第一章數與式

第02講整式與因式分解

口題型12判斷因式分解的正誤

模擬基礎練口題型13因式分解

□題型14因式分解的應用

口題型01實際問題中的代數式

口題型15判斷整式運算或因式分解的錯誤步驟

口題型02求代數式的值

口題型16圖形類規律探索

□題型03整式的相關概念

口題型17數字類規律探索

口題型04整式的加減

口題型18數式中的新定義問題

口題型05累的混合運算

口題型06整式的乘除重難創新練

□題型07利用乘法公式變形求解

口題型08乘法公式的應用

口題型09整式的化簡求值-直接代入法真題實戰練

口題型10整式的化簡求值-整體代入法

口題型11整式的混合運算

模擬基礎練

口題型01實際問題中的代數式

1.（2024?河南信陽?一模）某商場出售一件商品,在原標價基礎上實行以下四種調價方案，其中調價后售價

最低的是（）

A.先打九五折，再打九五折B.先提價10%,再打八折

C.先提價30%,再降價35%D.先打七五折，再提價10%

2.（2023?安徽池州?一模）某產品的成本價為a元，銷售價比成本價增加了14%,現因庫存積壓，按銷售價

的八折出售，那么該產品的實際售價為（）

A.（1+14%）（1+0.8）a元B.0.8（1+14%）a元

C.（1+14%）（1-0.8）a元D.（1+14%+0.8）a元

3.（2022?貴州貴陽?一模）貴陽市“一圈兩場三改“落地，幸福生活近在咫尺.周末，小高同學從家出發步行

15min到達附近學校的運動場鍛煉，較之前步行去城市運動中心少走了25min.已知小高同學步行的速度為

每分鐘am,貝臚一圈兩場三改”后，小高同學少走的路程是（）

A.amB.lOizmC.15amD.25am

4.（2024?安徽?模擬預測）公司有330臺機器需要一次性運送到某地，計劃租用甲、乙兩種貨車共8輛.已知

每輛甲種貨車一次最多運送機器45臺、租車費用為400元，每輛乙種貨車一次最多運送機器30臺、租車費用

為280元.

（1）設租用甲種貨車x輛（％為非負整數），試填寫下表.

表一：

租用甲種貨車的數量/輛37X

租用的甲種貨車最多運送機器的數量/臺135

租用的乙種貨車最多運送機器的數量/臺150

表二:

租用甲種貨車的數量/輛37X

租用甲種貨車的費用/元2800

租用乙種貨車的費用/元280

（2）給出能完成此項運送任務的最節省費用的租車方案，并說明理由.

口題型02求代數式的值

1.（2024.安徽?模擬預測）已知實數a,b,滿足a-b=6,ab=-8,貝必?。一ab?的值為.

2.（2024?江西?模擬預測）若（x+8）2+|y—7|=0,則代數式（久+、尸皿，的值是.

3.（2024?湖南岳陽?模擬預測）若a是16的算術平方根，而b的算術平方根是16,則a+6=

4.（2024?湖南?模擬預測）已知2——5x+1=0,則6久2―15久+7=.

5.（2024.北京.模擬預測）已知：2/一5x-11=0,求代數式（2x+1）。一4）一（2x-3尸的值.

□題型03整式的相關概念

1.（2024.內蒙古包頭.三模）若單項式-3/y的系數是TH,次數是幾，則nm的值為（）

A.9B.3C.-3D.-9

2.（2024.云南楚雄.一模）按一定規律排列的單項式：%3,-4送，9x7,—16/,……第”個單項式是（）

A.（―l）n-1n2x2n-1B.（-l）n+1n2x2n+1

C.（―l）n-1（n+l）2x2n-1D.（—l）n+1（n+l）2x2n+1

3.（2023?海南?模擬預測）多項式a?+4附2+1是（）

A.三次三項式B.二次三項式C.三次二項式D.二次二項式

4.（2024?江西九江?三模）若關于x,y的多項式久2—2/y+團y2的各項系數之和是5,貝心?”代表的數

是.

口題型04整式的加減

1.（2024?重慶渝北?模擬預測）如圖1,將邊長為他的正方形紙片剪去兩個小矩形，得到一個“2”的圖案,

如圖2所示，再將剪下的兩個小矩形拼成一個新的矩形，如圖3所示，則新矩形的周長可表示為（）

圖3

A.2m—4nB.2m—3nC.4m—8nD.4m—6n

2.（2024?河南周口?三模）如果單項式：2町^與［搟丫2的和仍為單項式，則（_元）帆=.

