湘教版九年級上冊數學期末考試試題

一、選擇題。(每小題只有一個正確答案)

1.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,c=10,則下列不正確的是()

2.(11?大連)某農科院對甲、乙兩種甜玉米各用10塊相同條件的試驗田進行試驗，

得到兩個品種每公頃產量的兩組數據，其方差分別為$甲2=0.002、s”=Q03,則

A.甲比乙的產量穩定B.乙比甲的產量穩定

C.甲、乙的產量一樣穩定D.無法確定哪一品種的產量更穩定

3.用配方法解下列方程，配方正確的是()

781

A.2y2—7y—4=0可化為2(y+—)2——

28

B.x2—2x—9=0可化為(x—1)2=8

C.x2+8x—9=0可化為(X+4)2=16

D.x2-4x=0可化為(x-2)2=4

4.已知反比例函數丫=匚，下列結論不正確的是()

X

A.圖象經過點(一1,1)B.圖象在第二、四象限

C.當x>l時，一l<y<0D.當x<0時，y隨著x的增大而減小

5.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,對角線AC與BD相交于點O,如果SAACD：SAABC

6.一種藥品原價每盒25元，經過兩次降價后每盒16元，設兩次降價的百分率都為x,則x

滿足等式()

A.16(l+2x)=25B.25(l-2x)=16C.25(l-x)2=16D.16(l+x)2=25

1

7.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55。方向，距離燈塔2海里的點A處，如果海輪沿

正南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離AB長是（）

,北

B

A.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里

k

8.如圖，一次函數yi=ax+b圖象和反比例函數y2=—圖象交于A（l,2）,B（-2,-1）兩點,

x

B.x<-2或0<x<l

D.-2<x<0或x>l

9.如圖，BD是菱形ABCD的對角線，CELAB交于點E,交BD于點F,且點E是AB中

點，則tanNBFE的值是（）

D.石

3

10.如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的

墻角C點，且俯角a為60。，又從A點測得D點的俯角|3為30。，若旗桿底總G為BC的中

點，則矮建筑物的高CD為（）

2

A.20米B.106米C.156米D.5指米

11.已知等腰三角形ABC中，AB=AC=V3,底角為30。，動點P從點B向點C運動，當

運動到PA與■腰垂直時BP長為（）

A.1B.1或3C.1或2D.73

12.有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0,其中a，c￥O,arc,下列

四個結論中，錯誤的是（）

A.如果方程M有兩個相等的實數根，那么方程N也有兩個相等的實數根

B.如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同

C.如果5是方程M的一個根，那么:是方程N的一個根

D.如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=l

二、填空題

13.若關于x的方程2x2+mx+n=0的兩個根是一2和1,則n"1的值為.

14.已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=l：2.4,如果它把物體送到離地面10米高的地

方，那么物體所經過的路程為米.

15.從某校參加畢業考的學生中，隨機抽查了20名學生的數學成績，分數如下：

908488869878615410097

95847071778572637948

可以估計該校這次參加畢業會考的數學平均成績為

16.如果方程kx2+J2Z-1x—3=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是.

17.如圖，在△ABC中,AB^AC.D,E分別為邊AB,AC上的點.AC=3AD,AB=3AE,點F為BC

邊上一點，添加一個條件:，可以使得△FDB與△ADE相似.（只需寫出一個）

3

A

DAE

18.(2017貴港)如圖，過C(2,l)作AC//x軸，BC//y軸，點都在直線y=-x+6上,

若雙曲線>=&(x>0)與，總有公共點，則k的取值范圍是.

X

三、解答題

19.(1)計算：5/2cos230°—sin450-cos60°；

(2)解方程:(x—7)2=3(x—7).

20.如圖，一次函數J=2x-4的圖象與反比例函數)=與的圖象交于.4,3兩點，且點

4的橫坐標為3.

(1)求反比例函數的解析式;

(2)求點3的坐標.

4

21.已知關于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.

(1)求證：對于任意實數m,方程總有兩個不等的實數根;

(2)若方程的一個根是1,求m的值及方程的另一個根.

