指數函數與對數函數專項復習

（4大考點19種題型）

【考點1:指數易運算】.........................................................................1

【題型一：根式的化簡求值】....................................................................2

【題型二：分數指數暴與根式的互化】............................................................3

【題型三：指數幕的化簡求值與證明］............................................................5

【考點2：指數函數的圖象與性質】..............................................................8

【題型四：指數函數的概念】...................................................................10

【題型五：指數函數的圖象】...................................................................11

【題型六：指數函數的定義域與值域】...........................................................15

【題型七：指數函數的單調性】.................................................................17

【題型八：指數函數的最值】...................................................................21

【題型九：指數函數的應用】...................................................................25

【考點3：對數運算】..........................................................................28

【題型十：指數式與對數式的互化】.............................................................28

【題型十一：對數運算性質的應用】.............................................................29

【考點4：對數函數的圖象與性質】.............................................................32

【題型十二：對數函數的概念】.................................................................34

【題型十三：對數函數的定義域】...............................................................35

【題型十四：對數函數的值域］.................................................................36

【題型十五：對數函數的圖象】.................................................................38

【題型十六：對數函數的單調性】...............................................................42

【題型十七：對數函數的最值】.................................................................47

【題型十八：反函數】..........................................................................50

【題型十九：對數函數的應用】.................................................................53

【考點1:指數塞運算】

【知識點：指數募運算】

1.根式

（1）根式的概念

若廿=",則X叫做a的〃次方根，其中”>1且"WN*.式子血叫做根式，這里“叫做根指數,叫做

被開方數.

（2）?的n次方根的表示

—（當"為奇數且”>1時），

*"=心1=±*（當〃為偶數且”>1時）.

2.有理數指數塞

m

n=

正分數指數幕：a\[ap(a>0,m9〃￡N*,且〃>1)

塞的有

-Il

n

關概念負分數指數然：a=二=~^=5>0,m,〃￡N*,且〃>1)

V?-

0的正分數指數第等于。，0的負分數指數塞五意義

aras=ar+s(a>Q,r,s《Q)

有理數

指數募伍丁=心5>0,r,s￡Q)

的性質

(abY=a、r(a>0,b>0,r^Q)

【題型一：根式的化簡求值】

1.（24-25高一上?全國?課后作業）計算）（1+0）3+玳1一后）4的值為.

【答案】20

【分析】根據根式的性質化簡求值.

【詳解】'（1+可+“1一碼4=1+V2+|1-V2|=1+V2+V2-1=2A/2.

故答案為：2后

2.（24-25高一上?全國?課后作業）若J（3"iy=#（1-3°）3,則實數。的取值范圍為（）

A.收B.（0,1]C.D.1

—,+oo

3

【答案】C

【分析】根據根式的性質化簡得解.

【詳解】yl0a-l）2=\3tz-l|,^（1^7=1—3a.

因為|3。-11=1-3。，故3。一1?0,所以

故選：C

3.（24-25高一上?廣東廣州?期中）下列各式正確的是（）

A.y[ab=y[a-4bB.a4-a=y1-a3

C.=a3D.J—=—y[-a

\aa

【答案】D

【分析】利用根式計算法則可知當Q<0時，選項ABC均不成立，即可得出結論.

【詳解】對于A,當〃<0/<0時，癡=6.痣不成立；即A錯誤；

對于B,由J-a可知/v0,因止匕〃=—J—蘇,即B錯誤;

對于C,當QVO時，府=〃3不成立，即C錯誤;

對于D,顯然avO所以」v^二即D正確.

a

故選：D

（河Ta7（）

4.（24-25高一上?云南大理,期中）已知a>0,化簡:

a-y[a

ii11

A7B,6C.D.a

-aaa6

【答案】D

【分析】化為分數指數塞，再計算即可.

2313

a3?a2a6

【詳解】———Q,

a6yfa_1_

a-a「6

故選：D.

