第02講正弦定理和余弦定理12種常見考法歸類

學目目標T

通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度

量問題.

函基礎知識^

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,R為△ABC外接圓的半徑，則

正弦定理余弦定理

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩

文字在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦

邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的

語言的比相等.

積的兩倍.

a1=b2+c2-2bccosA,

abc

公式+/_2cacosB,

sinA=sinB=sinC

c2=a1+b2—2abcosC.

(l)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

abc

(2)sinA=2^,sin8=灰，sinC=K.

(3)三角形的邊長之比等于對應角的正弦比，6+/一“2

即〃：b：c=sinA:sinB:sinC.(1)cosA=2bc，

/+〃2一人2

(4)Qsin3=/?sinA,/?sinC=csinB,〃sinC=csinA.

cosB=2ca，

(5)大邊對大角大角對大邊

常見?2+/72—C2

變形。>Z?oA>BosinA〉sin3ocosA<cosBcosC=2ab?

ocos2A<cos2B

(2)b2+c2-a2=2Z?ccosA,

(6)合分比:

C2+"一人2=2QCCOS8'

a+b+c

sinA+sinB+sinC/+b?—c?=2aZ?cosC

a+bb+ca+c

sinA+sinBsinB+sinCsinA+sinC

=，=J，=2R

sinAsinBsinC

2.三角形內角和及三角形常見重要關系

B+CKA

(l)AABC內角和定理：A+B+C=7r,進而有-2—=1一E等式子

(2)三角函數關系：①sinC=sin(A+3)=sinAcos5+cosAsin3c=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA-\-acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

A

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)=tan"+tan'。+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC

1—tanA?tanB

小.A+BCA+B.C

⑷sin(-------)=cos一；cos(z-------)=sin一

2222

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(4)角平分線定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例.即若

BDAB

AO為NA的角平分線，則有比例關系：C5=AC.

3.三角形常用面積公式

1

(1)S=2"也(總表示邊a上的高).

1XX

(2)S=2〃bsinC=2〃csin5=2bcsinA.

O)SSABC=^=^a+b+cyr(/?是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R,r.)

4H2

/__________________________1

(4)S=、.(］一〃)(pi)(p—c),即海倫公式，其中P=，(Q+/?+C)為△A3C的半周長.

_1—、—，

⑸=51%I，其中AB=(石,y),AC-(馬,為)

4.解三角形中的常用術語

⑴仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯

角(如圖①).

,北

視線t北

II麗角寺西。裝歹目標

線I建角惠

圖①圖②圖③圖④

(2)方位角：從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如5點的方位角為a(如圖②).

(3)方向角：相對于某一正方向的水平角.北偏東。，即由指北方向順時針旋轉。到達目標方向(如圖③).

北偏西。，即由指北方向逆時針旋轉a到達目標方向.南偏西等其他方向角類似.

(4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(如圖④，角(9為坡角).坡度指坡面的鉛直高

度與水平長度之比(如圖④，7?為坡度，i=tand).坡度又稱為坡比.

+面解題策略:

---------------------lllllllllllllllllllllllllllllilllllllllll-----------------------

1、正弦定理之齊次式結構

結構特點：每一項中都有邊(a,4c)或sin角(sinA,sin5,sinC)且次數一致，即可實現邊和對應sin角

的互化

結構示例：

ci)整式齊次式：

①邊的齊次式

—(7+&=c<4>—sinA+sinB=sinC

22

ab=c1=sinAsinB=sin2C

②sin角的齊次式

sin2A+sin2B—sin2C=—sinAsinBoa2+Z72—c2=—ab

(2)分式齊次式：

sin5b

sinA+sinCa+c

2、拆角合角技巧

1、化簡后的式子同時含有ASC三個角時，解題思路是減少角的個數，方法主要有以下兩種

①合角

出口：sinAcosB+cosAsin5=sin(A+B)=sinC

cosAcosB-sinAsin5=cos(A+B)=-cosC

②拆角——拆單角(“單身狗角”)