3.（2024?山東臨沂?模擬預測）在“點燃我的夢想，數學皆有可衡”數學創新設計活動中，“智多星”小強設計

了一個數學探究活動：對依次排列的兩個整式“z,〃按如下規律進行操作：

第1次操作后得到整式串m,n,n-m；

第2次操作后得到整式串m,n,n-m,-m；

第3次操作后…

其操作規則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動

命名為“回頭差”游戲.

則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是.

4.（2024.河北邢臺?模擬預測）在計算題：“已知，M=口，N=2x2-4x+3求2M-N”時，嘉琪把“2M-N”

看成-2N”，得到的計算結果是-/+4%-4.

（1）求整式M；

(2)若請比較2M與N的大小，并說明理由.

5.(2024.河北秦皇島.一模)已知整式(a?+ab)-ab-b2-5),其中“★”處的系數被墨水污染了.當a=3,

b=-2時，該整式的值為30.

(1)則★所表示的數字是多少？

(2)嘉淇說該代數式的值一定是正的，你認為嘉淇的說法對嗎？說明理由.

□題型05幕的混合運算

1.(2024.河北.模擬預測)下列運算中，與2a2b.(-26)2運算結果相同的是()

A.2b■(2abYB.-8a2+b3C.(-2a)2-b3D.-(2a2b)3

2.(2020?四川樂山?中考真題)已知37n=4,32m-4n=2.若9皿=久，貝h的值為()

A.8B.4C.2A/2D.V2

3.(2023?湖北襄陽?模擬預測)(a3)2+(a?a3)+a2=.

4.(2024?廣東江門?一模)計算：

(1)(72024+/)。-V18-cos45。+

(2)—(a2)2?a2-(―62)3+(2a3b3)2.

口題型06整式的乘除

1.(2024.陜西渭南?模擬預測)下列計算錯誤的是()

23232

A.2m(m+1)=2m+2mB.(—3mn)=9n16rl2

C.m2n—2mn2=—mnD.m6-r-m2=m4

2.(2024.河北.模擬預測)已知一臺計算機的運算速度為1.2X109次/秒，這臺計算機9X秒運算的次數

用科學記數法表示為()

A.10.8x1012B.1.08x1014C.1.08x1028D.1.08x1013

3.(2024?湖北武漢?模擬預測)若mX4%2y2-12%2y3—16%3y2,則7n=()

A.4%—3yB.-4x+3yC.4%+3yD.-4%—3y

4.(2023?陜西西安?二模)先化簡,再求值：[(%+2y)(x-2y)+(%+2y)2-2xy]+2%,其中久=5,y=-8.

5.(2024?河北?模擬預測)如圖1是一個長為相，寬為〃的矩形(機＞幾).用7張圖1中的小矩形紙片，按

圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內，未被覆蓋的部分用陰影表示.若大矩形的長是寬的1.

m

圖1圖2

⑴求團與幾的關系；

（2）若圖2中，大矩形的面積為18,求陰影部分的面積.

口題型07利用乘法公式變形求解

1.（2024.湖南婁底.模擬預測）已知a+6=7,ab=6,貝U（a—6/-6（6-a）+9=.

2.（2024?江蘇宿遷?模擬預測）若“尤2是方程/+2x-1010=0的兩個根，則好+好=.

3.（2024?浙江寧波?二模）已知a—6=b—c=—1,a2+b2+c2=y,貝!Jab+6c+ac=.

4.（2024.河南安陽?模擬預測）閱讀與思考：

若m+n=l,mn=—6,則由完全平方公式（a+b）?=a2+2ab+爐可得：m2+n2=（m+n）2—2mn—

1-2x（-6）=13.請根據你的理解完成下列計算：

已知工+工=3,-=2.求代數式之+3的值.

xyxy”

口題型08乘法公式的應用

1.（2024?廣西南寧?模擬預測）閱讀材料：

例：求代數式2/+4%-6的最小值.

解:2/+4乂-6=2（%+I）2—8.

可知：當％=-1時，2/+4%-6有最小值，最小值是一8.

根據上面的方法可求多項式a?+一4a+66+18的最小值是.

