相似三角形常見模型之平行類相似（4大題型）

01?？碱}型

:題型1A字圖及斜A型相似■\■題型28字圖相似

相似三角形常見模型

之平行類相似

題型平行類相似的綜合

題型3平行類相似與特殊平行四邊形的結合S__________）4

02技巧解密

當/ADE=NACB時

△ADE^AACB

悝質AEDE

AC~AB~BC

p

二、8字圖及其變形“蝴蝶型"

當AB//CD時當NA=N(:時

AAOB^ADOC△AJB^>ACJD

性質：

JAJB

ABOAOB

CD~JC~JD

~CD^~OD~~OC

☆:"蝴蝶型"常見應用

①常出現在"圓"中，直接由相交弦得到，求角度相關此時注意"同弧所對圓周角相等"的應

用；

②出現在"手拉手模型"中，用于證明"兩直線垂直"或者"兩直線成一固定已知角度"

☆:A字圖與8字圖相似模型均是由"平行"直接得到的，，有"II",多想此兩種模型

常見〃〃〃的引入方式：

①直接給出平行的已知條件；

②平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等幾何圖形中自帶的平行；

③由很多中點構造的"中位線”的平行；

④根據線段成比例的條件或結論自己構造平行輔助線；

03題型突破

題型一A字圖及其變型“斜A型”

【例1】.（2023秋?蘭溪市校級期中）如圖，在△48C中，。是邊上一點，過點。作。￡〃3c交/C于

點E,若40：DB=3：1,則S&4BC的值為（）

74916

【分析】由題意易得4D：DB=3：1,AADEsAABC,然后根據相似三角形的性質可求解.

【解答】解:,：DE//BC,

：.△ADEs^ABC,

,：AD-.DB=3：1,

：.AD：AB=3：4,

"SAADE!SAABC=（而）飛

故選：D.

【變式1-11.（2023秋?婺城區校級期中）如圖，。是邊上一點，添加一個條件后，仍不能使4

A.NACD=NBB./ADC=NACBC.^^5.D.AC?=AD?AB

ACBC

【分析】直接利用相似三角形的判定方法分別分析得出答案.

【解答】解：，、當時，再由=可得出△NCOS^/BC,故此選項不合題意;

B、當N4DC=//C5時，再由//=//,可得出△NCDS/X/BC,故此選項不合題意；

C、當挺ig■時，無法得出△/CDs△/2C,故此選項符合題意；

ACBC

D、當時，即至駕L,再由//=//,可得出△NCDs/UBC,故此選項不合題意;

ABAC

故選：C.

【變式1-2].（2023秋?河東區期末）如圖，在△N2C中，點尸在邊48上，則在下列四個條件中：①/

ACP=ZB；②/APC=NACB；③AC?=AP,AB；?AB'CP=AP'CB,能滿足△/PC與△NC8相似的

條件是（）

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

【分析】根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可對①②進行判斷；根據兩組對應邊的比相等且夾

角對應相等的兩個三角形相似可對③④進行判斷.

【解答】解：當/4CP=/B,；乙4=/4

所以△NPCs/UCB；

當NAPC=NACB,VZA=ZA,

所以△4PCSA4C5；

當4C2=AP?4B,

即/C：AB=AP：AC,VZA=ZA

所以△NPCS/UCB；

當AB?CP=AP?CB,BPPC：BC=AP：AB,

而/尸NC=/C48,

所以不能判斷和△/C2相似.

故選：D.

【變式1-3].(2024秋?西湖區校級月考)如圖，正方形M7VP0內接于△4BC,點〃、N在2c上，點尸、Q

分別在NC和N5邊上，且3c邊上的高4D=6cm,BC=12cm,則正方形的邊長為4a”.

【分析】圖中即的長等于正方形"AP0的邊長.欲求正方形M7VP0的邊長即PQ的長，已知3c和

的長，/￡可用尸0表示出來，考慮借助相似三角形的性質解題.

【解答】解：設正方形MAP0的邊長為XC%,則EO=xc"?,AE=AD-x=(6-x)cm.

"/四邊形MNPQ是正方形，

：.PQ//BC.

