1、第三章第三章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影3-2 3-2 點的投影點的投影3-1 3-1 投影方法慨述投影方法慨述3-3 3-3 直線的投影直線的投影3-4 3-4 平面的投影平面的投影電氣學院學習部資料庫3-1 投影方法概述一、投影的基本概念一、投影的基本概念二、投影的分類二、投影的分類1. 1. 中心投影法中心投影法2. 2. 平行投影法平行投影法 （1 1）斜投影法斜投影法（2 2）正投影法正投影法三、工程上常用用的投影圖三、工程上常用用的投影圖1. 1. 多面正投影圖多面正投影圖 電氣學院學習部資料庫一、投影法的基本概念一、投影法的基本概念a 投影投射線b電氣學院學習部資料

2、庫二、投影的分類二、投影的分類1.1.中心投影法中心投影法s 投射中心aba形體物體的中心投影投射線電氣學院學習部資料庫2.2.平行投影法平行投影法（1 1）斜投影法）斜投影法abc90投射線方向電氣學院學習部資料庫（2 2）正投影法）正投影法 90投射線方向abc電氣學院學習部資料庫電氣學院學習部資料庫投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法畫透視圖畫透視圖畫斜軸測圖畫斜軸測圖 畫標高圖畫標高圖及及正軸測圖正軸測圖單面投影單面投影多面投影多面投影畫工程圖樣畫工程圖樣投影的基本知識投影的基本知識投影法介紹投影法介紹電氣學院學習部資料庫三、工程上常

3、用用的投影圖三、工程上常用用的投影圖1. 1. 多面正投影圖多面正投影圖 電氣學院學習部資料庫單一正投影不能完全確定物體的形狀和大小單一正投影不能完全確定物體的形狀和大小兩個投影電氣學院學習部資料庫（2 2）多面正投影圖）多面正投影圖電氣學院學習部資料庫三個投影三個投影電氣學院學習部資料庫 常用的三面投影體系的建立及視圖的形成常用的三面投影體系的建立及視圖的形成電氣學院學習部資料庫3-2 點的投影一、點的投影 （1）、兩投影面體系的建立vxo水平投影面 h 正面投影面 v 投 影 軸 ox電氣學院學習部資料庫（2）、兩投影面體系中點的投影點a的水平投影 a點a的正面投影 aaazyxa電氣學院

4、學習部資料庫（3）、兩面投影圖的畫法hxhvoa aaxxzya電氣學院學習部資料庫（4）、兩面投影圖的性質1) aaox 2) aax =aa , aax =aa 電氣學院學習部資料庫通常不畫出投影面的邊界電氣學院學習部資料庫o（5）、 三投影面體系中點的投影點a的水平投影 a 點a的正面投影 a點a的側面投影 aha aa vwxozywyhaaaa電氣學院學習部資料庫 1. aaz = aay =aa = xa 2. aax = aaz =aa =ya 3. aax =aa y = aa=za （6）、點的直角坐標與三面投影的關系vxzywoayaxazxyzaaaa電氣學院學習部資料庫

5、1. aa x軸，aaz = aay = xa2. aaz軸， aax =aa y = za3. aax = aaz =ya(7)、三投影面體系中點的投影規律電氣學院學習部資料庫（8）、特殊點的投影hvoxb bc cccca bbb aaa a電氣學院學習部資料庫例1 作出點a（20，15，20）的投影。zywxyho201520a aa點的投影例解如何由點的投影想象出點的坐標如何由點的投影想象出點的坐標?電氣學院學習部資料庫例例2 2 已知已知 a a、b b二點的正面及水平投影，求其側面投影。二點的正面及水平投影，求其側面投影。b a a b abxzyw yhokk k k k是是v

6、v面面上的點上的點4545度度輔助線輔助線 點的投影例解電氣學院學習部資料庫例3 判斷兩點的相對位置 兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：x 坐標大的在左 y 坐標大的在前z 坐標大的在上b點在a點之前、之右、之下。b aa a b bx xy yy yz zo o點的投影例解電氣學院學習部資料庫( )a cc 重影點： 空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。a a c 被擋住的投影加( )a、c為哪個投影面的重影點呢？a、c為h面的重影點點的投影例解電氣學院學習部資料庫例4 已知點a（25，15，20）的三面投影，點b在a點之左1

7、5、a之前15、a之上12，試作出點b的三面投影。151215aab a b b點的投影例解無軸投影圖無軸投影圖電氣學院學習部資料庫直線對一個投影面的投影特性直線對一個投影面的投影特性直線的投影特性直線的投影特性a ab ba ab b直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影積聚為一點投影積聚為一點 直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實長投影反映線段實長 ab=abab=ab直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=abcosab=abcosa ab ba ab ba am mb babmabm3-3 、 直線的投影直線的投影電氣學院學習部資料庫1、各種位置

