難點10相似三角形的常考題型

（9大熱考題型）

麴型盤點N

題型一：比例的性質

題型二：黃金分割

題型三：相似多邊形的性質

題型四：平行線分線段成比例定理

題型五：相似三角形的判定

題型六：相似三角形的性質

題型七：相似三角形的性質與判定的綜合

題型八：相似三角形的實際應用

題型九：圖形位似

.睛淮提分

題型一：比例的性質

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?四川成都?中考真題）盒中有X枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別.從盒中隨

Qx

機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是則一的值為______.

8y

【答案】|3

【分析】本題考查簡單的概率計算、比例性質，根據隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是J3,可得r丁3=W，

8x+y8

進而利用比例性質求解即可.

【詳解】解：???隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是：3，

O

x3.x3

???^=$，則一=￡，

x+y8y5

3

故答案為：—.

【變式1-1］（2023?甘肅武威?中考真題）若W=則必=（）

2b

32

A.6B.—C.1D.一

23

【答案】A

【分析】根據等式的性質即可得出結果.

【詳解】解：等式兩邊乘以2b,得必=6,

故選：A.

【點睛】本題考查了等式的性質，熟練掌握等式的性質是本題的關鍵.

【變式1-2］（2023?浙江?中考真題）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節課后，發現學習內容是

一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當的數值，感受這種特殊化的學習過程.圖中橫線處應填：_

當x=y=6時一%廠|當@=▲時abI-

a=y

xcbc--------

比例線段出現比例中項線段出現特殊線段比

【答案】2

【分析】根據題意得出。=缶,。=變6,進而即可求解.

2

【詳解】解：3

bc

a=42b9c=^-b

2

a_41b

故答案為：2.

【點睛】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵.

YX—V

【變式1-3］（2023?四川甘孜?中考真題）若二=2,則一=.

y>

【答案】1

【分析】根據比例的性質解答即可.

Y

【詳解】解：一=2,

y

￡Z2=￡-I=2-I=I

yy

故答案為：L

【點睛】本題考查了比例的性質，解決本題的關鍵是掌握比例的性質.

【中考模擬即學即練】

<7+Ah+cac

1.（2024.安徽蚌埠.模擬預測）已知次七二0,M—=—==那么%的值是（）

cab

A.2B.-1C.2或0D.2或一1

【答案】D

【分析】本題考查了比例的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵，注意分類討論.

當Q+b+cwO時，利用比的等比性質求解；當〃+b+c=O時，則〃+8=一0,再代入求值即可.

【詳解】解：①當a+b+cHO時，由等比性質可得：=上

a+b+c

即：2（。+"。）*2；

a+b+c

②當a+b+c=0時，貝ij

.7a+b—c1

,.K=------=—=—1,

cc

所以人的值是2或-1,

故選：D.

2.（2024.浙江寧波二模）已知3a=2人/NO）,則下列比例式正確的是（）

A。2cabbla2

A.—=—B.—=—C.—=—D.—=—

3b32a3b3

【答案】D

【分析】本題考查了比例的性質，根據比例的性質進行計算，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、

3b

??cib=6,

故A不符合題意；

B?,一

32,

2a=3b,

故B不符合題意；

-.b2

C、?一二一，

a3

2a=3b,

故C不符合題意；

D、??.g=2,

b3

/.3a-2b,

故D符合題意；

故選：D.

3.（2024?廣東深圳?一模）已知3=2=￡/0,且a+b-2c=6,那么6=_________

654

【答案】10

【分析】本題主要考查了比例的性質，用％分別表示久氏c的值是解題的關鍵.設比值為人,利用比例的

性質得到。=6人力=5￡c=4左，故6T+5左一8左=6,求出左的值即可得到答案.

【詳解】解：設）=3=小，

654

故a=6k,b=5k,c=4k,

故6汰+5汰一8/=6,

:.k=2,

b=2k=10,

故答案為：10.

4.（2025?上海閔行?一模）如果?=那么當的值為

b2a-b

【答案】6

【分析】本題考查了比例的性質.利用比例的性質，進行計算即可解答.

