專題32與圓有關的位置關系【十六大題型】

>題型梳理1

【題型1點和圓的位置關系】...................................................................2

【題型2直線與圓的位置關系】.................................................................3

【題型3求平移到與直線相切時圓心坐標或運動距離】...........................................4

【題型4根據直線與圓的位置關系求交點個數】..................................................5

【題型5判斷或補全使直線成為切線的條件】....................................................6

【題型6利用切線的性質求值】.................................................................8

【題型7證明某條直線是圓的切線】............................................................9

【題型8利用切線的性質定理證明］...........................................................11

【題型9切線的性質與判定的綜合運用】.......................................................12

【題型10作圓的切線】........................................................................14

【題型11應用切線長定理求解或證明】.........................................................15

【題型12由外心的位置判斷三角形形狀】.......................................................17

【題型13求三角形外接圓的半徑、外心坐標】...................................................17

【題型14由三角形的內切圓求值】..............................................................19

【題型15與三角形內心有關的應用】...........................................................20

【題型16三角形外接圓與內切圓綜合】.........................................................22

，舉一反三

【知識點與圓有關的位置關系】

1.點和圓的位置關系

設。。的半徑為r,點P到圓心的距離為。P=d,則有：

點P在圓外U>d>r；

點P在圓上=d=r；

點P在圓內=d<r□

性質：不在同一條直線上的三個點確定一個圓。

定義：經過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三

條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

2.直線和圓的位置關系

直線和圓有兩個公共點時，我們說這條直線和圓相交。這條直線叫做圓的割線。

直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線和圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。

直線和圓沒有公共點時，我們說這條直線和圓相離。

設。。的半徑為r,圓心。到直線/的距離d,則有：

直線/和。。相交U>d<r；

直線/和。。相切。d=r；

直線/和。。相離o

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。

經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長。

切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的

夾角。

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形

的內心。

【題型1點和圓的位置關系】

【例1】（2023?上海閔行?校聯考模擬預測）矩形4BCD中，4B=8,8。=3而，點「在邊包上，且

BP=3AP,如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點B,C均在圓P外B.點B在圓P外，點C在圓P內

C.點B在圓P內，點C在圓P外D.點B,C均在圓P內

【變式1-1]（2023?四川涼山?統考模擬預測）在Rt△力BC中，ZC=9O°,BC=3,4C=4,。為4B的中

點.以/為圓心，廠為半徑作O/,若3、C、。三點中只有一點在。4內，則04的半徑r的取值范圍是

（）

A.2.5<r<4B.2.5<r<4C.2.5<r<4D.2.5<r<4

【變式1-2]（2023?四川成都?統考二模）已知P是。。內一點（點P不與圓心。重合），點P到圓上各點的距

離中，最小距離與最大距離是關于x的一元二次方程aN—125-20=0的兩個實數根，則。。的直徑

為.

【變式1-3]（2023?江蘇揚州?統考一模）如圖，矩形/BCD中，AB=3,BC=4,點尸是平面內一點，以

P、B、C為頂點的三角形是等腰三角形，則尸。的最小值為（）

47

A.-B.1C.~D.2.5

【題型2直線與圓的位置關系】

【例2】（2023?河北秦皇島?模擬預測）如圖,已知乙4cB=30。,CM=2,AM=5,以M為圓心，r為半徑

作OM,OM與線段4C有交點時，則r的取值范圍是.

【變式2-1］（2023?上海青浦?統考二模）如圖，在直角梯形ABC。中，AD\\BC,^A=90°,￡是4。上一定點,

AB=3,BC=6,AD=8,AE=2.點尸是3c上一個動點，以尸為圓心，PC為半徑作。尸.若OP與以E為圓

心，1為半徑的OE有公共點，且。尸與線段4D只有一個交點，則尸C長度的取值范圍是.

