動點與相似三角形存在性問題解法

動點存在性問題是中考的熱點與難點，相似三角形存在性問題是其中的重點題型。其解題核心是找到比例

關(guān)系得到方程，難點在于分類討論找出隱含的條件.通常，隱含的條件中角度相等不太容易發(fā)現(xiàn).

一、典例解析

例1.12020?廣東東莞】如圖，拋物線>=空紇2+"+。與％軸交于A,2兩點，點A,B分別位于原點的

左、右兩側(cè)，BO=3AO=3,過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為C,D,BC=^CD.

(1)求，,C的值;

(2)求直線8。的函數(shù)解析式；

(3)點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點。在射線54上.當(dāng)△A3。與△BP。相似時，請直接寫出

所有滿足條件的點Q的坐標(biāo).

【答案】見解析.

【解析】解：(1)VOB=3OA=3

AB(3,0),A(-1,0)

3+6一0

------匕+c=0

?6

3+'x9+3Z?+c=0

、6

解得：b=-亙3，c二-史也

32

(2)過點D作DE，y軸于E,

y

VZECD=ZBCO,ZDEC=ZBOC=90°

ACDE^ACBO

.CD_DE

：.-L=—,DE=>/3

A/33

即D點橫坐標(biāo)為-6,

其坐標(biāo)為D(-A/3,A/3+1)

由B(3,0)得直線BD解析式為：y=-￥x+百

(3)由A(-1,0),B(3,0).D(-6，6+1)，知

SAABD=2(省+1),BD=2(石+1),AD=2應(yīng)

過點A作AH±BD于H,

；.tan/ADB=l,tan/ABD=t，tan/DAM=2+0

設(shè)Q(x,0),P(1,m),其中m<0,x<3,

①當(dāng)△ABDs^BPQ時，ZDAB=ZQBP(由題意知/QBP<90°,ZDAB>90°,不存在）

②當(dāng)△ABDs/XBQP時，同理，此種情況不存在;

③當(dāng)△ABDs^QBP時,

tanZADB=tanZQPB=1,tanZABD=tanZQBP=,tanZPQO=tanZDAM=2+石

3

：E力,即m=_氈，±=2+0，x=4百-3

233x-13

即Q(4c3,0)

3

④當(dāng)△ABDS/\QPB時，同理,

：.—=1,即m=-2,—=2+A/3,x=5-2抬

2x—1

即Q(5-273,0)

⑤當(dāng)△ABDs/\PQB時，同理，

.?.衛(wèi)=1,即m=-2,工力,X=1-273

21-x3

即Q(1-2^3,0)

⑥當(dāng)△ABDs/XPBQ時，同理，

二衛(wèi)=3，gpm=-^i,—=1,x=l-空

2331-x3

即Q(1-漢1,0).

3

例2.12020?貴州銅仁】如圖，已知拋物線y=o?+bx+6經(jīng)過兩點A(-1,0),B(3,0),C是拋物線與y

軸的交點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸(m,n)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，設(shè)APBC的面積為S,求S關(guān)于相的函

數(shù)表達(dá)式(指出自變量比的取值范圍)和S的最大值；

(3)點M在拋物線上運動，點N在y軸上運動，是否存在點M、點N使得NCMN=90。，且ACMN與AOBC

相似，如果存在，請求出點M和點N的坐標(biāo).

【答案】見解析.

【解析】解：(1)將A(-1,0)、3(3,0)代入＞=0?+灰+6,

得:同一1二嗔0n，解得:｛廣/

19a+3b+6=03=4

二拋物線的解析式為y=-2X2+4X+6.

(2)過點P作P/〃y軸，交8c于點人如圖所示.

當(dāng)x=0時，y=-2X2+4A+6=6,

.?.點C的坐標(biāo)為(0,6).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c,

將B(3,0)、C(0,6)代入y=fcc+c,得:

產(chǎn)7=0,解得：『=12,

(C=6=6

???直線BC的解析式為y=-2x+6.

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(m,-2m2+4m+6),則點尸的坐標(biāo)為(m，-2m+6),

/.PF--2m2+4m+6-(-2m+6)=-2m2+6m,

:?S“BC=JPF?OB=-3加2+9加=-3(m—f)2+^p,

Z，4

Q27

???當(dāng)相=5時，△PBC面積取最大值，最大值為二.