【詳解】解：???一=：,

b2

?,?設a=3左，b=2k,

.2a_2x3%-6

a-b3k-2k'

故答案為：6.

abc3%+2y—z

5.（2024?江西九江?模擬預測）已知一二一二一，則^—若一（其中3x-2y+zw。）的值是__________

xyz3x-2y+z

3a+2b-c

【答案】

3a-2b+c

【分析】本題考查比例的性質，解題的關鍵是學會利用參數解決問題，屬于中考常考題型.

T^-=Z=-=k,貝qx="￡y=4:,z=M,代入原式化簡計算即可.

abc

…八abc

【詳解】解：???-=-=-,

xyz

???1-—Z-―1

abc

則％=ak,y=bk,z=ck,

3x+2y-z_3ak+2bk-ck_3a+2b—c

3x—2y+z3ak-2bk+ck3a-2b+c

故答案為:察言

題型二：黃金分割

【中考母題學方法】

【典例1】（2023?四川達州?中考真題）如圖，樂器的一根弦AB=80cm,兩個端點A,8固定在樂器面板上,

支撐點C是靠近點8的黃金分割點，即支撐點。是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐

點C,。之間的距離cm.（結果保留根號）

【答案】（80君-160）

【分析】本題考查了黃金分割，利用黃金分割的等積式得一元二次方程是解題的關鍵.設AC=xcm,則

BC=（80-x）cm,由AC2=BC.A5得％2=80（80一%），解方程求出AC的長，同理求出AC的長，進而可求

出點C,。之間的距離.

【詳解】解：設AC=xcm,貝iJ3C=（80-x）cm,

AC2=BCAB,

..x2=80（80-x）,

解得石=40石一40,%=T0后一40（舍），

AC=（4075-40）cm,

同理可求，BD=^40A/5-40）cm,

AD=AB-BD=80-（40君-40）=（120-40幣）cm,

CD=AC-AD=（40右一40）-（120-404）=（8075—160km.

故答案為：他4-160）.

【變式2-1］（2024.山西?中考真題）黃金分割是漢字結構最基本的規律.借助如圖的正方形習字格書寫的漢

字“晉”端莊穩重、舒展美觀.已知一條分割線的端點48分別在習字格的邊MN,尸0上，且至〃NP,“晉”

字的筆畫的位置在鉆的黃金分割點C處，且笥二與1,若NP=2cm,則BC的長為一即（結

果保留根號）.

Ml~~~12

N'——1——1——10

【答案】（斯-1）/卜1+君）

【分析】本題考查了黃金分割的定義，正方形的性質及矩形的判定與性質，先證明四邊形ABPN是矩形,

根據黃金分割的定義可得生=避二k據此求解即可，熟記黃金比是解題的關鍵.

AB2

【詳解】??,四邊形MNP。是正方形，

ZN=ZP=90°,

AB//NP,

：.NBA7V+Z2V=18O。，

ZBAN=9Q°,

???四邊形ABPN是矩形，

??.AB=NP=2cm.

；/..BCA/5—1

?----=--------，

AB2

/.BC=^\/5-ijcm,

故答案為：V5-1.

【變式2-2］（2022?陜西?中考真題）在20世紀70年代，我國著名數學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種

“優選法”，在全國大規模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所做跖將矩形窗框A5CD分為

上下兩部分,其中E為邊A3的黃金分割點，即8皮=4?.已知為2米,則線段班的長為米.

【答案】（君-1）/卜1+君）

【分析】根據點E是AB的黃金分割點，可得絲=—=嶼二1,代入數值得出答案.

BEAB2

【詳解】???點E是A8的黃金分割點，

.AE___指-1

..茄—茄一2-'

?：AB=2米，

BE=（非-D米.

故答案為：（石-1）.

【點睛】本題主要考查了黃金分割的應用，掌握黃金比是解題的關鍵.

【中考模擬即學即練】

1.（2024.廣東?模擬預測）大自然是美的設計師，校園里一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”的美.如圖,

點尸是AB的黃金分割點，即廿=避二1,且二1這個無理數約是（）

【答案】B

【分析】本題考查了黃金分割的意義,無理數的估算.先估算得出2.2（百<2.3,據此求解即可.

【詳解】解：V2.2<^<2.3,

A1.2<A/5-1<1.3,

0.6<<0.65，

2

觀察四個選項，選項B符合題意；

故選：B.

