元，則可列方程為（）

A.a（l+9.4%）=bB.a（l+9.4%x2）=b

C.a（l+9.4%）2=6D.9.4%x2a=b

12.（22?23九年級上■河南南陽■期中）設%i，久2是關于尤的方程--3久+k=0的兩個根，且修=2刀2,貝U左

的值為（）

A.3B.-3C.2D.-6

13.（23?24九年級?山東濱州?期末）若關于久的一元二次方程（a+1）/+x+a?-1=0的一個根是0,貝l]a

的值為（）

A.1B.-1C.±1D.0

14.（1920九年級上?全國?課時練習）下列方程是一元二次方程的是（）

A.3（久+=2（久+1）B.妥+：—2=0

C.x2+2y=1D.ax2+bx+c=0

15.（2223九年級上?云南昆明?期末）中國男子籃球職業聯賽（簡稱：CBA）,分常規賽和季后賽兩個階段進

行，采用主客場賽制（也就是參賽的每兩個隊之間都進行兩場比賽）.2022-2023CBA常規賽共要賽240場，

則參加比賽的隊共有（）

A.80個B.120個C.15個D.16個

16.（23?24九年級上?全國,單元測試）如果關于x的一元二次方程（TH—3）/+3x+巾2-9=0,有一個

解是0,那么m的值是（）

A.3B.-3C.±3D.0或一3

17.（2L22九年級上?全國?課時練習）如圖，在寬為20m,長為30m的矩形地面上修建兩條寬均為xm的小路

（陰影），余下部分作為草地，草地面積為551m2,根據圖中數據，求得小路寬尤的值為（）

18.（2020九年級?浙江寧波?學業考試）如圖，將等腰三角形紙片沿圖中虛線剪成四塊圖形，用這四塊圖形

進行拼接，恰能拼成一個沒有縫隙的正方形，則正方形的邊長與等腰三角形的底邊長的比為（）

19.（22.23九年級上?湖北武漢?階段練習）關于方程37—逐x—4=0的根的說法錯誤的是（）

A.有兩個不相等的實數根B.兩實數根的平方和為藍

C.兩實數根的和為粵D.兩實數根的積為

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20.（2023?重慶?模擬預測）已知兩個多項式M=a?+a+1,N=a2-a+1,

①若2N-M=5時，則有a=-1或4；

②若。為整數，且藍七為整數，貝必=一1或5；

JM-N+4

③當a彳0時，若等=1，則二直=點

④若當式子M+ma中a取值為2層與3Tl-2時，對應的值相等，則機的最大值為1.

8

以上結論正確的個數是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空題

21.（22-23九年級上?遼寧丹東?階段練習）把一元二次方程/-4x+1=0,配成（x+p）2=q的形式，則p、

q的值分別是

22.（2223九年級上?廣東廣州?期末）一元二次方程/-7x=0的解是.

23.（2L22九年級上?江蘇南京?期中）電影《長津湖》首映當日票房已經達到2.06億元，2天后當日票房達

到4.38億元，設平均每天票房的增長率為無，則可列方程為.

24.（2223九年級上,廣東珠海,階段練習）設a為一元二次方程2/+3刀-2022=0的一個實數根，貝版-

9a—6a2=

25.（2L22九年級上?黑龍江齊齊哈爾?期中）已知點（1,0）是y=/+6x-2的圖象上一點，則方程/+6無

-2=0的根是

26.（2L22九年級上?江蘇揚州?期中）關于x的方程（巾一1）乂/+1+4%+2=0是一元二次方程，則機的值

為.

27.（2021七年級下?遼寧鞍山?期末）小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面

積為222cm2的長方形紙片，使它的長寬之比為3:2,則這個長方形的邊長分別是.

28.（2223九年級上?全國?單元測試）為增強學生身體素質，提高學生足球運動競技水平，我市開展"市長

杯”足球比賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間賽一場）.現計劃安排21場比賽，應邀請多少個球隊參賽？

設邀請x個球隊參賽，根據題意，可列方程為應邀請一個球隊.