【變式2-2］（2023?河北秦皇島?統考模擬預測）如圖，線段8c=16cm,過點2在線段BC的上方作射線

BA,且tanNHBC=/動點。從點8出發，沿射線84以lcm/s的速度運動，同時動點0從點C出發，沿線

段CB以2cm/s的速度向點8運動，當點。到達點8時，點O,。都停止運動.以點。為圓心，OB長為半

徑的半圓與線段BC交于點。，與射線B4交于點P.連接PQ,設運動時間為t秒（t>0）

備用圖

(1)求BD的長(用含f的式子表示)

(2)當/為何值時，線段PQ與半圓。相切？

(3)若半圓O與線段PQ只有一個公共點，直接寫出t的取值范圍.

【變式2-3](2023?福建廈門?統考模擬預測)己知矩形力BCD,AD>AB

圖1圖2

(1)如圖1,若點、B,。在以。為圓心，。4為半徑的圓上，AB=OB,求證：AD=2AB；

(2)如圖2,點￡,尸分別在AD,BC邊上，若點。，點C關于直線EF對稱的點分別為點8和點尸，判斷直線

DP與過4E,尸三點的圓的位置關系，并說明理由

【題型3求平移到與相切時圓心坐標或運動距離】

【例3】(2023?河南南陽?統考一模)如圖，直線y=—3交x軸于點/,交y軸于點3,點尸是x軸上一

動點，以點尸為圓心，以1個單位長度為半徑作OP,當OP與直線相切時，點P的坐標是()

B.(-(,0)或(一耳,0)

C（4，。）D.一,，0)或(一0，。)

【變式3-1](2023?吉林松原?校聯考二模)如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的OP的圓心尸的坐標

為(-3,0),將OP沿x軸正方向平移，使OP與了軸相交，則平移的距離d的取值范圍是

【變式3?2】（2023?四川涼山?統考模擬預測）如圖，在半徑為5c機的。。中，直線/交。。于/、5兩點,

A.\cmB.2cmC.3cmD.4cm

【變式3-3］（2023?北京?統考二模）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為2.對于直線/和線段BC,給

出如下定義：若將線段BC關于直線/對稱，可以得到。。的弦夕。（夕，。分別是8,C的對應點），則稱線

段BC是以直線/為軸的。。的“關聯線段”.例如，圖1中線段BC是以直線/為軸的。。的“關聯線段”.

（1）如圖2,點Bi，的，B2,C2,B3,C3的橫、縱坐標都是整數.

①在線段B1J,B2c2,83c3中，以直線小y=x+4為軸的。。的“關聯線段”是「

②在線段當的，B2c2,B3c3中，存在以直線％：y=—x+b為軸的。。的“關聯線段”，求b的值；

（2）已知直線如y=-8乂+巾（＞1〉0）交x軸于點/.在△ABC中，AB=6,BC=2,若線段BC是以直線匕

為軸的。。的“關聯線段”，直接寫出m的最大值與最小值，以及相應的力C的長.

【題型4根據直線與圓的位置關系求交點個數】

【例4】（2023?河北滄州??？既＃╊}目：“如圖，在中，=90。，48=3,AC=S,以點B為

圓心的OB的半徑為r,若對于r的一個值，OB與AC只有一個交點，求r的取值范圍.”對于其答案，甲答:

12

r=4.乙答：3<r<4.丙答：r=y.則正確的是（）

A.只有乙答的對B.甲、乙的答案合在一起才完整

C.乙、丙的答案合在一起才完整D.三人的答案合在一起才完整

【變式4-1]（2023?湖南?中考真題）已知的直徑等于12cm,圓心。到直線/的距離為5cm,則直線/

與的交點個數為（）

A.0B.1C.2D.無法確定

【變式4-2]（2023?江蘇鹽城?統考模擬預測）在矩形4BCD中，AB=8,BC=6.點。為對角線AC上一點（不

與4重合）,OO是以點。為圓心，4。為半徑的圓.當。0與矩形各邊的交點個數為5個時，半徑。4的范圍

是.