：.△APQs^acB.

y.'：AD±BC,

?AE=PQ

"ADBC"

\"PQ—xcm,AE—(6-x)cm,BC—12cm,AD=6cm,

???6----x-_,x,

612

解得x=4.

故答案為：4cm.

【變式1-4].(2024秋?義烏市期中)在矩形48CD中，AB=4,AD=6,E是8c的中點，連接過點。

作DFLAE于點F.

(1)線段。尸的長為魚；

一5—

(2)連接/C,若AC交DF于點、M,則型

AH—9一

【分析】(1)利用三角形面積相等，列出等式，求解即可；

(2)延長。尸交C5的延長線于K,利用相似三角形的性質求出KE,再利用平行線分線段成比例定理求

解即可.

2

：.AE=5,

-c_AD*AB_AE*DFc_AD*AB_

??JAADE~-------------------------'3"DE~------―11/9，

222

.?.。尸="

5

故答案為：24:

5

(2)若NC交。/于點M,延長。尸交3C延長線于點K,如圖所示:

，/=加)2劃2=)62一管)2=誓,

VDD

EF=AE-AF=5-迪=，，

55

VZKEF=ZAEB,NEFK=NABE=9Q°,

/.AKEFs^AEB,

???K-E~--E-F,

AEBE

7_

?KE

??--=-~-5

53

:.KE=1_,

3

CK=KE+EC=-L+3=1^-,

33

'：AD//CK,

?CM=CK=8

"AM"AD9"

【變式1-5].(2023秋?婺城區校級月考)如圖，在△48C中，AB=6cm,4c=12cm,動點。從/點出發

到B點止，動點￡從C點出發到A點止，點D的運動速度為lcm/s,點E的運動速度為2cm"若D,E

兩點同時出發，則當以點4,D,E為頂點的三角形與△/8C相似時，運動時間為3或4.8s.

【分析】分AADEsAABC和兩種情況分別求解即可.

【解答】解：設運動時間為fs時，以點aD,￡為頂點的三角形與△/8C相似時,

則AD=t,CE=2t,AE=AC-CE=\2-2t,

①當。與8對應時，LADEs△ABC,

???A-D=--A-E,

ABAC

即t(12-2t)

?=—12-

②當D與C對應時，△ADEs&CB,

???A--D=---A--E，

ACAB

即t二（12-2t）,

12-6

二才=4.8,

二當以點4,D,E為頂點的三角形與△/2C相似時，運動時間為3s或4.8s,

故答案為：3或4.8.

【變式1-6].（2024秋?義烏市期中）如圖，四邊形/2C。為平行四邊形，E為邊4D上一點，連接/C、

BE,它們相交于點尸，且N4CB=/4BE.

(1)求證：AE2=EF-BEI

(2)若NE=2,EF=1,CF=4,求N2的長.

【分析】（1）利用平行四邊形的性質得到則4D/C=N/C8,然后證明AE/尸則利

用相似三角形的性質得到結論；

（2）先利用/￡2=斯.3￡計算出5￡=4,則2尸=3,再由N￡〃2C,利用平行線分線段成比例定理計算

出力尸=%，然后利用△口尸根據相似比求出的長.

3

【解答】（1）證明：：四邊形/BCD為平行四邊形，

：.AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

,//ACB=/ABE,

：.ZDAC=ZABE,

,//EAF=ZEBA,NAEF=ZBEA,

：.LEAFsAEBA,

：.EA：EB=EF：EA,

:.AE2=EF,BE；

(2),：AE1=EF'BE,

92

：.BE=-^—=4,

1

:.BF=BE-EF=4-1=3,

'JAE//BC,

AAF=EF；即空=工，解得/斤=生,

FCBF433

,/LEAFsLEBA,

￡

-AF_EFpn3=1

ABAEAB2

.\AB=—.

3

【變式1-7].（2021秋?婁星區校級期中）某天小明和小亮去某影視基地游玩，當小明給站在城樓上的小亮

照相時發現他自己的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上（如圖）.已知小明的眼睛離地面

1.6米，涼亭頂端離地面1.9米，小明到涼亭的距離為2米，涼亭離城樓底部的距離為38米，小亮身高

為1.7米.請根據以上數據求出城樓的高度.