,4

??,點尸(m,H)在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，

A0<m<3.

(3)存在點M、點、N使得NCMN=90。,且△CMN與△03。相似.

①如圖，ZCMN=90°,當(dāng)點M位于點C上方，過點“作MDLy軸于點

/CDM=/CMN=90。,ZDCM=/NCM,

：.叢MCDs叢NCM,

若△CMN與△03。相似，貝!UMCD與△NCM相似，

設(shè)M(〃，-2〃2+4〃+6),C(0,6),

DC—-2"2+4〃，DM=a,

DMOB31

當(dāng)t---=—=一=一時t，&COBs△CDMsACMN,

CD0C62

.a1

—2Q2+4Q2

解得，〃=1,

：.M(1,8),

ii

此時ND=*DM=}

?CDOB1

②當(dāng)一=—=一時t，4COBsAMDCsANMC,

DMOC2

.—2(12+4Q1

??—―,

a2

解得a-7A

755

.*.M(—,——)，

48

,83

此lt時N(0,—).

8

③如圖，當(dāng)點M位于點C的下方，

設(shè)M(a,-2tz2+4a+6),C(0,6),

.,.EC=2a1-4a,EM=a,

2a2—4a12a2—4a

同理可得：-------=一或--------=2,ACMN與AOBC相似，

a2a

Q

解得a=瓦或a=3,

9393

：.M(-,—)或〃(3,0),

48

3Q

此時N點坐標(biāo)為(0,-)或(0,-2)-

綜上所述，M(1,8),N(0,—)或M(-,—),N(0,—)或M(-,—),N(0,一)或M(3,0),

2488488

N(0,-1),使得NCMN=90。，且與△03C相似.

例3.12020?浙江金華】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A30C的兩直角邊分別在坐標(biāo)軸的正半軸上，

分別過08,OC的中點O,E作AE,的平行線，相交于點R已知。5=8.

(1)求證：四邊形AEFZ)為菱形.

(2)求四邊形AEED的面積.

(3)若點尸在x軸正半軸上(異于點。)，點。在y軸上，平面內(nèi)是否存在點G,使得以點A,尸，Q,G為

頂點的四邊形與四邊形AEFD相似？若存在，求點尸的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

【解析】解：(1)'.'DF//AE,EF//AD,

四邊形AE即是平行四邊形

?..四邊形ABOC是正方形，

，08=0C=AB=AC,ZACE=ZABD=90°

；點E是OB,OC的中點，

：.CE=BD,

/\ACE^/\ABD(SAS),

J.AE^AD,

平行四邊形AEED是菱形

(2)連接DE

22

S^ODE=-ODOE=-x4x4=8

22

:?SAAED=S正方形ABOC-2SAABD-S^ODE

=64—2x16—8

=24,

?*?5菱形AEF￡>=2SAAED=48.

(3)連接A尸與DE相交于點K,易得AAOK的兩直角邊之比為1:3,

①當(dāng)AP為菱形一邊時，點。在x軸上方，有兩種情況：

(z)如圖，

,/菱形B4QGs菱形ADFE,

...△APH的兩直角邊之比為1:3.

過點〃作珈,彳軸于點N,交AC于點M,^AM=t,

點”是尸。的中點，

...點N是。尸中點,

:.HN是AOPQ的中位線，

：,0N=PN=8—t.

VZ1=Z3=9O°-Z2,/PNH=/AMH=9。。,

：.AHMAs/\PNH,

.AMMH_1

**AW-^V-3

:?HN=3AM=3t,

:?MH=MN—NH=8—3t,

?；PN=3MH,

???8—U3(8—3。，解得%=2,

???OP=2ON=2(8—。=12,

???點尸的坐標(biāo)為(12,0).

(z7)如圖

△APH的兩直角邊之比為1:3.

過點//作印，y軸于點/,過點P作軸交由于點N,延長區(qū)4交W于點M.

VZ1=Z3=9O°-Z2,ZAMH=ZPNHf

：.△AMHsAHNP,

.AMMH_1

，97fH~^N~3

設(shè)MH=t,

:.PN=3MH=3t,

???AM=BM-AB=3L8,

JHN=3AM=3(3f—8)=9t~24.

???印是△。尸。的中位線，

???OP=2IH,

:?HI=HN,

???8+,=%—24,解得/=4

???OP=2HI=2(8+0=24,

???點。的坐標(biāo)為(24,0).

