備戰2023年中考數學必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題30規律探究問題

一.選擇題（共10小題）

1.（2022?西藏）按一定規律排列的一組數據1,-2,1旦，….則按此規律排列的

252172637

第10個數是（）

A.B.-21c..19

10110182

【分析】把第3個數轉化為：且，不難看出分子是從1開始的奇數，分母是/+1,且奇數項是正，偶

10

數項是負，據此即可求解.

【解析】原數據可轉化為：1,,3-5-,----79_11

2510TT26,37

;.1=（-1）1+12X1-1,

222+1

-1=（-1）2+3X2-1,

522+1

昱=（-1）3+12X3-1,

1032+1

第〃個數為：（-1）"+i型

n2+l

.?.第10個數為：（-1）10+12*10-1=-衛.

102+1101

故選：A.

2.（2022?牡丹江）觀察下列數據：1,-2,A,-A,_L,…，則第12個數是（）

25101726

A.衛B,-衛C.衛D.-衛

143143145145

【分析】根據給出的數據可以推算出第〃個數是一^義（-1）"I所以第12個數字把〃=12代入求值

2

n+l

即可.

【解析】根據給出的數據特點可知第〃個數是T—x（-1）"I

2

n+l

.?.第12個數就是12X（-1）12+1=-衛.

122+1145

故選：D.

3.（2022?云南）按一定規律排列的單項式：x,3/,5x3,7x4,9x5,......,第〃個單項式是（）

A.(2M-1)xnB.(2n+l)BC.(〃-1)x"D.(w+1)xn

【分析】根據題目中的單項式，可以發現系數是一些連續的奇數，x的指數是一些連續的整數，從而可

以寫出第〃個單項式.

【解析】..,單項式：x,3x2,5x3,7%4,9%5,???,

.?.第〃個單項式為（2?-1）%",

故選：A.

4.（2022?新疆）將全體正偶數排成一個三角形數陣：

按照以上排列的規律，第10行第5個數是（）

2

46

81012

14161820

2224262830

??????

A.98B.100C.102D.104

【分析】由三角形的數陣知，第〃行有〃個偶數，則得出前9行有45個偶數，且第45個偶數為90,得

出第10行第5個數即可.

【解析】由三角形的數陣知，第"行有〃個偶數，

則得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45個偶數,

...第9行最后一個數為90,

.?.第10行第5個數是90+2X5=100,

故選：B.

5.（2022?廣州）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木棒，拼第2個圖形需

要14根小木棒，拼第3個圖形需要22根小木棒……若按照這樣的方法拼成的第n個圖形需要2022根小

木棒，則n的值為（）

第1個圖形第2個圖形第3個圖形

A.252B.253C.336D.337

【分析】根據圖形特征，第1個圖形需要6根小木棒，第2個圖形需要6X2+2=14根小木棒，第3個圖

形需要6X3+2X2=22根小木棒，按此規律，得出第〃個圖形需要的小木棒根數即可.

【解析】由題意知，第1個圖形需要6根小木棒，

第2個圖形需要6X2+2=14根小木棒，

第3個圖形需要6X3+2X2=22根小木棒，

按此規律，第〃個圖形需要6〃+2(?-1)=(8?-2)個小木棒，

當8〃-2=2022時，

解得〃=253,

故選：B.

6.(2022?玉林)如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開始放置在邊長為2的正六邊形N2CD所的頂點/

處.兩枚跳棋跳動規則是：紅跳棋按順時針方向1秒鐘跳1個頂點，黑跳棋按逆時針方向3秒鐘跳1個

頂點，兩枚跳棋同時跳動，經過2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是()

【分析】分別計算紅跳棋和黑跳棋過2022秒鐘后的位置，紅跳棋跳回到/點，黑跳棋跳到斤點，可得

結論.

【解析】???紅跳棋從N點按順時針方向1秒鐘跳1個頂點,

:.紅跳棋每過6秒返回到N點，

2022+6=337,

經過2022秒鐘后，紅跳棋跳回到A點,

???黑跳棋從/點按逆時針方向3秒鐘跳1個頂點,

黑跳棋每過18秒返回到Z點,

2022-M8=112-6,

經過2022秒鐘后,黑跳棋跳到E點，

連接/E,過點尸作*WL4E,

由題意可得：AF=AE=2,NN尸￡=120°,

；.NF4E=30°,

在RtZUEM中，AM=J3-AF=y/3,

2

：.AE=2AM=2y/3,

經過2022秒鐘后,兩枚跳棋之間的距離是2爪.