5.（多選）（24-25高一上?全國?課后作業）已知aeR,〃eN*,給出下列4個式子，其中有意義的是

)

A.^/-22"B.正2嚴1C.0(-2產D.彳

【答案】BCD

【分析】根據根式的意義逐項分析判斷即可.

【詳解】對于選項AC：因為-22"<0,（-2）2">0,可知正*無意義，#（-2產有意義;

對于選項BD：開3次方時，被開方數無限制，即行尸、尸均有意義；

故選：BCD.

【題型二：分數指數基與根式的互化】

a

1.（24-25高三上?上海?階段練習）已知。>0,將了產化為有理數指數基/形式，則左=.

7

【答案】

46

【分析】將根式化成分數指數幕即可.

7

故答案為：—

6

2.（24-25高一上?山西晉城?期中）小王同學經過化簡，得到恒等式蟀普飛

xy

=ab(a>0,b>0)f則

x+y=.

【答案】?131

66

【分析】將根式化為分數指數轅，利用待定系數法計算即可.

1233122313

【詳解】根據題意j+3飛廬+3%=優/，故x==+y=

13

故答案為：—

6

3.（24-25高一上?云南大理?期中）已知。>0,化簡：的"=（）

a-y/a

【答案】D

【分析】化為分數指數累，再計算即可.

313

(W)a3-a2a6

【詳解】

a6y[a

a-a6a6

故選：D.

4.（24-25高一上?福建泉州?期中）若。＜0,昉T=/,則私”不能滿足的條件為（)

A.加為奇數，”為偶數B.加為偶數，力為奇數

C.加，"均為奇數D.加，〃均為偶數

【答案】A

【分析】根據分數指數幕的定義判斷即可.

【詳解】對于A：因為。＜0,當機為奇數，〃為偶數時,am＜Q,此時而^無意義，不合題意，故A錯誤;

對于B：因為。＜0,當掰為偶數，力為奇數時，am＞0,止匕時行=口￡,符合題意，故B正確；

對于C：因為。＜0,當加為奇數，”為奇數時，am＜Q,此時值=/,符合題意，故C正確;

對于D：因為。＜0,當加為偶數，”為偶數時，am＞0,止匕時痂=符合題意，故D正確;

故選：A

5.（24-25高一上?全國?課后作業）將下列根式化成分數指數幕的形式：

【答案】⑴/

⑵/

13

(4)°藥

【分析】（1）（2）（3）（4）將根式化為分數指數塞，結合指數幕運算求解即可.

3

1

15

r—

(2節

J

7

（3）原式=

【題型三：指數幕的化簡求值與證明】

1.（24-25高一上?全國裸后作業）化簡（行+V2）2020?（V3-V2）2021=.

【答案】V3-V2/-V2+V3

【分析】根據指數的運算法則化簡求解.

【詳解】（用《廣.嚴/蘆=［使+也）（5V2）］2020（百-0）

故答案為：＞/3-V2

4

2.（24-25高一上?全國?課后作業）化簡2x2-V2X8°-25+(-2020)°=

【答案】214

【分析】利用指數幕的運算性質計算可得所求代數式的值.

,4

313

77

【詳解】原式=2x2X3+2yx2z-4x——24-24+l=2x22x33+2-3-2+1=214.

V)\74

故答案為：214.

￡_2

3.（24-25高一上?廣東廣州?期中）⑴求(1.5L+12；j-兀。-1|了的值;

(2)己知10"=3,10'=4.求10“+〃及10°4的值

13

【答案】(1)(2)12)

【分析】(1)根據根式與指數式的互化和指數的運算性質計算求解即可;

(2)根據指數的運算性質計算求解即可.

(2)因為10"=3,10夕=4,

產」0丁3=3=3

所以10。+尸=10、102=3x4=12；一巨一，-1-2.

102(IO)42

4.(24-25高一上?寧夏石嘴山,期中)求值：

(2)V-125+#(-36)2+0(兀一針-3(3-兀f

【答案】⑴譽22

(2)2

【分析】(1)根據指數運算的知識求得正確答案.