②當(dāng)AP為菱形一邊時，點。在x軸下方，有兩種情況，

(/)△PQH的兩直角邊之比為1:3.

過點〃作軸于點M,過點尸作PNJ_H”于點N.

???///是△℃的中位線，

：.HM=4,

同理，AHPNs"HM

.PN_NH_1

A

貝ljPN=-,

3

4

：.OM=-

3

設(shè)HN=/,則MQ=3/.

\9MQ=MC,

3f=8-土解得：t=—

39

OP=MN=4+t=—

9

即P(些，o)；

9

(z7)AP。//的兩直角邊之比為1:3.

過點H作“軸于點M,交AC于點/,過點。作于點N,

設(shè)則”N=33

,:HN=HL

??.3"8+芻，解得：t=—

39

o

???OP=OM-PM=QN-PM=4-t=1

即尸(§,0).

9

③當(dāng)AP為菱形對角線時，

△PQH的兩直角邊之比為1:3.

同理得：點尸的坐標(biāo)為(16,0).

.綜上所述,點P的坐標(biāo)為(12,0),(24,0),(―,0),(-,0),(16,0).

99

三、刻意練習(xí)

1.12020?山東煙臺】如圖，拋物線y=/+bx+2與無軸交于A,B兩點、,且04=208,與y軸交于點C,連

接BC,拋物線對稱軸為直線尤=!，。為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點。作于點E,與AC

2

交于點F,設(shè)點。的橫坐標(biāo)為根.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)拋物線上是否存在點。，使得以點。，D,E為頂點的三角形與ABOC相似？若存在，求出力的值；

若不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：（1）設(shè)OB=f,則。4=2f,則點A、8的坐標(biāo)分別為（230）、（-t,0）,

則J_=_L（2「力，解得：-1,

22

點A、5的坐標(biāo)分別為（2,0）、（-1,0）,

則拋物線的表達(dá)式為：y—a（x-2）（x+1）=?x2+/?x+2,

解得：。=-1,

故拋物線的表達(dá)式為：丁=-/+元+2；

（2）存在，理由：

點D（m,-m2+m+2）（m>0）,則OD=m,DE=-,

以點O,D,E為頂點的三角形與△BOC相似，

則匹二型，匹=2￡

、OEOCOEOB

即匹=2或工，即一>+-+2=2或一一+〃+2」,

0E2mm2

解得：機=1或-2（舍去）或匕畫或上返（舍去），

44

綜上所述，初=1或匕返.

4

2.【2020.黑龍江綏化】如圖1,拋物線y=-g（無+2月+6與拋物線％+f-2相交y軸于點C,拋

物線%與x軸交于A、3兩點（點B在點A的右側(cè)），直線%=履+3交x軸負(fù)半軸于點N,交y軸于點

且OC=ON.

（1）求拋物線外的解析式與k的值；

（2）拋物線外的對稱軸交x軸于點￡?,連接AC,在無軸上方的對稱軸上找一點E,使以點A,D,E為

頂點的三角形與AAOC相似，求出DE的長；

【解析】解：(1)當(dāng)x=0時，得y=—g(x+2)2+6=—2+6=4,

.,((0,4),

把C(0,4)代入％=—/+3d+/—2得，。一2=4,

..%=6,

必——/+3%+4,

ON=OC,

??.N?0),

把N?0)代入％="+3中，得-U+3=0,

解得，化=±3;

4

.?.拋物線月的解析式為％=-爐+3%+4,左的值為

解得，x=-1或4,

/.A(-1,O),8(4,0),

-1+43

???對稱軸為：x=—匕=士，

22

/.D(1,0),

35

「3=1,OC=4,OD=,AD=~,

22

①當(dāng)AAOCSA￡D4時，

絲=型，即_L=4

DEDADE5

2

：.DE=~,

8

②當(dāng)AAOCsAADE時,

AOOC日口14

—，即三=----,

ADDE5DE

2

.\DE=10,

綜上，O￡=*或10；

8

3.12020?湖北鄂州】如圖，拋物線y=1?+bx+c與x軸交于A、5兩點（點A在點3左邊），與y軸交于點

1

C.直線尸聶-2經(jīng)過8、C兩點.