【分析】根據題意構造直角三角形，進而利用相似三角形的判定與性質求出即可.

【解答】解：過點A作AMLEF于點M,交CD于點N,

由題意得：/N=2米，CN=1.9-1.6=0.3（米），MN=38米,

■:CN//EM,

/.AACNS^AEM,

???CN=AN,

EMAM

??0?.3=21，

EM40

：.EM=6,

?：AB=MF=L7米,

???城樓的高度為：6+1.6-17=5.9（米）.

【變式1-8].（2024?溫州模擬）如圖，在矩形/2CD中，4B=2AD,點E在CD上，NDAE=45°,F為

8c的中點，連結AF,分別交8。于點G,H,連結

（1）求證：BD=2EF.

【分析】（1）根據矩形的性質得出/8=CD=2AD,ZADC=ZDAB=90°,結合直角三角形的性質、等

腰三角形的判定求出則?！?CE,即可求出￡尸是△3。的中位線，根據三角形中位線的性

質求解即可；

（2）結合（1）求出8。=12,根據矩形的性質求出邁=工，此=工，CD//AB,AD//BC,即可判定

AB2AD2

ADEG^/\BAG,△FBHsAADH,根據相似三角形的性質求出。G=4,BH=4,根據線段的和差求解

即可.

【解答】（1）證明：：四邊形/BCD是矩形，AB=2AD,

：.4B=CD=24D,/ADC=/DAB=9Q°,AD=BC,

:NDAE=45°,

；./DEA=90°-45°=45°=NDAE,

；.AD=ED,

：.CD=2DE,

:.DE=CE,

?.?尸為8c的中點,

:.EF是4BCD的中位線，

：.BD=2EF-,

(2)解：由(1)知，BD=2EF,

?；EF=6,

：.BD=n,

?；AB=CD=2AD=2DE,AD=BC,尸為2C的中點,

?DE=2,型=工

"ABTAD~2

在矩形N8CD中，CD//AB,AD//BC,

：.ADEGs△A4G,AFBHsAADH,

??.DE_D,G_,1,,一—1.，,

ABBG2DHAD2

?DG=1BH=1

?'[-DG~212-BH~2

：.DG=4,BH=4,

：.GH=BD-DG-BH=4.

題型二8字圖及其變型“蝴蝶型”

【例2】.（2024秋?杭州月考）如圖，線段N3,CD的端點都在正方形網格的格點上，它們相交于點若

每個小正方形的邊長都是1,則亞的值為（）

MD

C

A.空B.11C.旦D.2

765

【分析】判定推出尸￡：EG=AF：GB=1：3,求出￡G=3RG=3,?！?1+芭=工,

4444

判定ADEMsACBM,推出型=至=11.

DMDE7

【解答】解：?.【尸〃GB,

LAFEs^BGE,

：.FE：EG=AF：GB=1：3,

:.EG=3FG,

4

??.每個小正方形的邊長都是1,

：.FG=DG=\,BC=3,

:.EG=HG=3,

44

.,.DE=]+-=^-,

44

,JDE//BC,

：.ADEMs4CBM,

?MC=BC=J_=_12

*'MDDEL

4

故選：A.

C

【變式2-1].（2014秋?寧?？h月考）半圓O的直徑N8=9,兩弦/8、CD相交于點￡,弦CD=ZL且

5

BD=7,則DE=3芯.

D

【分析】根據圓周角定理得出的兩組相等的對應角，易證得根據c。、N8的長，即可

求出兩個三角形的相似比；設8￡=x,則?！?7-x,然后根據相似比表示出/￡、EC的長，連接BC,

首先在RtzXBEC中，根據勾股定理求得2C的表達式，然后在RtZi/2C中，由勾股定理求得x的值，進

而可求出DE的長.