22.如圖，在△ABC中，AC=8厘米，BC=16厘米，點P從點A出發，沿著AC邊向點C

以lcm/s的速度運動，點Q從點C出發，沿著CB邊向點B以2cm/s的速度運動，如果P

與Q同時出發，經過幾秒^PQC和4ABC相似？

23.受益于國家支持新能源汽車發展和“一帶一路”發展戰略等多重利好因素，我市某汽車零

部件生產企業的利潤逐年提高，據統計，2014年利潤為2億元，2016年利潤為2.88億元.

(1)求該企業從2014年到2016年利潤的年平均增長率；

(2)若2017年保持前兩年利潤的年平均增長率不變，該企業2017年的利潤能否超過3.4

億元？

3

24.如圖，△ABC中，ADXBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan/BAD=—,求sinC

4

的值.

25.如圖，某數學興趣小組要測量一棟五層居民樓CD的高度，該樓底層為車庫，高2.5米；

上面五層居住，每層高度相等，測角儀支架離地1.5米，在A處測得五樓頂部點D的仰角

為60。,在B處測得四樓頂部點E的仰角為30。，AB=14米，求居民樓的高度.(精確到0.1

5

米，參考數據：幣之1.73)

26.如圖，矩形ABCD中，ZACB=30°,將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC,

BD的交點處，以點P為旋轉中心轉動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB,BC

所在的直線相交，交點分別為E,F.

(2)現將三角板繞點P逆時針旋轉a(0。＜。＜60。)角，如圖2,求釬的值；

PF

PF

(3)在(2)的基礎上繼續旋轉，當60。＜01＜90。，且使AP：PC=1：2時，如圖3,——的

值是否變化？證明你的結論.

參考答案

1.D

b

【解析】在RtAABC中，解直角三角形，先求NB,再求a,tanB=—.

6

【詳解】在R3ABC中，因為NC=90。，NA=30。，c=10,

所以，ZB=90°-ZA=90°-30°=60°,

a=-c=5,b=cosAc=5石,tanB=-=—.

2a5

所以，選項A,B,C正確，選項D錯誤.

故選D

【點睛】本題考核知識點：解直角三角形.解題關鍵點：熟記直角三角形性質.

2.A

【解析】方差是刻畫波動大小的一個重要的數字.與平均數一樣，仍采用樣本的波動大小去

估計總體的波動大小的方法，方差越小則波動越小，穩定性也越好.

【詳解】因為=0.002Vsz=0.03,

所以，甲比乙的產量穩定.

故選A

【點睛】本題考核知識點：方差.解題關鍵點：理解方差意義.

3.D

【解析】

【分析】利用完全平方公式配方：(a+b)2=a2+2ab+b2^(a-b)2=a2-2ab+b2

【詳解】A.2y2—7y—4=0可化為2(y-1)2=粵，故選項A錯；

B.x2—2x—9=0可化為(X—1)2=10,故選項B錯；

C.x2+8x-9=0可化為(x+4)2=25,故選項C錯；

D.x2—4x=0可化為(x—2>=4,故選項D正確.

故選：D

【點睛】本題考核知識點：配方.解題關鍵點：熟記完全平方公式和配方方法.

4.D

【詳解】

【分析】當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內，y隨x的增大而減?。划?/p>

k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內，y隨x的增大而增大.

【詳解】當x=-l時，y=l,故圖象經過點(一1,1)；

-l<0,故圖象在第二、四象限；

結合圖象可知，當x>l時，一l<y<0；

7

當x<0時，y隨著x的增大而增大.

故選D

【點睛】本題考核知識點：反比例函數.解題關鍵點：熟記反比例函數的性質.

5.B

【分析】

根據兩平行線間距離相等，得AD：BC=SAACD:SAABC=1：2,同時△AOD^ACOB,

SAAOD:SABOC

【詳解】

如圖

因為AD〃:BC,SAACD：SAABC=1:2,

所以，AD：BC=1：2,AAOD^ACOB,

所以，SAAOD:SABOC=1：4

故選B

【點睛】

本題考核知識點：相似三角形.解題關鍵點：熟記相似三角形性質和判定.