2.（2024?河北唐山.模擬預測）探究活動：

a一

圖①圖②

（1）如圖①，可以求出陰影部分的面積是—（寫成兩數平方差的形式）；

（2）如圖②，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是（寫成多項式乘法的形式）;

(3)比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式—.

知識運用：

(4)用合理的方法計算：7.52x1.6-2.52x1.6.

3.(2024?河北石家莊?二模)現有如圖1所示的甲、乙、丙三種卡片，卡片的邊長如圖所示(a>6).如圖2,

用1張甲、1張乙和2張丙卡片可以拼成一個邊長為(a+b)的正方形，用兩種方式表示該正方形面積可以得

到等式：Ca+b)2=a2+2ab+b2,也就驗證了完全平方公式.

【發現】

(1)如圖3,嘉淇用這三種卡片拼成一個長為2a+b,寬為a+2b的矩形，仿照例子寫出一個關于a,6的

等式；

(2)嘉淇還發現拼成矩形所需卡片的張數和整式的乘法計算結果中各項的系數有關.根據嘉淇的發現，若要

用這三種卡片拼成一個長為a+2b,寬為a+6的矩形，不畫圖形，試通過計算說明需要丙種卡片多少張？

【應用】

(3)現用甲種卡片1張，乙種卡片4張，丙種卡片小張為正整數)，拼成一個矩形，直接寫出m所有可

能的值.

4.(2023?山東青島?二模)"構造圖形解題”，它的應用十分廣泛，特別是有些技巧性很強的題目，如果不能

發現題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數方法去思考，經常讓我們手足無措，難以下手，這時，如

果能轉換思維，發現題目中隱含的幾何條件，通過構造適合的幾何圖形，將會得到事半功倍的效果，下面

介紹兩則實例：

實例一：勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之…，在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則

弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”(如實例圖一)，后人稱之為“趙

爽弦圖”，流傳至今.他利用直角邊為a和從斜邊為c的四個全等的直角三角形拼成如圖所示的圖形(如

實例圖一■),由S大正方形=4S直角三角形+S小正方形得C?=4x+(6—a)2,化簡得：a2+b2-c2.

ab.

實例圖一

實例二：歐幾里得的《幾何原本》記載,關于X的方程/+ax=爐的圖解法是：畫RtAABC,使N4C8=90°,

BC=梟AC=\b\,再在斜邊48上載取BD=BC=鼻,則4。的長就是該方程的一個正根(如實例圖二).

實例圖二

根據以上閱讀材料回答下面的問題：

(1)如圖1,請利用圖形中面積的等量關系，寫出甲圖要證明的數學公式是.乙圖要證明的數學公式是

(2)如圖2,利用歐幾里得的方法求方程/+4尤-4=0的一個正根.

(3)如圖3,已知O0,AB為直徑，點C為圓上一點，過點C作CD1AB于點D,連接CO,設D4=a,BD=b,

請利用圖3證明：^>4ab.

c

B

OD

圖3

□題型09整式的化簡求值-直接代入法

1.(2024?廣東汕頭?一模)已知+(2b-I)2=0,貝！12a+46-7的值為.

2.(2024?青海西寧■二模)先化簡，再求值：(x-2y(+2(%—y)(x+y)—3x(x—2y),其中x=2,y=-1.

3.(2024?吉林長春?三模)先化簡，再求值：[(久+2y)2-(x+2y)(x-2y)]+4y,其中x=1,y=與士

4.(2024.廣東東莞.一模)求代數式2(x-y)2+(-4爐)+6/y2)-2孫的值，其中歸一3|+Jx+y=0

□題型10整式的化簡求值-整體代入法

1.(2024?湖南長沙?模擬預測)已知a2+3ab=5,則(a+6)(a+2b)-2b2的值為.

2.(2023?江蘇鹽城?模擬預測)若匕+a=3,貝啊一6a+a?—/的值為

3.(2024?福建福州?模擬預測)若實數相滿足-I)2+(m-2)2=3,則(zn-l)(m-2)的值是

4.(2024?江蘇徐州?模擬預測)關于萬的一元二次方程a/+法一3=0的一個根是x=l,則代數式2027-

a-6的值為.

□題型11整式的混合運算

1.(2024?河北?模擬預測)下列運算正確的是()

A.(a+I)2=a2+1B.(a—l)2=a2—1

C.(a+1)+(a—1)=2aD.(a+1)(a-1)=2a—1

2.(2024?廣東廣州?二模)已知T=(2a+3b)(2a—3b)—a(3a—b)+9塊.