8、直線的投影特性(1) 水平線 只平行于水平投影面的直線aababb xa b ab baozyhywab投影特性：1ab ox ; ab oyw 2 ab=ab 3反映、 角的真實大小電氣學院學習部資料庫（2）正平線只平行于正面投影面的直線aababbxabab baozyhywab 投影特性： 1 ab ox ; a b oz 2 a b=ab 3 反映、角的真實大小電氣學院學習部資料庫（3）側平線只平行于側面投影面的直線aa b a bbab投影特性： 1 ab oz ; ab oyh 2 ab =ab 3反映 、 角的真實大小xza b bbaoyhywa電氣學院學習部資料庫投影面平行線

9、的投影特性投影面平行線的投影特性1. 在與其平行的投影面上的投影反映實長在與其平行的投影面上的投影反映實長,其與相鄰投影其與相鄰投影軸的夾角反映直線對另外兩投影面的真實傾角；軸的夾角反映直線對另外兩投影面的真實傾角；2.2.另兩投影長度縮短另兩投影長度縮短, ,且分別平行與相應的投影軸。且分別平行與相應的投影軸。電氣學院學習部資料庫b a(b)a abzb xa ba(b)oyhywa投影特性：1 a b 積聚 成一點 2 a box ; a b oyw 3 a b = a b = ab（4）鉛垂線 垂直于水平投影面的直線ab電氣學院學習部資料庫（5）正垂線 垂直于正面投影面的直線bababa

10、投影特性： 1 ab 積聚 成一點 2 ab ox ; ab oz 3 ab = ab =ababzxab baoyhywab電氣學院學習部資料庫（6）側垂線 垂直于側面投影面的直線投影特性： 1 ab 積聚 成一點 2 ab oyh ; ab oz 3 ab = ab =ababbaababzxabbaoyhywab電氣學院學習部資料庫投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性1. 在與其垂直的投影面上的投影積聚成一點在與其垂直的投影面上的投影積聚成一點;2. 另兩投影顯實長另兩投影顯實長,且分別垂直于相應的投影軸。且分別垂直于相應的投影軸。hw電氣學院學習部資料庫（7）一般位置直線abb

11、babaazxabaoyyabb投影特性：1 a b、 ab、a b均小于實長 2 a b、ab、a b均傾斜于投影軸 3不反映 、 、 實角電氣學院學習部資料庫特殊位置直線特殊位置直線（一）投影面平行線（一）投影面平行線（二）（二） 投影面垂直線投影面垂直線水平線水平線/水平面水平面正平線正平線/正平面正平面側平線側平線/側平面側平面鉛垂線鉛垂線 水平面水平面正垂線正垂線 正平面正平面側垂線側垂線 側側平面平面直線對投影面的相對位置分類直線對投影面的相對位置分類（三）一般位置直線（三）一般位置直線與三個投影面均傾斜的直線與三個投影面均傾斜的直線電氣學院學習部資料庫三棱錐各棱線的位置分析三棱錐

12、各棱線的位置分析例一、各種位置直線的投影特性例一、各種位置直線的投影特性電氣學院學習部資料庫 s s b a c abc a (c )b s 電氣學院學習部資料庫b ba a 例二、已知立體上直線例二、已知立體上直線 abab、cd cd 的空間位置，的空間位置， 在投影圖中標注其投影位置，填。在投影圖中標注其投影位置，填。 a a b b c c d d a a b b c c （d d） (c(c ) ) (d(d ) ) 鉛垂鉛垂 一般位置一般位置電氣學院學習部資料庫直線上的點具有兩個特性： 1從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判

13、斷已知點是否在直線上。 2定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即a c: c b = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用這一特性，在不作側面投影的情況下，可以在側平線上找點或判斷已知點是否在側平線上。 例題2 例題3 例題42、 直線上點的投影電氣學院學習部資料庫點點c不在不在直線直線ab上上例例1：判斷點：判斷點c是否在線段是否在線段ab上。上。abca b c c abca b 點點c在直在直線線ab上上電氣學院學習部資料庫例例2：判斷點：判斷點k是否在線段是否在線段ab上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故點故點k不在不在ab

14、上。上。應用定比定理應用定比定理abka b k 另一判斷法另一判斷法?電氣學院學習部資料庫cc 例題例題3 3 已知線段ab的投影圖，試將ab分成21兩段，求分點c的投影c、c 。電氣學院學習部資料庫例題例題3 3 已知點c在線段ab上，求點c 的正面投影。cccabc電氣學院學習部資料庫3、 兩直線的相對位置 一、平行兩直線二、相交兩直線 三、交叉兩直線四、交叉兩直線重影點投影的可見性判斷 例題5 例題6 例題7電氣學院學習部資料庫(1)、平行兩直線 1若空間兩直線相互平行，則它們的同名投影必然相互平行。反之，如果兩直線的各個同名投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。 2平行兩線段