【變式4-3]（2023?四川樂山?統考中考真題）如圖，已知。4=6,0B=8,BC=2,OP與0B、4B均相

【題型5判斷或補全使直線成為切線的條件】

【例5】（2023?廣東揭陽?統考一模）如圖，AB是。。的直徑，BC交于點D,DE1AC于點E,下列說法

不正確的是（）

A.若DE=DO,則DE是O。的切線B.若AB=AC,則DE是。。的切線

C.若CD=DB,貝IDE是。。的切線D.若。E是。。的切線，則A8=4C

【變式5-1]（2023?天津西青?模擬預測）如圖所示，在平面直角坐標系X。中，半徑為2的OP的圓心P

的坐標為（-3,0）,將。尸沿x軸正方向平移，使。尸與y軸相切，則平移的距離為.

【變式5-2]（2023?吉林?一模）已知△ABC內接于。0,過點4作直線EF.

（1）如圖1所示，若為。。的直徑，要使EF成為。。的切線，還需要添加的一個條件是

（2）如圖2所示，如果4B是不過圓心。的弦，且NC4E=N8,那么EF是。。的切線嗎？試證明你的判斷.

圖1圖2

【變式5-3]（2023?貴州?中考真題）如圖，AB是OO的直徑，BC交OO于點D,DELAC于點E,要使

DE是。0的切線，還需補充一個條件，則補充的條件不正確的是（）

D

A.DE=DOB.AB=AC

C.CD=DBD.ACIIOD

【題型6利用切線的性質求值】

【例6】（2023?安徽?校聯考模擬預測）如圖，已知4B是。。的直徑，BC與。。相切于點若

△ABCsACBO,貝i]sinN4CB=

【變式6-1］（2023?海南三亞?統考二模）如圖，P4與O。相切于點4P。與。。相交于點B,點C是O。

上一點，若N2CB=32。，則NP的度數為.

【變式6-2］（2023?安徽?模擬預測）如圖，E是。。的直徑28延長線上一點，過點E作。。的切線EC,C為

切點，。是。。上一點（在直徑2B的下方）.若N4EC=50。，貝此4DC的度數為.

D

【變式6-3](2023?廣東汕頭?汕頭市第六中學校考一模)如圖，△ABC內接于。0.4B是直徑，過點力作

直線MN,且MN是。。的切線.

(1)求證：ZMXC=^ABC.

(2)設。是弧4C的中點，連接BD交4C于點G,過點。作DE1于點E,交AC于點F.

①求證：FD=FG.

②若BC=3,AB=5,試求4E的長.

【題型7證明某條直線是圓的切線】

【例7】(2023?江蘇連云港?模擬預測)如圖，直線PA交。。于/、8兩點，4E是。。的直徑，點C為。。

上一點，且4C平分NP2E,過C作CD1P4垂足為D

⑴求證：CD為。。的切線；

(2)若4C=5ZE=30°,求CD的長.

【變式7-1](2023?江蘇淮安??？寄M預測)如圖，已知直線/與。。相離，于點/,交。。于點

尸，點B是。。上一點，連接BP并延長，交直線/于點C,使得=

(1)判斷直線48與O。的位置關系并說明理由；

(2)PC=2V6,04=4,求線段PB的長.

【變式7-2](2023?廣東肇慶?統考三模)如圖，力B是。。的直徑，C,。是。。上的兩點，且BC=DC,BD

交力C于點E,點尸在47的延長線上，BE=BF.

■3

(2)若EF=6,cosNABC=于

①求BF的長；

②求。。的半徑.

【變式7-3](2023?廣東茂名?統考三模)如圖，4B是。。的直徑，點E是劣弧BD上一點，^PAD=^AED,

且DE=V2,4E平分NB4D,4E與BD交于點F.

⑴求證：P力是。。的切線；

⑵若tan/ZME=乎，求EF的長;

(3)延長。E,48交于點C,若0B=BC,求。。的半徑.