(2)根據根式運算的知識求得正確答案.

【詳解】(1)2

(2)#一125+1(-36)2+0(兀-4)6-3(3-兀)3

=,(-57++|兀-4卜(3-兀)

=-5+6+4—兀-3+兀=2.

5.（24-25高一上?全國?課后作業）計算下列各式（式中字母都是正數）：

（1）（20+2、x（2；了一（0.01產；

(3)(丁廣)(-4/町^(12a-4F2c)；

⑷2療+4機百口".

【答案】⑴《

(2)100

⑷％3-2〃-

2

【分析】（1）利用指數幕的運算性質化簡求值即可；

（2）利用指數累的運算性質化簡求值即可；

（3）利用指數募的運算性質化簡求值即可；

（4）根據指數幕的運算法則，以及根式與指數基的互化公式，即可求解;

【詳解】（1）原式=I+J_X（±￥_（L￥=I+，_L=3；

4UOOj61015

5937

=-+100+——3+—=100；

31648

(3)原式=—4-t尸

=_16Z-3-(-4)Z?-2-(-2)C-1

3

（4）原式=2標+4（/癡丫3/3

7

i2_J_3、a14

=-a36,b63b2=-a2b3.

272

【考點2：指數函數的圖象與性質】

【知識點：指數函數的圖象與性質】

1.指數函數的圖象

y=ax(a>0且

函數9

0<a<la>\

yy

y=a,

圖象蛤一尸1/---y=l

01%0i%

在x軸上方,過定點(0.1)

圖象

當X逐漸增大時，當X逐漸增大時，

特征

圖象逐漸下降圖象逐漸上升

2.指數函數圖象畫法的三個關鍵點

畫指數函數了=砂5>0,且"W1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1,a),(0,1),(一1,J

3.指數函數的圖象與底數大小的比較

如圖是指數函數(l)y=oS(2)y=frS(3)y=cS(4)『=/的圖象，底數a,b,c,〃與1之間的大小關系

為c>d>l>a>b.

由此我們可得到以下規律：在y軸右(左)側圖象越高(低)，其底數越大.

4.指數函數的性質

x

y=a(a>0f且aWl)

函數

0<a<la>l

性定義域R

質值域(0,+°0)

單調性在R上是減函數在R上是增函數

當x=0時，尸1

函數值變當x<0時，

當x<0時,y>l；

化規律0<v<l；當x>0時，

當x>0時，0<問

J^l

［方法技巧］

看美石數東森美索而看見題型友耒籀總茂

(1)比較大小問題：常化為同底或同指，利用指數函數的單調性，圖象或1,0等中間量進行比較.

(2)簡單的指數方程或不等式的求解問題：解決此類問題應利用指數函數的單調性，要特別注意底數"

的取值范圍，并在必要時進行分類討論.

［方法技巧］

形如^=。"+>0丫+，(。>0,且°W1)型函數最值問題多用換元法，即令，=?*轉化為y=/2+bf+c的最值

問題，注意根據指數函數求，的范圍.

［方法技巧］

寫相藪函藪有關的革相應面鬲余葡赤彝

⑴求復合函數的定義域；

(2)弄清函數是由哪些基本函數復合而成的；

(3)分層逐一求解函數的單調性；

⑷求出復合函數的單調區間(注意“同增異減”).

【題型四：指數函數的概念】

1.(24-25高一上?全國?課后作業)若函數了=(4-3〃廠是指數函數，則實數。的取值范圍為.

4

【答案】(—8,1)U。,1)

【分析】利用指數函數定義可求解.

［4-3?>0

【詳解】因為函數歹=(4-3〃廠是指數函數，所以需滿足L,1,

［4-3(21

44

解得。<§且QW1.故實數a的取值范圍為(-8,1)U(1,-).

4

故答案為：（-8,1）U（1,§）.