2.（2024?安徽合肥?三模）古箏是一種彈撥弦鳴樂器，又名漢箏、秦箏，是漢民族古老的民族樂器，流行于

中國各地.若古箏上有一根弦=90cm,支撐點C是靠近點A的一個黃金分割點，則BC=（）

A.（45宕+45kmB.（9075-45）cm

c.（45^-45）cmD.（135-45小卜111

【答案】C

【分析】本題考查了黃金分割，根據黃金分割的定義進行計算即可得出答案，熟練掌握黃金分割的定義是

解此題的關鍵.

【詳解】解：：AB=90cm,支撐點C是靠近點A的一個黃金分割點，

,BC=^^AB=^^X90=卜5退一45卜01,

故選：C.

3.（2024.湖南長沙.模擬預測）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與

較大部分的比值，其比值為避二L這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.如圖，

2

樂器上的一根弦長鉆=80cm,兩個端點A,2固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支

撐點。是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C,。之間的距離為cm.（結果保留根號）

【答案】卜。4-160）

【分析】本題主要考查了黃金分割的定義，根據黃金分割的定義分別求出AC,DB,再根據線段的和差關

系進行計算即可解答.

【詳解】解：:點C是靠近點8的黃金分割點，AB=80cm,

AC=AB=80=（40A/5-40）cm,

,/點D是靠近點A的黃金分割點，45=80cm,

DB=^-l-AB=^^x80=（40A/5-40）cm

ACD=AC+BD-AB=2（404-40）-80=（80石-160）cm,

.??支撐點C,。之間的距離為（80君-160km,

故答案為：（804-160）.

4.（2024.江蘇蘇州?一模）如圖，將。。的圓周分成五等份，依次隔一個分點相連，即成一個正五角星形.此

時點M是線段AD,5石的黃金分割點，也是線段NE,的黃金分割點，則MN￡=.

A

【分析】本題考查了黃金分割，圓周角定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的

關鍵.連接根據題意可得：AB=DE，從而利用等弧所對的圓周角相等可得=進而可

得心L=然后利用黃金分割的定義進行計算即可解答.

【詳解】解：連接AE,

,,AB=DE9

：.ZAEB=ZDAE,

：.MA=ME,

?.,點M是質的黃金分割點，

.MENM75-1

2

.NMA/5-1

"AM-2

故答案為：叵口.

2

5.（2024?福建廈門?模擬預測）活動一：某數學興趣小組在研究“黃金比例與黃金矩形”，閱讀課本時發現可

以通過折疊得到黃金矩形.請根據每一步的操作完成以下填空.（假設原矩形紙片的寬為2cm）

MB

①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然

后把紙片展平，則NC=______cm；

N47圖］

如圖，已知線段a,請你根據以下步驟作出以2a為腰長的黃金三角形”AEC.（要求：尺規作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法）

a

■?

步驟一：作一條線段G",使得的長度等于,的腰長；

步驟二：作一條線段P。，使得的長度等于,A9C的底邊長；

步驟三：作黃金三角形A'B'C.

【答案】（1）活動一：①2；②1；③#-1；④史二M

2

（2）見解析

【分析】活動一：利用折疊的性質和勾股定理解答即可；

活動二：利用作一條線段等于已知線段的方法，黃金分割的作法和SSS公理解答即可.

【詳解】解：活動一：

①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平，則NC=MN=2cm；

②如圖2,把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，則AC=A7V=；NC=lcm；

③折出內側矩形的對角線AB,并把A8折到圖3中所示的AD處，則

AD=AB=4ACr+BC^==45cm-

④展平紙片，按照所得到的點D折出。E,DE=BC=2cm,CD=AD-AC=(y/5-l)cm,則C2=1二1：

v'BC2

活動二：

步驟一：作一條線段GA,使得GH的長度為2a,

G//H

步驟二：1.過點H作于點H,

2.在上截取=連接GE,

3.在EG上截取EK=a,

4.以點G為圓心，以GK為半徑畫弧交于點則點M為GH的黃金分割點，GM的長度等于，1二1GX,

2

步驟三：作A'B'C',作線段3'C'=GM,分別以",C'為圓心，以GM為半徑畫弧，兩弧交于點A,連接

則.AB'C'為黃金三角形.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質，黃金分割的性質，矩形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，基

本作圖，本題是操作性題目，熟練掌握基本作圖的知識和折疊的性質是解題的關鍵.