（1）求拋物線的解析式;

⑵點P是拋物線上的一動點，過點P且垂直于x軸的直線與直線BC及x軸分別交于點D、M.PN±BC,

垂足為N.設(shè)M(m,0).

當(dāng)點尸在直線BC下方的拋物線上運動時，是否存在一點尸，使APNC與AAOC相似.若存在，求出點尸的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：

(1)針對于直線y=-2,

令x=0,則y=-2,

：.C(0,-2),

i

令y=0,則0=6-2,

；.尤=4,

：.B(4,0),

將點8,C坐標(biāo)代入拋物線丫=費+法+。中，得仁八

，(8+4b+c=0

.fb=

I=一2，

拋物線的解析式為產(chǎn)系一|x-2；

(2)由(1)知，拋物線的解析式為y=#-|尤-2,

令y=0,則0=吳一%-2,

??.1=-1或x=4,

?,?點A(-1,0),

.*.OA=1,

9：B(4,0),C(0,-2),

OB=4,OC—2,

.OAOC

??一,

OCOB

ZAOC=ZCOB=90°,

：.AAOC^ACOB,

：.ZOAC=ZOCB,ZACO=ZOBC,

???XPNC與〉A(chǔ)OC相似，

當(dāng)〉PNCs^AOC,

：.ZPCN=ZACO,

：.ZPCN=ZOBC,

：.CP//OB,

.??點尸的縱坐標(biāo)為-2,

123

m—T7m-2=-2,

22

.*.m=0(舍)或加=3,

：.P(3,-2)；

當(dāng)△PNCs^AOC時，

???ZPCN=ZCAO9

：?/OCB=/PCD,

9：PD//0C,

：.ZOCB=ZCDP,

：./PCD=/PDC,

：.PC=PD,

131

2Dz2

-m-(如-m-

由①知，P(m,22x2

VC(0,-2),

.*.P￡)=2m—^m2,PC=Jm2+(^m2—|m—2+2)2=Jm2+(^m2—^m)2,

/.2m2—+(^m2—1m)2,

/.m=亍

325

P(一，--Q-)?

28

即滿足條件的點尸的坐標(biāo)為(3,-2)或弓，-m).

4.12020?湖北荊州】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(-2,-1),B(3,-1),以。為圓心，0A的長為

半徑的半圓。交A。延長線于C,連接AB,BC,過。作E￡>〃BC分別交AB和半圓。于E,D,連接08,

CD.

(1)求證：8C是半圓。的切線；

(2)試判斷四邊形OBCD的形狀，并說明理由;

(3)如圖2,若拋物線經(jīng)過點。且頂點為E.

①求此拋物線的解析式；

②點尸是此拋物線對稱軸上的一個動點，以E,D,尸為頂點的三角形與△042相似，問拋物線上是否存在

一點。.使SAEPQ=SAOAB?若存在，請直接寫出0點的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

圖1圖2

【答案】見解析.

【解析】解：（1）證明：設(shè)AB與y軸交于M,

軸，且AM=2,OM=1,AB=5,

：.OA=OC-Vs,

'：DE//BC,。是AC的中點，

.?.OE是AABC的中位線，

：.AE=^AB,BC=2OE,

1

：.E-1),

2

:.EM=I，

OE=70M2+ME2=J/+(1)2=亭，

：.BC=2OE=V5,

在AABC中,\'AC2+BC2=(2V5)2+(V5)2=25,AB2=52=25,

：.AC2+BC2^AB2,

...△ABC是直角三角形，且乙4cB=90。，

：.BC±AC,

;AC為半圓。的直徑,

...BC是半圓。的切線;