2.（24-25高一上?北京?期中）已知指數函數“X）的圖象經過點（-1,2）,則這個函數的解析式是.

【答案】/w=QJ

【分析】利用待定系數法可得解.

【詳解】由已知,設/（力=優,。>0且”1,

又函數圖像過點（T2）,

即=2,

解得。=；，

即心口，

故答案為：=

3.（24-25高一上?廣東廣州?期中）下列是指數函數的是（）

A.y=-3TB.y=2x2—1C.y=a'+lD.y=K'

【答案】D

【分析】運用指數函數的概念判斷即可.

【詳解】根據指數函數的特征：系數為1,底數滿足。>0且awl,自變量在指數位置可知，A,B,C不滿足,

D滿足.故選D.

答案：D.

【題型五：指數函數的圖象】

1.（24-25高一上?江西南昌?階段練習）函數歹=疝-。”（a>0,且awl）的圖象可能是（）

V

A.>B._____

【分析】當X=-1時，，=0,可排除A、B、C；當0<”1時，結合函數性質可得D選項符合要求.

【詳解】當x=-l時，y=a'-a}=0,故A、B、C錯誤；

當a>l時，若x=0,貝！］y=。°一=1—L>o,

a

且^=優-。一|在R上單調遞增，D選項不符合；

當0<°<1時，y=a*在R上單調遞減，

若x=0,貝!］y=a。-qT=］」<0,D選項符合；

a

故函數了=ax-a-'（a>0,且a*1）的圖象可能是D.

故選：D.

2.（多選）（24-25高一上?遼寧?期中）已知函數/（x）=/-b（a>0,且awl）的圖象如圖所示，則下

C.2j<1D.g（x）=6=a的圖象不經過第四象限

【答案】BD

【分析】根據圖象，結合指數函數的單調性，可得答案.

【詳解】對于A,由圖象可知函數單調遞減，則0<a<l,故A錯誤；

對于B,當％=0時，f（Q）-a'-b=\-b,由圖象可得1-6<0,解得6>1,故B正確;

對于C,由-1<-。<0,貝IJ6-a>0,由>=2*是增函數，則2j>2°=1,故C錯誤;

對于D,由6>1,0<a<1,則函數g（x）是增函數,

當x=0時，g（0）=Z>°-a=l-a>0,故D正確.

故選：BD.

3.（24-25高一上?廣東?期中）函數>的圖象恒過定點.

【答案】（1,1）

【分析】根據指數函數過定義（。，1）分析求解即可.

【詳解】令x-l=0,解得x=l,此時y=2-a°-1=1,

所以函數了=2刀1-1（.>0,。*1）的圖象恒過定點（1,1）.

故答案為：（1,1）.

4.（24-25高一上?全國?課后作業）若將函數更換為了=[3）,并得到如下圖象，試根據函數y=的圖

⑵尸出T

131

【答案】⑴答案見解析

（2）答案見解析

⑶答案見解析

【分析】運用指數函數圖像，和平移對稱變換規律作圖即可.

【詳解】(1)將已知圖象向右平移一個單位即可,

圖①

(2)將已知圖象向下平移一個單位即可,

(3)作已知圖象關于x軸對稱的圖象即可,

圖③

5.(24-25高一上,福建廈門?期中)已知函數是定義域為R上的奇函數，當xNO時，〃x)=2，-l.

⑵寫出的解析式;

⑶畫出函數/（X）的圖像.

【答案】⑴-收+1

2Txz0

(2)/(x)=

-2-x+l,x<0

⑶作圖見解析

【詳解】（1）因為〃x）是定義域為R上的奇函數,

(2)當x<0時，-x>0,則/(尤)=-/(-》)=-2「，'+1,

2'-l,x>0

則〃x）=

-2-x+l,x<0

（3）作出圖形如下圖所示:

【題型六：指數函數的定義域與值域】

1.（24-25高一上?福建福州?期中）函數/■（x）=（；『a的值域為（）

A.（0,2）B.（0,2]C.[2,+動D.（2,+?）

【答案】B

【分析】利用指數函數單調性，結合二次函數值域求出值域.