【解答】解：,:/D=NA,ZDCA^ZABD,

：.AAEB^/\DEC,

?EC_DE—DC—3

BEAEAB5

設BE=x,則DE=7-x,EC=區,AE=R（7-x）,

53

連接3C,則N/C8=90°,

RtZXBCE中，BE=x,EC=3x,則2C=￡,

55

在Rt^NBC中，AC=AE+EC=^-l^x,BC=^x,

3155

由勾股定理，得：AB2^AC2+BC2,

即：92=（35-16x）2+4）2,

3155

整理，得1敘+31=0,

解得：X]=7+3^2（不合題意舍去），皿=7-3衣，

則?！?7-x=3加.

故答案為：3加

【變式2-2].（2019?丹江口市模擬）如圖所示，在正方形N8CD中，G為CD邊中點，連接NG并延長交

3c邊的延長線于E點，對角線AD交/G于尸點.已知尸G=2,則線段/￡的長度為12

【分析】根據正方形的性質可得出N2〃CD，進而可得出△NBPs△GDR根據相似三角形的性質可得

出處=3殳=2,結合戶G=2可求出NRNG的長度，由CG〃/2、48=2CG可得出CG為△E42的中

GFGD

位線，再利用三角形中位線的性質可求出/￡的長度，此題得解.

【解答】解：：四邊形N8CD為正方形，

；.AB=CD,AB//CD,

：.NABF=ZGDF,ZBAF=ZDGF,

???AABF^AGDF,

?AFAB,

，，-GF=GD=2'

：.AF=2GF=4,

.\AG=6.

VCG//AB,4B=2CG,

:.CG為JAEAB的中位線,

.?./E=2/G=12.

故答案為：12.

【變式2-3].(2024?錢塘區三模)如圖，在菱形4BCD中，點E在邊AD上，連結CE交對角線AD于點

F,過點E作EG〃4B交5。于點G.

(1)若CD=CE,ZA=110°,求乙BCF的度數.

(2)若BD=15,DE=2AE,求尸G的長.

(3)求證：DF?=FG,BF.

【分析】(1)先根據菱形得性質得到CD〃2C，AD//BC,再根據平行線的性質得到NCD/=70°,接著

利用等腰三角形的性質得到NC￡O=NCD/=70°,然后根據平行線的性質，由8c得到/3庭=/

CED-,

(2)先證明得到四=電=邁=2,所以。G=28D=10,再證明△￡G/s2\cr/得

ABDBDA33

到西=段，則a=z,然后利用比例的性質求出尸G的長；

DFDCDF3

(3)先證明bS/\EG尸得到更=空,證明△改尸6得到型=里,則利用等量代換得到

FGEFDFEFFG

=電，然后根據比例的性質得到結論.

DF

【解答】(1)解：：四邊形/BCD為菱形,

J.CD//BC,AD//BC,

：.ZCDA=ISO°-ZA=10°,

"：CD=CE,

：.ZCED=ZCDA=70°,

,JAD//BC,

:./BCF=/CED=10°；

(2)解：,:DE=2AE,

\DE=2DA,

3

CEG//AB,

ADEGsADAB,

?EGDGDE_2,

'AB=DB=DA=T

?.DG=28D=2xi5=10,

33

.?四邊形/BCD為菱形，

\CD//AB,CD=4B,

,.CD//EG,

\△EGFs^CDF,

FGEG

----

DFDc

FGEG

---2

DF-B

A3

?.尸G=]2CG=2義io=4；

55

(3)證明：'JEG//CD,

:.ACDFS/XEGF,

?DF=CF；

"FGW

'JDE//BC,

ABCFs^DEF,

?BF_=CF；

"DF甌’

?DF=BF

,,而DF'

:.DF2=FG*BF.

【變式2-4].(2024?瑞安市校級模擬)如圖，在四邊形中，BC//AD,BC=5,AD=9.點E在線段

AC±,EF〃BC交AB于點、F,EG〃CD交AD于點、G,FG交4c于點H,連結BD

(1)試判斷尸G與8。的位置關系，并說明理由.

(2)求里的值.

HG

(3)若E為NC的中點，BD=12,求尸G的長.

