階段提升課題型一復數的概念1.問題類型:復數的相關概念,如虛數、純虛數、復數的模、共軛復數、復數相等.2.解題關鍵:掌握復數的相關概念.3.核心素養:提升學生的數學抽象能力.【典例1】(1)已知復數z滿足z2z=1+3i,其中i是虛數單位,z為z的共軛復數,則z=()A.1+i B.1iC.1+i D.1i【解析】選C.設z=a+bi(a,b∈R),則z=abi,由于z2z=1+3i,所以a+bi2(abi)=1+3i,整理得a+3bi=1+3i.所以由復數相等可知:a=1,b=1,所以z=1+i.(2)(2024·江門高一檢測)已知m∈R,復數z=m(m+2)m-1+(①z是純虛數?②z=12【解析】①因為z是純虛數,所以m2+2m-3≠0m(m+2)m-1=0②因為z=124i,所以m2+2m-3=-4m(m+2【總結升華】處理復數概念問題的注意點(1)當復數不是a+bi(a,b∈R)的形式時,要通過變形化為a+bi的形式,以便確定其實部和虛部.(2)復數的分類,要弄清復數類型的充要條件,若復數a+bi是實數,則b=0;若復數a+bi是純虛數,則a=0且b≠0;若復數a+bi為零,則a=0且b=0;若復數a+bi是虛數,則b≠0.(3)明確復數相等的條件、共軛復數的定義.【即學即練】1.(2024·安慶高一檢測)已知a,b均為實數,復數:z=a2b+(b2a)i,其中i為虛數單位,若z<3,則a的取值范圍為()A.(1,3)B.(∞,1)∪(3,+∞)C.(∞,3)∪(1,+∞)D.(3,1)【解析】選A.因為z=a2b+(b2a)i<3,所以z為實數,即b-則有a22a3<0,解得1<a<3,即a的取值范圍為(1,3).2.(2024·張家口高一檢測)已知復數z1=m22+(m+2)i(m∈R),z2=cos2θ+isinθ,若z1=z2,則實數m=__________.

答案:1或5【解析】若z1=z2,則m2又cos2θ=12sin2θ,則m22=12(m+2)2,解得m=1或m=53題型二復數及其運算的幾何意義1.問題類型:復數、復數加減、復數差的模的幾何意義.2.解題關鍵:掌握復數的代數形式與幾何意義.3.核心素養:提升學生的直觀想象能力.【典例2】(1)(2024·長春高一檢測)在如圖所示的復平面內,復數z1,z2,z3對應的向量分別是,,,則復數z32z1-3A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.根據題意z1=3+2i,z2=2+2i,z3=12i,故z32z1-3z2=1-2i則復數z32z1-3(2)已知復數z滿足|z|=1,則|z+512i|(i為虛數單位)的最大值為__________.

