板塊二梯形模型的應用

梯形中比例關系（“梯形蝴蝶定理”）:

①S[母="-b1

②S[:S3：S2：S&=a1:b1:ab:ab；

③S的對應份數為（a+b『.

梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關系互相轉換的渠道，通過構造模型，直接應用結

論，往往在題目中有事半功倍的效果.（具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進行說明）

【例。如圖，S2=2,S3=4,求梯形的面積.

【鞏固】如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD,對角線AC,BD交于O,已知八軌由與△8OC的面積分

別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是平方厘米.

DC

【鞏固】如圖所示，在梯形ABC。中，ABMCD,對角線AC,5。相交于點0。已知A5=5,CD=3>,且梯形

ABC。的面積為4,求三角形043的面積。

【例2】梯形ABCD的對角線AC與血交于點O,已知梯形上底為2,且三角形4?。的面積等于三角形

BOC面積的-，求三角形AOD與三角形BOC的面積之比.

3

如下圖，四邊形/WCD中，對角線AC和血交于。點，已知AO=1,并且以髻竺學理自=3

【例3】

三角形CBD的面積5

那么OC的長是多少？

【例4】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是9c機2,問三角形AOD的面積是多少？

AD

0

BC

【鞏固】如圖，梯形A5CD中，\AOB.ACOD的面積分別為1.2和2.7,求梯形MCD的面積.

【例5】在梯形ABC。中，上底長5厘米，下底長10厘米，5AB℃=2。平方厘米，則梯形48。的面積是

平方厘米。

【例6】如下圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形ADG的面積是11,三角形3a/的

面積是23,求四邊形EGM的面積.

【鞏固】如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5,四邊形2的面積為36,則三角

形1的面積為.

【例7】如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點.求圖中陰影部分的面積.

【鞏固】在下圖的正方形項CD中，E是邊的中點，短與即相交于P點，三角形班F的面積為1平

方厘米，那么正方形MCD面積是平方厘米.

【例8】如圖面積為12平方厘米的正方形ABCD中，E,尸是DC邊上的三等分點，求陰影部分的面積.

【例9】如圖，在長方形ABCD中，鉆=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB,求陰影部分的面積.

DCDC

【例10】已知ABCD是平行四邊形,BC:CE=3.2,三角形ODE的面積為6平方厘米.則陰影部分的面積

是平方厘米.

【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部

分的面積是.平方厘米.

【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部

分的面積是..平方厘米.

【鞏固】E是平行四邊形的邊上的一點，BD、AE相交于點歹，已知三角形A尸。的面積是6,三

角形OE尸的面積是4,求四邊形BCE尸的面積為多少？

【例11］如圖所示，BD、CF將長方形MCD分成4塊，ADEF的面積是5平方厘米，ACED的面積是10

平方厘米.問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米?

【鞏固】如圖所示，BD、CF將長方形9CD分成4塊，9跖的面積是4平方厘米，ACED的面積是6

平方厘米.問：四邊形的面積是多少平方厘米？

【鞏固】如圖，長方形ABCD被CE、止分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么

余下的四邊形OFBC的面積為平方厘米.

【鞏固】正方形MCD的邊長為6,E是BC的中點（如圖）。四邊形OECD的面積為

D

C

【鞏固】如圖，長方形ABCD中，是直角三角形且面積為54,8的長是16,05的長是9.那么四邊

形OECD的面積是.

【例12］如圖所示，長方形ABCD內的陰影部分的面積之和為70,AB=8,AD=15四邊形EEGO的面積為

【鞏固】如圖5所示，矩形A8CD的面積是24平方厘米,、三角形與三角形8CN的面積之和是7.8平

方厘米，則四邊形PMON的面積是平方厘米。

【例13］如圖，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段與CD相交于K點.已知正方形DEFG

的面積48,AK.KB=1:3,則ABQ的面積是多少？

【例14］如圖所示，ABCD是梯形，AADE面積是1.8,ZVRE的面積是9,ABCF的面積是27.那么陰影AAEC

面積是多少？

【例15］如圖，正六邊形面積為6,那么陰影部分面積為多少？

【例16］如圖，已知。是中點，E是C。的中點，尸是AC的中點.三角形ABC由①?⑥這6部分組成,

其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面積是多少平方厘米？

【例17］如下圖，在梯形ABCD中，與CD平行，且CD=2成，點、E、尸分別是AD和3c的中點，已

知陰影四邊形EMFN的面積是54平方厘米，則梯形ABCD的面積是平方厘米.