6.C

【解析】解：第一次降價后的價格為：25x(1-x),第二次降價后的價格為：25x(1-x)

2

:兩次降價后的價格為16元，25(1-x)2=16.故選C.

7.C

【詳解】

試題分析：首先由方向角的定義及已知條件得出/NPA=55。，AP=2海里，NABP=90。，再

由AB〃NP,根據平行線的性質得出NA=NNPA=55。.然后解RtAABP,得出

AB=AP?cos/A=2cos55。海里.

8

解：如圖，由題意可知NNPA=55。，AP=2海里，ZABP=90°.

???AB〃NP,

???NA=NNPA=55。.

在R3ABP中，VZABP=90°,NA=55。，AP=2海里，

???AB=AP?cosNA=2cos55。海里.

故選C.

,A

▲北/

N、丁

?j

???

"p'f..............................B..........

■

■

考點：解直角三角形的應用-方向角問題.

8.B

【分析】

根據一次函數圖象位于反比例函數圖象的下方，即可得解.

【詳解】

根據題意可得，％<〉2,即一次函數圖象位于反比例函數圖象的下方，

x<-2或0<x<1.

故選B.

【點睛】

本題主要考查反比例函數與一次函數的交點問題，難度較易，解此題的關鍵在于利用函數圖

形進行判斷即可.

9.D

【分析】

首先利用菱形的性質得出AB=BC,即可得出/ABC=60。，再利用三角函數得出答案.

【詳解】

解：：四邊形ABCD是菱形，

；.AB=BC,

VCEXAB,點E是AB中點，

9

/.ZABC=60°,

.,.ZEBF=30°,

ZBFE=60°,

.".tanZBFE=^3.

故選：D

【點睛】

此題考查菱形的性質，關鍵是根據含30。的直角三角形的性質和三角函數解答.

10.A

【詳解】

:點G是BC中點，EG〃AB,

BGC

AEG>AABC的中位線.AB=2EG=30米.

在RtAABC中，ZCAB=30°,

BC=ABtanZBAC=30x旦=106米.

3

如圖，過點D作DFLAF于點F.

在R3AFD中，AF=BC=10有米，

貝!JFD=AF?tanp=10^x.\g=10米.

綜上可得：CD=AB-FD=30-10=20米.故選A.

考點：解直角三角形的應用（仰角俯角問題），三角形中位線定理，銳角三角函數定義，特

殊角的三角函數值.

11.C

【解析】

【分析】根據題意可分兩種情況討論：①PALAC；②PALAB；可求得BP值.

10

【詳解】①如圖當PALAC時;

VAB=AC,ZB=ZC=30°,

AZAPC=60°,ZBAP=30°,

；.PA=PB,

：AC=6,

；.AP=1,

；.PB=1；

②當PAXAB時；

VAB=AC,；.NB=NC=30。，

ZAPB=60°,ZCAP=30°,

；.PA=PC,

,:AC=B：.AP=1,BP=2.

①②

故選：c

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，解直角三角形的有關知識，注意分類討論思想的應

用.

12.D

【解析】

試題分析：A、有兩個不相等的實數根.即62-44>0而此時N的判別式4=

b2-4ac>0,故它也有兩個不相等的實數根；B、M的兩根符號相同：即玉”,=￡>0,而

a

N的兩根之積=3>0也大于0,故N的兩個根也是同號的.C、如果5是M的一個根，則

C

有：25a+56+c=0①，我們只需要考慮將之代入N方程看是否成立，代入得：±c+lfe+?=o

JZD0

②，比較①與②，可知②式是由①式兩邊同時除以25得到，故②式成立.D、比較方程M

與N可得：

11

?n?ffrxic?O

ex7■!■版+c=0

(a-cji,?(ca)=0

(o-c)x2=(a-c)

x2=l

X=±1

故可知，它們如果有根相同的根可是1或-1

考點：二元一次方程的判別式，及根與系數的關系

13.16

【解析】

【分析】由方程的兩根結合根與系數的關系可求出m、n的值，將其代入心中即可求出結

論.