故選：B.

7.（2022?江西）將字母"C","H"按照如圖所示的規律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個

數是（）

HHHHHH

——

——

I——

II

CH

-C-C-HH-c-c

——

—III一H

-C——

HH

HHHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

【分析】列舉每個圖形中"的個數，找到規律即可得出答案.

【解析】第1個圖中//的個數為4,

第2個圖中〃的個數為4+2,

第3個圖中"的個數為4+2X2,

第4個圖中〃的個數為4+2X3=10,

故選：B.

8.（2022?重慶）用正方形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9

個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規律排列下去，則第⑨個

圖案中正方形的個數為（）

?????????

???????????????????O

????????

?O

①②③④

A.32B.34C.37D.41

【分析】根據圖形的變化規律得出第n個圖形中有4"+1個正方形即可.

【解析】由題知，第①個圖案中有5個正方形，

第②個圖案中有9個正方形，

第③個圖案中有13個正方形，

第④個圖案中有17個正方形，

第n個圖案中有4〃+1個正方形，

，第⑨個圖案中正方形的個數為4X9+1=37,

故選：C.

9.（2022?重慶）把菱形按照如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第②個圖案中有3

個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數為（）

【分析】根據前面三個圖案中菱形的個數，得出規律，第九個圖案中菱形有個，從而得出答

案.

【解析】由圖形知，第①個圖案中有1個菱形,

第②個圖案中有3個菱形，即1+2=3,

第③個圖案中有5個菱形即1+2+2=5,

則第〃個圖案中菱形有1+21）=（2?-1）個，

，第⑥個圖案中有2X6-1=11個菱形，

故選：C.

10.（2022?荊州）如圖，已知矩形N2CD的邊長分別為0,6,進行如下操作第一次，順次連接矩形/BCD

各邊的中點，得到四邊形N/iQDi；第二次，順次連接四邊形N/1C15各邊的中點，得到四邊形

42%。2。2；…如此反復操作下去，則第〃次操作后，得到四邊形的面積是（）

【分析】連接/Qi，DM可知四邊形N/iCpDi的面積為矩形/8CZ）面積的一半，則再根

2

據三角形中位線定理可得02。2=暴[0,/2。2=好。1，則52=會4*乎。1=9,依此可得規

律.

【解析】如圖，連接4。，DB，

V順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形AXBXCXDX,

四邊形48CQ是矩形，

：.AXC^BC,AXCX//BC,

同理，Bi5=AB,B[D\〃AB,

2

:順次連接四邊形小8?5各邊的中點，得到四邊形上&。2。2,

.-.C2￡>2=1ACi,A2D2=l-BlDi,

212

.".S2=—AC\X—B\D\—^ab,

2124

依此可得S〃=也，

2n

故選：A.

二.填空題(共14小題)

11.(2022?恩施州)觀察下列一組數：2,1,2,…，它們按一定規律排列，第〃個數記為劭，且滿足

27

—^-十---=---?貝IQ4二——_，〃2022=一_?

anan+2an+l53032

【分析】由題意可得劭=,2-,即可求解.

3(n-1)+1

【解析】由題意可得：?1=2=—,a2=—=—>的=2，

1247

..1i1_2

?-I-------------------，

a2a4a3

，2+工=7,

a4

???_ClA1_——2—f

510

..11_2

,------+----------,

a3a5a4

?=2

13

同理可求a6=-=-^-,,

816

?“=2

?，un---7---r-----'

3(n-1)+1

故答案為：1,1

53032,

12.（2022?宿遷）按規律排列的單項式：X,-X3,%5,X9,則第20個單項式是-》39

【分析】觀察指數規律與符號規律，進行解答便可.

【解析】根據前幾項可以得出規律，奇數項為正，偶數項為負，第〃項的數為（-1）-1,

則第20個單項式是（-1）21義/9=-X39,

故答案為：-尤39.

13.（2022?懷化）正偶數2,4,6,8,10,按如下規律排列,

則第27行的第21個數是744.

2

46

81012

14161820

【分析】由圖可以看出，每行數字的個數與行數是一致的，即第一行有1個數，第二行有2個數，第三

行有3個數?第"行有”個數，則前〃行共有n（n+l）個數,再根據偶數的特征確定第幾行第幾個數是

2

幾.

【解析】由圖可知，

第一行有1個數，

第二行有2個數，

第三行有3個數，

*

第n行有n個數.