【例18］如圖，在一個邊長為6的正方形中，放入一個邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現

在分別連接大正方形的一個頂點與小正方形的兩個頂點，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分

【例19］如圖，在正方形ABCD中，E、P分別在3c與CD上，且CE=2BE,CF=2DF,連接BF、DE,

相交于點G,過G作MN、PQ得到兩個正方形和P&VG,設正方形MGQA的面積為

正方形PCNG的面積為邑，則E:S2=.

【例20】下圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E、F、G、H分別是AB,BC,CD,ZM的

中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分數‘，那么，（機+〃）的值等

,J

(SL任意四邊形、梯形與相似模型

miin隹例題霜窗

板塊二梯形模型的應用

梯形中比例關系（“梯形蝴蝶定理”）:

①S[:邑=/:從

②S]：S3：$2：$4=]：；

③S的對應份數為（°+by.

梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關系互相轉換的渠道，通過構造模型，直接應用結

論，往往在題目中有事半功倍的效果.（具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進行說明）

【考點】梯形模型【難度】2星【題型】解答

2

【解析】設￡為/份，S3為/份，根據梯形蝴蝶定理，S3=4=b,所以6=2;又因為S?=2=a*b,所以

a=l;那么5]="=1,64=0x6=2,所以梯形面積5=51+52+邑+邑=1+2+4+2=9,或者根

據梯形蝴蝶定理，S=（4+6）2=（1+2）2=9.

【答案】9

【鞏固】如下圖，梯形回⑦的AB平行于CD,對角線AC,BD交于O,已知ZXAOB與△BOC的面積分

別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形MCD的面積是平方厘米.

【考點】梯形模型【難度】2星【題型】填空

2

【解析】根據梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOC=a:ab=25:35,可得a:6=5:7,再根據梯形蝴蝶定理,

2222

sAOB:SDOC=a:b=5:1=25:49,所以S=49（平方厘米）.那么梯形旗CD的面積為

25+35+35+49=144（平方厘米）.

【答案】144

【鞏固】如圖所示，在梯形中，AB//CD,對角線AC,50相交于點0。已知A3=5,CZ>=3,且梯形

4BCZ）的面積為4,求三角形045的面積。

【考點】梯形模型【難度】2星【題型】解答

【關鍵詞】華杯賽，決賽，15分，第3大題第，1題

【解析】根據題意，AB=5,CD=3,CD:AB=3:5,

22

則根據蝴蝶模型SDOC:SAOD:SAOB:SCOB^a:ab:b:ab^9:15:25:15,令SA0B=25份，

ii75

則梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份。所以1份為：4+64=—，則三角形OAB的面積為—x25=」。

161616

25

【答案】—

16

【例22】梯形ABCD的對角線AC與血交于點O,已知梯形上底為2,且三角形ABO的面積等于三角形

30c面積的-，求三角形AOD與三角形30c的面積之比.

3

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

1

【解析】根據梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOC=ab-.b=2:3,可以求出a:6=2:3,

2212

再根據梯形蝴蝶定理，SAOD:SBOC=a:b=2:3=4-.9.

通過利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個問題，而沒有像以前一樣，為了某個條件的缺乏而干

辛萬苦進行構造假設，所以，請同學們一定要牢記幾何模型的結論.

【答案】4:9

【例23】如下圖，四邊形ABCD中，對角線AC和血交于。點，已知AO=1,并且三黑竺”|秀=3

二角形C8D的面積5

那么OC的長是多少？

B

D

【考點】梯形模型【難度】2星【題型】解答

【關鍵詞】華杯賽

三角形4瓦珀勺面積AO所以、40_3又所以

【解析】根據蝴蝶定理,40=1,CO=3.

三角形C即的面積一而'~CO~~53

【答案】-

3

【例24】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是9c病，問三角形AOD的面積是多少？

【考點】梯形模型【難度】2星【題型】解答

2222

【解析】根據梯形蝴蝶定理，a:/=l:L5=2:3,S^AOD-.S^OC=a:b=2:3=4:9,

所以"A8=4（cm2）.