(2)四邊形02CD是平行四邊形，理由是：

由(1)得：BC=OD=OA=正,

'JOD//BC,

，四邊形OBCD是平行四邊形；

1

(3)①由(1)知：OD=OA=?E是的中點，且E(-)-1),0E=

過D作DNLy軸于N,則DN//EM,

?ON__D_N__O_D_AnO__N__D_N___V_5_

??=~,-r—,

OMEMOE1-

22

???ON=2,DN=3

:?N(-1,2),

設(shè)此拋物線的解析式為：尸a(x-1)2-1,

1

把N-

2

4

-

3

4144

2

\即2

J

尸---X-X

...此拋物線的解析式為:32Z33

13

VDG=1+1=|,EG=2+1=3,

：.DE=yjDG2+EG2=J(|)2+32=享

“31

tanZDEG==凈=2，

VtanZOAM=^=|,且NOEG和NOAM都是銳角,

???NDEG=NOAM,

*.*SAEPQ=SAOAB，

1115

A-EP-lx--I=X

2.2嗚x|2

解得：戶普或-圣

ABOAV5

當(dāng)△OABS/XOEP時,

EP~DE'喂3V5

2

一11515

同理得：一?一?1%__I=一,

2222

解得：x=（或一看

綜上，存在符合條件的點。，。點的橫坐標(biāo)為n或-今或尹-看

5.【2020?湖北隨州】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+6x+l的對稱軸為直線x=機其圖象與x

(備用圖)

(1)直接寫出拋物線的解析式和NC4。的度數(shù)；

(2)動點M,N同時從A點出發(fā)，點M以每秒3個單位的速度在線段上運動，點N以每秒/個單位

的速度在線段AC上運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)運動的時間為rG>0)

秒，連接MN,再將線段繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90。，設(shè)點N落在點。的位置，若點。恰好落在拋物線上，

求t的值及此時點D的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，設(shè)尸為拋物線上一動點，。為y軸上一動點，當(dāng)以點C,P,。為頂點的三角形與

△MOB相似時，請直接寫出點尸及其對應(yīng)的點。的坐標(biāo).(每寫出一組正確的結(jié)果得1分，至多得4分)

【答案】見解析.

b_3

【解析】解：(1)由題意:~2R=2,

16a+4b+1=0

(1

解得《24,

vb=74

.??拋物線的解析式為尸-?+赤+1,

令y=0,可得7-3%-4=0,解得％=-1或4,

AA(-1,0),

令y=0,得至Ux=l,

：.C(0,1),

：.OA=OC=1,

AZCAO=45°.

(2)過點。作CE_LOA于過點。作_LA8于?

NNEM=ZDFM=ZNMD=90°,

:?/NME+/DMF=90。,ZDMF+ZMDF=90°f

：.NNME=ZMDF,

?：NM=DM,

:?/\MEN烏ADFM(A4S),

:.NE=MF,EM=DF,

VZCAO=45°,AN=V2r,AM=3t,

:?AE=EN=t,

：.EM=AM-AE^2t,

：.DF=2t,MF=t,OF=4t-1,

：.D(4L1,2力，

一~r(4L1)~+彳(4/-1)+1=2/,

a

Vr>0,解得u1

經(jīng)檢驗，仁,時，M,N均沒有達(dá)到終點，符合題意，

3

：.D(2,一).

2

(3)當(dāng)點。在點C的下方，點P在y的右側(cè)，NQCP=NAW3時,

1

取E(3，0),連接EC,過點E作EGLEC交尸。于G,

53

9：M(-,0),D(2,-),B(4,0)

42

r0□/F〔Ic

AFM=2-7=7，DM=竽,BM=SBD=g,

4444Z

：.DF=2MF,

OC=2OE,

1

/.tanZOCE=tanZMDF=，

：.ZOCE=ZMDF,

：?/OCP=/MDB,

:?/ECG=/FDB,

4

tanZECG=tanZFDB=可

■:EC=^,

???如竽，可得G(各|),

直線CP的解析式為y=-白x+1,

（_41

y=~TLX+1解得二概『5

由

12上3「

xx1

y=-4+4+-121

4139

:.p(一，-----),

11121

.41V5

..rL-—~,

tMDBDMDBD,,,z，口615—2050

當(dāng)=7?或M7=777時'△℃尸與二MDB相似，可得CQ=友或

CQCrPCCQ乙一乙363

2721687)

Q（0,一五7）或（①~363)

當(dāng)點。在點C的下方，點P在y的右側(cè)，NQC尸時，設(shè)尸。交x軸于K.

