專題10直線和圓的方程

l一題型一：平行^求距離問題e、易錯點：使用兩平行線間距離公式忽略系數相等致錯

_______________________一一一跡二：直線的考點”易錯點：求有關截距相等問題時易忽略截距為零的情況

直線和圓的方程

n"題型三：求有關圓的切線問題0、易錯點：求有關圓的切線問題易混淆"在""過"

一題型四：與圓的代數結構有關的最值問題€＜易錯點：忽喇率是否存在

易錯點一：使用兩平行線間距離公式忽略系數相等致錯（平行線求距離問

題）

距離問題

畫總總

①兩點間的距離：已知后（王，%）,P,（%2，＞2）貝?6心|=（（為—千）2+（、2—'1）2

②點到直線的距離：d=

加。A：2珍+B。2：，

③兩平行線間的距離：兩條平行直線/1：/U+2y+G=0與l2:Ax+By+C2=0的距離公式

易錯提醒：在求兩條平行線間距離時，先將兩條直線尤,y前的系數統一，然后代入公式求算.

三9

例.已知直線乙：4x-3y+3=。，Z2:（m+2）x-（zn+l）y+zn=0（zneR）,則（）

A.直線4過定點（1，2）B.當機=2時，IJH2

C.當機=T時，D.當時，44之間的距離為g

變式1.曲線y=e2xcos3x在點（0,1）處的切線與其平行直線/的距離為右，則直線/的方程可能為（）

A.y=2x+6B.y=2x-4

C.y=3x+lD.y=3x-4

22

變式2.已知直線4：y^kx+1,l2：y^mx+2,圓C：（x-1）+（y-2）=6,下列說法正確的是（）

A.若4經過圓心C,貝!|左=1

B.直線4與圓C相離

C.若l\〃k，且它們之間的距離為則左=±2

D.若左=一1,4與圓C相交于M,N,貝!||肱V|=2

變式3.已知直線4:4x-3y+4=0,：(〃2+2)x-(〃2+I)y+2〃z+5=OOeR),貝(j()

A.直線4過定點(-2,-1)

B.當m=1時，4-L12

C.當m=2時，

D.當“4時，兩直線4工之間的距離為1

1.若直線2x-y-3=0與4x-2y+a=0之間的距離為正，則。的值為（）

A.4B.75-6C.4或-16D.8或一16

2.若兩條直線乙：y=2無+%,4：y=2x+〃與圓x2+y2-4x=。的四個交點能構成正方形，則|〃[-4=（）

A.4君B.2710C.2A/2D.4

3.兩條平行直線2x—y+3=。和6一3y+4=0間的距離為d,則a,d分別為（）

A.a—6,d=B.a=—6,d=

33

C.a=-6,d=—D.。=6,d=—

33

4.兩條平行直線3尤+―-12=。與分+8丫+11=。之間的距離（）

23237

A.—B.—C.—D.7

5102

5.已知直線/1：x-my=。和7y+2（〃7-l）=0OeR）與圓C都相切，則圓C的面積的最大值是（）

A.2〃B.4〃C.87rD.16%

6.若直線4:x++6=。與4：(Q—2)x+3y+2Q=。平行，則乙與4間的距離為()

A.V2B.辿

3

C.73D.迪

3

7.已知直線4：（3+2X）x+（4+2）y+（—2+2丸）=0（AGR）,/2?x+y—2=0,若IJ/l2，則4與6間的距離

為（）

A.1B.后C.2D.2夜

8.已知直線小必―3y+6=0,4：4X—3沖+12=0,若"乙，貝！J4,4之間的距離為（）

A@IB.處C.晅D.5

131313

9.若兩條平行直線4：x-2y+根=0（根＞0）與/2：2%+利-6=0之間的距離是逐，則加+〃=

A.0B.1C.-2D.-1

10.已知直線，i：3x+4y+5=0,Z2:6x+8^-15=0,則兩條直線之間的距離為

A.4B.2C.-D.5

2

易錯點二：求有關截距相等問題時易忽略截距為零的情況（直線截距式的

考點）

直線方程的五種形式的比較如下表:

名稱方程的形式常數的幾何意義適用范圍

點斜式y-y=k(x-%)（%,%）是直線上一定點，左是斜率不垂直于X軸

斜截式y=kx+b人是斜率，。是直線在y軸上的截距不垂直于X軸

y-Ji_%--

兩點式（%,%）,（x2,y2）是直線上兩定點不垂直于X軸和y軸

%-%%-%

。是直線在X軸上的非零截距，。是直不垂直于x軸和y軸，

截距式2+2=1

ab線在y軸上的非零截距且不過原點

Ax+By+C=0(A2+B2?0）

一般式A、B、C為系數任何位置的直線

給定一般式求截距相等時，具體方案如下：

令x=Ony=_C「「

形如：第一種情況Ax+_8y+C=0n|夕n=nA=3

令wOnx=-CAB

L,A

第二種情況：Ac+8y+C=0=C=0時，橫縱截距皆為0

截距之和為。時，橫縱截距都為0也是此類模型

易錯提醒：求截距相等時，往往會忽略橫縱截距為0的情況從而漏解

三

例.已知直線/過點(2,1)且在x,y軸上的截距相等

(1)求直線/的一般方程；

(2)若直線/在x,y軸上的截距不為0,點P("I)在直線/上，求3"+3〃的最小值.

變式1.已知直線/過點(1,2)且在x,y軸上的截距相等

(1)求直線/的一般方程；

⑵若直線/在劉＞軸上的截距不為0,點P(a,b)在直線/上，求3"+3&的最小值.

變式2.已知直線4：ax+2y-4=0,直線3bx-2y-l=0,其中a,6均不為0.

(1)若4,4,且4過點(L1),求a,b；

⑵若且4在兩坐標軸上的截距相等，求4與4之間的距離.

變式3.已知直線(：or-2y-2a+4=0,直線乙：八+4'-4。2一8=0

⑴若直線4在兩坐標軸上的截距相等，求實數。的值；

(2)若4〃4,求直線4的方程.

三9

1.己知圓。：*+丁=4,"（與,%）為圓。上位于第一象限的一點，過點M作圓。的切線/.當/的橫縱截

距相等時，/的方程為（）

A.x+y-2-J1=0B.x+y—---=0

C.x+y-4A/2=0D.尤-y-2應=0

2.“直線/：y=辰+2后-1在坐標軸上截距相等”是“左=-l”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.過點A（1,2）的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）

A.尤-y+l=0B.x+y-3—QC.y=2x或x+y-3=0D.y=2x或x-y+l=0

4.下列說法正確的是（）

A.若直線。2》一＞+1=0與直線尤一ay—2=0互相垂直，則°=-1

B.已知P（U）,。（-2,-3）,點尸，Q到直線/的距離分別為2和4,則滿足條件的直線/的條數是2

C.過（孫珀，（％打）兩點的所有直線的方程為七左=三

D.經過點（1,1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為無+y-2=0

5.過點P（3,4）,且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程是

A.x—y+\=0B.x—y+1=0或4%-3y=0

C.%+y—7=0D.x+y—7=0或4x-3y=0

6.下列命題中錯誤的是（）

A.命題“m/wR,x：+l<l”的否定是“X/xeR.Y+lNl”

B.命題“若a>b,則2"的否命題為“若a三八則2”2"-1”