⑴化簡T;

(2)若a,b互為相反數，求T的值.

3.(2024.河北邯鄲?二模)數學課上，老師給出一個整式(a/+6x)—0+1)0—1)(其中a,6為常數，

且表示系數)，然后讓同學給a,6賦予不同的數值進行探究.

(1)甲同學給出一組數據，最后計算結果為(x+l)2,請分別求出甲同學給出的a,6的值；

(2)乙同學給出了a=5,b=-4,請按照乙同學給出的數值說明該整式的結果為非負數.

4.(2024?河北張家口?三模)如圖1,2,約定：上方相鄰兩代數式之和等于這兩代數式下方箭頭共同指向的

代數式.

圖1圖2

(1)求代數式

(2)嘉嘉說，無論x取什么值,M的值一定大于N的值，嘉嘉的說法是否正確？請通過計算說明.

口題型12判斷因式分解的正誤

1.(2024.安徽阜陽?模擬預測)下列因式分解正確的是()

A.x2+1=(x+I)2B.x2+2x—1=(x—I)2

C.2x2—2=2(x2—1)=2(x+l)(x—1)D.x2—x+2—x(x—1)+2

2.(2022.河北?一模)下列關于4a+2的敘述，錯誤的是()

A.4a+2的次數是1B.4a+2表示a的4倍與2的和

C.4a+2是多項式D.4a+2可因式分解為4(a+1)

3.(2024?河北秦皇島.一模)對于①2x-孫=久(2-y),②(x-3>=/_6x+9,從左到右的變形，表述

正確的是()

A.都是因式分解B.都是乘法運算

C.①是因式分解，②是乘法運算D.①是乘法運算，②是因式分解

4.(2023?河北石家莊?二模)數學學習中常見互逆運算，例如加法和減法互為逆運算，乘法和除法互為逆運

算，分解因式和整式乘法也是互逆運算.請回答下列問題：

(l)(T)(a+b)2=a2+2ab+b2,@a2+2ab+b2=(a+b)2,(3)x—3xy=x(l—3y),(4)(x+3)(x—l)—x2+2x—

3是因式分解的(在括號內寫序號)；

(2)小紅是一名密碼編譯愛好者，在她的密碼手冊中，有這樣一條信息：a—b,x-y,x2-y2,a2-

b2,x+y,a+b分別對應下列六個字：四、愛、學、中、我、十.現將(/-丫2)。2一(久2一因式分解，

結果呈現的密碼信息可能是哪四個字？

□題型13因式分解

1.(2024.湖北恩施?模擬預測)把a2人—2a+/分解因式正確的是()

A.h(a2—2ab+b2)B.a2b—b2C.b(a—Z))2D.(a+b)2

2.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)把多項式3a2b-12協+12b分解因式的結果是.

3.(2024.湖南長沙.模擬預測)已知(久+3)(%—2)+久(％—2)可因式分解成(a%+b)(2%+c),其中b,c

均為整數，求(a+b)，的值.

4.(2024?浙江寧波?模擬預測)用兩種不同的方法計算：(a+2)2-a(a+2).(方法一：運用完全平方公式

計算；方法二：運用因式分解計算，兩種方法都須做)

口題型14因式分解的應用

1.(2024.山西長治.模擬預測)在現今“互聯網+”的時代，密碼與我們的生活已經緊密相連，密不可分，而

諸如“123456”、生日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產生一組容易記憶的密碼就很有必要

T.有一種用“因式分解”法產生的密碼，方便記憶.原理是：如對于多項式a4-非因式分解的結果是

(a—b)(a+b)(a2+b2),若取a=8,b=8時，則各個因式的值是：a—b=0,a+b=16,a2+b2=128,

把這些值從小到大排列得到016128,于是就可以把“016128”作為一個六位數的密碼，對于多項式27a3-

3ab2,取a=4,6=1時，請你寫出用上述方法產生的密碼.

2.(2024.四川成都.模擬預測)定義：若4九3-371-2("正整數，且0<n<500)等于兩個連續正奇數的

乘積，則稱“為“彗星數”.則“彗星數””的最小值為,最大值為.

3.(2024?山西運城?模擬預測)已知a,b,c為△48C的三邊，且滿足a2c2—爐02=一試判定AABC的

形狀.

