近世代數(shù)知識(shí)點(diǎn)演講人：日期：目錄CONTENTS近世代數(shù)概述近世代數(shù)的基本概念群論基礎(chǔ)環(huán)與域模與格近世代數(shù)在各領(lǐng)域的應(yīng)用01近世代數(shù)概述CHAPTER定義近世代數(shù)即抽象代數(shù)，是數(shù)學(xué)的一門(mén)分支，主要研究代數(shù)結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)。發(fā)展歷程起源于19世紀(jì)伽羅瓦的群論，隨后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家們的不斷拓展，發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支之一。定義與發(fā)展歷程初等代數(shù)主要關(guān)注代數(shù)方程的求解及其根的性質(zhì)，如一次方程、二次方程等。近世代數(shù)不僅關(guān)注代數(shù)方程的求解，更關(guān)注代數(shù)結(jié)構(gòu)（如群、環(huán)、域等）及其性質(zhì)的研究。與初等代數(shù)的區(qū)別代數(shù)結(jié)構(gòu)包括群、環(huán)、域等，這些結(jié)構(gòu)具有特定的運(yùn)算和性質(zhì)。代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)近世代數(shù)的研究對(duì)象如結(jié)合性、交換性、分配性等，這些性質(zhì)對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)的研究和分類(lèi)具有重要意義。010202近世代數(shù)的基本概念CHAPTER集合的定義近世代數(shù)中的集合是指具有某種特定性質(zhì)的元素的總體，這些元素之間可以進(jìn)行特定的運(yùn)算。映射的定義映射是集合之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，它建立了兩個(gè)集合元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且每個(gè)元素都有唯一的對(duì)應(yīng)元素。映射的性質(zhì)映射具有單值性和確定性，即一個(gè)元素只能映射到一個(gè)確定的元素上。集合與映射近世代數(shù)中的運(yùn)算是指對(duì)集合中的元素進(jìn)行某種特定的操作或變換，并得到一個(gè)結(jié)果。運(yùn)算的定義常見(jiàn)的運(yùn)算律包括交換律、結(jié)合律、分配律等，這些運(yùn)算律在近世代數(shù)中有重要的作用。運(yùn)算律的分類(lèi)在一個(gè)集合中，經(jīng)過(guò)某種運(yùn)算后得到的結(jié)果仍然屬于該集合，則稱(chēng)該集合對(duì)該運(yùn)算封閉。運(yùn)算的封閉性運(yùn)算與運(yùn)算律010203等價(jià)關(guān)系的定義根據(jù)等價(jià)關(guān)系，可以將集合中的元素劃分為若干個(gè)等價(jià)類(lèi)，每個(gè)等價(jià)類(lèi)中的元素都是等價(jià)的。等價(jià)類(lèi)的定義劃分的定義劃分是將集合分成若干個(gè)不相交的子集，并且這些子集的并集等于原集合。等價(jià)關(guān)系是指集合中元素之間的一種關(guān)系，滿(mǎn)足自反性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。等價(jià)關(guān)系與劃分03群論基礎(chǔ)CHAPTER群的定義與性質(zhì)群是一個(gè)非空集合G，其中定義了一種二元運(yùn)算，稱(chēng)為乘法，滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合性、存在單位元和逆元四個(gè)條件。群的定義群中元素的個(gè)數(shù)稱(chēng)為群的階，用|G|表示。在群G中，使得對(duì)于所有g(shù)∈G，有eg=ge=g的元素e稱(chēng)為群G的單位元。群的階滿(mǎn)足交換律的群稱(chēng)為交換群或阿貝爾群。交換群01020403群的單位元子群與陪集子群的定義01設(shè)G是一個(gè)群，H是G的一個(gè)非空子集，如果H對(duì)于G的乘法也構(gòu)成一個(gè)群，則稱(chēng)H是G的子群。子群的性質(zhì)02子群H的階是G的階的因數(shù)，且H包含G的單位元。陪集的定義03設(shè)H是G的子群，g是G的一個(gè)元素，則集合gH={gh|h∈H}稱(chēng)為H在G中的一個(gè)右陪集，Hg={hg|h∈H}稱(chēng)為H在G中的一個(gè)左陪集。陪集的性質(zhì)04對(duì)于任意g∈G，gH和Hg都是H在G中的陪集，且|gH|=|Hg|=|H|。