JOK=2OC=2,

即點K與廠重合，

...直線PC的解析式為y=-1.v+l,

z1

(y-Xf%-5

--2-rX-o

由

得

解

或j

Ju--3

1++131—

)2kyy--

ly---X-X+k2

44

：.P（5,-1）,

?pc—5西

,DMBMDMBM,,一255-75

當(dāng)三7=右或為T=”時r'△℃尸與AMDB相似z，可得CQ=%■或方，

?*?Q（0,—善）或（①一^^（

當(dāng)點。在點C的下方，點尸在y的右側(cè)，NQC尸=NZMM時，同法可得尸號，一等），Q（0,一音）

,、1151

或（0,----）,

99

31737

當(dāng)點。在點。上方，NQC尸=NDM5時，同法可得尸（1,Q（0,—）或（0,—

2622

251716171613

當(dāng)點。在點C上方，NQCP=/AfflB時，同法可得P（―,—）,Q（0,—）或（0,

11121242363

當(dāng)點。在點C下方，點尸在y軸的左側(cè)時，/QCP=/OBM時，同法可得P（一（一歲，Q（0,一瑞）

T/A251、

或（O，QQ-）?

6.12020?湖南懷化】如圖所示，拋物線y=f-2x-3與x軸相交于A、8兩點，與y軸相交于點C,點M

為拋物線的頂點.

（1）求點C及頂點M的坐標(biāo).

(2)直線CM交無軸于點E,若點尸是線段EM上的一個動點，是否存在以點尸、E、。為頂點的三角形與

△ABC相似.若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】解：

(1)令y=7-2x-3中尤=0,此時y=-3,

故C點坐標(biāo)為(0,-3),

又,.,/=/-2x-3=(x-1)2-4,

拋物線的頂點M的坐標(biāo)為(1,-4)；

解得卜=

51=—3

.?.A/C的解析式為：y=-x-3,令y=0,貝！Jx=-3,

???E點坐標(biāo)為（-3,0）,

：.OE=OB=3,SOC.LBE,

:?CE=CB,

；./B=NE,

設(shè)P(x,-x-3),

又?.,尸點在線段EC上，

-3<x<0,

則EP=J(x+34+(—x-3尸=V2(x+3),BC=V32+32=3企,

由題意知：△PE。相似△ABC,

①△PEOs^cBA,

.EOEP

??—,

BABC

.3V2(x+3)

；，4=3V2'

解得％=-率滿足-3<x<0,此時尸的坐標(biāo)為(―9一3；

②△PEOS/XABC,

?_EOEP

??—,

BCBA

3V2(x+3)

:衰=-4-'

解得x=-1，滿足-3VxV0,此時P的坐標(biāo)為(-1,-2).

9

綜上所述，尸點的坐標(biāo)為（-，-威2

4

7.12020?江蘇連云港】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”.如

17

圖，拋物線乙尤-2的頂點為￡>,交無軸于點A、B（點A在點3左側(cè)），父y軸于點C.拋物

線4與4是“共根拋物線”，其頂點為P-

（1）若拋物線Z經(jīng)過點（2,-12）,求〃對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)點。是拋物線右上的一個動點，且位于其對稱軸的右側(cè).若AT）尸。與AABC相似，求其“共根拋物

線”4的頂點尸的坐標(biāo).

【答案】見解析..

【解析】解：(1)當(dāng)y=o時，|X2-|X-2=0,解得x=-L或4,

A(-1,O),B(4,0),C(0,2),

由題意設(shè)拋物線七的解析式為,=。(*+1)(彳-4),

把(2,-12)代入,=00+1)(；1-4),

—12=-6。，

解得a=2,

拋物線的解析式為y=2(x+l)(x-4)=2X2-6%-8.

(2)由題意，AB=5,CB=2非,CA=非,

:.AB2=BC2+AC2,

,\ZACB=90°,CB=2CA,

13c1,3、225

y=-x2——x-2=—(x——)-----，

22228

頂點D(1,一金)，

由題意，/PDQ不可能是直角，

第一種情形：當(dāng)/DPQ=90。時，

①當(dāng)AQDPSA45c時，^-=—=-,

DPBC2

—x2-—x-2）,

22

DP=-x2=--x+-,QP=x--

2282282

PD=2QP,

2x-3=-x2-—x+—,解得x=U或3（舍棄）,

22822

.p（339

?飛'/

②當(dāng)ADQPSAABC時，QO=2PD,

解得工=9或3（舍）,

22

321

??尸（一，——）.

28

第二種情形：當(dāng)NDQP=900.

①當(dāng)APDQsAABC時，^=-=-

DQBC2

過點。作于M.則AQDAfsAPDQ,

,QM_PQ_13391139

?.------------——,JVL（一，）,0（，），

MDDQ22828

:.MD=8,MQ=4,

DQ=4小，

喘犬可得四。

吟T

)

，,哈f-

②當(dāng)ADPOcAABC時，過點。作QM_LPD于M.