4.(2024?河北?模擬預測)有一列數：4,12,20,....這些正整數都能表示為兩個連續偶數的平方差，我

們把這樣的正整數稱為“好數如：

第1個數：4=22-02.

第2個數：12=42—22.

第3個數：20=62—42.

(1)設兩個連續偶數為2k和2k-2(其中左取大于1的整數)，由這兩個連續偶數構造的“好數”是4的倍數嗎？

請通過計算加以說明？

(2)2024是“好數”嗎？請通過計算判斷，如果是，它是第幾個“好數”；如果不是，寫出小于它的最大“好數”.

口題型15判斷整式運算或因式分解的錯誤步驟

1.(2024.江西南昌.模擬預測)下面是小華同學計算多項式乘以多項式的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

(1)計算：(2a-3b)(2Q+3b).

解：原式=(2a)2—(3b)2=4q2—9b2.

(2)計算：(2a-36)(a+3b).

解：原式=2a2—(3b)2=2a2—9b2.

任務一：在上述解題過程中，(1)中所利用的公式是乘法公式中的.(填“完全平方公式”或“平方差

公式”)

任務二：請判斷小華(2)的解答是否正確，若錯誤，請直接寫出(2)中計算的正確答案.

任務三：計算：(2a-3b)2.

2.(2024.河北滄州.模擬預測)已知多項式2=(a+2)2—a(4—6)—9

(1)在化簡多項式A時，小明同學的解題過程如下所示.

A—(a+2)2—a(4-b)-9.=a2+2a+4—4a+ab-9

①②③④

=a2—a+ab—S

在標出①②③④的幾項中出現錯誤的是；請你寫出正確的解答過程；

(2)淇淇說：“若給出a與b互為相反數，即可求出多項式A的值.”嘉嘉說：“若給出a與b互為倒數，即可

求出多項式A的值.”請你判斷哪個同學說得對，并按此同學賦予的條件求A的值.

3.(2022?山西大同?二模)(1)|一1|一(兀一2022)°+Q1-2tan45°

(2)下面是小明同學進行因式分解的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

因式分解：(3a+b)2-(a+36產

解：原式=(9a2+6ab+b2)—(a2+6ab+9b2)第一步

=8a2-8b2第二步

=8(a2—fa2)第三步

任務一：填空：①以上解題過程中，第一步進行整式乘法用到的是公式；

②第三步進行因式分解用到的方法是法.

任務二：同桌互查時，小明的同桌指出小明因式分解的結果是錯誤的，具體錯誤是.

任務三：小組交流的過程中，大家發現這個題可以先用公式法進行因式分解，再繼續完成，請你寫出正確

的解答過程.

4.(2023?浙江嘉興?一模)因式分解(3x+y)2-(x+3y)2.小禾通過代入特殊值檢驗的方法，發現左右兩

邊的值不相等.下面是他的解答和檢驗過程，請認真閱讀并完成相應的任務.

小禾的解法：小禾的檢驗：

(3%+—(x+3y產當％=0,y—1時，

=(3x+y+%+3y)(3x+y—x—3y)①(%+)一(%+3y78(%+y)(%+2y)

=(4%+4y)(2x+4y)②=12-328x1x2

=8(%+y)(%+2y)③=1-9=16

V-8W16

???分解因式錯誤

任務：

（1）小禾的解答是從第步開始出錯的，錯誤的原因是

（2）請嘗試寫出正確的因式分解過程.

口題型16圖形類規律探索

1.（2024.貴州貴陽.一模）如圖，三角數是能夠組成大大小小等邊三角形的點的數目，當*=1時，三角數

為1,當n=2時，三角數為3,則當n=10時，三角數為（）

?

???

??????

??????????

n=\n=2n=3〃=4

A.100B.110C.55D.50

2.（2024.黑龍江大慶.模擬預測）烷煌是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，如圖是這類物質前四種化

合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個氫原子，第2種如

圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規律，第10種化合物的分子結構模型中氫

原子的個數是.

,小內興蘆

①②③④

3.（2024山西?模擬預測）樟卯被稱為“巧奪天工”的中國古典智慧，是中國傳統木藝的靈魂.下圖結構為固

定禪槽的連接結構，彼此按照同樣的拼接方式緊密相連，當連接結構數分別有1個和2個時，總長度如圖

所示，則當有"個連接結構時，總長度為cm.