【答案】4

【鞏固】如圖，梯形ABCD中，AAOB、ACOD的面積分別為1.2和2.7,求梯形ABCD的面積.

【考點】梯形模型【難度】2星【題型】解答

【解析】根據梯形蝴蝶定理，SAOB-SACOD=cr:b-=4:9,所以口:。=2:3,

23

S、AOD：SAOB=ab：a=b:a=3:29SAOD=SCOB=1.2x—=1.8,

S梯形=1.2+1.8+1.8+2.7=7.5.

【答案】7.5

【例25】在梯形A5CZ＞中，上底長5厘米，下底長10厘米，5AB°C=2。平方厘米，則梯形4BC。的面積是

平方厘米。

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】華杯賽，決賽，第4題，10分

【解析】因為A￡）〃BC,故乂=42=型又AD_5_=一1故“__A__O_=__D__O_

BCCOBOBC102'COBO2

在ABOC與ADOC中，因其高相等，且80:00=2:1,故S^oc:S^oc=2\\

=22

而20cm,故=10cmo同理，在ACOD與AAOD中,

因CO:AO=2:1,且在相應邊上的高相等，故SACOQ：=2:1即=—x10=5cm2.

在AAOB與BOC中，因AO:CO=1:2,且其在相應邊上的高相等，故510屋S^BOC=1:2O

AAOB2MOD=2

即S=10cm綜上,S梯形=8AA03+\BOC+SACOD+10+20+10+5=45cm

【答案】45

【例26】如下圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形4X?的面積是11,三角形BE的

面積是23,求四邊形及才目的面積.

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】如圖，連結EF,顯然四邊形AOEF和四邊形3CEF都是梯形，于是我們可以得到三角形EFG的面

積等于三角形AOG的面積；三角形8cH的面積等于三角形EFH的面積，所以四邊形EGFH的面積

是11+23=34.

【答案】34

【鞏固】如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5,四邊形2的面積為36,則三角

形1的面積為.

【考點】梯形模型【難度】3星

【關鍵詞】人大附中，入學測試題

【解析】做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發現四邊形2分成左右兩邊，其面積正好等于三角形1和三角

45

形3,所以1的面積就是36x----=16,3的面積就是36x——=20.

4+54+5

【答案】20

【例27］如圖，正方形A5CD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點.求圖中陰影部分的面積.

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】因為M是AO邊上的中點，所以根據梯形蝴蝶定理可以知道

=

S/XAMG:S^ABG-S&MCG:*^ABCG：(1X2)：(1X2)：2?=1：2：2：4,設SAAOM=1份，則S^MCO=1+2=3份，

所以正方形的面積為1+2+2+4+3=12份，S陰影=2+2=4份，所以S陰影：S正方形=1:3,所以S陰影=1

平方厘米.

【答案】1

【鞏固】在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點，AE與血相交于尸點，三角形的面積為1平

方厘米，那么正方形ABCD面積是平方厘米.

AD

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空

【解析】連接DE,根據題意可知3E:AD=1:2,根據蝴蝶定理得S梯形=（1+2>=9（平方厘米），SA￡CD=3（+

方厘米），那么S他⑺=12（平方厘米）.

【答案】12

【例28］如圖面積為12平方厘米的正方形ABCD中，及廠是DC邊上的三等分點，求陰影部分的面積.

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】因為E,尸是OC邊上的三等分點，所以EF:AB=1:3,設入。所=1份，根據梯形蝴蝶定理可以知道

SAAO￡=SA°FB=34分,S^AOB=9份，S△曲=S.CF=（1+3）份，因此正方形的面積為4+4+（1+3了=24

份,$陰影=6,所以S陰影：S正方形=6:24=1:4,所以S陰影=3平方厘米?

【答案】3

【例29］如圖，在長方形ABCD中，A3=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB,求陰影部分的面積.

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：如圖，連接DE,/史將陰影部分的面積分為兩個部分，其中三角形4⑦的面積為

2x6+3+2=2平方厘米.

由于跖：。。=1:3,根據梯形蝴蝶定理，5的：5.。=3:1,所以5,.=^$加，而S.DEF=S.ADE=2

平方厘米，所以S°EO=\><2=L5平方厘米，陰影部分的面積為2+1.5=35平方厘米.