同態(tài)的定義設(shè)(G,*)和(H,*)是兩個(gè)群，如果存在一個(gè)映射φ:G→H，使得對(duì)于所有a,b∈G，都有φ(ab)=φ(a)φ(b)，則稱(chēng)φ是G到H的一個(gè)同態(tài)。同態(tài)的性質(zhì)同態(tài)映射保持群的單位元、逆元和子群的結(jié)構(gòu)。同構(gòu)的定義如果同態(tài)映射φ是滿(mǎn)射且是單射，則稱(chēng)φ是G到H的一個(gè)同構(gòu)，此時(shí)稱(chēng)G和H是同構(gòu)的群。同構(gòu)的性質(zhì)同構(gòu)的群具有相同的群結(jié)構(gòu)，即它們的階、子群結(jié)構(gòu)、是否交換等性質(zhì)都相同。同態(tài)與同構(gòu)01020304循環(huán)群的定義由一個(gè)元素生成的群稱(chēng)為循環(huán)群，循環(huán)群一定是交換群。置換群的定義置換群是由一些置換構(gòu)成的群，其中置換是有限集合上的雙射。置換群的性質(zhì)置換群中的元素可以看作是對(duì)集合中元素進(jìn)行排列的操作，且置換群在集合上的作用可以通過(guò)排列矩陣來(lái)表示。循環(huán)群的性質(zhì)循環(huán)群的每個(gè)非單位元素都可以表示為生成元的冪次形式，且循環(huán)群的階等于生成元的階。循環(huán)群與置換群0102030404環(huán)與域CHAPTER環(huán)的定義環(huán)是一個(gè)集合R，其中定義了加法和乘法兩種運(yùn)算，并滿(mǎn)足加法的結(jié)合律、乘法的結(jié)合律、分配律以及存在一個(gè)加法單位元和一個(gè)乘法單位元。環(huán)的性質(zhì)環(huán)的定義與性質(zhì)在環(huán)中，加法滿(mǎn)足交換律，乘法滿(mǎn)足結(jié)合律和分配律，且存在加法零元和乘法單位元。此外，環(huán)中的元素關(guān)于加法構(gòu)成阿貝爾群，關(guān)于乘法構(gòu)成半群。0102整環(huán)整環(huán)是一種特殊的環(huán)，它要求環(huán)中沒(méi)有零因子，即對(duì)于環(huán)中的任意兩個(gè)非零元素a和b，它們的乘積ab也不為零。整環(huán)、域與除環(huán)域域是一種特殊的整環(huán)，它要求環(huán)中的非零元素構(gòu)成乘法群，即每個(gè)非零元素都有乘法逆元。同時(shí)，域中的元素滿(mǎn)足加法交換律和乘法交換律。除環(huán)除環(huán)是一種特殊的環(huán)，它要求環(huán)中的每個(gè)非零元素都有乘法逆元，但乘法不一定滿(mǎn)足交換律。因此，除環(huán)是一種介于環(huán)和域之間的特殊結(jié)構(gòu)。環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)環(huán)的同構(gòu)環(huán)的同構(gòu)是兩個(gè)環(huán)之間的雙射（一一對(duì)應(yīng)），它不僅是同態(tài)的，而且是滿(mǎn)射和單射。如果兩個(gè)環(huán)同構(gòu)，那么它們的結(jié)構(gòu)在本質(zhì)上是相同的，只是元素的表示方式不同而已。環(huán)的同態(tài)環(huán)的同態(tài)是兩個(gè)環(huán)之間的映射，它保留了環(huán)中的加法和乘法運(yùn)算。具體來(lái)說(shuō)，如果f是環(huán)R到環(huán)S的同態(tài)映射，那么對(duì)于R中的任意元素a和b，都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a*b)=f(a)*f(b)。多項(xiàng)式環(huán)的定義多項(xiàng)式環(huán)是一種特殊的環(huán)，它是由系數(shù)在某個(gè)環(huán)中的多項(xiàng)式構(gòu)成的環(huán)。多項(xiàng)式環(huán)中的加法和乘法運(yùn)算由多項(xiàng)式的加法和乘法規(guī)則定義。多項(xiàng)式環(huán)的性質(zhì)多項(xiàng)式環(huán)繼承了系數(shù)環(huán)的許多性質(zhì)，如整環(huán)性、域性等。此外，多項(xiàng)式環(huán)還具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，如多項(xiàng)式的次數(shù)、多項(xiàng)式的帶余除法、多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系等。這些性質(zhì)在代數(shù)和代數(shù)幾何中有著重要的應(yīng)用。