Sqm

8cm

4.（2024.安徽六安.模擬預測）如圖,圖案1中“☆”的個數為1x2,“★”的個數為詈，圖案2中“☆”的個數

為2x3,“★”的個數為誓，圖案3中“☆”的個數為3x4,“★”的個數為等；….

★

★★

★

★★★★★★

★★★★☆☆☆☆

★★☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

圖案1圖案2圖案3

(1)圖案5中“☆”的個數為二

(2)圖案“中，“★”的個數為二(用含w的式子表示)

(3)根據圖案中“☆”和“★”的排列方式及規律，若圖案〃中“★”的個數是“☆”的個數的|,求力的值.

口題型17數字類規律探索

L(2024.湖南.模擬預測)有一組數,按以下規律排列：4,1,號，桂-親?…則這組數的第n個

數為.

2.(2024.山西?模擬預測)在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就

4.(2024.安徽.模擬預測)【觀察?發現】給出一些按一定規律排列的等式:

第1個等式：4x1x2+1=(2xl+l)2；

第2個等式：4x2x3+l=(2x2+l)2；

第3個等式：4x3x4+l=(2X3+1)2；

【歸納?證明】根據上述等式的規律，解答下列問題：

⑴寫出第5個等式：；

(2)試猜想第"個等式，并證明.(用含"的式子表示，”為正整數)

口題型18數式中的新定義問題

1.(2024?陜西漢中?二模)對于任意的實數a、b,定義運算a回6=a(b+1),當x為實數時，Q+1)回Q—3)

的化簡結果為()

A.x2—x—2B.%2—2%—3C.%2+%+2D.x2+2%+3

2.(2024.河北保定.一模)定義一種新運算，規定尸(a,b)=ab,例尸(1,2)=1x2=2.

(1)已知2=F(x+2y,x—2y),B=F(4y,x—2y),分別求A,B；

⑵通過計算比較A與B的大小.

3.(2024.陜西西安.模擬預測)【定義新知】

如果a,b,c是整數，且a。=b,那么我們規定一種記號(a,b)=c,例如4?=16,那么記作(4,16)=2.

【嘗試應用】

(1)(2,8)=；

【拓展提升】

(2)若k、m、ri、p均為整數，且(k,9)=zn,(k,27)=n,(k,243)=p,求證：m+n—p.

4.(2024?浙江?模擬預測)對于實數a,6,定義新運算“十”，規定如下：a十6=(a+6-1尸—2a6

如1十2=(1+2-一2(1X2)=0

(1)求3?5的值；

(2)若》為某一個實數，記x十3的值為小，1十(2-久)的值為n,請你判斷zn-n的值是否與x的取值有關?

并給出證明.

重難創新練

1.(2023?四川德陽?中考真題)在“點燃我的夢想，數學皆有可衡”數學創新設計活動中，“智多星”小強設計

了一個數學探究活動：對依次排列的兩個整式相，“按如下規律進行操作：

第1次操作后得到整式中優，"，n—m；

第2次操作后得到整式中加，w,n-m,-m；

第3次操作后…

其操作規則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動

命名為“回頭差”游戲.

則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是()

A.m+nB.mC.n—mD.2n

2.(2024?重慶?中考真題)一個各數位均不為。的四位自然數”=誣而，若滿足a+d=b+c=9,則稱這

個四位數為“友誼數”.例如：四位數1278,+8=2+7=9,1278是“友誼數”.若abed是一個“友誼

數”，且b-a=c-b=1,則這個數為；若M=■是一個“友誼數”，設尸(M)=小且弛喑t電是

整數，則滿足條件的M的最大值是.

3.（2024?江蘇鹽城?中考真題）發現問題

小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？

圖1

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成

點，每個點表示不同的籽.該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有〃個籽，每列有左個籽，行

上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（小左均為正整數，n>k>3,d>0）,如圖1所示.

小明設計了如下三種鏟籽方案.

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為,共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長

為;

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價.

專三三［牛1牛…

圖1圖2圖3

4.（2024?安徽.中考真題）數學興趣小組開展探究活動，研究了“正整數N能否表示為/-f（x,y均為自

然數）”的問題.

