2016-2017學年四川省成都市樹德高一（上）期末數學試卷一、選擇題（共12個小題，每小題5分，共60分．每小題只有一項是符合題目要求的）1．（5分）設全集U=R，，B={x|x＜2}，則（?UA）∩B=（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜2} D．{x|x≥1}2．（5分）下列函數既是偶函數，又在（0，+∞）上是增函數的是（）A．y=x﹣2 B． C．y=2|x| D．y=|x﹣1|+|x+1|3．（5分）下列說法正確的是（）A．若f（x）是奇函數，則f（0）=0B．若α是銳角，則2α是一象限或二象限角C．若，則D．集合A={P|P?{1，2}}有4個元素4．（5分）將函數y=sinπx的圖象沿x軸伸長到橫坐標為原來的2倍，再向左平移1個單位，得到的圖象對應的解析式是（）A． B．y=sin（2πx+1） C． D．5．（5分）若G是△ABC的重心，且滿足，則λ=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（5分）如圖，向一個圓臺型容器（下底比上底口徑寬）勻速注水（單位時間注水體積相同），注滿為止，設已注入的水體積為v，高度為h，時間為t，則下列反應變化趨勢的圖象正確的是（）A． B． C． D．7．（5分）平面直角坐標系xOy中，角α的始邊在x軸非負半軸，終邊與單位圓交于點，將其終邊繞O點逆時針旋轉后與單位圓交于點B，則B的橫坐標為（）A． B． C． D．8．（5分）函數y=f（x）滿足對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y），且f（1）=2，若g（x）是f（x）的反函數（注：互為反函數的函數圖象關于直線y=x對稱），則g（8）=（）A．3 B．4 C．16 D．9．（5分）函數（）A．定義域是 B．值域是RC．在其定義域上是增函數 D．最小正周期是π10．（5分）過x軸上一點P作x軸的垂線，分別交函數y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象于P1，P2，P3，若，則=（）A． B． C． D．11．（5分）定義符號函數為sgn（x）=，則下列命題：①|x|=x?sgn（x）；②關于x的方程lnx?sgn（lnx）=sinx?sgn（sinx）有5個實數根；③若lna?sgn（lna）=lnb?sgn（lnb）（a＞b），則a+b的取值范圍是（2，+∞）；④設f（x）=（x2﹣1）?sgn（x2﹣1），若函數g（x）=f2（x）+af（x）+1有6個零點，則a＜﹣2．正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個12．（5分）已知函數，那么下列命題正確的是（）A．若a=0，則y=f（x）與y=3是同一函數B．若0＜a≤1，則C．若a=2，則對任意使得f（m）=0的實數m，都有f（﹣m）=1D．若a＞3，則f（cos2）＜f（cos3）二、填空題（共4個小題，每小題5分，共20分，把最終的結果填在題中橫線上）13．（5分）若函數，則函數y=f（2x）的定義域是．14．（5分）已知f（x）=的值域為R，那么a的取值范圍是．15．（5分）若，則sinβ=．16．（5分）若函數f（x），g（x）分別是R上的奇函數、偶函數且滿足f（x）+g（x）=ex，其中e是自然對數的底數，則比較f（e），f（3），g（﹣3）的大小．三、解答題（共6個小題，共計70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）（I）求值：log23?log34﹣log20.125﹣；（II）求值：sin15°+cos15°．18．（12分）已知函數．（I）求函數f（x）對稱軸方程和單調遞增區間；（II）對任意，f（x）﹣m≥0恒成立，求實數m的取值范圍．19．（12分）根據平面向量基本定理，若為一組基底，同一平面的向量可以被唯一確定地表示為，則向量與有序實數對（x，y）一一對應，稱（x，y）為向量在基底下的坐標；特別地，若分別為x，y軸正方向的單位向量，則稱（x，y）為向量的直角坐標．