【題型8利用切線的性質定理證明】

【例8】（2023?廣東江門?統考一模）如圖1,已知力B是O。的直徑，AB=2,C為圓上任意一點，過點C

作圓的切線，分別與過48兩點的切線交于尸，0兩點.

⑴求CP?CQ的值；

（2）如圖2,連接PB,4Q交于點證明直線MCI4B.

【變式8-1］（2023?內蒙古包頭?統考一模）如圖，P4PB是。。的兩條切線，4B是切點，連接4。并延長,

與PB的延長線相交于點C,連接PO,交。。于點。，連接DB.

（1）求證：N4P0=NBP0；（用兩種證法解答）

⑵若DP=DB,試探究PB與PD之間的數量關系，寫出并證明你的結論.

【變式8-2］（2023?四川?校聯考模擬預測）如圖，圓。中內接△ABC,過點/作圓。的切線/,作直線CD

使得乙=并交48于￡.

(1)證明：CD||I；

(2)若CE=CA=2EA=2,求ED的值；

(3)證明：BC2-ED=CE-BE-BA.

【變式8-3](2023?河南許昌?統考二模)《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學著作，書

中以23個定義、5個公設和5個公理作為基本出發點，給出了119個定義和465個命題.其中，命題4.2

的內容是：給定一個三角形，可作圓內接相似三角形.

小冉想嘗試對這個命題進行證明，于是根據書中命題的內容及圖形的畫法寫出了已知和求證:

HG是。。的切線，。為切點，乙EDH=^B,乙FDG=AC.

求證：ADEF-AACB.

小冉在圖2的基礎上，添加了輔助線；如圖3,連接并延長D。，交。。于點P,連接PE,PF.

(1)請在小冉所添輔助線的基礎上，求證：&DEF?4ACB；

(2)若AB=4C=5,BC=8,EF=16,求。。的半徑.

【題型9切線的性質與判定的綜合運用】

【例9】(2023?廣東肇慶?統考二模)如圖，矩形48CD中，AB^13,4D=6.點E是CD上的動點，以4E為

直徑的。。與4B交于點F,過點F作FG1BE于點G.

(1)當E是CD的中點時：tanN瓦4B的值為

(2)在(1)的條件下，證明：FG是。。的切線;

(3)試探究：BE能否與。。相切？若能，求出此時BE的長；若不能，請說明理由.

【變式9-1](2023?山西太原?太原五中?？家荒?我們學習過利用尺規作圖平分一個任意角，而“利用尺規

作圖三等分一個任意角”曾是數學史上一大難題，之后被數學家證明是不可能完成的.人們根據實際需要,

發明了一種簡易操作工具-三分角器.圖1是它的示意圖，其中48與半圓O的直徑BC在同一直線上，且A8

的長度與半圓的半徑相等，DB與4C垂直與點比DB足夠長.

使用方法如圖2所示，若要把NMEN三等分，只需適當放置三分角器，使DB經過NMEN的頂點E,點/落

在邊EM上，半圓。與另一邊EN恰好相切，則EB,E。就把NMEN三等分了.

為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明.如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫

出“證明”過程.

已知：如圖2,點/,B,O,C在同一直線上，EBLAC,垂足為點8,.

求證：.

【變式9-2](2023?山東?統考中考真題)如圖，已知力B是。。的直徑，CD=CB,BE切。。于點B,過點C

作CFLOE交BE于點F,若EF=2BF.

(1)如圖1,連接BD,求證：AADBmAOBE；

(2)如圖2,N是力。上一點，在AB上取一點M,使NMCN=60。，連接MN.請問：三條線段MN,BM,DN有

怎樣的數量關系？并證明你的結論.

【變式9-3](2023?浙江杭州??？级?知：如圖1,4B是。。的弦，點C是。。的半徑。B的延長線上一

點，將AA8C翻折得至40交半徑OB于點。.

圖1圖2圖3

(1)求證：BCIIOA.

(2)若力C與。。相切.

①如圖2,點C，落在。。上，求sinC的值.

②如圖3,若。4=10,AB=12,求的面積.