C.“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的充要條件

D.若“p或q”為假命題，則p,q均為假命題

7.與圓V+（y-1>=1相切，且在坐標軸上截距相等的直線共有（）

A.2條B.3條C.4條D.6條

8.已知直線/過點加（-2,3）,且與x軸、y軸分別交于A,B點,則（）

A.若直線/的斜率為1,則直線/的方程為y=x+5

B.若直線/在兩坐標軸上的截距相等，則直線/的方程為x+y=l

C.若M為A8的中點，貝心的方程為3x-2y+12=。

D.直線/的方程可能為y=3

9.已知直線4：x-y+m=O,/2：2x+my-l=0,則下列結論正確的有（）

A.若〃〃2，則m=-2

B.若/J4，則加=2

C.若八'在x軸上的截距相等則相=1

D.12的傾斜角不可能是4傾斜角的2倍

10.直線/與圓（x-2f+y2=2相切，且/在x軸、>軸上的截距相等，則直線/的方程可能是

A.尤+y=OB.尤+y-2應+2=0

C.%—>=。D.x+y-4=0

易錯點三：求有關圓的切線問題易混淆“在”“過”（求有關圓的切線問題）

技巧總結

VgF類：求過圓上一點（%,光）的圓的切線方程特方

正規方法：

第一步：求切點與圓心的連線所在直線的斜率左

第二步：利用垂直關系求出切線的斜率為-4

k

第三步：利用點斜式y-%=Mx-%）求出切線方程

注意：若左=0則切線方程為x=x0，若女不存在時，切線方程為＞=為

儂殺方法：）

①經過圓x2+y2=/上一點尸（飛,%）的切線方程為x（）x+=r2

②經過圓（x-o）2+（y-/?）2=/上一點M%,%）的切線方程為（.一0）（工一。）+（%-匕）6-5）=/

③經過圓V+V+m+4+尸=o上一點尸（與,凡）的切線方程為

xQx+yQy+D-^^+E-^^+F=0

類：求過圓外一點（%,光）的圓的切線方程的港〉

方法一：幾何法

第一步：設切線方程為丁一方=左（》-/），即左x—y-左0+為=0,

第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得左，切線方程即可求出

方法二:代數法

第一步：設切線方程為丁一%,=女（%一叫）），即y=左x—左q+y（）,

第二步：代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由A=0可求得左，切線方程即可求出

注意:過圓外一點的切線必有兩條，當上面兩種方法求得的女只有一個時,則另一條切線的斜率一定不存在,

可得數形結合求出.

盤三類：求斜率為左且與圓相切的切線方程的還）

方法一：幾何法

第一步：設切線方程為y=左次+加，即左％-丁+根=0

第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得加，切線方程即可求出.

方法二:代數法

第一步：設切線方程為y=

第二步：代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由A=0可求得加，切線方程即可求出

方法三：秒殺方法

已知圓/+/=/的切線的斜率為人,則圓的切線方程為y=依土廠爐了1

已知圓(X——人)2=戶的切線的斜率為左，則圓的切線方程為y=依士—

工具：點與圓的位置關系判斷

圓的標準方程為(x-〃)2+(y-6)2=戶(廠>0)

222

一般方程為x+y+Dx+Ey+F=0(。2+E-4F>0).

點在圓上：(%。—a)?+(%—=戶XQ++DXQ+Ey0+F=0

②點在圓外：(司-a/+(%-/?)2>,XQ+yo+DXQ+Ey0+F>0

③點在圓內：(%。一a)?+(%—/?)2〈產Xo++DXQ+Ey0+F<0

易錯提醒：求切線問題時首要任務確定點與圓的位置關系并采用對應方案進行處理

三9

22U5

例、圓的方程為一+/=1,過點上"的切線方程

”2J

(3V31

變形1、圓的方程為/+：/—4x+2y+4=0,

過點(-2-2--1)的切線方程

變形2、圓的方程為r+/―4x+2y+4=0,過點(1,1)的切線方程

變形3、圓的方程為（尤-2）2+（y+1）2=1,切線斜率為1方程為

1.在平面直角坐標系中，過直線2x-y-3=0上一點尸作圓C：f+2x+y2=l的兩條切線，切點分別為AB,

則sin/APB的最大值為（）

A.哀1B.—C.—D.—

5555

2.已知點時（1,0）在圓C:/+y2=機上，過M作圓c的切線/,則/的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.已知圓+/-4x-6y+12=0與直線/：尤+y-l=。，P,。分別是圓C和直線/上的點且直線產。與

圓C恰有1個公共點，則|PQ|的最小值是（）

A.77B.2A/2c.V7-1D.2A/2-1

4.已知直線/:如一丫+相+1=0（切*0）與圓C:x2+y2-4x+2y+4=0,過直線/上的任意一點尸向圓C引切

線，設切點為A,B,若線段A3長度的最小值為石，則實數加的值是（）

12127

A.——B.-C.-D.——

5555

5.已知圓C:（尤-2丫+_/=4,直線/:>=履化eR）,則下列結論正確的是（）

A.存在實數上使得直線/與圓C相切

B.若直線/與圓C交于A,8兩點，貝的最大值為4

C,當％=-1時，圓C上存在4個點到直線/的距離為3

D.當左=1時，對任意4eR,曲線■E：x2+y2-（九+4）x+￡y=0恒過直線/與圓C的交點

6.過圓尤、y2=4上一點p作圓/+y2=l的兩條切線，切點分別為A,8,則（）.