方法二:如圖，連接八E,FC,由于EF:DC=1:3,設份，根據梯形蝴蝶定理，SAOED=3

份，S梯形.co=（1+3）2=16份，SAADE=SABCF=1+3=4^,因此S長方形wo=4+16+4=24份，

S陰影=4+3=7份，而S長方形板。=6x2=12平方厘米，所以S陰影=3.5平方厘米

【答案】3.5

【例30】已知AfiCD是平行四邊形，BC.CE=3:2,三角形ODE的面積為6平方厘米.則陰影部分的面積

是平方厘米.

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，六年級

【解析】連接AC.

由于A5co是平行四邊形，BC:CE=3:2,所以CE:AD=2:3,

22

根據梯形蝴蝶定理，SCOE:SAOC:SDOE:SAOD=2:2x3:2x3:3=4:6:6:9,所以2加。=6（平方厘

米），5?0=9（平方厘米），又S"c=S皿>=6+9=15（平方厘米），陰影部分面積為6+15=21（平方

厘米）.

【答案】21

【鞏固】右圖中ASCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部

分的面積是平方厘米.

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空

【解析】連接

由于AD與3c是平行的，所以AECD也是梯形，那么鼠。8=?

根據蝴蝶定理,SAOCDxS^OAE=S^OCExS^OAD=4x9=36,故SAOCJ=36,

所以SAOCD=6（平方厘米）.

【答案】6

【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部

分的面積是平方厘米.

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】三帆中學

【解析】連接至.

由于4）與3c是平行的，所以AECD也是梯形，那么&℃°=$人卸.

根據蝴蝶定理，SAOCDxSAOAE=S,OCExSAOAB=2x8=16,故%/=16,所以=4（平方厘米）.

另解：在平行四邊形AB田中，5皿=<5MED=gx（16+8）=12（平方厘米），

所以5AA0E二S.DE-5.“=12-8=4（平方厘米），

根據蝴蝶定理，陰影部分的面積為8x2+4=4（平方厘米）.

【答案】4

【鞏固】E是平行四邊形A3C。的C。邊上的一點，BD、AE相交于點F,已知三角形A歹。的面積是6,三

角形OEF的面積是4,求四邊形5CE歹的面積為多少？

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】希望杯，5年級，復賽，第15題

【解析】如圖，在平行線中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都為6,而頂上的三角形為6x6+4=9,“？”處的三角形面

積為9+6-6-4=5從而所求四邊形面積為5=6=11.

【答案】11

【例3。如圖所示，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，ADEF的面積是5平方厘米，ACED的面積是10

平方厘米.問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】連接3尸，根據梯形模型，可知三角形龐廣的面積和三角形DEC的面積相等，即其面積也是10平

方厘米，再根據蝴蝶定理，三角形3CE的面積為10x10+5=20（平方厘米），所以長方形的面積為

（20+10）x2=60（平方厘米）.四邊形ABEF的面積為60—5—10—20=25（平方厘米）.

【答案】25

【鞏固】如圖所示，BD、CF將長方形9CD分成4塊，AD￡F的面積是4平方厘米，ACED的面積是6

平方厘米.問：四邊形的面積是多少平方厘米？

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】（法1）連接班1,根據面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形3印的面積和三角形DEC的面積

相等，即其面積也是6平方厘米，再根據蝴蝶定理，三角形3CE的面積為6X6+4=9（平方厘米），

所以長方形的面積為（9+6）x2=30（平方厘米）.四邊形ABEF的面積為30-4-6-9=11（平方厘米）.

FF49FDFF2

（法2）由題意可知，一=-=-,根據相似三角形性質，一=—=-,所以三角形3CE的面積為：

EC63EBEC3

2

6+g=9（平方厘米）.則三角形CBD面積為15平方厘米，長方形面積為15x2=30（平方厘米）.四邊

形的面積為30-4-6-9=11（平方厘米）.

【答案】11

【鞏固】如圖，長方形ABCD被CE、D廠分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么

余下的四邊形OFBC的面積為平方厘米.