【題型10作圓的切線】

【例10】(2023?江蘇南京?一模)過。。上一點/,可以用尺規按以下方法作出。。的切線;

①另取。。上一點3,以2為圓心，48為半徑作圓，將OB與。。的另一個交點記為點C；

②以/為圓心，4C為半徑作弧，將04與08的另一個交點記為點。，作直線2D.

直線力。即為。。的切線.

如圖，小明已經完成了作圖步驟①.

(1)用尺規完成作圖步驟②；

(2)連接AC,AB,BC,BD,求證：平分NG4D；

(3)求證：直線為。。的切線.

【變式10-1】(2023?福建福州?統考三模)如圖，已知。O及圓外一點P,請你利用尺規作。的切線

PA.(不寫作法，保留作圖痕跡)

【變式10-2】(2023?湖北?校聯考三模)如圖，在RtZXABC中，乙4=90。，BD平分N4BC交C4于。點，。

是8c上一點，經過8、。兩點的O。分別交BC、84于點￡、F.

(1)用尺規補全圖形(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)求證：CA與。。相切：

(3)當8。=2四，乙48。=30。時，求劣弧8。的長.

【變式10-3](2023?山東?統考中考真題)如圖，NBPD=120。，點4、C分別在射線PB、PD上,

NP4C=30°,AC=2V3.

(1)用尺規在圖中作一段劣弧，使得它在爾C兩點分別與射線PB和PD相切.要求：寫出作法，并保留作

圖痕跡；

(2)根據(1)的作法，結合已有條件，請寫出已知和求證，并證明；

(3)求所得的劣弧與線段P4PC圍成的封閉圖形的面積.

【題型11應用切線長定理求解或證明】

【例11】(2023?河北邯鄲??？既?如圖，在四邊形/BCD中，乙4=48=90。，4D=4,BC=1Q,sinC=

土以為直徑作OO,把。。沿水平方向平移x個單位，得到。。，，4夕為直徑平移后的對應線段.

(1)當x=0,且河為OO上一點時，求DM■的最大值；

(2)當夕與C重合時，設O。與CD相交于點N,求點N到48的距離;

(3)當與CD相切時，直接寫出x的值.

【變式11-1】(2023?山東威海?統考一模)如圖，。。的直徑4B=12,AM,2N是。。的兩條切線，DC切

O。于E,交BN于C,設久，BC=y.

(1)求證：AB2=4DE-CE；

(2)求〉與x的函數關系式；

(3)若x,y是方程2/-30x+a=0的兩個根，求△OCD的面積.

【變式11-2】(2023?北京石景山?統考二模)如圖，4D是。。的直徑，P是。。外一點，連接P。交。。于

點C,PB,PD分別切。。于點B,D,連接4B,AC.

⑴求證：AB//OP-

(2)連接P4若24=2魚，tanz_B力。=2,求PC長.

【變式11-3】(2023?廣東中山?統考三模)如圖，已知48是O。的直徑，AB=2,C為圓上任意一點，過點

C作圓的切線，分別與過4B兩點的切線交于P,Q兩點.

(1)求CP-“的值;

（2）如圖，連接PB,4Q交于點M,證明直線MCIAB.

【題型12由外心的位置判斷三角形形狀】

【例12】（2023?江蘇無錫?模擬預測）下列說法：（1）三個點確定一個圓；（2）相等的圓心角所對的弦相

等；（3）同弧或等弧所對的圓周角相等；（4）三角形的外心到三角形三條邊的距離相等；（5）外心在三

角形的一邊上的三角形是直角三角形；其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式12-1】（2023?浙江溫州?模擬預測）如果三角形的外心在三角形的外部，那么這個三角形一定是

（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

【變式12-2】（2023?河北滄州?模擬預測）當一個三角形的內心與外心重合時，這個三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【變式12-3］（2023?廣西玉林?統考中考真題）如圖，在5X7網格中，各小正方形邊長均為1,點。，A,

B,C,D,E均在格點上，點。是△48C的外心，在不添加其他字母的情況下，則除aaBC外把你認為外

心也是。的三角形都寫出來.