2

29.（22-23九年級上?浙江寧波■階段練習）設/（%）=%2+bx+Q（670）,g（x）—x+ex+d,已知方程/（x）

=0有兩個不等的實根久1、%方程g（%）=o有兩個根久1+己、冷若g（i）=f⑴，則g（i）的值為.

30.（2223上?宜賓,期中）已知久2+2%-3=0的解是1,一3,則方程（2%+3產+2（2%+3）-3=0的解

為.

3L（2021八年級上?上海浦東新?期中）一個小組同學互相握手，規定每個同學都與其他同學握一次手，共

計握手120次，設小組共有x人，則可列出方程.

32.（2L22上?烏魯木齊?階段練習）某玩具廠2020年1月份生產玩具1000個，后來生產效率逐月提高，第

一季度生產玩具3630個，設2、3月份每月平均增長率為無，列方程為一.

33.（2223九年級上?湖北鄂州?期中）如果關于x的一元二次方程k/—2x-1=0有實數根，貝必的取值范

圍是?

34.（21.22八年級下?安徽合肥?期末）已知：關于x的方程如+嚀+2022=0的解是打=-2,忿=1（。、/均為常數，

a^O）.

（1）關于x的方程a（x+k+2）2+2022=0的根是；

（2）關于x的方程a（x+3k）2+2022=0的根為.

(3%+8

35.(2223八年級下?重慶北暗?期中)若關于％的一元一次不等式組—+6的解集為％44,關于

13%+a>4%—5

尤的一元二次方程(a-l)x2+3x+l=0有實數根，則所有滿足條件的整數a的值之和是.

三、解答題

36.(2021九年級上?河南信陽?期中)解方程：

(l)x2—X—1=0；

(2)(x—2)2=2x—4.

(3)2x2—4x—9=0.(配方法)

37.(21-22九年級上?陜西安康?期末)已知關于x的方程/+(fc+l)%+fc-2=0.求證：不論k取何實數,

此方程都有兩個不相等的實數根.

38.(23?24九年級上?江蘇蘇州?期中)己知尤/,尤2是關于x的一元二次方程/+(相+1)尤+根+6=0的兩實數

根，且用2+忿2=5,求機的值是多少？

39.(2223八年級上?上海閔行?期中)已知：a、b是實數，且滿足Ja—|+|6+2|=0,求關于x的一元二

次方程a/+/)%+|=0的根.

40.(2223九年級上?河北廊坊?期中)嘉淇在解一元二次方程/—2x+?=0時，發現常數項被污染.

⑴若猜出這個常數項為0,請解一元二次方程/-2x=0；

⑵老師告訴嘉淇這個方程有兩個實數根，求被污染的常數項的最大值.

41.(2122九年級上?江西上饒?階段練習)解方程(x—l)2-5(x—l)+4=0時，我們可以將x-1看成一個

整體，設尤-則原方程可化為y2-5y+4=0,解得尢=1,y2=4.當y=l時，即x-l=l,解得尤

=2；當＞=4時，即無-1=4,解得x=5,所以原方程的解為勺=2,X2=5.請利用這種方法求下列方程:

⑴(2x+5)2-(2x+5)-2=。

(2)32X-4X3X+3=0.

42.(2223九年級上?山東棗莊?階段練習)如圖，在A48c中，NB=90。，AB=6cm,BC=12cm,點尸從

點A開始沿AB邊向點B以lcm/s的速度移動，。從點2開始沿8C邊向C點以2cm/s的速度移動，如果點

P、。分別從A、8同時出發，點P到達8點時停止運動.設尸點運動時間為f秒.

(1);為何值時，APBQ為等腰三角形？

(2)f為何值時，四邊形PQC4的面積等于28cm2?

43.(20-21九年級上?廣東廣州?期中)解方程:

(I)%2—2x—1=0；

(2)5%2—3%=%+1.