（I）據此證明向量加法的直角坐標公式：若，則；（II）如圖，直角△OAB中，，C點在AB上，且，求向量在基底下的坐標．20．（12分）某企業一天中不同時刻的用電量y（萬千瓦時）關于時間t（小時，0≤t≤24）的函數y=f（t）近似滿足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．如圖是函數y=f（t）的部分圖象（t=0對應凌晨0點）．（Ⅰ）根據圖象，求A，ω，φ，B的值；（Ⅱ）由于當地冬季霧霾嚴重，從環保的角度，既要控制火力發電廠的排放量，電力供應有限；又要控制企業的排放量，于是需要對各企業實行分時拉閘限電措施．已知該企業某日前半日能分配到的供電量g（t）（萬千瓦時）與時間t（小時）的關系可用線性函數模型g（t）=﹣2t+25（0≤t≤12）模擬．當供電量小于該企業的用電量時，企業就必須停產．初步預計停產時間在中午11點到12點間，為保證該企業既可提前準備應對停產，又可盡量減少停產時間，請從這個初步預計的時間段開始，用二分法幫其估算出精確到15分鐘的停產時間段．21．（12分）已知函數f（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）．（Ⅰ）求f（x）的定義域，判斷并用定義證明其在定義域上的單調性；（Ⅱ）若a＞0，解關于x的不等式f（a2x﹣2ax）＜lg2．22．（12分）設f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意x∈R，都有f（x+2）=﹣f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x2．（I）當﹣2≤x≤0時，求f（x）的解析式；（II）設向量，若同向，求的值；（III）定義：一個函數在某區間上的最大值減去最小值的差稱為此函數在此區間上的“界高”．求f（x）在區間[t，t+1]（﹣2≤t≤0）上的“界高”h（t）的解析式；在上述區間變化的過程中，“界高”h（t）的某個值h0共出現了四次，求h0的取值范圍．

2016-2017學年四川成都市樹德高一（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共12個小題，每小題5分，共60分．每小題只有一項是符合題目要求的）1．（5分）設全集U=R，，B={x|x＜2}，則（?UA）∩B=（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜2} D．{x|x≥1}【解答】解：由A中不等式解得：x＜1或x＞3，即A={x|x＜1或x＞3}，∴?UA={x|1≤x≤3}，∵B={x|x＜2}，∴（?UA）∩B={x|1≤x＜2}，故選：A．2．（5分）下列函數既是偶函數，又在（0，+∞）上是增函數的是（）A．y=x﹣2 B． C．y=2|x| D．y=|x﹣1|+|x+1|【解答】解：函數y=x﹣2是偶函數，但在（0，+∞）上是減函數；函數是奇函數，在（0，+∞）上是增函數；函數y=2|x|=是偶函數，又在（0，+∞）上是增函數；函數y=|x﹣1|+|x+1|=是偶函數，但在（0，1]上不是增函數；故選C3．（5分）下列說法正確的是（）A．若f（x）是奇函數，則f（0）=0B．若α是銳角，則2α是一象限或二象限角C．若，則D．集合A={P|P?{1，2}}有4個元素【解答】解：對于A，若f（x）是奇函數，且定義域中有0，則f（0）=0，若定義域中無0，則f（0）無意義，故錯；對于B，若α=450，則2α不是一象限，也不是二象限角，故錯；對于C，當時，不成立，故錯；對于D，若P?{1，2}，集合P可以是{1}，{2}，{1，2}，?，故正確．故選：D4．（5分）將函數y=sinπx的圖象沿x軸伸長到橫坐標為原來的2倍，再向左平移1個單位，得到的圖象對應的解析式是（）A． B．y=sin（2πx+1） C． D．【解答】解：由題意可得：若將函數y=sinπx圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），即周期變為原來的兩倍，可得函數y=sinx，再將所得的函數圖象向左平移1個單位，可得y=sin[（x+1）]=sin（x+）=cosx．故選：C．5．