【分析】(1)根據平行線分線段成比例定理得出空典，3%，-,于是得出處望，又NFAG=/

ABACACADABAD

BAD,即可證得得出于是問題得證；

(2)先證△BCA/S/XD/M,得出迎￡_=包，再證得出膽望_,同理證得

DMAD9BMAM

西于是推出里舉，從而得解；

MDAMBMMD

(3)根據平行線分線段成比例定理先證點廠是的中點，點G是/。的中點，得到FG是A4BD的中

位線，根據三角形中位線定理即可求出尸G的長.

【解答】解：(1)判斷：FG//BD.理由如下:

，：EF//BC,

???—A—F——AE,

ABAC

*：EG//CD,

?AEAG

,,而R

???-A-F---AG,

ABAD

,/ZFAG^ZBAD,

：.AAFG^AABD,

：.ZAFG^ZABD,

：.FG//BD；

(2)"：BC//AD,

：.4BCMsADAM,

：BM二BC_5,

,?瓦而而，

由(1)知尸G〃AD,即尸〃〃氏W,

A4FHsAABM,

???-F-H二AH,，

BMAM

同理得：西望，

MDAM

???-F-H=HG'，

BMMD

?FH圓二5.

"HG"MD"?"

(3)'JEF//BC,

???AF=---AE,

ABAC

為/C的中點，

???AE=--,1

AC2

???AF=--,1

AB2

即點尸是的中點，

'CEG//CD,

???AE----AG,

ACAD

??,AG=--,1

AD2

即點G是ND的中點,

；.FG是A4BD的中位線，

.11

??FG^-BD^-X12=6-

題型三平行類相似與特殊平行四邊形的結合

【例3】.（2024秋?義烏市校級月考）在平行四邊形48co中陽衛酈，則限⑦可：s四邊形CMNB為（）

3

【分析】根據平行四邊形的性質證明△/Ws^cDM,根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，求

出也幽」，設S—NM=x，貝”△/QM=16X,根據同高三角形的面積比等于底邊比，求出

SACDM16

4x,進而可得SA^DN=5X,然后推出S四邊形CMNB~19x,即可得出結果.

【解答】解：：AB〃CD,AB=CD,

44

AANMs^CDM,

??--M--N=---A-N-=---1，

MDCD4

根據相似三角形面積之比等于相似比的平方可得：

.SAANM.AN、21

SACDMCD'16

設S-NM=X,則SdDM=l6x,

.?SAAWM^MN_1

^AADM血4

?,S/\ADM—4xf

S叢ADN=S4MN^S叢ADM=5%,S”CD~/XADM^S△CDM=4X+16x=20x,

SmBC=S“CD=20x,

1?S四邊形CMNB=SMBC_SA4MI/=19x，

S"DN：S四邊形CMNB=5：19.

故選：B.

【變式3-1].（2024?溫州三模）如圖，正方形N8CD由四個全等的直角三角形拼接而成，連結HF交DE

于點若煙=上，則典的值為（）

A.AB.Ac.AD.2

9273

【分析】延長C8,DE,交于點N,設/〃=1,AE=2,依據△用花，即可得出8N=1.5；再根

據叢DHMs叢NFM,即可得到理的值.

FM

【解答】解：如圖所示，延長C8,DE,交于點N,設/"=1,AE=2,

?.?正方形N8C。由四個全等的直角三角形拼接而成，

：.BE=l,DH=BF=2,

,:AD〃BN,

：.AADE^ABNE,

?AD-AEpn3—2

BNBEBN1

:.BN=15,

,:DH〃NF,

：.叢DHMs^NFM,

?HM=DH=2=4

"FMNF3?TT

故選：C.

N

【變式3-2].（2024秋?海曙區校級月考）如圖，菱形4BCD中，對角線BD交于點、O,EF1BD,垂

足為點H,跖分別交40、DC及5c的延長線于點E、M、F,且￡D：CF=1：2,則。H：的值為

【分析】先由菱形的性質得到ACLBD,AD=BC,再證明4C〃ER進而證明四邊形

是平行四邊形，得至IJ/￡=CR由此可得到。E：BF=1：5,再證明得到型=_P1=_L

BHBF5

則DH：DB=^?