44.(22-23九年級上?江蘇無錫?期中)我們在探究一元二次方程根與系數的關系中發現：如果關于工的方程

+b%+c=0的兩個根是%1，x2,那么由求根公式可推出久1+%2=-￡，%1?%2=f?請根據這一結論，

解決下列問題：

(1)若仇，/?是方程2久2+%—5=0的兩根，則a+￡=,a?0=；若2,3是方程/+p%+q=。

的兩根，則p=，q=;

(2)已知zn,幾滿足tn?+6m—3=0,n2+6n—3=0,求依+上的值；

nm

(3)已知a,b,c滿足a+6+c=0,abc=7,則正整數c的最小值為.

45.(21.22九年級上?湖北省直轄縣級單位?階段練習)已知關于x的一元二次方程/-4x+m=0.

(1)若方程有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍；

(2)若方程兩實數根分別為打，%2,且滿足5/+泡=8,求實數根的值.

46.(2L22九年級上?福建福州?期中)某工廠2020年生產A產品2000噸，現準備通過改進技術提升生產效

率，計劃到2022年生產A產品3380噸.現技術攻關小組按要求給出甲、乙兩種技術改進方案，其中運用

甲方案能使每年產量增長的百分率相同，運用乙方案能使每年增長的產量相同.問運用哪一種方案2021年

A產品的產量更高，高多少？

47.(2021八年級上?四川眉山?階段練習)選取二次三項式。產+bx+c(a40)中的兩項，配成完全平方公

式的過程叫配方.例如：x2-4x+2=(x-2)2-2.

(1)y2+12y+m是完全平方式，則m的值為；

(2)對y2-8y+21進行配方，y?-8y+21=(y-—)2+；

(3)已知m?+層+2m—6幾+10=0,求m"的值.

48.(2223八年級上?北京西城?期中)閱讀下列材料：

利用完全平方公式，可以將多項式。2%+。%+￡；(￡140)變形為以%+小)2+71的形式，我們把這樣的變形方

法叫做多項式a/+bx+c的配方法.

運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式.

例如：X2+11%+24=X2+11%+(y)2—(y)2+24

25

T

115115

=(%+1"+/%+丁一5)

=(x+8)(%+3)

根據以上材料，解答下列問題:

(1)用多項式的配方法將/+8x-1化成(x+m)2+九的形式;

⑵把多項式/-3久-40進行分解因式

49.（2223九年級上?河南駐馬店?階段練習）酷暑時期，核酸檢測仍然是一字長龍，檢測者苦不堪言.針對

于此，某醫院決定新辟若干條核酸檢測通道.經調查發現：1條檢測通道最大檢測量是580人天，每增加1

條檢測通道，每條檢測通道的最大檢測量將減少20人/天.在不超過20條通道的醫療硬件前提下，該醫院

擬共設置x條核酸檢測通道.

⑴每條核酸檢測通道的最大檢測量是人/天（用含x的代數式表示，不寫取值范圍）;

（2）若該醫院設置的全部核酸檢測通道每天恰好能檢測2500人，問該醫院需設置多少條檢測通道？

50.（22-23九年級上?山東聊城?階段練習）已知方程（a-x）2=a（x2+x+a）-8a+16是關于x的一元二次

方程.

（1）求a的取值范圍；

（2）若該方程的一次項系數為0,求此方程的根.

【能力提升】

51.(23-24上?淮南?階段練習)若關于％的一元二次方程式2+2%-m2-m=0.

⑴若a和夕分別是該方程的兩個根，且仇￡=—2,求m的值;

(2)當m=1,2,3,2024時，相應的一元二次方程的兩個根分別記為的、氏,劭、阮，…，％)24、%24,

求上+/+工+/+—I---FT——的值.

alPla2P2a2024P2024

52.(2324上?佛山?階段練習)如圖1,四邊形力CDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a,b,c^RtAABC

和RtABED邊長，易知力E=V2c,這時我們把關于x的形如a/+V2cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系

一元二次方程

請解決下列問題：

⑴寫出一個“勾系一元二次方程”；

(2)求證：關于x的"勾系一元二次方程"a/+V2cx+b=0必有實數根；

⑶如圖1,若久=一1是"勾系一元二次方程%/+/次+6=0的一個根，且四邊形2CDE的周長是6a,求

△面積；

⑷如圖2,△ABC的三邊分別為a,b,c,ABCA=60°,且26>a.