專題05一次方程（組）課標要求考點考向1.掌握等式的基本性質；2.能解一元一次方程；掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組；3.能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型；4.能利用一次方程解決實際應用問題，并能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理一元一次方程考向一列一元一次方程考向二解一元一次方程考向三一元一次方程的應用二元一次方程（組）考向一二元一次方程的應用考向二列二元一次方程組考向三二元一次方程組的解考向四二元一次方程組的應用三元一次方程（組）考向一三元一次方程（組）的應用考點一一元一次方程?考向一列一元一次方程1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺．繩長、井深各幾尺？若設繩長為x尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元一次方程組的實際應用，利用井的深度不變建立方程是解題的關鍵．【詳解】解：設繩長為x尺，列方程為，故選A．2．（2024·廣東廣州·中考真題）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛．設該車企去年5月交付新車輛，根據題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出題目中的數量關系是解題關鍵．設該車企去年5月交付新車輛，根據“今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛”列出方程即可．【詳解】解：設該車企去年5月交付新車輛，根據題意得：，故選：A．3．（2024·廣西·中考真題）《九章算術》是我國古代重要的數學著作，其中記載了一個問題，大致意思為：現有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢．問：出租的田有多少畝？設出租的田有x畝，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的應用，根據“第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢”列方程即可．【詳解】解：根據題意，得，故選：B．4．（2024·福建·中考真題）今年我國國民經濟開局良好，市場銷售穩定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關鍵是理解題意，找出等量關系，根據今年第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，列出方程即可．【詳解】解：將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，根據題意得：，故選：A．?考向二解一元一次方程5．（2024·海南·中考真題）若代數式的值為5，則x等于（

）A．8 B． C．2 D．【答案】A【分析】本題主要考查了解一元一次方程，根據題意可知，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵代數式的值為5，∴，解得，故選：A．6．（2024·貴州·中考真題）在元朝朱世杰所著的《算術啟蒙》中，記載了一道題，大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，則快馬追上慢馬需要的天數是．【答案】20【分析】本題考查了一元一次方程的應用求解，設快馬追上慢馬需要x天，根據快馬走的路程等于慢馬走的總路程，列方程求解即可．【詳解】解∶設快馬追上慢馬需要x天，根據題意，得，解得，故答案為：20．?考向三一元一次方程的應用解題技巧/易錯易混一元一次方程解應用題的類型有：（1）銷售打折問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標價×折扣；銷售額=售價×數量．（2）儲蓄利息問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數)；貸款利息=貸款額×利率×期數．（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．（4）行程問題：路程=速度×時間．（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及問題一（同地不同時出發）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及問題二（同時不同地出發）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．（9）飛機航行問題：順風速度=靜風速度+風速度；逆風速度=靜風速度-風速度．考查角度1工程問題7．（2024·陜西·中考真題）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛生大掃除．根據這次大掃除的任務量，若小峰單獨完成，需；若爸爸單獨完成，需．當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成剩余的打掃任務．小峰和爸爸這次一共打掃了，求這次小峰打掃了多長時間．【答案】小峰打掃了．【分析】本題是一道工程問題的應用題．設小峰打掃了，爸爸打掃了，根據總工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．【詳解】解：設總工作量為1，小峰打掃了，爸爸打掃了，則小峰打掃任務的工作效率為，爸爸打掃任務的工作效率為，由題意，得：，解得：，答：小峰打掃了．考查角度2銷售問題8．（2024·海南·中考真題）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．某商店售賣某品牌瘦肉粽和五花肉粽．請依據以下對話，求促銷活動前每個瘦肉粽、五花肉粽的售價．【答案】促銷活動前每個瘦肉粽的售價為15元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價10元．【分析】本題考查了一元一次方程的應用．設促銷活動前每個瘦肉粽的售價為元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價元，根據題意列方程求解即可．