【詳解】：關于x的方程2x2+mx+n=0的兩個根是-2和1,

-=-2

22

/.m=2,n=-4,

.".nm=(-4)2=16.

故答案為：16

【點睛】本題考查了根與系數的關系，根據方程的兩根結合根與系數的關系求出m、n的值

是解題的關鍵.

14.26.

【詳解】

試題解析：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i=l：2.4,AE=10米，AE±BD,

；.BE=24米,

12

22

.?.在RSABE中，AB=7^￡+BE=26（米）.

考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

15.79

【解析】

【分析】直接求出這20名學生的數學平均成績，然后用樣本的平均成績估計該校平均成績.

【詳解】因為被抽取的20名學生數學成績平均分是：

90+84+88++79+48”

------------------------------------=79,

20

所以，可以估計該校這次參加畢業會考的數學平均成績為79.

故答案為79

【點睛】本題考核知識點：算術平均數.解題關鍵點：用樣本平均數估計總體平均數.

16.k>—

2

【解析】

【分析】用b2-4ac來判斷一元二次方程根的個數，當a不等于0時：

若b2-4ac大于0,則有兩個不等實根；

若b?-4ac等于0,則有兩個相等實根；

若b2-4ac小于0,則沒有實根.

【詳解】依題意得：

（VzT：i）2-4kx（-3）>0

解得k>|

故答案為：k>|

【點睛】本題考核知識點：一元二次方程根判別式.解題關鍵點：熟記根判別式的意義.

17.DF//AC^ZBFD=ZA

【解析】

因為AC=3A。，AB=3AE,ZA^ZA,所以AADE?AACB，欲使AFDB與AADE相似，只

需要與AAC3相似即可，則可以添加的條件有：ZA=ZBDF,或者/C=NBDF,等等，

答案不唯一.

【方法點睛】在解決本題目，直接處理AFDB與AADE,無從下手，沒有公共邊或者公共角，

13

稍作轉化，通過AADE~AACB,得AFD3與AACR相似.這時，柳暗花明，迎刃而解.

18.2<k<9

【詳解】

?點C(2,l),3C//y軸，AC7/x軸，.,.當x=2時，>=-2+6=4,當y=l時，-x+6=l,

解得x=5,.?.點4,2的坐標分別為4(5,1),8(2,4),當點C在反比例函數上時，左=2x1=2收

取最小，設反比例函數與線段相交于點(％-T+6)時左值最大，則

左=x(-x+6)=—*2+6*=—(》-3)2+9,：2Vx<5,.,.當％=3時，左值最大，最大值為9,

此時交點坐標為(3,3),.?.%的取值范圍是24左49.

19.(1)也(2)xi=7,X2=10

2

【解析】

【分析】(1)直接把銳角三角函數值代入計算；(2)用提公因式法解方程.

【詳解】解：(1)^cos230°—sin45°-cos60°

=V2X(走)2史上

222

=A/2

2

(2)(x—7>-3(x—7)=0,

(x-7)(x-7-3)=0,

(x-7)(x-10)=0,

所以，x—7=0或x—10=0

解得xi=7,X2=10

【點睛】本題考核知識點：銳角三角函數，解一元二次方程.解題關鍵點：熟記銳角三角函

數的值，掌握一元二次方程的解法.

20.(1)反比例函數的解析式是y=J(2)(-1,-6).

X

【分析】

(1)把x=3代入一次函數解析式求得A的坐標，利用待定系數法求得反比例函數解析式;

(2)解一次函數與反比例函數解析式組成的方程組求得B的坐標.

【詳解】

(1)把x=3代入y=2x-4得y=6-4=2,

14

則A的坐標是(3,2).

把(3,2)代入y=:得k=6,

X

則反比例函數的解析式是y=9；

X

(2)根據題意得2x-4=9,

X

解得x=3或-1,

把x=-1代入y=2x-4得y=-6,則B的坐標是(-1,-6).

考點：反比例函數與一次函數的交點問題.

21.(1)證明見解析；(2)m的值為±2,方程的另一個根是4.

【詳解】

試題分析：(1)移項，整理化成方程的一般形式，求出根的判別式，即可判斷方程根的情況.