前〃行共有n（n+l）個數.

2

前27行共有378個數，

...第27行第21個數是一共378個數中的第372個數.

???這些數都是正偶數，

...第372個數為372X2=744.

故答案為：744.

14.（2022?泰安）將從1開始的連續自然數按以下規律排列:

若有序數對（〃，m）表示第〃行，從左到右第〃?個數，如（3,2）表示6,則表示99的有序數對是

(10,18)

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

【分析】根據第"行的最后一個數是川，第〃行有（2〃-1）個數即可得出答案.

【解析】:?第〃行的最后一個數是/A第”行有（2"-1）個數，

.?.99=102一1在第10行倒數第二個，

第10行有：2X10-1=19個數，

二99的有序數對是（10,18）.

故答案為：（10,18）.

15.（2022?青海）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規律依次擺放，則第"個圖中共有木料n(n+l)

~1~

根.

第1個第2個第3個第4個

【分析】觀察圖形可得：第〃個圖形最底層有〃根木料，據此可得答案.

【解析】由圖可知:

第一個圖形有木料1根，

第二個圖形有木料1+2=3（根），

第三個圖形有木料1+2+3=6（根），

第四個圖形有木料1+2+3+4=10（根）,

第n個圖有木料1+2+3+4+……+.=n（n+l）（根），

2

故答案為：n（n+l）

2

16.（2022?大慶）觀察下列''蜂窩圖"，按照這樣的規律，則第16個圖案中的“”的個數是49

第4個

【分析】從數字找規律，進行計算即可解答.

【解析】由題意得：

第一個圖案中的””的個數是：4=4+3X0,

第二個圖案中的“”的個數是：7=4+3Xl,

第三個圖案中的“”的個數是：10=4+3X2,

.?.第16個圖案中的””的個數是：4+3X15=49,

故答案為：49.

17.（2022?綏化）如圖，ZAOB=60°，點外在射線O/上，且。B=l,過點外作尸1KJ6U交射線08

于&,在射線CM上截取尸聲2，使尸122=尸成1；過點尸2作尸2K2,04交射線。2于小,在射線CM上

截取尸2尸3，使尸2尸3=尸2K2…按照此規律，線段P-殳g的長為（1+7^）2022.

【分析】根據題意和題目中的數據，可以寫出前幾項，然后即可得到P“K〃的式子，從而可以寫出線段

^,2023-^2023的長.

【解析】由題意可得，

P\Ki=OP\,tan60°=1XA/3=V3>

P2K2=。尸2?tan60°=（1+正）義如=弧（1+加），

尸3K3=。尸3?tan60°=（1+6+?+3）乂炳=如（1+73）2，

P咨4=OP4?tan60°=[（1+y+禽+3）+73（1+73）%乂如=如（1+73）3）

P,Kn=M（1+V3）"1

???當”=2023時，P2023K2023=毒（1+我）2022-

故答案為：V3（1+V3）2°22.

18.（2022?聊城）如圖，線段/8=2,以48為直徑畫半圓，圓心為/卜以441為直徑畫半圓①；取//

的中點幺2,以小，2為直徑畫半圓②；取々5的中點為，以/243為直徑畫半圓③…按照這樣的規律畫下

去，大半圓內部依次畫出的8個小半圓的弧長之和為255L.

一256—

【分析】由/2=2,可得半圓①弧長為工TT,半圓②弧長為（上）2m半圓③弧長為（工）3n，……半

222

圓⑧弧長為（工）8n,即可得8個小半圓的弧長之和為工/（1）2TT+（1）3n+...+（1）8n=255

22222256

IT.

【解析】；4B=2,

：.AAi=l,半圓①弧長為兀*

22

nx-^-

同理小/2=1，半圓②弧長為-----?_=（1）2n，

222

冗x--

3

A2A3=-L,半圓③弧長為.....-=（―）it,

422

兀X弓）7

半圓⑧弧長為-----8TT,

；?8個小半圓的弧長之和為」（A）21r+（工）37T+…+（工）8-=255n.

2222256

故答案為：生

256

19.（2022?十堰）如圖，某鏈條每節長為2.8cm,每兩節鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1cm,按這種連

接方式，50節鏈條總長度為91cm.

50節

【分析】先求出1節鏈條的長度，2節鏈條的總長度，3節鏈條的總長度，然后從數字找規律，進行計算

即可解答.