4口：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

注：⑴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

cosC=-cos(A+B),cos5=-cos(A+C),cosA=-cos(B+C)

/、,A+JBCA+5,C

(2)sin-----=cos—,cos--------=sm—

2222

(3)AA5C中sinA=sin5①A=5②A+5=?(舍去)

jr

sin2A=sin2B①2A=25=>A=5?2A+2B=7r<=A+B=—

2

7t7t

sinA=cosB,則A+5=—或A-5=—

22

(4)射影定理

a-bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c-acosB+bcosA

3、三角形最值問題

三角形中角度是最基礎的要素之一，圍繞角度展開的范圍問題主要有兩大考查內容:一方面對角度大小

范圍做出考查;另一方面對角度的正余弦值范圍進行提問.解題難度系數并不大,但準確高效地解題還取決于

對三角形內角和特點是否考慮周到.

(一)角度范圍問題

求解三角形的角度范圍問題，常見解題思路為:(1)對所給條件做出分析，根據條件特點選擇合適定理表達

所求角度,若己知邊長值較多則考慮余弦定理，已知角度大小則考慮正弦定理;(2)根據角度的具體表達式結構

特點，討論有關變量的具體定義域;(3)選擇三角函數求值域或基本函數求值域方式，在所求定義域內求得對應

值域,即可得到問題所求的角度相關范圍大小.

(-)邊長范圍問題

邊長是組成三角形的另一重要元素，因此與三角形邊長有關的范圍問題也十分常見.由于這一類范圍問

題求解并不復雜，故以選擇形式或填空形式出現較為多見.求解這類與邊長有關的范圍問題，正余弦定理的靈

活運用成為解題的關鍵步驟，常見的解答思路一般表現為：(1)根據已知條件的特點，選擇合適的定理并代人具

體值,得到與問題所求的對應關系等式;(2)根據關系等式以及三角形三邊之和、內角和關系特點，得到具體關

系等式或不等式;(3)通過運算，求出問題所求邊長對應具體取值范圍.

(三)面積范圍問題

針對三角形面積進行提問的取值范圍問題，屬于中等難度的一類解三角形問題，可在選擇填空或解答題

中遇見其“身影”.解答這類問題,主要思路在于借助公式將面積問題等價轉化為函數求值域或基本不等式求最

值，進而對問題作出具體完整的解答，這些解題思路在解題過程中具體可表現為:(1)對所求三角形大致形狀做

出分析，明確選擇面積求解公式;(2)運用正余弦定理，取得三角形邊長、角度具體值，將其代人面積公式中得到

具體表達式;(3)根據表達式結構特點，運用函數求值域思路或基本不等式求臨界值思路，得到具體的范圍大小,

即對應問題所求的面積范圍值.

Q考點剖析

考點一：利用正弦、余弦定理解三角形

1.在AABC中，若NA=45°,ZB=30°,BC=3近，則AC=()

…D.4

A.3B.2石

【答案】A

【分析】利用正弦定理即可求解

【詳解】根據正弦定理有警=頭，結合ZA=45。，ZB=30°,BC=3近,

sinAsmB

3A/2X1

BC?sinB

貝|JAC=_____1=3

sinA6

2

故選：A

jrrr

變式1：AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=1,A=-,B=—.貝ijc=()

612

A.1B.72C.73D.3亞

【答案】B

【分析】首先由誘導公式求出sinC,再根據正弦定理計算可得；

【詳解】解：依題意sinC=sin[萬一(A+8)]=sin(A+8)=sin.=

c_1

由正弦定理一J=—工，即屹=1，解得c=應；

sinCsinA——T

故選：B

變式2：在銳角“BC中，內角人民C所對的邊分別是a、b、。，若C=45。，6=4?,sinB=^，則c=

【答案】50

【分析】利用正弦定理即得.

【詳解】由正弦定理可得,

sinBsinC

sinB2A/5

故答案為：5VL

例2.在AMC中，BC=2,AC=A/3,ZB=60°,則ZA=.