【詳解】依題意，X2-2X=（X-1）2-1>-1,當且僅當x=l時取等號，而函數y=（g）'在R上單調遞減,

則0<g廣2工<弓尸=2,所以函數/（x）=g廣2,的值域為（o,2],

故選：B

2.（24-25高一上?全國?隨堂練習）函數曠=o3口的定義域為-

【答案】{X|XN±1}

【分析】利用分母不為0即可求解.

【詳解】由解得：xw±l,所以函數>=0,78的定義域為{x1x*±l}.

故答案為：{x|x*±l}

3.（24-25高一上?安徽合肥?期中）設g（x）=x+：-2,若不等式g（3，）-h3?之0對任意xe［1,2卜恒成立,

則人的取值范圍是.

【答案】［-恐；

【分析】參變分離，只需先V-2^+1，換元得到函數的最小值，得到答案.

-Jmin

【詳解】???g（x）=X+--2,g（3,）-h3,20對任意xe［1,2］時恒成立，

即3,+：-2-h3、N0對任意xw［1,2］時恒成立，

:.k<一2］（］+1對任意xG［1，2］時恒成立,

只需左4④土卜1，

-」min

令/=：,由xe［l,2］得fe,

設人⑺=/-2/+1=（"1）2

當"（即x=l時，〃?）取得最小值］

39

4

■■kW〃⑺疝n=-，

.:人的取值范圍為.

故答案為：,"J

4X-1

4.（24-25高一上?浙江紹興?期中）已知函數=

⑴求函數/（x）的定義域和值域;

（2）判斷并證明了（x）的奇偶性.

【答案】⑴定義域為R,值域為（T1）

（2）〃x）為奇函數，證明見解析

【分析】（1）由定義域的定義以及分離常數法結合指數函數性質即可得解;

（2）由奇函數定義證明即可.

【詳解】（1）函數/（x）的定義域為RJ（x）=W^=l-不片，

12

?.-4^+1>1,.-.0<—<1,0<汴<2，

函數/（無）的值域為（一1,1）;

（2）“X）定義域為R,關于原點對稱,

4-x-l1-4X

4-x+l1+41

所以函數/（x）為奇函數.

5.（24-25高三上?陜西渭南?階段練習）已知函數/（尤）滿足/（2x）=/iF,其中0>0且awl.

⑴求的解析式；

⑵若。=2,求函數y的定義域;

（3）討論“X）的值域.

【答案】（1）/（》）=優*,其中。>0且awl

（2）[-1,2]

⑶見解析

【分析】（1）利用換元法即可求解，

（2）根據指數函數的單調性即可求解不等式得解，

（3）對“分類討論，即可結合二次函數以及指數函數的性質求解.

【詳解】（1）/（2X）=/1/='>（2*）；令，=2%，則/⑺

故/'(x)=a**,其中。＞0且”1

(2)當a=2時，f(x)=2x-x\則>==—(，

^2M2-^>0,則》一/2一2,解得X-/N-2,解得-14X<2,

4

故尸“⑴的定義域為[-1,2]

(3)由于y=1一12=_1一:]+：S；，故

1

當a>1時〃x）=優一'</，故值域為

【題型七：指數函數的單調性】

1.（24-25高一上?江西南昌?階段練習）若指數函數〃x）=S-2）、為減函數，則實數。的取值范圍為.

【答案】（2,3）

【分析】根據指數函數的性質可得0<。-2<1,解得即可.

【詳解】因為指數函數/（x）=（“-2）'為減函數，

所以0<。-2<1,解得2<a<3,所以實數。的取值范圍為（2,3）.

故答案為：（2,3）

2.（24-25高一上?浙江杭州?期中）如果3—3<9一,則無的取值范圍為.