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，高年級組，初賽，4題

【解析】連接DE、CF.四邊形EDCF為梯形，所以5^。。=S/℃，又根據蝴蝶定理，

S^EOD■S^poc=S^OF,S^COD，所以5A￡0￡,?SAFoc=5.0尸,SACO。=2x8=16,所以先“=4（平方厘米），

SAECD=4+8=12（平方厘米）.那么長方形3CD的面積為12x2=24平方厘米，四邊形OEBC的面積

為24-5-2-8=9（平方厘米）.

【答案】9

【鞏固】正方形ABCD的邊長為6,E是3C的中點（如圖）。四邊形OECD的面積為一。

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第4題，8分

【解析】連結。E,沁=沁=2=2,^SAD￡O=fsAB￡D=|xlx3x6=6,先位=白3/6=9,所

3MB03AABEJJ//

以SOECD=6+9=15o

【答案】15

【鞏固】如圖，長方形ABCD中，AC?是直角三角形且面積為54,OD的長是16,03的長是9.那么四邊

形OECD的面積是.

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，初賽

【解析】解法一：連接。E,依題意S仞口=LxBOxAO=Lx9xAO=54,所以AO=12,

A0B22

則S=-xDOxAO=-xl6xl2-96.

■AAOnDn22

i3

又因為SACR=SDM=54=—X16XOE，所以O石=6—，

,AUUuuc,24'

1133

得SKCF=—xBOxEO=—x9x6—=30—，

BOE2248

35

所以S0E8=S皿c—S60E=S板_5研=（54+96）_30_=119_.

CZCCZJDZJCDCZCADL）tujtL\,88

解法二:由于543：5加8=0￡）:08=16:9,所以SA8=54xg=96,而S的=S4改=54,根據

3

蝴蝶定理，sxS=SxS,所以SBOE=54x54+96=301

BOEAODAOBDOEo

35

所以S=SB/-SBOE=S初。-SBOE=（54+96）-30—=119—.

OUtELCCDHDCDvJtLADDD（ytL\/gg

【答案】119*

8

【例32］如圖所示，長方形ABCD內的陰影部分的面積之和為70,AB=8,AD=15四邊形￡FGO的面積為

【考點】梯形模型【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，六年級，初賽，第5題

【解析】根據容斥關系：

四邊形EFGO的面積=三角形AFC+三角形DBF-白色部分的面積

三角形AFC+三角形DBF=長方形面積的一半即60,

白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即120-70=50

所以四邊形的面積=60-50=10

【答案】10

【鞏固】如圖5所示，矩形ABC。的面積是24平方厘米,、三角形ADW與三角形8CN的面積之和是7.8平

方厘米，則四邊形PMON的面積是平方厘米。

【考點】梯形模型【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，初賽，第9題

【解析】1.8

【答案】1.8

【例33］如圖，AA5c是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交于K點.已知正方形DEFG

的面積48,AK:KB^1:3,則ABQ的面積是多少？

DAGDAG

【考點】梯形模型【難度】4星【題型】解答

【解析】由于DEFG是正方形，所以ZM與8C平行，那么四邊形AD3C是梯形.在梯形AD3C中，ABDK和

AACK的面積是相等的.而AK:KB=1:3,所以AACK的面積是AABC面積的」一=），那么ABDK

1+34

的面積也是AABC面積的1.

4

由于A/WC是等腰直角三角形，如果過A作BC的垂線，M為垂足，那么M是的中點，而且

AM=DE,可見AANM和AACM的面積都等于正方形DEFG面積的一半，所以AABC的面積與正

方形DEFG的面積相等，為48.

那么ABDK的面積為48x-=12.

4

【答案】12

【例34］如圖所示，MCD是梯形，A4DE面積是1.8,AAB廠的面積是9,ABb的面積是27.那么陰影AAEC

面積是多少？

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】根據梯形蝴蝶定理，可以得到SMFBXSSFCUJA陽xS.「而S&四=5必用（等積變換），所以可得

c_S^FBXSACOF_9X9_

^MF￡>_g—3,

、砧FC乙/

并且5皿=5收/-5AAa=3-L8=L2，而5兇"：S詡c=人尸：2=9:27=1:3，

所以陰影AAEC的面積是：5^=SAA￡FX4=1,2X4=4.8.