【詳解】解：設促銷活動前每個瘦肉粽的售價為元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價元，依題意得，解得，，答：促銷活動前每個瘦肉粽的售價為15元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價10元．考查角度3幾何問題9．（2024·河北·中考真題）如圖，有甲、乙兩條數軸．甲數軸上的三點A，B，C所對應的數依次為，2，32，乙數軸上的三點D，E，F所對應的數依次為0，x，12．(1)計算A，B，C三點所對應的數的和，并求的值；(2)當點A與點D上下對齊時，點B，C恰好分別與點E，F上下對齊，求x的值．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查的是數軸上兩點之間的距離的含義，一元一次方程的應用，理解題意是解本題的關鍵；（1）直接列式求解三個數的和即可，再分別計算，從而可得答案；（2）由題意可得，對應線段是成比例的，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵甲數軸上的三點A，B，C所對應的數依次為，2，32，∴，，，∴；（2）解：∵點A與點D上下對齊時，點B，C恰好分別與點E，F上下對齊，∴，∴，解得：；考查角度4行程問題10．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發，沿公路經B地到C地，乙車從C地出發，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時出發，勻速行駛，乙車比甲車早小時到達目的地．甲、乙兩車之間的路程與兩車行駛時間的函數關系如圖所示，請結合圖象信息，解答下列問題：(1)甲車行駛的速度是_____，并在圖中括號內填上正確的數；(2)求圖中線段所在直線的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)請直接寫出兩車出發多少小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．【答案】(1)70，300(2)(3)或【分析】本題考查一次函數的實際應用，一元一次方程的實際應用，求出A、B、C兩兩之間的距離是解題的關鍵．（1）利用時間、速度、路程之間的關系求解；（2）利用待定系數法求解；（3）先求出A、B、C兩兩之間的距離和乙車的速度，設兩車出發x小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后兩種情況，列一元一次方程分別求解即可．【詳解】（1）解：由圖可知，甲車小時行駛的路程為，甲車行駛的速度是，∴A、C兩地的距離為：，故答案為：70；300；（2）解：由圖可知E，F的坐標分別為，，設線段所在直線的函數解析式為，則，解得，線段所在直線的函數解析式為；（3）解：由題意知，A、C兩地的距離為：，乙車行駛的速度為：，C、B兩地的距離為：，A、B兩地的距離為：，設兩車出發x小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍，分兩種情況，當甲乙相遇前時：，解得；當甲乙相遇后時：，解得；綜上可知，兩車出發或時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．11．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中間休息了兩次．跑步機上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關信息如表所示，跑步累計里程s（米）與小明跑步時間t（分）的函數關系如圖所示．時間里程分段速度檔跑步里程小明不分段A檔4000米小麗第一段B檔1800米第一次休息第二段B檔1200米第二次休息第三段C檔1600米(1)求A，B，C各檔速度（單位：米/分）；(2)求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；(3)小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，求a的值．【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分(2)5分(3)42.5【分析】此題考查函數圖象獲取信息，一元一次方程的應用，讀懂圖象中的數據是解本題的關鍵．（1）由小明的跑步里程及時間可得檔速度，再根據C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分可得B，C檔速度；（2）結合圖象求出小麗每段跑步所用時間，再根據總時間即可求解；（3）由題意可得，此時小麗在跑第三段，所跑時間為（分），可得方程，求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，檔速度為米/分，則檔速度為米/分，檔速度為米/分；（2）小麗第一段跑步時間為分，小麗第二段跑步時間為分，小麗第三段跑步時間為分，則小麗兩次休息時間的總和分；（3）由題意可得：小麗第二次休息后，在分鐘時兩人跑步累計里程相等，此時小麗在跑第三段，所跑時間為：（分）可得：，解得：．12．（2024·江蘇蘇州·中考真題）某條城際鐵路線共有A，B，C三個車站，每日上午均有兩班次列車從A站駛往C站，其中D1001次列車從A站始發，經停B站后到達C站，G1002次列車從A站始發，直達C站，兩個車次的列車在行駛過程中保持各自的行駛速度不變．某校數學學習小組對列車運行情況進行研究，收集到列車運行信息如下表所示．列車運行時刻表車次A站B站C站發車時刻到站時刻發車時刻到站時刻D10018：009：309：5010：50G10028：25途經B站，不停車10：30請根據表格中的信息，解答下列問題：(1)D1001次列車從A站到B站行駛了______分鐘，從B站到C站行駛了______分鐘；(2)記D1001次列車的行駛速度為，離A站的路程為；G1002次列車的行駛速度為，離A站的路程為．①______；②從上午8：00開始計時，時長記為t分鐘（如：上午9：15，則），已知千米/小時（可換算為4千米/分鐘），在G1002次列車的行駛過程中，若，求t的值．【答案】(1)90，60(2)①；②或125【分析】本題考查了一元一次方程的應用，速度、時間、路程的關系，明確題意，合理分類討論是解題的關鍵．（1）直接根據表中數據解答即可；（2）①分別求出D1001次列車、G1002次列車從A站到C站的時間，然后根據路程等于速度乘以時間求解即可；②先求出，A與B站之間的路程，G1002次列車經過B站時，對應t的值，從而得出當時，D1001次列車在B站停車．G1002次列車經過B站時，D1001次列車正在B站停車，然后分，，，討論，根據題意列出關于t的方程求解即可．