答案:14【解析】|z+512i|=|z(5+12i)|,記z=a+bi(a,b∈R),對應點為P(a,b),5+12i對應點為Q(5,12),復平面原點為O(0,0),由|z|=1可知,點P在單位圓x2+y2=1上,由復數減法的幾何意義可知,|z+512i|表示點P,Q的距離,易知,|OQ|1≤|PQ|≤|OQ|+1,因為|OQ|=(-5)2+122=13,所以12≤|【總結升華】復數及其運算的幾何意義(1)復數的幾何意義:復數z=a+bi(a,b∈R)對應復平面內的點Z(a,b)與向量=(a,b);(2)復數加、減運算的幾何意義:對應向量的加、減運算;(3)復數模的幾何意義:|z1z2|表示復數z1對應的點Z1和z2對應的點Z2之間的距離.【即學即練】復數z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,求|z1z2|的值.【解析】如圖,設復數z1,z2所對應的點分別為Z1,Z2,=+;由已知,||=3+1=2=||=||,所以平行四邊形OZ1PZ2為菱形,且△OPZ1,△OPZ2都是正三角形,所以∠Z1OZ2=120°,||2=||2+||22||||cos120°=22+222×2×2×12=12,所以|z1z2|=||=23.題型三復數的四則運算1.問題類型:復數的四則運算.2.解題關鍵:掌握運算法則與運算律.3.核心素養:提升學生的數學運算能力.【典例3】(2024·西安高一檢測)計算下列各題:(1)(12+32i)(32(2)3+2i2-(3)1+i2023【解析】(1)原式=(3414i+34i+3=(32+12i)(1+i)=3232i+12i+12i2(2)原式=(=(6+9i+4i+6i2)(3)原式=1+i31-i+|3-【總結升華】復數的四則運算(1)方法:應用運算法則結合運算律進行計算;(2)注意:將含有虛數單位i的看作一類,不含i的看作另一類,分別合并同類項,最終要將i的冪化成最簡形式.【即學即練】已知復數z1=15-5i(2+i)2,z2=a(1)若a=2,求z1·z2(2)若z=z1z2是純虛數,求【解析】(1)由于z1=15-5i(2+i)2=15-當a=2時,z2=23i,所以z1·z2=(13i)(2+3i)=2+3i6i+9=113i(2)若z=z1z2=1-3ia-3i=(1-3i)(a題型四復數范圍內一元二次方程的根1.問題類型:復數范圍內解實系數一元二次方程.2.解題關鍵:掌握配方法與求根公式.3.核心素養:提升學生的邏輯推理能力.【典例4】(2024·長沙高一檢測)已知關于x的方程3x22ax+a=0,a∈R.(1)當a=1時,在復數范圍內求方程的解;(2)已知復數z=2a+i,若方程3x22ax+a=0有虛根,求z的模的取值范圍.【解析】(1)當a=1時,方程為3x22x+1=0,配方可得,(x13)2=2兩邊開方可得,x13=±2所以,方程的解為x=13±23(2)要使方程3x22ax+a=0有虛根,則Δ=(2a)24×3a=4a212a<0,所以0<a<3,所以0<a2<9,又|z|2=4a2+1,所以1<|z|2<37,所以,1<|z|<37,所以|z|的取值范圍為(1,37).【總結升華】若實系數一元二次方程無實數根,此時方程的兩個虛數根互為共軛復數,可以利用根與系數的關系求解相關問題.【即學即練】已知關于x的方程x2px+25=0(p∈R)在復數范圍內的兩根分別為x1,x2.(1)若p=8,求x1,x2;(2)若x1=3+4i,求p的值.【解析】(1)由題意得,Δ=p2100=36<0,所以x=8±-(82所以x1=4+3i,x2=43i.(2)已知關于x的方程x2px+25=0(p∈R)的一個根為x1=3+4i,所以(3+4i)2p(3+4i)+25=(183p)+(244p)i=0,所以183p=0,244p=0,解得p=6.【真題1】(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,則zzA.i B.i C.0 D.1【解析】選A.因為z=1-i2+2i=(1-i)(1-i)2(【溯源】(教材P95T7)已知(1+2i)z=4+3i,求z及zz解設z=a+bi(a,b∈R),則z=abi,所以(1+2i)(abi)=4+3i,所以(a+2b)+(2ab)i=4+3i,所以a+2所以a=2,b=1,所以z=2+i,所以z=2i,所以zz=2+i2-i=(2+i)[點評]教材習題是已知一個復數的共軛復數,求這個復數及這個復數與其共軛復數的除法運算;真題是已知一個復數,求這個復數與其共軛復數的減法運算;本質均在考查共軛復數的求法及復數的四則運算.【真題2】(2023·新高考Ⅱ卷)在復平面內,(1+3i)(3i)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.因為(1+3i)(3i)=3+8i3i2=6+8i,則所求復數對應的點為(6,8),位于第一象限.【溯源】(教材P95T1(3))當23<m<1時,復數m(3+i)(2+i)在復平面內對應的