【答案】（-3,1）

【分析】根據指數函數的單調性得到x?-3<-2x,由此求解出結果.

【詳解】因為3‘-3<9-，=3'-3<33,且y=3*在（-叱+8）上單調遞增，

所以尤2-3<-2x,解得-3<x<1,

故答案為：（-3,1）.

3.（24-25高一上?浙江寧波?期中）已知函數〃x）=（：+2））<1（a>一2且"-1）在定義域內單調,

x-2ax+2,x>1

則。的取值范圍是()

A.(-1,1]B.C.D.(-2,-l)U^-l,1

【答案】B

【分析】由題意可知每一段函數在其定義域上為增函數，再當x=l時，/一2"+22(0+2)，可求得結果.

【詳解】因為函數〃尤)=(：+2)，x<l(。>一2且。#一1)在定義域內單調，而了=/-2"+2在[1,+功

x-2ax+2,x>1

上只能單調遞增，

所以"》)=八：+2)，x<l在定義域內單調遞增，

x-2ax+2,x>1

a+2>l

所以，a。，解得-

F-2。+22Q+2

即a的取值范圍為[-1].

故選：B

4.(多選)(24-25高一上?浙江溫州?期中)設常數aeR,函數/(X)=32T-3'-X+。，則()

A.函數/'(x)在R上單調遞減

B.當。=1時，y=/(久)的圖像關于直線x=l對稱

C.對任意aeR,y=/(久)的圖像是中心對稱圖形

D.若/(m)+/(n)>2a-2,則機+〃<2

【答案】ACD

【分析】對A,根據指數函數的單調性判斷即可；對B,判斷〃2-工)=〃力是否成立即可；對C,求解

42-x)+/(x)為定值判斷即可；對D,根據/(x)的單調性與對稱性判斷即可.

【詳解】對A,因為y=32r為減函數，y=3工為增函數，>=》為增函數，

故〃x)=32r-3'x+a為減函數，故A正確；

對B,當a=l時，/(^)=32''-3'-x+1,

/（2-X）=3X-32^-（2-X）+1=3I-32-X+X-1=-/（^），

故y=f（x）的圖像關于（1,0）對稱，故B錯誤；

對C,因為/（2—尤）+/（力=3工一32-，一（2—x）+a+32T-3*-x+a=2a-2,

故對于任意aeR,丫=/（乃的圖像關于（1,。-1）對稱，故C正確；

對D,由C可知/（m）+〃2_相）=2"2,

故/（加）+/（"）>2。-2［ip/（n）>2a-2-/（m）=/（2-m）,

又y=f（x）為減函數，i^n<2-m,即加+〃<2,故D正確.

故選：ACD

5.（24-25高一上?全國?課后作業）比較下列各組中兩個值的大小：

⑶1.4°,，O.903.

Hirxr

（3）1,401>0,903

【分析】（1）函數7=（mJ在定義域R上單調遞減，比較大小；

（2）在同一平面直角坐標系中作出指數函數y=與>=（：］的圖象，取點比較大小;

（3）分別構造函數夕=1.4工與y=0.9"借助中間值比較大小.

【詳解】（1）...函數>=］在定義域R上單調遞減，

1.8>—2.5,

（2）在同一平面直角坐標系中作出指數函數y=與y=的圖象，如圖所示，

當x=—0.5時，觀察圖象易得［'［"，>］（）心

（3）分別構造函數》=14與>=0.9"

?■-1.4>1,0<0.9<1,；.了=1.4，與了=0.9，在R上分別為增函數和減函數.

,■-0.1>0,.-.1.401>1.4°=1,

???0.3>0,O.903<0.9°=1,.-.1,401>0.903.

6.（24-25高一上,江西南昌,階段練習）已知定義域為（-2,2）的函數/（x）=優-（"1）「（a>0,a*1）是奇

函數.

⑴求實數上的值：

（2）若/⑴<0,判斷函數/（無）的單調性，若/（蘇-2）+〃加）>0,求實數加的取值范圍.