【答案】1:3

【例35］如圖，正六邊形面積為6,那么陰影部分面積為多少？

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】連接陰影圖形的長對角線，此時六邊形被平分為兩半，根據六邊形的特殊性質，和梯形蝴蝶定理把

QQ

六邊形分為十八份，陰影部分占了其中八份，所以陰影部分的面積一x6=-.

183

【答案】-

3

【例36］如圖，已知。是3C中點，E是CD的中點，尸是AC的中點.三角形ABC由①?⑥這6部分組成,

其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面積是多少平方厘米?

【考點】梯形模型【難度】3星【題型】解答

【解析】因為E是。C中點，尸為AC中點，有且平行于AZ）,則四邊形ADEF為梯形.在梯形

ADEF中有③=④，②x⑤二③義④，②：@=AD2:FE2=4.又已知②-⑤=6,所以⑤=6+（4-1）=2,

②=⑤x4=8,所以②、⑤=④x④=16,而③=④，所以③=@=4,梯形ADEF的面積為②、③、④、

⑤四塊圖形的面積和，為8+4+4+2=18.有一CEF與ADC的面積比為CE平方與CD平方的比，

444

即為1:4.所以ADC面積為梯形ADEF面積的——=—,即為18x-=24.因為。是3C中點，所以

4-133

人￡。與_ADC的面積相等，而一ABC的面積為ABD、,ADC的面積和，即為24+24=48平方厘

米.三角形ABC的面積為48平方厘米.

【答案】48

【例37］如下圖，在梯形ABCD中，鉆與CD平行，且CD=2M,點E、尸分別是AD和3c的中點，已

知陰影四邊形EMFN的面積是54平方厘米，則梯形ABCD的面積是平方厘米.

【考點】梯形模型【難度】4星【題型】填空

【解析】連接EF,可以把大梯形看成是兩個小梯形疊放在一起，應用梯形蝴蝶定理，可以確定其中各個小

三角形之間的比例關系，應用比例即可求出梯形ABCD面積.

13

設梯形ABCD的上底為。，總面積為S.則下底為2a,EF^^a+2a）^-a.

一33

所以AB:EF=a:—a=2:3,EF:DC=-a:2a=3:4.

22

由于梯形ABEE和梯形EFCD的高相等，所以

:

S梯形AMES梯形=（.+EF）:（EF+℃）=［"+5”）：（萬〃+2。）=5:7,

57

故S梯形ABFE=五S，S梯形后尸CD=五S.

根據梯形蝴蝶定理，梯形內各三角形的面積之比為22:2x3:2x3:32=4:6:6:9,所以

9953

S-EMF=4+6+6+9%3=云、方,=與5；

9973

=X=

同理可得S0rS梯形EFCD49125285，

9+12+12+16

339

所以SfMFN=SEMF+S=—S+—S=—5,由于SEMFN=54平方厘米,

ENFZUZo33

Q

所以S=54+行=210（平方厘米）.

【答案】210

【例38］如圖，在一個邊長為6的正方形中，放入一個邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現

在分別連接大正方形的一個頂點與小正方形的兩個頂點，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分

的面積為.

【考點】梯形模型【難度】4星【題型】填空

【解析】本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過取特殊值的方法來快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定

理來解決一般情況.

解法一：取特殊值，使得兩個正方形的中心相重合，如右圖所示，圖中四個空白三角形的高均為1.5,

因此空白處的總面積為6x1.5+2x4+2x2=22,陰影部分的面積為6x6—22=14.

解法二：連接兩個正方形的對應頂點，可以得到四個梯形，這四個梯形的上底都為2,下底都為6,

上底、下底之比為2:6=1:3,根據梯形蝴蝶定理，這四個梯形每個梯形中的四個小三角形的面積之

比為儼：1><3:1><3:32=1:3:3:9,所以每個梯形中的空白三角形占該梯形面積的二，陰影部分的面

16

77

積占該梯形面積的,，所以陰影部分的總面積是四個梯形面積之和的’,那么陰影部分的面積為

1616

—X(62-22)=14.

16

【答案】14

【例39]如圖，在正方形ABCD中，E、尸分別在3C與8上，且CE=2BE,CF=2DF,連接班'、DE,

相交于點G,過G作MN、PQ得到兩個正方形MGQA和PCNG,設正方形MGQA的面積為3,

正方形PCNG的面積為S2,

【考點】梯形模型【難度】4星