【答案】90°

【分析】根據正弦定理求解即可.

【詳解】根據正弦定理可知手;=坐;，代入題中數據一2—==2,可知sinA=l,所以4=90°

sinAsinflsinAsin60°

故答案為：90°

12

變式1：在AABC中，ZA,/B,NC所對的邊分別為a,b,c,其中“=4,c=6,cosA=yj,貝！JsinC=

()

【答案】B

【分析】直接利用正弦定理可求解.

【詳解】?,'cosA=^|,.-.Aek^L

5

13

由正弦定理

426

故選：B.

變式2：在AABC中，內角A,B,C所對的邊為a,b,c,若0=4,%=4百,4=30。，則3=()

A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°

【答案】D

【分析】根據a=4,6=4百,4=30。，利用正弦定理求解.

【詳解】解：在AABC中，a=4,b=4>/3,A=30°,

由正弦定理得三二一二，

sinAsinB

.nZ?-sinA4A/3-sin30c小

a42

所以8=60。或120。，

故選：D

4

3.若AABC中，a=5,6=4,sinC=-,貝l|c=

【答案】J萬或相

【分析】由已知可求得cosC=±;3分cosC=13與cosC=-31兩種情況，根據余弦定理，即可求出結果.

43

【詳解】因為sinC=M,0<C<7t,所以cosC=±g.

33

當cosC=g時，由余弦定理=a2+b2-2abcosC=25+16-2x5x4x—=17,

因為，c>0,解得c=JT7；

當cosC=-g時，由余弦定理/=“2+/-2abcosC=25+16-2x5x4x1-gj=65,

因為，c>0,解得c=A/65.

故答案為：而或屈.

變式1：在zABC中，內角A,B,C所對的邊分別是b,c,若cosA=；,a=2第,c=3,則》=

【答案】3

【分析】利用余弦定理列方程求解.

【詳解】由余弦定理a?=/+-26ccosA得12=/+9-26即/一2匕一3=0,

解得6=-1（舍）6=3,

故答案為:3.

變式2：在AABC中，已知sinA=《，cosA+cosB<0,a=3下,b—5,貝!Ic=.

【答案】2

【分析】由。>8，得/>B,再結合cosA+cosB<0,得到角A為鈍角，然后利用余弦定理求解.

【詳解】解：在廿WC中，a=3小，b=5,

由得/>6,

因為cosA+cosB<0,

4

所以角A為鈍角，則cosA=」《，

由余弦定理得=b2+c2-2bccosA,

即c?+8c-20=0,解得c=2或c=T0（舍去），

故答案為：2

JI

變式3：在AA3c中，^ac—8,a+c—7,B——,貝。6=()

A.25B.5C.4D.75

【答案】B

【分析】利用余弦定理b=J/+c2_2accos3直接求解，

【詳解】在"RC中，若ac=8,a+c=7,B=p

由余弦定理得6=y/a2+c2-2accosB=J(a+c『-3ac=V72-3x8=5.

故選：B

4.在AABC中，a=7,b=4^,c=yf]3,則a4BC的最小角為(

71

D.

-712

【答案】c

【分析】由已知，根據條件給出的三邊確定的最小角為C,直接利用余弦定理計算cosC,即可完成

求解.

【詳解】由已知，在AABC中，<2=7,/?=c=,

因為a>%>c,所以AABC的最小角為C,

me°a2+b2-c249+48-13白

所以cosC=--------------=-------------尸=一，

lab2x7x4732

又因為Ce(O,?i),

所以C=5

6

故選：C.

變式1：在AABC中,a:b:c-3:2:4,則cosC的值為()

A2B

■3--ID-i

【答案】C

【分析】由題意可設。=3根,6=2m,c=4〃m>0,再根據余弦定理求解即可.