6.(2024.江蘇鹽城.二模)【教材呈現】蘇科版數學九年級下冊課本尸52第2題

如圖1,點尸是線段的黃金分割點，且上4＞尸3,凡表示以上4為一邊的正方形的面積，邑表示以為

長、P8為寬的矩形的面積，請根據教材內容，嘗試解決以下兩個問題:

（1）若AB=10,貝（結果保留根號）；

（2）4S2（填“〈”或“=”）.

【初步探究】

（3）將圖1補成矩形。EGF,如圖2,小明猜想點尸在矩形￡>￡GP的對角線￡>G上，請幫助小明判斷其猜

想是否正確，并說明理由.

【深入探究】

（4）如圖3,已知線段48為0的弦，請利用無刻度直尺和圓規，在線段A5上作一點P,在圓上作一點

Q,使得必=絲=避二L（不寫作法，保留作圖痕跡）

PAAQ2

【分析】（1）利用黃金分割比解答即可；

（2）利用黃金分割的性質得到：設18=（#-1）左,則％=2后,AB=PA+PB=（j5+l）k,利用矩形的性質，

正方形的性質和矩形的面積公式解答即可；

（3）連接。P,GP,過點尸作尸”LAB,交DE于點H,交G歹于點/,利用黃金分割比的性質和相似三

角形的判定與性質得到ZPGI=ZDPB,再利用平角的定義解答即可；

（4）利用線段垂直平分線的性質，勾股定理解答即可得出線段A8的黃金分割點；再利用相似三角形的判

定與性質解答即可.

【詳解】解：（1）?點尸是線段48的黃金分割點，且上4>尸3,

,PAV5-1

??---=-----，

AB2

AB=10,

:.PA=5y/5-5.

故答案為：575-5；

(2)「點P是線段AB的黃金分割點，且尸3,

.PB非-1

??---=-----.

PA2

設PB=*-l)k,貝!JD4=23AB=PA+PB=^+l)k.

22

S.=PA=4k9邑二(逐一1)匕(6+1)左=4女2,

/.S.=S2,

故答案為：=；

(3)小明猜想點P在矩形。EG尸的對角線0G上，小明的猜想正確，理由:

連接OP,GP,過點P作尸交DE于點H,交G廠于點/,如圖，

DHE

\

\

\

\P

\

\

\

\

X

\

\

\

\

\

\

\

\

\

FIG

則四邊形。耳狎，四邊形DB4E,四邊形尸/GA,四邊形尸尸G4為矩形,

:.DH=PB,PA=IG,P1=BF=AB,ED=AB=FG,/DBP=/PIG=9伊,

四邊形印“E為正方形，

:.PA=HE=AE=BD,

:.BD=PA,

"?點尸是線段A5的黃金分割點，且P4＞必，

.PA_PB

,,AB-PA?

,IG_PB

,?~~—―__，

PIBD

ZDBP=ZPIG,

:.PIGs.DBP,

:./PGI=ZDPB.

.ZPGI+ZIPG=90°,

:.NDPB+NIPG=90。,

ZDPB+ZBPI+Z1PG=90°+90°=180°,

二點O,P,G在同一直線上，

二點尸在矩形DEGF的對角線DG上；

（4）①.過點。作OMLAB于點Af,

②.過點B作的垂線，在此垂線上截取3c=90,

③.連接AC,以點C為圓心，3C為半徑畫弧交AC于點。，

④.以點A為圓心，以AD為半徑畫弧，交于點P,則點尸為的黃金分割點.

⑤.以點8為圓心，以AP的長為半徑畫圓交圓。于點。，

⑥.連接A。，PQ,則點Q為所求的點.如圖：

【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質，勾股定理，線段的

垂直平分線的性質，線段的黃金分割，相似三角形的判定與性質，基本作圖，矩形的判定與性質，熟練掌

握黃金分割的性質是解題的關鍵.