【詳解】（1）解：D1001次列車從A站到B站行駛了90分鐘，從B站到C站行駛了60分鐘，故答案為：90，60；（2）解：①根據題意得：D1001次列車從A站到C站共需分鐘，G1002次列車從A站到C站共需分鐘，∴，∴，故答案為：；②（千米/分鐘），，（千米/分鐘）．，A與B站之間的路程為360．，當時，G1002次列車經過B站．由題意可如，當時，D1001次列車在B站停車．G1002次列車經過B站時，D1001次列車正在B站停車．ⅰ．當時，，，，（分鐘）；ⅱ．當時，，，，（分鐘），不合題意，舍去；ⅲ．當時，，，，（分鐘），不合題意，舍去；ⅳ．當時，，，，（分鐘）．綜上所述，當或125時，．考查角度5其他問題13．（2024·吉林·中考真題）鋼琴素有“樂器之王”的美稱，鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個數．【答案】白色琴鍵52個，黑色琴鍵36個【分析】本題考查了列一元一次方程解應用題，正確理解題意是解題的關鍵．設黑色琴鍵x個，則白色琴鍵個，可得方程，再解方程即可．【詳解】解：設黑色琴鍵x個，則白色琴鍵個，由題意得：，解得：，∴白色琴鍵：（個），答：白色琴鍵52個，黑色琴鍵36個．14．（2024·北京·中考真題）為防治污染，保護和改善生態環境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標準6b階段（以下簡稱“標準”）.對某型號汽車，“標準”要求類物質排放量不超過，，兩類物質排放量之和不超過.已知該型號某汽車的，兩類物質排放量之和原為.經過一次技術改進，該汽車的類物質排放量降低了，類物質排放量降低了，，兩類物質排放量之和為，判斷這次技術改進后該汽車的類物質排放量是否符合“標準”，并說明理由.【答案】符合，理由見詳解【分析】本題考查了列一元一次方程解應用題，正確理解題意，找到等量關系是解題的關鍵．設技術改進后該汽車的A類物質排放量為，則B類物質排放量為，根據汽車的，兩類物質排放量之和原為建立方程求解即可．【詳解】解：設技術改進后該汽車的A類物質排放量為，則B類物質排放量為，由題意得：，解得：，∵，∴這次技術改進后該汽車的類物質排放量符合“標準”．考點二二元一次方程（組）?考向一二元一次方程的應用解題技巧/易錯易混列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．15．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．班級決定為在活動中表現突出的同學購買筆記本和碳素筆進行獎勵（兩種獎品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費28元，則共有幾種購買方案（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．設購買支筆記本，個碳素筆，利用總價單價數量，即可得出關于，的二元一次方程，再結合，均為正整數，即可得出購買方案的個數．【詳解】解：設購買支筆記本，個碳素筆，依題意得：，．又，均為正整數，或或或，共有4種不同的購買方案．故選：B．16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）校團委開展以“我愛讀書”為主題的演講比賽活動，為獎勵表現突出的學生，計劃拿出200元錢全部用于購買單價分別為8元和10元的兩種筆記本(兩種都要購買)作為獎品，則購買方案有（

）A．5種 B．4種 C．3種 D．2種【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程的應用，設單價分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個，根據題意列出方程，根據整數解的個數，即可求解．【詳解】解：設單價分別為8元和10元的兩種筆記本分別為個，依題意，∴∵，為正整數，∴當時，，當時，當時，當時，∴購買方案有4種，故選：B．17．（2024·四川宜賓·中考真題）某果農將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農現采摘有32千克荔枝，根據市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數最多為（

）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱【答案】C【分析】本題考查的是二元一次方程的正整數解問題，設用個大箱，個小箱，利用每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整數解可得答案．【詳解】解：設用個大箱，個小箱，∴，∴，∴方程的正整數解為：或，∴所裝的箱數最多為箱；故選C．?考向二列二元一次方程組18．（2024·湖北·中考真題）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個關于“方程”的問題：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問牛羊各直金幾何？”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩．牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少？”若設牛每頭值金x兩，羊每頭值金y兩，則可列方程組是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．因為每頭牛值金兩，每頭羊值金兩，根據“牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩”，即可得出關于、的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：根據題意得：．故選：A．19．（2024·四川·中考真題）我國古代數學名著《九章算術》記載了一道題，大意是：幾個人合買一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元．設有x人，該物品價值y元，根據題意，可列出的方程組是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查二元一次方程組解古代數學問題，讀懂題意，找到等量關系列方程是解決問題的關鍵．根據“每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元”，即可求解．【詳解】解：∵每人出8元，剩余3元，∴8=+3,∵每人出7元，還差4元，∴7=-4，故所列方程組為：．故選：A．20．