【詳解】解：因為a:b:c=3:2:4,

所以設a=3m,b=2m,c=4m,m>0,

a2+b2-c2(3m)2+(2m)2-(4/T?)21

由余弦定理可得cosC=

lab2-(3m)-(2m)4

故選：C.

變式2：己知AABC中，a:b:c=l:6：2,則等于()

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:2

【答案】A

【分析】根據三邊的比令。=，，b=?,c=2t,(r>0),進而可知/=/+〃，根據勾股定理逆定理推斷

出C=90。，進而根據a=gc推斷出A=30。，進而求得8,則三個角的比可求.

【詳解】解：依題意令。=乙b=8,c=2t,(?>0),

="2+〃，所以vRC為直角三角形且C=90。,

又sinA=0=—,且0。<4<90°,

c2

二.A=30。，

.\B=90o-30o=60°,

.\A:B:C=1:2:3

故選：A.

已知3=120。/=加,〃+0=4,貝！J〃二

【答案】3或1##1或3

【分析】利用余弦定理結合a+c=4可求出，的值.

【詳解】在“IBC中，B=120o,b=y/i3,a+c=4,

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-ac,

所以13=16-ac,得ac=3.

a+c=4a=3<2=1

由“c=3，得c=l或

c=3

所以a=3或1.

故答案為：a=3或1.

TT

變式1：A4BC的三個內角A&C所對邊的長分別為a,6,c,已知c=3,C=j,a=2b,貝防的值為

【答案】6

【分析】由GCOSC的值及a=2b,利用余弦定理即可列出關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值.

【詳解】由c=3,cosC=g,。=26,根據余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：5b2-2b2=9,即b2=3,

所以b=也.

故答案為：6

變式2：在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=JB,bc=12,A=5，則6+c=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】利用余弦定理及完全平方公式計算可得.

【詳解】解：由余弦定理可得"=廿+02-26CCOSA=13,

TT

又因為bc=12,A=1

所以人+?2=25.

因為(6+c)2=b2+c2+2bc=49,

所以/+c=7.

故選：B

考點二：判斷三角形解的個數

6.在AABC中，內角A8,C所對的邊分別為。,仇。，則下列條件能確定三角形有兩解的是（）

JI

A.〃=5,b=4,A=一

6

兀

B.Q=4,Z?=5,A=一

4

C.a=5,b=4,A=—

6

JI

D.a=4,b=5,A=—

【答案】B

【分析】結合已知條件和正弦定理即可求解.

【詳解】對于A：由正弦定理可知，-^-=-7^-^sinB=1

sinAsmB5

TT

,：a>b,：.B<A=-,故三角形AABC有一解；

6

對于B：由正弦定理可知，，-=±nsinB=述，

sinAsinB8

TT

-：b>a,：.B>A=-,故三角形AABC有兩解；

4

對于C：由正弦定理可知，-j==JnsinB==

smAsmB5

為鈍角，；.B一定為銳角，故三角形AABC有一解；

對于D：由正弦定理可知，竺今sin8=逑>1,故故三角形AABC無解.

sinAsinB8

故選:B.

變式1：【多選】在"RC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,C,根據下列條件判斷三角形的情

況，則正確的是（）

A.6=19,A=45。，C=30°,有兩解

B.a=5b=20，A=45。，有兩解

C.a=3,6=20，A=45。，只有一解

D.a=7,6=7,A=75。，只有一解

【答案】CD

【分析】利用正弦定理，逐項計算判斷作答.

【詳解】對于A,因為A=45。，C=30°,則3=105。，由正弦定理三=三=上

sinAsinCsinB

得。=絲￥，。=絲華，顯然有唯一結果，即只有一解，A錯誤；

sinBsmB

對于B,a=6b=2也,A=45。，由正弦定理得sin8=變內刊=名空"=二>1,無解，B錯誤;

a陋陋

對于C,。=3,b=2垃,A=45。，有。>>，則8<A=45。，

由正弦定理得sin8="電4=2045。=2<1有唯一解，c正確；

a33

對于D,a=7,6=7,A=75。，有a=b,則3=A=75。，此時C=30。，有唯一解，D正確.