【解析】由題意得:

1節鏈條的長度=2.8cm,

2節鏈條的總長度=[2.8+(2.8-1)]cm,

3節鏈條的總長度=[2.8+(2.8-1)X2]cm,

二50節鏈條總長度=[2.8+(2.8-1)X49]=91Cem),

故答案為：91.

20.(2022?常德)剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片;

從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片；

從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙

片；…；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片,

則還有一張多邊形紙片的邊數為6.

【分析】根據題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，多邊形的邊數增加4,如第

一次，將其中兩個邊分成四條邊，且剪刀所在那條直線增加兩條邊，即為2+2X2+lX2=8=4+4Xl

(邊)，分成兩個圖形；第二次，邊數為：8-2+2X2+2X1=12=4+4X2,分成三個圖形；……；當剪

第”刀時，邊數為4+4〃，分成(?+1)個圖形；令〃=9即可得出結論.

【解析】根據題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，多邊形的邊數增加4,

第一次，將其中兩個邊分成四條邊，且剪刀所在那條直線增加兩條邊，即為2+2X2+lX2=8=4+4Xl

(邊)，分成兩個圖形；

第二次，邊數為：8-2+2X2+2X1=12=4+4X2,分成三個圖形；……；

當剪第"刀時，邊數為4+4小分成(?+1)個圖形；

???最后得到10張紙片，設還有一張多邊形紙片的邊數為加，

令〃=9,有4+4X9=5+3X3+5X4+TM,

解得m=6.

故答案為：6.

21.（2022?德陽）古希臘的畢達哥拉斯學派對整數進行了深入的研究，尤其注意形與數的關系，“多邊形數”

也稱為“形數”，就是形與數的結合物.用點排成的圖形如下：

其中：圖①的點數叫做三角形數，從上至下第一個三角形數是1,第二個三角形數是1+2=3,第三個三

角形數是1+2+3=6,……

圖②的點數叫做正方形數，從上至下第一個正方形數是1,第二個正方形數是1+3=4,第三個正方形數

是1+3+5=9,.......

由此類推，圖④中第五個正六邊形數是45.

【分析】根據前三個圖形的變化尋找規律，即可解決問題.

【解析】圖①的點數叫做三角形數，從上至下第一個三角形數是1,第二個三角形數是1+2=3,第三個

三角形數是1+2+3=6,……

圖②的點數叫做正方形數，從上至下第一個正方形數是1,第二個正方形數是1+3=4,第三個正方形數

是1+3+5=9,.......

圖③的點數叫做五邊形數，從上至下第一個五邊形數是1,第二個五邊形數是1+4=5,第三個五邊形數

是1+4+7=12,.......

由此類推，圖④中第五個正六邊形數是1+5+9+13+17=45.

故答案為：45.

22.（2022?遂寧）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別

向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得名.假設如圖分

別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正

方形的個數為

127.第一代勾股樹笫二代勾股樹第三代勾股樹

【分析】由已知圖形觀察規律，即可得到第六代勾股樹中正方形的個數.

【解析】???第一代勾股樹中正方形有1+2=3（個），

第二代勾股樹中正方形有1+2+22=7（個），

第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23=15（個），

第六代勾股樹中正方形有1+2+22+23+24+25+2』127（個），

故答案為：127.

23.（2022?黑龍江）如圖，下列圖形是將正三角形按一定規律排列，則第5個圖形中所有正三角形的個數

【分析】由圖可以看出：第一個圖形中5個正三角形，第二個圖形中5X3+2=17個正三角形，第三個圖

形中17X3+2=53個正三角形，由此得出第四個圖形中53X3+2=161個正三角形，第五個圖形中161義

3+2=485個正三角形.

【解析】第一個圖形正三角形的個數為5,

第二個圖形正三角形的個數為5X3+2=2X32-1=17,

第三個圖形正三角形的個數為17X3+2=2X33-1=53,

第四個圖形正三角形的個數為53X3+2=2X34-1=161,

第五個圖形正三角形的個數為161X3+2=2X35-1=485.

如果是第〃個圖，貝U有2X3"-1個

故答案為：485.

24.（2022?黑龍江）如圖所示，以。為端點畫六條射線04,OB,0C,0D,0E,0F,再從射線CM上某

點開始按逆時針方向依次在射線上描點并連線，若將各條射線所描的點依次記為1,2,3,4,5,6,7,

8…后，那么所描的第2013個點在射線上.

【分析】根據規律得出每6個數為一周期.用2013除以6,根據余數來決定數2013在哪條射線上.

【解析】VI在射線上,

2在射線05上,

3