（5分）若G是△ABC的重心，且滿足，則λ=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，∵，∴λ=﹣1，故選B．6．（5分）如圖，向一個圓臺型容器（下底比上底口徑寬）勻速注水（單位時間注水體積相同），注滿為止，設已注入的水體積為v，高度為h，時間為t，則下列反應變化趨勢的圖象正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：向一個圓臺型容器（下底比上底口徑寬）勻速注水（單位時間注水體積相同），則容器內對應的水的高度h隨時間的t的增加而增加，且增加的速度越來越快，故選：D．7．（5分）平面直角坐標系xOy中，角α的始邊在x軸非負半軸，終邊與單位圓交于點，將其終邊繞O點逆時針旋轉后與單位圓交于點B，則B的橫坐標為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可得sinα=，cosα=，B的橫坐標為cos（α+）=cosαcos﹣sinαsin=﹣=﹣，故選：B．8．（5分）函數y=f（x）滿足對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y），且f（1）=2，若g（x）是f（x）的反函數（注：互為反函數的函數圖象關于直線y=x對稱），則g（8）=（）A．3 B．4 C．16 D．【解答】解：函數y=f（x）滿足對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y），且f（1）=2，可得f（2）=f（1）?f（1）=4，令x=1，y=2，可得f（3）=f（1）?f（2）=2×4=8，由g（x）是f（x）的反函數，可得互為反函數的函數圖象關于直線y=x對稱，（3，8）關于直線y=x對稱的點為（8，3），則g（8）=3．故選：A．9．（5分）函數（）A．定義域是 B．值域是RC．在其定義域上是增函數 D．最小正周期是π【解答】解：∵函數==tan（x+），∴f（x）的定義域是{x|x≠kπ+，且x≠+kπ，k∈Z}，A錯誤；f（x）的值域不是R，B錯誤；f（x）在其定義域上不是增函數，C錯誤；f（x）的最小正周期是π，D正確．故選：D．10．（5分）過x軸上一點P作x軸的垂線，分別交函數y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象于P1，P2，P3，若，則=（）A． B． C． D．【解答】解：過x軸上一點P作x軸的垂線，分別交函數y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象于P1，P2，P3，∴線段PP1的長即為sinx的值，PP3的長為tanx的值，PP2的長為cosx的值；又，∴tanx=cosx，即cos2x=sinx，由平方關系得sin2x+sinx=1，解得sinx=，或sinx=﹣3（不合題意，舍去），∴=．故選：A．11．（5分）定義符號函數為sgn（x）=，則下列命題：①|x|=x?sgn（x）；②關于x的方程lnx?sgn（lnx）=sinx?sgn（sinx）有5個實數根；③若lna?sgn（lna）=lnb?sgn（lnb）（a＞b），則a+b的取值范圍是（2，+∞）；④設f（x）=（x2﹣1）?sgn（x2﹣1），若函數g（x）=f2（x）+af（x）+1有6個零點，則a＜﹣2．正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【解答】解：①當x＞0時，x?sgn（x）=x，當x=0時，x?sgn（x）=0，當x＜0時，x?sgn（x）=﹣x．