多項(xiàng)式環(huán)05模與格CHAPTERVS設(shè)R是一個(gè)有單位元的環(huán)，稱(chēng)一個(gè)加法阿貝爾群M為一個(gè)R-模，如果定義了一個(gè)從R×M到M的映射，使得對(duì)于任意r,s∈R和x,y∈M，滿(mǎn)足(r+s)x=rx+sx，r(x+y)=rx+ry，和(rs)x=r(sx)。模的性質(zhì)模具有加法群的性質(zhì)，同時(shí)滿(mǎn)足標(biāo)量乘法的分配律。模的定義模的定義與性質(zhì)商模的性質(zhì)商模繼承了原模的許多性質(zhì)，如模的加法群結(jié)構(gòu)和標(biāo)量乘法。子模的定義設(shè)M是一個(gè)R-模，N是M的一個(gè)子群，如果對(duì)于任意r∈R和x∈N，都有rx∈N，則稱(chēng)N是M的一個(gè)子模。商模的定義設(shè)N是M的一個(gè)子模，可以定義一個(gè)商模M/N，其元素為M中元素關(guān)于N的陪集，標(biāo)量乘法定義為r(x+N)=rx+N。子模與商模同態(tài)的定義設(shè)M和N是兩個(gè)R-模，一個(gè)從M到N的模同態(tài)是一個(gè)群同態(tài)φ：M→N，使得對(duì)于任意r∈R和x∈M，都有φ(rx)=rφ(x)。01.模的同態(tài)與同構(gòu)同構(gòu)的定義如果模同態(tài)φ：M→N是雙射，則稱(chēng)φ是一個(gè)模同構(gòu)，此時(shí)稱(chēng)M和N是同構(gòu)的。02.同態(tài)與同構(gòu)的性質(zhì)同態(tài)保持了模的許多性質(zhì)，同構(gòu)則意味著兩個(gè)模在結(jié)構(gòu)上是完全相同的。03.格是一種特殊的偏序集，其中任意兩個(gè)元素都有上確界和下確界。格的定義格具有對(duì)稱(chēng)性、傳遞性和唯一性，每個(gè)元素都有唯一的上確界和下確界。格的性質(zhì)根據(jù)格的特殊性質(zhì)，可以將其分為分配格、模格、完備格等多種類(lèi)型。格的類(lèi)型格的基本概念01020306近世代數(shù)在各領(lǐng)域的應(yīng)用CHAPTER經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)中的波函數(shù)、態(tài)矢量空間和觀測(cè)算符等都涉及近世代數(shù)的概念，如希爾伯特空間、算符代數(shù)等。量子力學(xué)熱力學(xué)近世代數(shù)中的群和環(huán)等結(jié)構(gòu)有助于理解和描述熱力學(xué)系統(tǒng)中的微觀粒子運(yùn)動(dòng)和宏觀性質(zhì)之間的關(guān)系。近世代數(shù)中的群論和對(duì)稱(chēng)性在經(jīng)典力學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如空間群和時(shí)間群等。在物理學(xué)中的應(yīng)用分子結(jié)構(gòu)和對(duì)稱(chēng)性近世代數(shù)中的對(duì)稱(chēng)性和群論在分子結(jié)構(gòu)研究中有廣泛應(yīng)用，如分子對(duì)稱(chēng)性的分類(lèi)和判斷等。化學(xué)反應(yīng)機(jī)理近世代數(shù)中的群論方法可用于研究化學(xué)反應(yīng)的機(jī)理和路徑，如反應(yīng)過(guò)程中的對(duì)稱(chēng)性破缺等。晶體學(xué)晶體結(jié)構(gòu)中的對(duì)稱(chēng)性和群表示理論是近世代數(shù)在晶體學(xué)中的重要應(yīng)用，有助于理解和預(yù)測(cè)晶體的物理和化學(xué)性質(zhì)。020301在化學(xué)中的應(yīng)用算法設(shè)計(jì)近世代數(shù)中的群、環(huán)和模等結(jié)構(gòu)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如加密算法、編碼理論和圖論算法等。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)編程語(yǔ)言在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用近世代數(shù)中的代數(shù)結(jié)構(gòu)可以用于設(shè)計(jì)高效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，如群數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、環(huán)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和模數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等。近世代數(shù)理論在編程語(yǔ)言設(shè)計(jì)中有重要應(yīng)用，如函數(shù)式編程和邏輯編程等新型編程語(yǔ)言的設(shè)計(jì)。