題型三：相似多邊形的性質

【中考母題學方法】

【典例1】（2022?廣西梧州?中考真題）如圖，以點。為位似中心，作四邊形A3CD的位似圖形AZO,已

0A1

知入7=7,若四邊形A5CD的面積是2,則四邊形AZ'C力的面積是（）

OA3

D'

A.4B.6C.16D.18

【答案】D

【分析】兩圖形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】解：由題意可知，四邊形A3C。與四邊形相似，

由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：（3=^噌=j，

又四邊形ABCD的面積是2,

二四邊形A‘B'C力'的面積為18,

故選：D.

【點睛】本題考查相似多邊形的性質，屬于基礎題，熟練掌握相似圖形的性質是解決本題的關鍵.

【變式3-1］（2023?山東?中考真題）如圖，四邊形ABC。是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊：使

D4邊落在DC邊上，點A落在點〃處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點3落在點G處，折痕為CP.若

矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD=1,則CO的長為（）

DHGC

AEFB

A.72-1B.75-1C.V2+1D.75+1

【答案】C

【分析】先根據折疊的性質與矩形性質，求得DH=CG=L設CO的長為x,則HG=x-2,再根據相似多

邊形性質得出黑=嬰，即J=手，求解即可.

CDADx1

【詳解】解:，由折疊可得：DH=AD,CG=BC,

:矩形ABC。,

AD=BC=1,

：.DH=CG=1,

設CO的長為x,則HG=x-2,

?..矩形HEVG,

EH=1,

:矩形HER?與原矩形ABC￡）相似,

EHHG1x-2

——=——，即nn一=----,

CDADx1

解得：x=0+l（負值不符合題意,舍去）

CO=0+1，

故選：C.

【點睛】本題考查矩形的折疊問題,相似多邊形的性質，熟練掌握矩形的性質和相似多邊形的性質是解題

的關鍵.

【中考模擬即學即練】

1.（2024.云南昆明?模擬預測）如圖.ABCD與YAEFG關于點A成位似圖形，若他們的位似比為2:3,貝|

ABCD與YAEFG的面積比為（）

EF

&

DG

A.4:9B.1:9C.2:3D.1:3

【答案】A

【分析】本題考查的是位似圖形的概念和性質，掌握位似圖形的概念、相似多邊形的面積比等于相似比的

平方是解題的關鍵.根據位似圖形的概念得到，ABCD與YAEFG相似，根據相似多邊形的性質計算，得到

答案.

【詳解】解：VABCD與YAEFG關于點A成位似圖形，他們的位似比為2:3,

；ABCD與YAEFG相似，他們的相似比為2:3,

4:91

;ABCD與YAEFG的面積比為3=r

故選：A.

2.（2023?浙江寧波?模擬預測）如圖，裝裱一幅寬45cm、長60cm的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原

矩形畫相似，裝裱上去的上下部分寬都為12cm,若裝裱上去的左右部分的寬都為xcm（x<20）,則》=（）

—45f

A.9B.12C.16D.18

【答案】A

【分析】本題考查了相似圖形的性質，解分式方程的運用，根據相似的性質“對應邊成比例”即可求解.

【詳解】解：根據題意，大矩形的長為：60+12x2=84（cm）,寬為：（45+2x）s,

;大矩形與原矩形畫相似，

.6045f6045

"84-45+2尤-45+2無―84'

解得，x=9或x=33.5>20（不符合題意，舍去），

檢驗，當x=9時，原分式方程的分母不為0,有意義，

x-9,

故選：A.

3.（2024?重慶渝北?模擬預測）我國習慣上對開本的命名是以幾何級數來命名的，全張紙對折后的大小為對

開，再對折為4開紙，再對折為8開紙，再對折為16開紙，以此類推，如圖，全張矩形紙ABCD沿所對

AR

開后，再把矩形紙沿G8對開，依此類推.若各種開本的矩形都相似，那么f等于（）

AD

【答案】C

【分析】該題主要考查了相似多邊形的性質，解題的關鍵是掌握相似多邊形的性質.

根據矩形A5CD與矩形WE相似，且矩形ABCD的面積是矩形ADEE面積的2倍，根據相似圖形面積比

是相似比的平方，即可得；

【詳解】解：???矩形ABCD的面積是矩形皿E面積的2倍,

:各種開本的矩形都相似，

小，

故選：C.