15、之比等于其投影之比。baadbbccxbaabdcdc電氣學院學習部資料庫b d c a cbadd b a c 對于特殊位置直線，對于特殊位置直線，只有兩個同名投影互相只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行，空間直線不一定平行。平行。求出側面投影后可知：求出側面投影后可知：ab與與cd不平行。不平行。例：判斷圖中兩條直線是否平行。例：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側面投影求出側面投影如何判斷？如何判斷？電氣學院學習部資料庫(2)、相交兩直線 當兩直線相交時，它們在各投影面上的同名投影也必然相交，且交點符合空間一點的投影規律。反之亦然。bxaabkcddck電氣學院學習部資料庫(3)、

16、交叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 b xa abc d dc11 (2 )2電氣學院學習部資料庫例題例題1 1 判斷兩直線重影點的可見性3(4)34121(2)電氣學院學習部資料庫例題例題2 2 判斷兩直線的相對位置dacboywyhz電氣學院學習部資料庫例題例題3 3 判斷兩直線的相對位置11dc 11電氣學院學習部資料庫3-4、平面的投影1、平面的表示法baacbcbaacbcaabcbcabcabcdd電氣學院學習部資料庫投影面平行面投影面平行面投影面垂直面投影面垂直面特殊位置平面特殊位置平面水平面水平面/h面面正平面正平面/v面面側平面側平面/w面面鉛垂面鉛垂面

17、h面面正垂面正垂面 v面面側垂面側垂面 w面面一般位置平面一般位置平面2、各種位置平面及其投影特性、各種位置平面及其投影特性電氣學院學習部資料庫（一）一般位置平面abccabbaaabbccbacabc投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均為 abc的類似形 (2) 不反映、 的真實角度 電氣學院學習部資料庫pph（二）投影面垂直面 1）鉛垂面abcacbabab bab ccc投影特性 (1) abc積聚為一條線 (2) abc、 abc為abc的類似形 (3) abc與ox、 oy的夾角反映、角的真實大小電氣學院學習部資料庫qqv 2）正垂面 accabbbababaccc投

18、影特性 (1) abc 積聚為一條線 (2) abc、 abc為 abc的類似形 (3) abc與ox、 oz的夾角反映、 角的真實大小電氣學院學習部資料庫sws 3）側垂面cababcbababaccc投影特性 (1) abc積聚為一條線 (2) abc、 abc為 abc的類似形 (3) abc與oz、 oy的夾角反映、角的真實大小電氣學院學習部資料庫投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性vhwoxyzqvq oxzyhywbacbcabcabcaabc1. 在所垂直的投影面上的投影積聚為直線在所垂直的投影面上的投影積聚為直線;其積聚性投影其積聚性投影與投影軸的夾角反映了平面對另兩投

19、影面的真實傾角。與投影軸的夾角反映了平面對另兩投影面的真實傾角。 2. 另兩投影為縮小的類似形。另兩投影為縮小的類似形。電氣學院學習部資料庫（三）投影面平行面 1）水平面cababcbacabccabbbaacc投影特性： (1) abc、 abc積聚為一條線，具有積聚性 (2) 水平投影 abc反映 abc實形電氣學院學習部資料庫2）正平面投影特性： (1) abc 、 abc 積聚為一條線，具有積聚性 (2) 正平面投影 abc反映 abc實形 cabbacbcabacabcbcacba電氣學院學習部資料庫3）側平面abbbacccabcbacabccaba投影特性： (1) abc 、

20、abc 積聚為一條線，具有積聚性 (2) 側平面投影 abc 反映 abc實形電氣學院學習部資料庫投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性cyabboyacbcaxz1. 在所平行的投影面上的投影反映實形在所平行的投影面上的投影反映實形;2. 另兩投影積聚為直線另兩投影積聚為直線,且分別平行于相應的投影軸。且分別平行于相應的投影軸。電氣學院學習部資料庫3、屬于一般位置平面的點和直線判斷直線在平面判斷直線在平面內的方法內的方法 定定 理理 一一若一直線過平面若一直線過平面上的兩點，則此上的兩點，則此直線必在該平面直線必在該平面內。內。定定 理理 二二若一直線過平面上的若一直線過平面上的一點，且平行于該平一點，且平行于該平面上的另一直線，則面上的另一直線，則此直線在該平面內。此直線在該平面內。(1) 平面上取任意直線平面上取任意直線電氣學院學習部資料庫（2）取屬于平面的點 取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線edddee電氣學院學習部資料庫abcb c a abcb c a d mnn m d例：已知平面由直線例：已知平面由直線ab、ac所確定，試所確定，試 在平面內任作一條直線。在平面內任作一條直線。解法一解法一解法二解法二根據定理二根據定理二根據定理一根據定理一有多少解？有多少解？有無數解。有無數解