【答案】⑴2

⑵/（尤）在（-2,2）上單調遞減，（-2,0）u（0,l）

【分析】（1）根據奇函數的性質/（。）=0求出參數的值，再代入檢驗即可；

（2）根據/⑴<0確定。的取值范圍，再根據指數函數的性質判斷/（X）的單調性，最后根據函數的單調性

與奇偶性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.

【詳解】⑴因為定義域為（-2,2）的函數/（力=，-（左-1）「（。>0,。-1）是奇函數,

所以〃0）=0,即解得左=2,

則/⑺=a?(-x)=-ax=-(ax-ax)=-f(x),符合題意;

故人=2；

(2)因為了。)<0,即。一工<0,又。>0且awl,

a

所以0<a<1,

而丁=優在(-2,2)上單調遞減，y=/在(-2,2)上單調遞增，

所以/四=優-「在(-2,2)上單調遞減；

不等式/(癡一2)+/⑹>0,即-2)-加),

m-2<-m

等價于<一2<加之_2<2,角窣得一2(冽<0或0<加<1,

—2<-tn<2

所以實數用的取值范圍(-2,0)口(0,1).

【題型八：指數函數的最值】

1.(24-25高一上?山東泰安?期中)已知函數/(引="：2)：+3"1"。(0<@<2且"1),若有

12a,x>1

最小值，則。的取值范圍是()

A.^0,-|B.^1,1C.

(01)叩］D.，叩5

4

【答案】D

【分析】對“分類討論，利用。的不同取值范圍，結合分段函數的單調性，分析函數的最小值情況，即可求

得實數。的取值范圍.

【詳解】/(l)=a-2+3a-l=4a-3,

當x=1時，2儲=2a，

若a>2,則當xWl時為增函數，此時無最小值，不合題意;

若a=2,當時，f(x)=5,當x>l時，2-2x=2'+,>4,此時無最小值，不合題意;

若當x41時,若x)為減函數,此時/(x)2“1)=4。-3,

當x>l時，/(X)為增函數，且此時〃x)>2a,要使有最小值，

33

則4a—3?2a,即2aW3,aV—,則1<a<—；

22

若0<Q<1,當時為減函數，此時之/⑴=4"3,

當x>2時，/(x)為減函數，且/(%)>0,要使/(x)有最小值，

33

則4Q—3<0,即aV—,貝!JO<QV—.

44

、33

綜上所述，或0<q〈—.

24

二實數a的取值范圍是.

故選：D.

2.(2024?福建,三模)定義在R上的偶函數/(x)和奇函數g(尤)滿足〃x)+g(x)=2向，若函數

〃(力=82(力一2何'(工)(機€1<)的最小值為_12,則加=()

A.1B.3C.2>/2D.-2-V2

【答案】C

【分析】先根據函數奇偶性得到/(X)=2'、+2T,g(x)=2-2-，，從而得到

/?(x)=(2J+2-x)2-2(2J+2-x)m-4,換元得到y=r-2成-4在/e[2,+a>)上的最小值為T2,根據對稱軸,

分加<2和%>2兩種情況，根據函數單調性得到最小值，從而得到方程，求出答案.

【詳解】/(x)+g(x)=2一①,故/(_x)+g(f)=23,

因為/(x)為R上的偶函數，g(x)為R上的奇函數，

故/(-x)=/(x),g(-x)=-g(x),所以/(x)—g(x)=2-+i②，

式子①和②聯立得〃x)=2,+2一，，g(x)=2,-2一工，

A(x)=(2x-2-*)2-2(2x+2^)m=(2x+2寸一2(2,+2一，)加-4,

其中f=2*+2T22j2工.2T=2，當且僅當2*=2，即x=0時，等號成立，

所以y=產-2加-4在te[2,+8)上的最小值為T2,

由于y=--2加/-4的對稱軸為/=m,

故當加<2時，y=?-2加-4在fe[2,+co)上單調遞增,

故Vmin=22-4"7-4=-12,解得m=3>2,不合要求，舍去;