（1）指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下5為正整數）：

N奇數4的倍數

表示結果1=I2-024=22-02

3=22-l28=32-l2

5=32-2212=42-22

7=42-3216=52-32

9=52—4220=62-42

一般結論2n—1=n2—(n—l)24n=______

按上表規律，完成下列問題：

(0)24=()2—()2；

(0)4n=；

(2)興趣小組還猜測：像2,6,10,14,…這些形如4n-2(n為正整數)的正整數N不能表示為久2一y2(x,y

均為自然數).師生一起研討，分析過程如下：

假設4n—2=/—V，其中刈y均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若Y，y均為偶數，設x=2k,y=2m,其中k,m均為自然數，

則/—y2=(2k)2—(2m)2=4(fc2—Hi?)為4的倍數.

而4n-2不是4的倍數，矛盾.故久，y不可能均為偶數.

②若x,y均為奇數，設x=2k+l,y=2m+1,其中k,zn均為自然數，

則/—y2=Qk+I)2—(2m+l)2=為4的倍數.

而4九-2不是4的倍數，矛盾.故久，y不可能均為奇數.

③若久，y一個是奇數一個是偶數，則/-y2為奇數.

而4n-2是偶數，矛盾.故x,y不可能一個是奇數一個是偶數.

由①②③可知，猜測正確.

閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容.

5.(2023?湖南張家界?中考真題)閱讀下面材料：

將邊長分別為a,a+Vb,a+2迎，a+3歷的正方形面積分別記為S「S2>S3,S4.

則52—S]=(a+—a?

=[(a+Vh)+a]>[(a+Vh)-a]

=（2a+Vb）-y[b

=b+2a4b

例如：當a=1,6=3時，S2-Si=3+2V3

根據以上材料解答下列問題：

（1）當a=1,6=3時，S3-S2=,S4-S3=；

（2）當a=l,6=3時，把邊長為a+nVF的正方形面積記作又+「其中〃是正整數，從（1）中的計算結果，

你能猜出土+i-S"等于多少嗎？并證明你的猜想；

（3）當a=1,b=3時，令I[=52—S]，I2=S3—S2,5=S4—S3,…，7=Sn+i—Sn,且T=t1+打+5+

…+t50,求T的值.

真題實戰練

一、單選題

1.（2024.江蘇徐州.中考真題）下列運算正確的是（）

A.%3+X3=X6B./.%9=%27c.（x2）3=x5D.X34-X=%2

2.（2023?江蘇南通中考真題）若小一4a—12=0,則2a2一8a—8的值為（）

A.24B.20C.18D.16

3.（2024.海南.中考真題）下列計算中，正確的是（）

A.a84-a4=a2B.（3a）2=6a2C.（a2）3=a6D.3a+2b=Sab

4.（2024?四川巴中?中考真題）下列運算正確的是（）

A.3a+b=3abB.a3-a2=a5

C.a8-ra2=a4(aW0)D.(a—b)2=a2—b2

5.（2023?吉林?中考真題）下列各式運算結果為不的是（）

A.(a2)3B.a2+a3C.a2?a3D.a10+a2

6.（2024?云南?中考真題）分解因式：a3—9a=（）

A.a(a—3)(a+3)B.a(a2+9)C.(a—3)(a+3)D.a2(a—9)

7.（2023?湖北宜昌?中考真題）在日歷上，某些數滿足一定的規律.如圖是某年8月份的日歷，任意選擇其

中所示的含4個數字的方框部分，設右上角的數字為〃，則下列敘述中正確的是（）.

日一二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A.左上角的數字為a+1B.左下角的數字為a+7

C.右下角的數字為a+8D.方框中4個位置的數相加，結果是4的倍數

8.（2024?江蘇徐州?中考真題）觀察下列各數：3、8、18、38、…，按此規律，第5?7個數可能為（）

A.48、58、68B.58、78、98C.76、156、316D.78、158、318

9.（2024.云南?中考真題）按一定規律排列的代數式：2x,3/,4%3,5%4,6%5,--第九個代數式是（）

A.2xnB.（n—l）xnC.nxn+1D.（n+l）xn

10.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則。G=（）

125^51256432V3

A.----B.C.-L）.---

64642727

二、填空題

11.（2023?四川樂山?中考真題）若相、"滿足3zn—n—4=0,則8m+2皿=.

12.（2024?黑龍江大慶?中考真題）已知。+工=4，則的值是

aaz

13.（2024?北京?中考真題）分解因式：x3-25%=.

14.（2023?江蘇蘇州?中考真題）已知一次函數y=kx+b的圖象經過點（1,3）和（一1,2）,則/-

b2=.