故|x|=x?sgn（x）成立，故①正確；②設f（x）=lnx?sgn（lnx），當lnx＞0即x＞1時，f（x）=lnx，當lnx=0即x=1時，f（x）=0，當lnx＜0即0＜x＜1時，f（x）=﹣lnx，作出y=f（x）的圖象（如右上）；設g（x）=sinx?sgn（sinx），當sinx＞0時，g（x）=sinx，當sinx=0時，g（x）=0，當sinx＜0時，g（x）=﹣sinx，畫出y=g（x）的圖象（如右上），由圖象可得y=f（x）和y=g（x）有兩個交點，則關于x的方程lnx?sgn（lnx）=sinx?sgn（sinx）有2個實數根，故②錯誤；③若lna?sgn（lna）=lnb?sgn（lnb）（a＞b），則a＞1，0＜b＜1，即有lna=﹣lnb，可得lna+lnb=0，即ab=1，則a+b＞2=2，則a+b的取值范圍是（2，+∞），故③正確；④設f（x）=（x2﹣1）?sgn（x2﹣1），當x2﹣1＞0即x＞1或x＜﹣1，即有f（x）=x2﹣1，當x2﹣1=0即x=±1，f（x）=0，當x2﹣1＜0即﹣1＜x＜1，f（x）=1﹣x2，作出f（x）的圖象，（如下圖）令t=f（x），可得函數y=t2+at+1，若函數g（x）=f2（x）+af（x）+1有6個零點，則t2+at+1=0有6個實根，由于t=0不成立，方程t2+at+1=0的兩根，一個大于1，另一個介于（0，1），則即為，解得a＜﹣2，故④正確．故正確的個數有3個．故選：D．12．（5分）已知函數，那么下列命題正確的是（）A．若a=0，則y=f（x）與y=3是同一函數B．若0＜a≤1，則C．若a=2，則對任意使得f（m）=0的實數m，都有f（﹣m）=1D．若a＞3，則f（cos2）＜f（cos3）【解答】解：對于A，若a=0，則y=f（x）的定義域為{x|x≠0}，y=3定義域為R，不是同一函數，故錯；對于B，若0＜a≤1時，可得函數f（x）在[﹣，]上為增函數，∵=，故錯；對于C，a=2時，f（x）=，f（x）+f（﹣x）==，∴則對任意使得f（m）=0的實數m，都有f（﹣m）=1，正確；對于D，當a＞3時，f（x）在[﹣，]上為增函數，且cos2＞cos3，則f（cos2）＞f（cos3），故錯．故選：C二、填空題（共4個小題，每小題5分，共20分，把最終的結果填在題中橫線上）13．（5分）若函數，則函數y=f（2x）的定義域是[1，+∞）．【解答】解：由x﹣2≥0，解得：x≥2，故2x≥2，解得：x≥1，故函數的定義域是：[1，+∞）．14．（5分）已知f（x）=的值域為R，那么a的取值范圍是﹣1．【解答】解：∵f（x）=∴x≥1，lnx≥0，∵值域為R，∴1﹣2ax+3a必須到﹣∞，即滿足：即故答案為：．15．（5分）若，則sinβ=．【解答】解：由a∈（0，π），＞0，∴∵sin2α+cos2α=1解得：sinα=，cosα=由cos（a+β）=＞0，∵，β∈（0，π）∴（α+β）∈（0，）∴sin（a+β）=那么：sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=×﹣=故答案為．16．（5分）若函數f（x），g（x）分別是R上的奇函數、偶函數且滿足f（x）+g（x）=ex，其中e是自然對數的底數，則比較f（e），f（3），g（﹣3）的大小f（e）＜f（3）＜g（﹣3）．【解答】解；∵函數f（x），g（x）分別是R上的奇函數、偶函數且滿足f（x）+g（x）=ex，①∴f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，即﹣f（x）+g（x）=e﹣x，②兩式聯立得，f（x）=，則函數f（x）為增函數，∴f（e）＜f（3），∵g（x）偶函數，∴g（﹣3）=g（3），∵g（3）=，f（3）=，∴f（3）＜g（﹣3），綜上：f（e）＜f（3）＜g（﹣3）．故答案為：f（e）＜f（3）＜g（﹣3）．三、解答題（共6個小題，共計70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）（I）求值：log23?log34﹣log20.125﹣；（II）求值：sin15°+cos15°．【解答】解：（I）原式=，（II）原式=（sin15°+cos15°）=sin60°=18．（12分）已知函數．（I）求函數f（x）對稱軸方程和單調遞增區間；（II）對任意，f（x）﹣m≥0恒成立，求實數m的取值范圍．【解答】解：（I）==（3分）由，由，所以對稱軸是，單調增區間是．（6分）（II）由得，從而，（11分）f（x）﹣m≥0恒成立等價于m≤f（x）min，∴．（12分）19．（12分）根據平面向量基本定理，若為一組基底，同一平面的向量可以被唯一確定地表示為，則向量與有序實數對（x，y）一一對應，稱（x，y）為向量在基底下的坐標；特別地，若分別為x，y軸正方向的單位向量，則稱（x，y）為向量的直角坐標．