故選：CD

變式2：中，內角A,B,C的對邊分別為mb,c.已知下列條件：①6=3,c=4,3=30。；②。=5,

6=4,4=30。；③c=2,b=6，8=60。；?c=12,b=12,C=120。.其中滿足上述條件的三角形有唯

一解的是（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

【答案】C

【分析】對于①，求出頂點A到BC的距離，再與瓦c兩邊比較大小即查得出結論，對于②，求出頂點C到A8

的距離，再與6兩邊比較大小即查得出結論，③，利用正弦定理判斷即可，對于④，利用等邊對等角求出

角判斷

【詳解】對于①，因為6>csinB=4x;=2,S.b<c,所以三角形有兩解；

對于②，因為。>6-sinA=4xg=2,Ra>b,所以三角形一?解;

「qinR

對于③，sinC=^—=1^C=9O°,所以三角形有一解；

b

對于④，c=12,b=12,C=120°,則B=C=120。，則3+C>180。，所以三角形無解.

所以滿足上述條件的三角形有一解的是②③.

故選：C

小^例7.在44BC中，己知。=3,A=-|,b=x,滿足此條件的三角形只有一個，則x滿足()

A.X=2A/3B.xe(O,3)

C.XG{2A/3}U(O,3)D.xe(2A/3}u(O,3]

【答案】D

【分析】結合正弦定理得x=26sin3,滿足條件的三角形只有一個，即尤有唯一的角與其對應，即可確定

8的范圍，求得結果.

3_x_3sinBQ6.口騙。

【詳解】由正弦定理得京區=高萬，則有》一^^一sm,jo,兀A)=|,y.

~3V秒

???滿足條件的三角形只有一個，即x有唯一的角與其對應，則Bi*故

x=26sin2?[2>/3]U(0,3].

故選：D

變式1：AABC中，角A,8,C的對邊分別是a,6,c,A=60°,a=6.若這個三角形有兩解，則匕的取值范圍

是（）

A.y/3<b<2B.43<b<2

C.l<b<2y[3D.l<b<2

【答案】B

【分析】由正弦定理結合已知，可推得b=2sinb進而根據三角形解得個數推得1<sinB<l,即可得出答

2

案.

77asinBV3sinB..八

【詳解】由正弦定理可得，飛癡"=y^=

sinAsinB--

2

要使AABC有兩解，即3有兩解，則應有A<3,且sin3<l,

所以=sinA<sinB<1,

2

所以

故選:B.

變式2：在AABC中，A=a^0<6Z<—j,b=m.分別根據下列條件，求邊長。的取值范圍.

(□△ABC有一解；

(2)△ABC有兩解；

(3)△ABC無解.

【答案】(1)"=根sin。或〃之機；

(2)msina<a<m\

(3)a<msina.

【分析】(1)根據正弦定理，得至心皿8=吧吧.分。<6、a=b、討論，即可得出；

a

AT?sin"

(2)由已知可得sina<——-<1,求解不等式即可得出結果；

a

(3)由已知可得sin3>1,求解不等式即可得出結果.

【詳解】(1)由正弦定理上7=芻可得，sin2=變史4=

sinAsmBaa

(i)當〃<Z?,即〃v機時，sin5=--------->sinA.

a

mcin(y

①若sinB>l,即------>1,則3不存在，AABC無解，此時ac^sina；

a

mcinryqr

②若sin5=l,即------=1,B=—,AA5c有一解，止匕時a=msina；

a2

mcin/y

③若sin5vl,即上，<1,因為sin5>sinA,此時3可能是銳角或鈍角，即此時△ABC有兩解，此時

a

a>msina,即msina<a<m.

綜上所述，當a=機sina時，AABC有一解；

mein/y

(ii)當a=〃，即〃=加時，sinB=---------=sinA,融。有一解；

a

mcin/y

(iii)當〃>>，即。>加時，sin5='^<sinA,此時5只能是銳角，A4BC有一解.

a

綜上所述，△ABC有一解時，邊長〃的取值范圍是a=msina或。之機.