4.（2024.浙江寧波.一模）如圖，點。為四邊形ABC。內的一點，連結Q4,Q8,OC,。，若

箸=嗡=器=器總’則四邊形AB'C'D的面積與四邊形,。的面積比為《）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】D

【分析】本題主要考查了位似圖形的性質，得出兩四邊形的相似比是解題關鍵.利用位似圖形的定義得出

四邊形AB'C'D與四邊形的位似比為;,進而得出面積比,即可得出四邊形AB'C'D的面積與四邊形

ABC。的面積比.

..OA_OB'_OC_OD'_1

【詳解】解:

"04"OB-OCOF-4

四邊形AB'C'D與四邊形ABC。的位似比為!,

二四邊形AB'CD'與四邊形ABCD的面積比為1:16,

故選：D.

5.（2024.浙江寧波.模擬預測）如圖，已知ABCD中,點E,F,G,a分別為AB,CD,AD,BC1.

的點，且跖〃3C,GH//AB,G”分別與跖，所相交于點M,N,若.AEMSEBCF,則△9W的

面積一定可以表示為（）

D

B

EBCFAEFDB?5(SEBHN-SGMFD)

SAEMG)

ABHG-SGHCD)D.Q(SEBHN

【答案】B

【分析】如圖，過點A作AQ，斯于點。，過點E作EP，5c于點尸，過N作AWL5C于W,設NO=。，

BE

設AE=Q,EM=b,=k,由iAEMGs￡BC尸，得BE=ak,BC=bk,MffiZAEF=Z.EBP—a,四

AE

邊形AEMG,四邊形AEFD,四邊形A3HG,四邊形BCFE,四邊形MHb,四邊形GHCD,四邊形

都是平行四邊性質，得叮=5。=〃攵，CF=EB=ak,BH=EM=b,ZNHW=ZD=a,MF=b(k-l),

進而利用面積公式即可得解.

【詳解】解：如圖，過點A作AQ,石尸于點。，過點E作EPJ_5c于點。，過N作AW,5c于W,設NO=a,

BE

設AE=a,EM=b,

AE

AEMG^EBCF,

BE型=3

AEEM

BE—ak,BC=bk,

四邊形ABC。是平行四邊形,

AB//CD,AD//BC,NEBP=ND=a,

EF//BC,GH//AB,

EF//BC//AD,GHAB\CD,

ZAEF=NEBP=a,四邊形AEMG,四邊形AEED,四邊形四邊形BCFE,四邊形MHCV,四

邊形GHCD,四邊形EBHM都是平行四邊性質,

EF=BC=bk,CF=EB=ak,BH=EM=b,ZNHW=ND=a,

：.MF=b(k-l)f

?.?AQ_L石尸于，EPYBC,

/.EP=BE-sinAEBP=aksma,AQ=AE-sinAAEF=asina,

/.SEBHM-SGMFD=〃》sina一曲(％—l)sina="sina=S也始?

9：GH//CD,

:,NBHN=NC,NBNH=NBFC,

:.△BHNs^BCF,

HNBHHNb

：.——=——,即pn——=—,HN=a.

CFBCakbk

VAW1BC,

???NW=NHsinZNHW=asina,

??SBHN=—BH-AW=—absina=—(^SEBHN-SGMFD).

故選B.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定及性質，平行四邊形的判定及性質，解直角三角形，相似形的性質，

熟練掌握平行四邊形的判定及性質是解題的關鍵.

6.(2023?海南海口?模擬預測)有一張矩形紙片M、N分別是A。，3。的中點，現沿線

段將矩形紙片一分為二，如果所得的兩張矩形紙片與原來的矩形紙片相似，那么的值為.

【答案】1:72

【分析】本題考查了相似多邊形的性質.熟練掌握相似多邊形的性質是解題的關鍵.

設AB=CD=a,BC=AD=2b,0<a<2b,貝(JAM=匕=EV,由所得的兩張矩形紙片與原來的矩形紙片相

似，可得矩形ABCD和矩形AMVF相似，則有=黑，即:=之，可求”=傷，進而可求的值.