(2)把x=l代入原方程，可得出m的值，再把m的絕對值代回原方程，解出x的另一個

值.

試題解析：(1)移項整理成一般形式：尤2_5尤+6-帆=0,A=&2-4ac=1+4|m|,|m|>0,

；.1+4|時>0,.?.對于任意實數m,方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程的一個根是1,

則(1-3)(1-2)=|同，.,.m=±2,.".JQ—5x+6=2,(x-4)(x-1)=0,.,.x=4,x=l,；.m的值是±2,

方程的另一個根是4.

考點：解一元二次方程及判斷根的情況.

22.4或|

【分析】

本題中，可設經過x秒APQC和△ABC相似，先求出CP=8-x,CQ=2x,再利用相似三角形

性質對應邊成比例列式求解即可得到答案，因為對應邊不明確，答案要分兩種情況①當CP

與CA是對應邊時，②當CP與BC是對應邊時.

【詳解】

解：設經過x秒，兩三角形相似，貝UCP=AC-AP=8-x,CQ=2x,①當CP與CA是對應邊時,

CPCQ8-x2x切/曰/工1

—=—，n即n—--=7T，解得x=4秒;

AC￡>Colo

15

②當CP與BC是對應邊時，2=g,即H=?，解得X=■1秒；

BCAC1685

Q

故經過4或1秒，兩個三角形相似.

【點睛】

本題主要考查了利用相似三角形的性質對應邊成比例求解，但發現對應邊不明確，需要分兩

種情況解決是本題的關鍵.

23.(1)20%；(2)能.

【分析】

(1)設年平均增長率為x,則2015年利潤為2(l+x)億元,則2016年的年利潤為2(l+x)(l+x),

根據2016年利潤為2.88億元列方程即可.

(2)2017年的利潤在2016年的基礎上再增加(1+x),據此計算即可.

【詳解】

⑴設該企業從2014年到2016年利潤的年平均增長率為x.根據題意，得2(l+x)2=2.88,

解得xi=0.2=20%,X2=—2.2(不合題意，舍去).

答：該企業從2014年到2016年利潤的年平均增長率為20%.

(2)如果2017年仍保持相同的年平均增長率，那么2017年該企業年利潤為2.88x(1+20%)=

3.456(億元)，因為3.456>3.4,

所以該企業2017年的利潤能超過3.4億元.

【點睛】

此題考查一元二次方程的應用一增長率問題，根據題意尋找相等關系列方程是關鍵，難度不

大.

24T.

13

【分析】

首先根據RtAABD的三角函數求出BD的長度，然后得出CD的長度，根據勾股定理求出

AC的長度，從而得出/C的正弦值.

【詳解】

BD3

???在直角4ABD中，tanZBAD=—=-,

AD4

3

.*.BD=AD?tanZBAD=12x-=9,

4

???CD=BC-BD=14-9=5,

16

/.AC='AD?+CD?712。+5。=13,

..?A。_12

??sinC=-----=—.

AC13

【點睛】

本題考查了解直角三角形中三角函數的應用，要熟練掌握好邊角之間的關系.

25.18.4米

【分析】

設每層樓高為x米，由MC-CC，求出MC的長，進而表示出D。與EC的長，在直角三角形

DCA，中，利用銳角三角函數定義表示出C，A1同理表示出CB，，由C，B，-CA，求出AB的

長即可.

【詳解】

解：設每層樓高為x米，

由題意得：MC=MC-CC'=2.5-1.5=1米，

，DC'=5x+l,EC'=4x+l,

在RtADCA，中，NDA，C=60。，

:.C'N=DC=是(5x+l),

tan603

在RtAECB，中，ZEBfCr=30°,

ECr-

.?.CB=±r=6(4X+1),

tan30

???AB=CB'-CW=AB,

:..(4x+l)-且(5x+l)=14,

3

解得：x~3.17,

則居民樓高為5x3.17+2.5切8.4米.

考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題

26.(1)6；(2)H=V3;(3)變化.證明見解析.

PF

【分析】

PE

(1)證明4APE絲APCF,得PE=CF；在RSPCF中，解直角三角形求得一的值即可；