（I）據此證明向量加法的直角坐標公式：若，則；（II）如圖，直角△OAB中，，C點在AB上，且，求向量在基底下的坐標．【解答】解：（I）證明：根據題意：，∴=x1+y1，=x2+y2，（2分）∴，（4分）∴；（6分）（II）【解法一】（向量法）：根據幾何性質，易知∠OAB=60°，∴||=，||=；從而，∴+=（+），∴=+，化簡得：=+；∴在基底下的坐標為．【解法二】（向量法）：同上可得：，∴+=（+），∴=+；從而求得坐標表示．【解法三】（坐標法）：以O為坐標原點，方向為x，y軸正方向建立直角坐標系，則，由幾何意義易得C的直角坐標為；設，則，∴，解得，即得坐標為（，）．（12分）20．（12分）某企業一天中不同時刻的用電量y（萬千瓦時）關于時間t（小時，0≤t≤24）的函數y=f（t）近似滿足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．如圖是函數y=f（t）的部分圖象（t=0對應凌晨0點）．（Ⅰ）根據圖象，求A，ω，φ，B的值；（Ⅱ）由于當地冬季霧霾嚴重，從環保的角度，既要控制火力發電廠的排放量，電力供應有限；又要控制企業的排放量，于是需要對各企業實行分時拉閘限電措施．已知該企業某日前半日能分配到的供電量g（t）（萬千瓦時）與時間t（小時）的關系可用線性函數模型g（t）=﹣2t+25（0≤t≤12）模擬．當供電量小于該企業的用電量時，企業就必須停產．初步預計停產時間在中午11點到12點間，為保證該企業既可提前準備應對停產，又可盡量減少停產時間，請從這個初步預計的時間段開始，用二分法幫其估算出精確到15分鐘的停產時間段．【解答】解：（Ⅰ）由圖知，∴．（1分），．（3分）∴．代入（0，2.5），得，又0＜φ＜π，∴．（5分）綜上，，，，B=2．即．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知．令h（t）=f（t）﹣g（t），設h（t0）=0，則t0為該企業的停產時間．易知h（t）在（11，12）上是單調遞增函數．由h（11）=f（11）﹣g（11）＜0，h（12）=f（12）﹣g（12）＞0，又，則t0∈（11，11.5）．即11點到11點30分之間（大于15分鐘）又，則t0∈（11.25，11.5）．即11點15分到11點30分之間（正好15分鐘）．（11分）答：估計在11點15分到11點30分之間的時間段停產．（12分）21．（12分）已知函數f（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）．（Ⅰ）求f（x）的定義域，判斷并用定義證明其在定義域上的單調性；（Ⅱ）若a＞0，解關于x的不等式f（a2x﹣2ax）＜lg2．【解答】解：（Ⅰ）由題意，所以定義域為（1，+∞）．（2分）任取1＜x1＜x2，則，∵1＜x1＜x2，∴（x1x2﹣1+x2﹣x1）﹣（x1x2﹣1﹣x2+x1）=2（x2﹣x1）＞0，且x1x2﹣1﹣x2+x1=（x1﹣1）（x2+1）＞0，∴，∴，∴f（x1）＞f（x2），即函數f（x）在（1，+∞）上單調遞減（6分）注：令，，先判斷φ（x1），φ（x2）大小，再判斷f（x1），f（x2）大小的酌情給分．（Ⅱ）由知，，（可直接看出或設未知數解出），于是原不等式等價于f（a2x﹣2ax）＜f（3）．（7分）由（Ⅰ）知函數f（x）在區間（1，+∞）上單調遞減，于是原不等式等價于：a2x﹣2ax＞3＞1，即a2x﹣2ax﹣3＞0?（ax﹣3）（ax+1）＞0?ax＞3．（9分）于是：①若a＞1，不等式的解集是{x|x＞loga3}；②若0＜a＜1，不等式的解集是{x|x＜loga3}；③若a=1，不等式的解集是Φ．（（12分），每少一種情況扣1分）22．（12分）設f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意x∈R，都有f（x+2）=﹣f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x2．（I）當﹣2≤x≤0時，求f（x）的解析式；（II）設向量，若同向，求的值；（III）定義：一個函數在某區間上的最大值減去最小值的差稱為此函數在此區間上的“界高”