6

【解答】解：???四邊形45C。是菱形，

J.AD//BC,ACLBD,AD=BC,

?；EF2BD,

J.AC//EF,

???四邊形AEFC是平行四邊形，

：.AE=CF,

*：ED：CF=1：2,

:.ED：AE=\：2,

：.ED：AD=ED：BC=1：3,

:.DE：BF=1：5,

'：AD//BC,

：.△DEHsMBFH,

?-.-D-H3-D-E-=1，

BHBF5

'DH：DB』

6

故選：D.

【變式3-3].（2024秋?海曙區校級月考）如圖，已知在矩形N3C。中，M是/。邊的中點，8M與/C垂

直，交直線/C于點N,連接DN,則下列四個結論中：@CN=2AN；②DN=DC；③需地；@A

AMNs^CAB.正確的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】通過證明△4WS2\C2N,可得幽可證CN=2/N；過。作D8〃氏攸交NC于G,可證

BCCN

四邊形即〃汨是平行四邊形，可得BH=MD=^BC，由直角三角形的性質和等腰三角形的性質可得。N=

DC-,由平行線性質可得ZABC=ZANM=90°,可證△，兒Ws2\c43；通過證明

s^BCA,可得幽望_,可求皿X1_BC，即可得里"2，則可求解.

ABBC2AD2

【解答】解：.??四邊形/BCD是矩形，

J.AD//BC,

AAMNs^CBN,

???A--MZ：--A--N,

BCCN

:在矩形/BCD中，M是4D邊的中點，

.11

??AM=MD=yAD-yBC'

???A-N~--1,

NC2

:.CN=2AN,

故①正確；

如圖，2M與NC垂直，交直線/C于點N,連接ZW,過。作。交NC于G,

J.DHLAC,

"：DH//BM,AD//BC,

.,?四邊形BMDH是平行四邊形，

.1

??BH=MD=yBO

:.BH=CH,

?：NBNC=90°,

:.NH=HC,>DHLAC,

:.DH是NC的垂直平分線，

：.DN=CD,

故②正確；

?..四邊形N8CD是矩形，

：.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

：./DAC=/ACB,/ABC=/ANM=90°,

AAMNsACAB,

故④正確；

,?△AMNsMAB,

?■?-M-N--A-B,

ANBC

'JAD//BC,

:.NDAC=NBCA,且/8NC+/NC8=90°,ZDAC+ZAMB=90°,

/./B4C=ZAMB,且NAW=/ABC,

：.AABM^ABCA,

???-A-H--A-B,

ABBC

?*-AB2^-BC2>

?.?AB-Vy2-BO

.ABV2

??--=---,

BC2

.CDV2

??=---,

AD2

故③錯誤.

故選：B.

【變式3-4].(2024秋?西湖區校級月考)如圖，在△/BC中，點。，E,廠分別在邊N2,AC,2C上，連

接DE,EF.已知四邊形8尸ED是平行四邊形，

BC4

(1)若48=4,求線段的長；

(2)若△/￡>￡的面積為2,求平行四邊形AFE。的面積.

【分析】(1)證明△/DEsa/gC,根據相似三角形對應邊的比相等列式，可解答；

(2)根據相似三角形面積的比等于相似比的平方可得△/2C的面積是32,同理可得△EFC的面積是

18,根據面積差可得答案.

【解答】解：(1)在△4BC中，點、D,E,尸分別在邊48,AC,3c上已知四邊形瓦石。是平行四邊形,

-D-E-=--1,

BC4

J.DE//BF,

C.DE//BC,

：.^ADE^AABC,

?ADDE1

??瓶同N

"：AB=4,

：.AD=\；

(2)???△ADEs^ABC,

?SAADE,DE、2，1、21

??跖/(而)=g

?.?△4DE的面積為2,

△ABC的面積是32,

,/四邊形BFED是平行四邊形，

J.EF//AB,

△EFCs^ABC,

.SAEFC/3、29

??--------------=(J=,

SAABC416

.?.△EFC的面積是18,

二平行四邊形BFED的面積=32-18-2=12.