A.|AP|=|BP|=V2

B.ZAPS=60°

C.|AB|=>/3

D.直線AB與圓Y+y=」相切

4

7.已知圓C的方程為x2+（y-2）2=l,點Q（0,3）,點尸是x軸上的一個動點，過點尸作圓C的兩條切線，切

點分別為4,8,則（）

A.存在切點使得-AQ8為直角B.直線A3過定點（0,1）

C.麗?詼的取值范圍是［0,萬］D.AQAB面積的取值范圍是（Oqg］

8.已知直線/：尤->+1=0與圓CK：（x+"l>+（y+2左y=l,下列說法正確的是（）

A.所有圓CJ勻不經過點（0,3）

B.若圓CR關于直線/對稱，則上=-2

C.若直線/與圓CR相交于A、B,且［4邳=夜，則上=-1

D.不存在圓CR與x軸、y軸均相切

9.已知。￡：5-2）2+“-1）2=4,過點尸（5,5）作圓片的切線,切點分別為","，則下列命題中真命題是（）

A.\PM\=y/21

B.直線跖V的方程為3x+4y-14=0

C.圓/+丁=1與。石共有4條公切線

D.若過點P的直線與。￡交于G,”兩點，則當AEWG面積最大時，\GH\=2yf2.

10.已知點M為直線/：x-y+8=。與y軸交點,尸為圓。:V+y2=45上的一動點，點A（-l,0）,3（3,0）,則

()

A.忸網取得最小值時，Sz=6君B.MP與圓。相切時，儼閭=屈

sinNAPB的最大值為更

C.當時，APBM=0D.

4

易錯點四：忽略斜率是否存在（與圓的代數結構有關的最值問題）

三9

處理此類問題宗旨:截距式與斜率式都可轉化為動直線與圓相切時取得最值

①截距式：求形如mx+ny的最值轉化為動直線斜率的最值問題

②斜率式：求形如上二生的最值轉化為動直線截距的最值問題

x-n

③距離式：求形如（x-a）2+（y-＞）2=r2的最值轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題

形如：若尸（X?）是定圓。：（％-冷2+6-人）2=/上的一動點，則求如+胡和工這兩種形式的最值

，鬼路1:幾何氏）

①阿的最值，設圓心到直線”的距離為d=、"吆_H,由d=r即

y/m2+n2

可解得兩個〃直，一個為最大值，一個為最小值

②工的最值：上即點P與原點連線的斜率，數形結合可求得斜率的最大值和最小值

XX

（電路2：代數警）

①7加+胡的最值，設M%+融=/,與圓的方程聯立，化為一元二次方程，由判別式等于0,求得f的兩

個值，一個為最大值，一個為最小值.

②工的最值：設/=上，則y=沅，與圓的方程聯立，化為一元二次方程，由判別式等于0,求得/的兩個

XX

值，一個為最大值，一個為最小值.

易錯提醒：截距式與斜率式在學習直線與圓的位置關系后，都可轉化為動直線與圓相切時取得最值.同時，需要

注意若是斜率式，則需考慮斜率是否存在

例、已知〃）為圓C：爐+y2一4%—14>+45=0上任意一點.

（1）求根+2〃的最大值；

（2）求y〃一3的最大值和最小值；

m+2

（3）求m2+“2的最大值和最小值.

變形1、如果實數x,y滿足（x_3）2+（y_3『=6,求:

（1））的最大值與最小值；

X

（2）%+y的最大值與最小值；

（3）d+y2的最大值和最小值.

變形2、已知實數X,y滿足方程（x-2）2+y2=3.

（1）求上的最大值和最小值；

X

（2）求丁一%的最大值和最小值；

（3）求X2+y2的最大值和最小值.

變形3、已知實數了、丁滿足/+丁+2%一4y+l=0.

（1）求上-的最大值和最小值；

x-4

（2）求Jx?+/-2%+1的最大值和最小值.

1.+（y-bp可以轉化為平面上加（尤,y）點與點N（a,3之間的距離.結合上述觀點，可得

/(尤)=J/+8x+20+J尤2+4x+20的最小值為()

A.曬B.2MC.731D.2+萬

2.已知實數工，丫滿足曲線C的方程尤2+V-2x-2=0,則下列選項錯誤的是（）

A.f+y2的最大值是4+26

B.’二匚的最大值是2+幾

c.|x-y+3|的最小值是20-力

D.過點（0,閭作曲線C的切線，貝徹線方程為x-0y+2=O

3.點（。,1）到直線區+>+左=0的最大距離為（）

A.2B.GC.72D.1

4.著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事體.”事實上，有很多代數問題可以轉化為

幾何問題加以解決，如：J（x-a>+（y-力2可以轉化為平面上點M（x,y）與點