15.（2024?四川德陽?中考真題）數學活動課上，甲組同學給乙組同學出示了一個探究問題：把數字1至8

分別填入如圖的八個圓圈內，使得任意兩個有線段相連的圓圈內的數字之差的絕對值不等于1.經過探究后,

乙組的小高同學填出了圖中兩個中心圓圈的數字a、b,你認為a可以是（填上一個數字即可）.

三、解答題

16.(2024.內蒙古通遼?中考真題)先化簡，再求值：(2a+b)(2a—b)-(a+b)(4a-b),其中a=-y[2,b=2.

17.(2023?浙江嘉興?中考真題)觀察下面的等式：32-I2=8X1,52-32=8X2,72-52=8x3,92-72=

8x4,???

⑴寫出192—172的結果.

(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論(用含"的等式表示，”為正整數)

(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的.

18.(2024?內蒙古.中考真題)某研究人員對分別種植在兩塊試驗田中的“豐收1號”和“豐收2號”兩種小麥進

行研究，兩塊試驗田共產糧1000kg,種植“豐收1號”小麥的試驗田產糧量比種植“豐收2號”小麥的試驗田

產糧量的1.2倍少100kg,其中“豐收1號”小麥種植在邊長為am(a>1)的正方形去掉一個邊長為1m的正方

形蓄水池后余下的試驗田中，“豐收2號”小麥種植在邊長為(a-l)m的正方形試驗田中.

(1)請分別求出種植“豐收1號”小麥和“豐收2號”小麥兩塊試驗田的產糧量；

(2)哪種小麥的單位面積產量高？高的單位面積產量是低的單位面積產量的多少倍？

19.(2023?河北?中考真題)現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示(a>1).某同

學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3,其面積分別為Si.S2.

乙乙乙乙乙丙

(1)請用含。的式子分別表示Si，52；當a=2時，求S1+S2的值；

(2)比較Si與S2的大小，并說明理由.

20.(2023?山東青島?中考真題)如圖①，正方形A8CD的面積為1.

(1)如圖②，延長到使=延長BC到Bi，使B】C=CB,則四邊形的面積為一

(2)如圖③，延長48到4，^A2B=2BA,延長BC到&,使82c=2C8,則四邊形力4外。的面積為

⑶延長4B到使4通=讓4延長BC到%，使%C=nCB,則四邊形A4rBM的面積為

第一章數與式

第02講整式與因式分解

口題型03整式的相關概念

模擬基礎練1口題型04整式的加減

口題型05幕的混合運算

口題型01實際問題中的代數式

口題型06整式的乘除

□題型02求代數式的值

口題型07利用乘法公式變形求解口題型16圖形類規律探索

口題型08乘法公式的應用□題型17數字類規律探索

口題型09整式的化簡求值-直接代入法□題型18數式中的新定義問題

口題型10整式的化簡求值-整體代入法

口題型11整式的混合運算重難創新練

口題型12判斷因式分解的正誤

□題型13因式分解

真題實戰練

口題型14因式分解的應用

口題型15判斷整式運算或因式分解的錯誤步驟

模擬基礎練?

□題型01實際問題中的代數式

1.(2024?河南信陽?一模)某商場出售一件商品，在原標價基礎上實行以下四種調價方案，其中調價后售價

最低的是()

A.先打九五折，再打九五折B.先提價10%,再打八折

C.先提價30%,再降價35%D.先打七五折，再提價10%

【答案】D

【分析】本題考查了代數式，打折，有理數大小比較，準確列出符合題意的代數式，設原件為x元，根據調

價方案逐一計算后，比較大小判斷即可.

【詳解】解：設原件為x元，

選項A：：先打九五折，再打九五折，

二調價后的價格為0.95xX0.95=0.9025%%,

選項B：:先提價10%,再打八折，

二調價后的價格為(1+10%)xX0.8=l.lxX0.8=0.88x元，

選項C：：先提價30%,再降價35%,

.,.調價后的價格為=(1+30%)xx(1-35%)=1.3%x0.65=0.845x元，

選項D：：先打七五折，再提價10%,

.?.調價后的價格為0.75%X(1+10%)=0.75%X1.1=0.825萬元,

V0.825%<0.845%<0.88%<0.9025%

故選：D

2.(2023?安徽池州?一模)某產品的成本價為a元，銷售價比成本價增加了14%,現因庫存積壓，按銷售價

的八折出售，那么該產品的實際售價為()

A.(l+14%)(l+0.8)a元