AMMNba

【詳解】解：：矩形"CD,

^AB=CD=a,BC=AD=2b,0<a<2b,貝l」AM=6=3N,

四邊形ABMW是矩形，

:所得的兩張矩形紙片與原來的矩形紙片相似，

矩形ABCD和矩形AMNB相似，

ABBCa2b

??而=而，即廣丁’

解得，a=J5b或a=(舍去),

：?AB:BC=a:2b=5.2=l:母,

故答案為：1:0.

題型四：平行線分線段成比例定理

【中考母題學方法】

【典例1】（2024?山東濟南?中考真題）如圖，在正方形9CD中，分別以點A和8為圓心，以大于［AB的

2

長為半徑作弧，兩弧相交于點E和尸，作直線所，再以點A為圓心，以AD的長為半徑作弧交直線跖于

點G（點G在正方形ABCD內部），連接DG并延長交8C于點K.若3K=2,則正方形ABCD的邊長為（）

C3+A/5

D.73+1

,2

【答案】D

【分析】連接AG,設跖交于點，，正方形邊長為2x,由作圖知，AG=AD=2x,垂直平分AB,

得到=NAHG=90。，由勾股定理得到G"二V§x,證明A。GHBC,推出OG=GK,推出

GH=x+1,得至1」括力=X+1,即得2工=若+1.

【詳解】連接AG,設跖交于點H,正方形邊長為2%,

由作圖知，AG=AD=2x,EF垂直平分AB,

AAH=BH=-AB=x,ZAHG=90。，

2

?**GH=JAG-AH2=氐,

ABAD=90°，

AD//GH,

AD//BC,

ADGHBC,

.DGAH1

?（——L,

GKHB

：.DG=GK,

BK=2,

：.GH=^（AD+BK）=x+l

V3x=x+l,

.V3+1

.?x=--------,

2

；?2x=若+1.

【點睛】本題主要考查了正方形和線段垂直平分線綜合.熟練掌握正方形性質，線段垂直平分線性質，勾

股定理解直角三角形，平行線分線段成比例定理，梯形中位線性質，是解決問題的關鍵.

【變式4-1］（2024?山東?中考真題）如圖，點E為，ABCD的對角線AC上一點，AC=5,CE=l,連接OE

并延長至點八使得EF=DE,連接BF,則3F為（）

22

【答案】B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助

線是解題關鍵.

解法一：延長。尸和A5,交于G點，先證LO￡CS_G4E,得至!j—=—=—,AGE,得

AEGEAG

到EBF=方FG=93,即可求得結果；

AEEG4

解法二：作EH〃互交AC于點”，證明出,CDE用AHFE(AAS),得到HE=CE=1,FH=CD,然后證明

出四邊形是平行四邊形，得到BF=AH=AC—CH=3.

【詳解】解：解法一：延長。尸和AB,交于G點，

???四邊形ABCO是平行四邊形，

ADC//AB,=即。C〃AG,

:?-DECS,GAE

.CEDEDC

**GE-AG

VAC=5,CE=1,

：.AE=AC-CE=5-1=4,

.CEDEDC\

*GE-AG-4

DE_DE1

又「EF=DE,

GE-EF+FG-4,

?EF1

??—―，

FG3

..DCDC_1

DC=AB

*^G~AB+BG~49

?DC1

??—―，

BG3

.EFDC1

*'FG-BG-3?

.BGFG3

**AG-￡G-4

???AE//BF,

???,BGFs-AGE,

.BFFG3

^~AE~^G~lr

AE=4,

Z.BF=3.

解法二：作交AC于點打

：.2CDE=NHFE,NDCE=NFHE,

又：EF=DE,

：.&CDEWHFE（AAS）,

:.HE=CE=1,FH=CD,

?..四邊形ABCD是平行四邊形,

CD//AB,CD=AB,

：.HF//AB,HF=AB,

四邊形ABFH是平行四邊形，

BF=AH=AC-CH=3.

故選：B.