【變式3-5].(2024?鹿城區校級三模)如圖1,在菱形ABCD中，BELAD于點E,G為CD的中點，延長

GE交A4的延長線于點尸，已知N4BE=30°,AB=3.點尸，。分別在線段GE,AB±(不與端點重

合)，且滿足PG=EAQ，設/0=X,PF=y.

(1)求證：GE=EF.

(2)求y關于x的函數表達式.

(3)如圖2,連結尸Q.

①當尸。與的一邊垂直時，求尤的值.

②當點。落在。尸的延長線上時，記尸0與2E的交點為“，求她的值.

MD

【分析】(1)連接8。，利用菱形性質可得N8=/O=CD=3C=3,AB//CD,再證得△48。是等邊三角

形，進而運用44S證得△/斯絲△DEG,即可證得結論；

（2）由中點性質得。E=DG=2L,進而得出設NQ=X,PF=y,貝!|PG=GF-P尸

22

=3%-"再結合已知條件即可求得答案；

（3）①由于點P,。分別在線段GE,N2上（不與端點重合），故尸。不可能垂直NE,分兩種情況討論：

當尸。，/8時，當PQL8E時，分別求得x的值；

②過點Q作QH//FG交DA的延長線于點H,作QJ±BE于J,由QH//FG,得ADEPsADHQ,利用

相似三角形性質建立方程求得x的值，再由JQ〃4D,可得八MQJsAMDE,利用相似三角形性質即可

求得答案.

【解答】（1）證明：如圖1,連接AD,

圖1

VBE1AD,

：.ZAEB^90°,

：.NBAD=90°-ZABE=90°-30°=60°,

.四邊形48CD是菱形，

：.AB=AD=CD=BC=3,AB//CD,

AABD是等邊三角形，ZF=ZDGE,

二點E為4D的中點，

：.AE=DE,

又：ZAEF=/DEG,

：.AAEF^ADEG(AAS),

：.GE=EF.

（2）解：G分別為40、CD的中點,

：.DE=DG=^-,

2

VZEDG=nO0,

：.EG=43DE=^J^-,

2

由（1）知G￡=ET,

;.EF=36,

2

：.GF=3-j3,

設PF=y,

則PG=GF-PF=3^-y,

,：PG=MAQ,

：.3如-y=Mx,

，尸3料Sx；

（3）解：①：點P,。分別在線段GE,AB1.（不與端點重合）,

：.PQ不可能垂直/￡,

當尸時，如圖2,連接BG,BD,

圖2

則/尸0P=90°,

同理可得△BCD是等邊三角形,

:點G是CD的中點，

J.BGLCD,

'：AB//CD,

J.BGLAB,

；.NFBG=90°,

：.NFQP=ZFBG,

又：ZPFQ^ZGFB,

：.△FPQsXFGB,

?FQ=FP

"FBFG"

即FQ?FG=FP?FB,

由（2）得AQ=x,GF=3A/3>PG=MX,

2

.,.FQ—AQ+AF—X+-,FB=AF+AB——+3=—,FP—3yf3-y[3x,

-222

：.3M（X+3）=旦（373-'、a），

22

解得：x=旦

5

當尸。_L3E時，如圖3,

圖3

?：PQ_LBE,AELBE,

：.AE//PQ,

?AF=EF

.而FP"

即AF?FP=EF,FQ,

二旦(3-\/3-遙%)(x+3),

222

解得：X=—;

4

綜上所述，x的值為2或3.

54

②如圖4,過點0作Q〃〃FG交。/的延長線于點〃，作于J,

圖4

則N〃=N/￡F=30°,/AQH=/F=30°,

ZH=ZAQH,

..AQ=AH=x,

則QH=6X,DH=X+3,

由（2）知?！?3,/PG=y[3x,

22

；.PE=EG-PG=-3依-Mx,

2

'.,QH//FG,

：.MDEPsXDHQ,

.?.患=還，即2尸=工,

QHDHV3xx+3

解得：.=3氏3（負值舍去），

2

；.40=3y-3,PE=3T-百x-3=-9

―2222

'：QJ1.BE,

:./BJQ=90°,

VZABE=30°,

；0=&0=_1（3-x）=9-3如,

224

?：/BJQ=/BEA=90°,

C.JQ//AD,

：.AMQJs2MDE,

她=紅=g-3?=3-M?