由變=絲，可得如上

DMDQ2

.尸產(chǎn)5

??丐’一，

8.12020?山東聊城】如圖，二次函數(shù)>=辦2+法+4的圖象與x軸交于點A(-l,0),3(4,0),與y軸交于

點C,拋物線的頂點為。，其對稱軸與線段3c交于點E,垂直于x軸的動直線/分別交拋物線和線段3c于

點P和點尸，動直線/在拋物線的對稱軸的右側(cè)(不含對稱軸)沿x軸正方向移動到3點.

(1)求出二次函數(shù)>=辦2+Zzx+4和BC所在直線的表達(dá)式；

(2)連接CP,CD,在動直線/移動的過程中，拋物線上是否存在點P,使得以點P,C,尸為頂點的三

角形與ADCE相似？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)將點4一1,0),3(4,0),代入>=="2+法+4,

得：[0=T+4,

[0=16(2+4/?+4

解得：1=;1,

[b=3

二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-x2+3x+4,

當(dāng)％=0時，y=4,

/.C(0,4),

設(shè)3C所在直線的表達(dá)式為：y=mx+ny

將。(0,4)、5(4,0)代入丁=如+〃，

得：\，

[0=4m+n

一加二-1

解得：1，

[孔=4

:.BC所在直線的表達(dá)式為：y=-x+4；

(2)存在，理由如下:

如圖所示：

由(2)得：PF//DE,

:.ZCED=ZCFP,

又，NFC尸與NDCE有共同的頂點C,且NPCF在NDCE的內(nèi)部,

:.NPCF手NDCE,

二.只有ZPCF=NCD石時，APCF^ACDE,

PFCF

~CE~~DE'

C(0,4)、E(|,|),

...CE=J(|)2+(49=乎,

由(2)得：DE=——，PF=—t2+4/,尸的坐標(biāo)為：([,T+4),

4

CF—J[+[4_(t+4)f=9

-t2+4/_"

F4

rw0,

7(T+4)=3,

解得：”電，

5

、匕16.2o/iJ62c1684

=3t=—n口寸，T+3/+4=—(—)+3x1-4=—,

55525

.?.點p的坐標(biāo)為：(1,H).

9.[2020?山東濰坊】如圖，拋物線>=辦2+法+8(aWO)與x軸交于點A(-2,0)和點8(8,0),與y

軸交于點C,頂點為。，連接AC,BC,8C與拋物線的對稱軸/交于點E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接P8,PC,當(dāng)&PBC=|s^ABC時，求點P的坐標(biāo)；

(3)點N是對稱軸/右側(cè)拋物線上的動點，在射線燈上是否存在點使得以點M,N,E為頂點的三

角形與AOBC相似？若存在，求點/的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】見解析.

【解析】解：(1):?拋物線>=依2+歷；+8(〃/0)過點A(-2,0)和點3(8,0),

?北:上:/：；°n)解得卜=心

164a+85+8=0(b=3

.??拋物線解析式為：y--|x2+3x+8；

(2)當(dāng)%=0時，y=8,

：.C(0,8),

???直線3C解析式為：y=-x+8,

11

?:S*BC=a4B?"=,X10X8=40,

.3

,?S^PBC=5=24,

過點尸作軸，交x軸于點G,交BC于點F,

1

設(shè)P(t,_2/+3x+8),

:.F(?,-f+8),

：.PF=-4t2+4t,

1

???SAPBC=2PF.°B=24,

11

即5x(-]+的x8=24,

??fl=2,/2=6,

：.PI(2,12),尸2(6,8)；

(3)VC(0,8),B(8,0),ZCOB=90°,

.?.△OBC為等腰直角三角形,

23

拋物線yx+3x+8的對稱軸為尤=一/3,

2x(4)

.?.點E的橫坐標(biāo)為3,

又?.?點E在直線BC上,

.?.點E的縱坐標(biāo)為5,

：.E(3,5),

設(shè)M(3,m),N(n,-^n2+3n+8),

①當(dāng)MN=EM,ZEMN=90°,

(m—5=n—3

當(dāng)△TVME?△CO3時，則12,2

—7yn