（2）由（1）知，4WC有兩解，應滿足sinAvsinBvl,由sin5=---------,即sino<----------<1,解得

aa

msina<a<m.

wcin/y

（3）由（1）知，AABC無解，應滿足sin5>1,即------>1,解得avmsina.

a

考點三：正弦定理的應用

8.已知"IBC的三個內角A、B、。所對的邊分別為〃、b、c,且&cos5=bsinA,則3=（）

c兀

A.一D.-

2

【答案】C

【分析】由正弦定理化簡得出tanB的值，結合角3的取值范圍可求得角3的值.

【詳解】因為迅〃cos5=bsinA,由正弦定理可得上sinAcos5=sin5sinA,

?.?A、BG（0,7C）,貝UsinA>0,所以，^3cosB=sinB>0,

所以，tanB=^3，故B=§.

故選：C.

變式1：已知。也。分別為zkABC三個內角A,5,C的對邊，且石asinC-ccosA=0,則人為（）

“萬一71c兀一兀

A.—B.―C.—D.一

2346

【答案】D

【分析】利用正弦定理邊化角可化簡求得tanA,由此可得A.

【詳解】由正弦定理得：V3sinAsinC-sinCcosA=0,

?/CG（0,^）,sinC0,/.sinA=cosA,即tanA=

-.?AG（0,7i）,：.A=—.

故選：D.

變式2：記"IBC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知角C=:,6sin［：++=c,

則角B=（）

A.-B.-C.—D.-

8683

【答案】C

【分析】先由正弦定理把邊轉化為角，再展開化簡求得3與A的關系，進一步計算得出結果.

【詳解】已知角c=：,bsin［：+A］—qsin［；+3］=c,

由正弦定理可得sinBsin（：+一sinAsin（；+二sinC,

整理得（sin5cosA-sinAcos5）=,即sin（B—A）=1,

因為A,3e所以5一A￡（-半，手）所以3-A='.

又2+A=斗37r，所以3=5?兀.

48

故選：C.

AABC的內角A&C的對邊分別為a久c,且a=l,6=cosC-csinA,則“BC的外接圓半徑為

3

【分析】利用正弦定理可得s?sinAcosC-sinCsinA,進而可得4=了即得

【詳解】貝!jb=acosC—csinA,

由正弦定理，得sinB=sinAcosC-sinCsinA

故sin（A+C）=sinAcosC-sinCsinA,

展開化簡得：cosAsinC=—sinCsinA,Ce（0,^）,sinCwO,

故cosA=—sinA,AG（0,TT）,

3

即A='〃，

4

外接圓直徑2R='L=0,

sinA

故外接圓半徑為也.

2

故答案為：變.

2

變式1：已知44BC的內角A、B、C的對邊分別為。、b、C,且％―cosC=2a+c.若b=4,則AABC的外

接圓半徑為.

【答案】及

3

【分析】運用余弦定理和正弦定理進行求解即可.

【詳解】根據余弦定理由2b?cosC=2。+c=>2。----------=2a+c=>b2=a2+c2+ac,

lab

而〃=/+c2—2accos5,因此有cosB=—1,

2

2冗

因為8?。兀），所以2=可，

1b144g

_\z____—_xz________

由正弦定理可知AABC的外接圓半徑為2sinB-20一3，

~2

故答案為：生8

3

變式2：在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,夜（c-6cosA）=a,6=3右則”WC的外

接圓面積為（）

A.47rB.6萬C.8萬D.9兀

【答案】D

【分析】首先利用三角恒等變形化簡，并利用同角三角函數公式求得sinB=g,并利用正弦定理求外接圓

2

半徑，即可求得三角形的面積.