【變式4-2］（2024?吉林長春?中考真題）如圖，在VABC中，。是邊的中點.按下列要求作圖:

①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段3。于點￡）,交8c于點E；

②以點。為圓心、長為半徑畫弧，交線段Q4于點產；

③以點尸為圓心、OE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G,點G與點C在直線同側；

④作直線OG,交AC于點下列結論不一定成立的是（）

A.ZAOM=ZBB.ZOMC+ZC=180

C.AM^CMD.OM=-AB

2

【答案】D

【分析】本題主要考查了作一個角等于已知角，平行線的性質和判定，平行線分線段成比例定理，解題的

關鍵是熟練掌握相關的性質，先根據作圖得出NAOM=/3,根據平行線的判定得出O河〃3C,根據平行

A]\4AO

線的性質得出NQMC+NC=180,根據平行線分線段成比例得出-7=義=1,即可得出40=00.

CMOB

【詳解】解：A.根據作圖可知：=一定成立，故A不符合題意；

B.*.*ZAOM=ZB,

:.OM//BC,

??.NOMC+NC=180一定成立，故B不符合題意；

C.???0是邊的中點，

AO=BO,

■:OM//BC,

.AMAO

?，.AM=CM一定成立，故C不符合題意；

D.不一定成立，故D符合題意.

2

【變式4-3]（2024?重慶?中考真題）如圖，在VABC中，延長AC至點。，使CO=C4,過點。作。石〃C6,

且。￡=OC,連接AE交5C于點方.若NC4B=NCE4,CF=1,則AF=.

【分析】先根據平行線分線段成比例證AF=EF,進而得Z?E=CD=AC=2CF=2,AD=4,再證明

CAB^DEA,得3C=AD=4,從而即可得解.

【詳解】解：9：CD=CA,過點。作。石〃C5,CD=CA,DE=DC,

CA

：.—=—=1,CD=CA=DE,

FECD

：.AF=EF,

???DE=CD=AC=2CF=2,

：.AD=AC+CD=4,

■:DE//CB,

:,NCFA=NE,ZACB=ZD,

ZCAB=ZCFA,

，NCAB=NE,

■：CD^CA,DE=CD,

，CA=DE,

,CAB^DEA,

：.BC=AD=4,

：.BF=BC-CF=3,

故答案為：3,

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判

定及性質，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質是解題的關

鍵.

【變式4-4］（2023?湖南益陽?中考真題）如圖，在,ABCD中，AB=6,A￡）=4,以A為圓心，AD的長為

半徑畫弧交A3于點E,連接OE,分別以DE為圓心，以大于;的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作

射線交。E于點M,過點/作朋N〃AB交BC于點N.則的長為.

【答案】4

【分析】由尺規作圖可知，射線AF是NA4D的角平分線，由于AD=A￡=4,結合等腰三角形“三線合一'

得M是DE邊中點，再由MN〃AB,根據平行線分線段成比例定理得到N是邊2C中點，利用梯形中位線

的判定與性質得到MN=；（DC+EB）即可得到答案.

【詳解】解：由題意可知4￡）=短=4,射線AF是4AD的角平分線，

???由等腰三角形“三線合一''得M是OE邊中點，

.MN//AB,

RNFM

，由平行線分線段成比例定理得到而一加4即N是邊5c中點,

■■■是梯形3CDE的中位線,

MN=g（DC+EB）,

在<ABCD中，CD=AB=6,BE=AB—AE=6—4=2,則A/ZV=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長問題，涉及尺規作圖、等腰三角形的判定與性質、平行線分

線段成比例定理、梯形中位線的判定與性質、平行四邊形的性質等知識，熟練掌握梯形中位線的判定與性

質是解決問題的關鍵.

【中考模擬即學即練】

1.（2024?浙江寧波?二模）如圖，已知直線a//b//c,直線m分別交直線°,b,c于點AB,C,直線〃

AR3

分別交直線a,b,c于點D,E,F,若—OF=22，則所=（）

BCo

【答案】B

【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數據

代入計算得到答案.

【詳解】解：

.ABDE

??葭一百‘

火BC8

?DE.3

??-~,

EF8

,/DF=22,

.322-EF

>'8-EF

解得，EF=16.

經檢驗：EF=16是方程的解，

故選B

2.（2024.陜西咸陽?模擬預測）如圖，在VABC中，。為邊上一點，且AD平分，3AC,