【題型13求三角形外接圓的半徑、外心坐標】

【例13】（2023?湖北武漢??？寄M預測）如圖，△力8c中，=O。是△力8c的外接圓，B。的延

長線交邊AC于點D.

A

(1)求證：ABAC=2^ABD,

(2)若4D:DC=2:3,BC=2V7時，求。。的半徑.

【變式13-1](2023?江蘇南京?統考一模)如圖，△ABC內接于。0,zBAC=45°,AD1BC,垂足為D,

BD=6,DC=4.

(1)求OO的半徑；

(2)求AD的長.

【變式13-2】(2023?浙江溫州??？家荒?如圖，在平面直角坐標系中，點4(一1,1)

(1)利用網格確定△ABC的外接圓的圓心坐標為；

(2)作出△ABC的外接圓；

(3)利用直尺作出乙4cB的角平分線.

【變式13-3】(2023?山東濟寧??？级?如圖，在平面直角坐標系中，△28C三個頂點的坐標分別為2(-2,1)

,B(-l,4),C(-3,2)

(1)以原點。為位似中心，位似比為2:1,在y軸的左側畫出△ABC放大后的△&B1Q；

(2)在(1)中，若點M(nvi)為線段BC上任一點，寫出變化后點M的對應點眩的坐標.

(3)直接寫出△&BiCi外接圓的圓心。坐標.

【題型14由三角形的內切圓求值】

【例14](2023?黑龍江雞西?校考三模)如圖，在直角坐標系中，一直線/經過點與X軸、y軸分

別交于4、B兩點，且M4=MB,若。。1是△48。的內切圓，。。2與。。1、I、y軸分別相切，。。3與

。。2、I、y軸分別相切，……按此規律，則。。2023的半徑72023=.

【變式14-1](2023?福建泉州?模擬預測)作圖題：如圖,在矩形4BCD中，已知4D=10,AB=6,

⑴用直尺和圓規在4。上找一點￡,使EC平分NBED,(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)求△CDE內切圓半徑r的值.

【變式14-2】(2023?山東淄博?統考一模)如圖，在Rt/ABC中，乙4=90。，點D,E分別在AC,BC上，且

CDBC=AC-CE,以E為圓心，DE長為半徑作圓，OE經過點B,與AB,BC分別交于點F,G.

D

（1）求證：AC是OE的切線；

（2）若4F=4,CG=5,求OE的半徑；

（3）在（2）的條件下，若RtzMBC的內切圓圓心為/,直接寫出/E的長.

【變式14-3】（2014?江蘇南京?統考中考真題）如圖，在RfAABC中,^ACB=9Q°,AC=4cm,BC=3cm,

OO為A48C的內切圓，

（1）求O。的半徑；

⑵點尸從點3沿邊8/向點/以點1cm/s的速度勻速運動，以點P為圓心，尸8長為半徑作圓，設點尸運

動的時間為ts,若。尸與。。相切，求/的值.

爾

【題型15與三角形內心有關的應用】

【例15】（2023?陜西西安?西安市鐵一中學?？寄M預測）綜合與實踐：（1）如圖（1）,有一塊三角形材

料△2BC,準備裁剪成一個面積最大的圓形，已知乙。=90。，BC=3,4C=4,求裁剪出的最大圓形面積.

（2）如圖（2）,市政部門準備把一塊四邊形區域改造成公園，計劃在主干道力B上確定大門M的位置，且

在M與另外兩個小門E、F連接而成的三角形區域內設計一個面積盡可能大的圓形花園，部分數據如下：

N8=NC=60。，BE=CD=2EC=400米，點尸為CD的中點，請按市政要求確定M的位置，畫出圖形并求出

長和最大的圓形花園的面積.

圖⑴圖(2)

【變式15-1]（2023?江蘇鎮江?統考中考真題）《九章算術》