［詳解】由正弦定理可知,3(sinC-sinBcosA)=sinA,

考點四：余弦定理的應用

10.在AABC中，角A,3,。的對邊分別為。，b,CS.a2=b2—c2—ac則角5的大小是（

A.45°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】直接利用余弦定理計算即可.

［詳解］a2=b2-c2-ac^>a2+c2+ac=b2=a2+c2-2accosB=>cosB=——,

2

V0°<B<180°,AB=120°.

故選：C

變式1：【多選】在AABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若（/+c?-戶卜曲3=&°,則8的

值為（）

A.生B.工C.且D.空

6363

【答案】BD

【分析】利用余弦定理代入式子中能得到sinB=無，結合8的范圍即能得到答案

2

【詳解】解：根據余弦定理可知〃+c2-從=2accos3,代入年+c2-⑹出臺二年小可得

2accosB?s'"'=“ac,BPsinB=,

cosB2

因為0<3<］，所以3=2或8=與，

故選：BD.

變式2：在AASC中，（a+b+c）（a+6-c）=3a6,則邊c所對的角等于（）

A.45°B.60°C.30°D.150°

【答案】B

【分析】根據式子的特點，聯想平方差公式，完全平方公式，余弦定理，即可得解.

【詳解】因為（a+6+c）（a+6-c）=（。+6）2—c?=片+b2-c1+2ab-3ab,

所以。之+匕？一。？="，BP2abcosC=ab,即cosC=；,所以C=60°.

故選：B

例11.在“IBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b2-c2=2a2,cosB=一：,則（二（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由余弦定理求出答案.

a+Cb2

【詳解】由從一C2=2〃得：COsB^'~~=z￡l=z￡=_l,

2ac2ac2c4

解得：￡=2

a

故選：B

變式1：在AABC中，已知三條邊是連續自然數，且最大角為鈍角，求三角形三條邊的長.

【答案】2,3,4

【分析】首先設AABC的三邊為Lc=m+2,且加EN*,根據題意得到cosCvO,從而得到

-l<m<3,再結合三角形兩邊之和大于第三邊，即可得到答案.

【詳解】設AABC的三邊為〃=私。=1,。=m+2,且加eN*,因為最大角為鈍角，

?一m2+(m+I)2-(m+2)2

所以cosC=------------------------------<0,

2m(m+1)

化簡得：m2—2m—3<0?解得-1〈加<3.

又因為m+機+1>加+2,即力>1,

所以lvzn<3,且加wN*,即機=2,

三邊為：2,3,4.

例12.若銳角三角形三邊長分別為2,3,x,則X的范圍是().

A.y[5<x<V13B.l<x<5

C.1<x<\/5D.5/13<x<5

【答案】A

【分析】根據銳角三角形分別應用余弦定理列邊長關系不等式，計算即可.

【詳解】因為三角形是銳角三角形，所以三角形的三個內角都是銳角，

則設邊3對的銳角為角叫根據余弦定理得cosa=Z±二工>0,解得x>6；

4x

設無邊對的銳角為夕，根據余弦定理得cos尸='+：；-*>0,解得0<x<加，

設邊2對的銳角為角/,根據余弦定理得cos/='+；2>。恒成立；

所以實數1的取值范圍是e<x<JR.

故選:A.

變式1：在鈍角"WC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、C,若4=1,b=2,則最大邊C的取值范

圍是()

A.(75,+oo)B.(2,病

C.(如,曲)D.(75,3)

【答案】D

【分析】根據給定條件利用余弦定理建立不等關系即可計算作答.

^2>2_2

【詳解】因"LBC是鈍角三角形，a=l,6=2,且c是最大邊，則由余弦定理得：cosC=巴士巴上<0,

2ab

于是得02>儲+〃=儼+2?=5,c>0,解得c>括,而有c<a+b=3,即石<c<3,

所以最大邊c的取值范圍是：(6,3).

故選：D

考點五：判斷三角形的形狀

。^例13.已知AABC中，角A,B,C所對的邊分別是“，b,c,若(a+6+c)(6+c-a)=36c,且

sinA=2si