MDDE42

3_

7

題型四平行類相似的綜合

【例4】.（2023秋?拱墅區月考）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網格，A,B,C,。均在格點

上.

（1）在圖①中，理的值為1：3；

PA

（2）利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.

①如圖②，在48上找一點P,使/P=3；

②如圖③，在8。上找一點P,使△[PBs^CPD.

圖①圖②圖③

【分析】（1）如圖①中，利用平行線的性質求解即可.

（2）①根據勾股定理得的長為5,再根據相似三角形的判定方法即可找到點尸；

②作點/的對稱點,連接C與的交點即為要找的點P,使

【解答】解：（1）如圖①中，

'：AB//CD,

：.△PCDs^PBA.

???PD._—C^D―_1,

PAAB3

故答案為：1：3；

(2)

E

D

圖②圖③

①取格點￡,F,連接成交于點P,點尸即為所求的點.

由勾股定理知：48=指57衣=5?

*：AP=3,

:.BP=2.

,:BE〃FA,

：.△EPBsAFPA.

VAP：BP=AF：BE=3：2.

，取格點E,F,連接訪交N8于點P,點P即為所求的點;

②如圖③所示，作點/的對稱點,

連接HC,交BD于點P,

點尸即為所要找的點，

'JAB//CD,

AAPBsACPD.

【變式4-1].(2024?上城區一模)如圖，點。為△4BC的邊NC上一點，延長AD至點尸，使得C尸〃N2,

點E在線段5c上，5.DE//AB,4B=4,CF=6.

(1)若/。=3,求CD的長.

(2)若/4BC=60°,BD平分NABC,求AD的長.

【分析】(1)由"BDs^CFD,得到/￡＞：CD=AB：CF,即可求出CD的長.

(2)過E作9，2。于X,由平行線的性質，等腰三角形的性質，銳角的正弦推出6

DE,由△BDEsLBFC,推出理+典_=1,即可求出于是得到

ABCF5

=1273

~5-

【解答】解：(1)，：AB//CF,

：.LABDs^CFD,

J.AD-.CD=AB：CF,

.*.3：CZ)=4：6,

；.CD=4.5.

(2)過￡作￡7九L8D于〃,

■:DE//AB,

ZBDE=ZABD,

；BD平分//BC,

：.AABD=ZCBD=l.ZABC=Xx60°=30°,

22

ZBDE=ZDBE=30°,

:.DE=BE,

：.BD=2DH,

cosZEDH—cos30°=K1=2/Z_,

DE2

：.DH=^3-DE,

2

：.BD=2DH=\[3DE,

"：CF//AB,DE//AB,

J.DE//CF,

.?.△CDEsACAB,△BDEsLBFC,

B

-

CE,-

DEDEB

ABCBCF

DE

DE+-CEBE

ABBC-

BC

??25=4,CF=6,

"T，

【變式4-2].（2024秋?諸暨市校級月考）【閱讀與思考】

下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應的任務.

如圖1,在△4BC中，中線ND,CE相交于點G,連接DE,

'：D,E分別是2C,AB邊的中點，

/.①BE=4E,BD=CD.

J.DE//AC,且。E=LC.

2

/.②ABDEsABCA,ADEGAACG

.BE_BD_DE_1；EG_DGJE_1

"BA"BC"AC"2"CG"AG'AC"2

圖1

任務:

(1)筆記中橫線部分應填寫①BE=AE,BD=CD:

②△3DEs△3G4,ADEGs&4CG.

(2)如圖2,在4MNH中,點K,￡分別在MMAffi■邊上，連接HK,NL交于點、F.若MK=、MN,

3

ML=1.MH,猜測K尸與所的數量關系，并說明理由.

3

(3)如圖3,在平行四邊形N8CD中，點￡、F、G分別是BC、CD的中點，BELEG,AB=1,

AD=2娓,求/廠長.