當％N2時，y=〃-2M-4在te[2,%)上單調遞減，在/目加,+8)上單調遞增，

故小n=/-2/-4=-12,解得加=2及，負值舍去；

故選：C

3.(多選)(24-25高一上,陜西漢中,期中)已知取整函數y=因的函數值表示不超過尤的最大整數，例如,

[-3.5]=-4,[1.5]=1.已知函數/(耳=總，貝U()

A.[乃-3]=0B.函數/'(x)為偶函數

C.3x0eR,[/(x0)]=lD.函數]/6]的最小值為2

【答案】ABD

【分析】根據取整函數的定義，函數f(x)的值域可判斷A和C,根據偶函數的定義可判斷B,利用基本不

等式可以判斷D.

【詳解】對于A,因為萬-3e(O,l),所以[%-3]=0,故A正確；

對于B,函數/卜)=一的定義域為R,定義域關于原點對稱，

且f(-x)=-----=7-----°、=------=f(x),

-八>4-*+1(rl+l)(221)1+4-'八/

所以函數/'(X)為偶函數，故B正確;

對于C,因為"x)=4'+l<-----二—

，2，

當且僅當x=0時，等號成立；所以7(x)4；,故C不正確;

當且僅當x=0時，等號成立，故D正確；

故選:ABD.

4.(24-25高一上?河北衡水?期中)已知函數〃x)=^2一體-2)x"為常數)為奇函數，函數

g(x)=a""+a,(a>0且awl)

⑴求義的值;

⑵求g(x)在［-2,2］上的最大值.

【答案】⑴發=0

f41

a+a,a>［

(2)g(xL=］上n”〃

一―+a,0<a<I

、a

【分析】(1)由/(x)為奇函數可知/(-X)=-/("，進而可得.

(2)對。進行分類為。>1和0<。<1,根據g(x)的單調性進而可得最大值.

【詳解】(1)由題意可知/(-X)=_/(%),得入2+("2)x=_[履2_(02)x],

可得左=0.

(2)由(1)可知/(x)=2x,故g(x)=a"+a,

當時,g(x)在［-2,2］上單調遞增，故g(x)1mx=g(2)=/+a,

當0<a<l時，g(x)在［-2,2］上單調遞減，故g(x)1mx=g(-2)=a7+a=，+a

a4+a,a>l1

所以g(x)1mx=，_

+a,0<a<1

4

5.(24-25高一上?海南三亞?期中)已知函數/(x)=b?優(其中。泊為常數，且a>0,awl)的圖象經過點

/(1,6),8(3,24).

⑴求/(力的表達式;

⑵若不等式+]]-機20在xe(-*1]上恒成立，求實數加的取值范圍.

【答案】⑴/(力=32，

⑵"24：

【分析】(1)由函數/(X)經過43兩點，列出方程組，求解即可.

(2)利用函數的單調性求解函數的最小值，然后求解不等式即可.

【詳解】(1)由題意，函數"X)=6?優,a>0的圖象經過點次1,6),8(3,24),

a=2

b=3

所以函數/（x）=32.

（2）不等式（；廠+，廠-加上0在xe（一刃,1］上恒成立,

貝IJ加（［（萬廠+^廠院”，

令g(x)=(?+(/,

因為函數g（x）在xe（-co,l］上是減函數,

所以gOOnin=g(l)=5+1=N，

1236

所以加w之

即實數加的取值范圍為加w3

【題型九：指數函數的應用】

1.（山東省濰坊市2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題）某放射性物質在衰變過程中，其質量優

（單位：克）與年數/滿足關系式加=加2，（加。為初始質量，左為常數，e*2.718）.已知經過3年，這種

放射性物質的質量變為原來的一半，再經過6年，該放射性物質的質量變為初始質量的（）

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