（2024·天津·中考真題）《孫子算經》是我國古代著名的數學典籍，其中有一道題：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩度之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺．問木長多少尺？設木長尺，繩子長尺，則可以列出的方程組為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查的是二元一次方程組的應用.用一根繩子去量一根長木，繩子剩余4.5尺可知：；繩子對折再量長木，長木剩余1尺可知：；從而可得答案.【詳解】解：由題意可得方程組為：，故選：A.21．（2024·四川南充·中考真題）我國古代《算法統宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房．設該店有客房x間、房客y人，下列方程組中正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據“如果每一間客房住7人，那么有7人無房住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房”分別列出兩個方程，聯立成方程組即可．【詳解】根據題意有故選：A．【點睛】本題主要考查列二元一次方程組，讀懂題意找到等量關系是解題的關鍵．?考向三二元一次方程組的解解題技巧/易錯易混1.代入消元法：將方程組中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來，再代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化為一元一次方程適用類型：(1)方程組中有一個未知數的系數是1或－1；(2)一個方程的常數項為02.加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后再相加(或相減)，消去其中一個未知數，化為一元一次方程適用類型：方程組中同一個未知數的系數相同或互為相反數或成整數倍22．（2024·浙江·中考真題）解方程組：【答案】【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可.【詳解】解：①×3＋②得，解得，把代入①得，解得∴23．（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關于x、y的二元一次方程組的解是，則關于x、y的方程組的解是．【答案】【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把，代入，得到，整體代入中，得到方程組，加減消元法解方程組即可．【詳解】解：把代入，得：，∵，∴，即：，，得：，∵方程組有解，∴，∴，把代入①，得：，解得：；∴方程組的解集為：；故答案為：．24．（2024·湖南長沙·中考真題）為慶祝中國改革開放46周年，某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶祝活動，現場參與者均為在校中學生，其中有一個活動項目是“選數字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取一個數字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數，比如2010年對應的四位數是2010），得到最終的運算結果．只要參與者報出最終的運算結果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報出的最終的運算結果是915，則這位參與者的出生年份是．【答案】2009【分析】本題考查二元一次方程的解，理解題意是解答的關鍵．設這位參與者的出生年份是x，從九個數字中任取一個數字為a，根據題意列二元一次方程，整理得，根據a的取值得到x的9種可能，結合實際即可求解．【詳解】解：設這位參與者的出生年份是x，從九個數字中任取一個數字為a，根據題意，得，整理，得∴，∵a是從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取一個數字，∴x的值可能為1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，∵是為慶祝中國改革開放46周年，且參與者均為在校中學生，∴x只能是2009，故答案為：2009．?考向四二元一次方程組的應用25．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）點在直線上，坐標是二元一次方程的解，則點的位置在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題考查了一次函數圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯立方程組，求出點P的坐標即可判斷．【詳解】解∶聯立方程組，解得，∴P的坐標為，∴點P在第四象限，故選∶D．26．（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從地勻速出發，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，駐足交流后，繼續以原速步行前進；乙因故比甲晚出發，跑步到達地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離與甲出發的時間之間的函數關系．(

)那么以下結論：①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為；②甲出發時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值；③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后；④，兩地之間的距離是．其中正確的結論有：A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本題考查了函數圖象以及二元一次方程組的應用；①由乙比甲晚出發及當x=50時第一次為，可得出乙出發時兩人第一次相遇，進而可得出結論①正確；②觀察函數圖象，可得出當時，取得最大值，最大值為，進而可得出結論②正確；③設甲的速度為，乙的速度為，利用路程速度時間，可列出關于，的二元一次方程組，解之可得出，的之，將其代入中，可得出甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后，進而可得出結論③錯誤；④利用路程速度時間，即可求出，兩地之間的距離是．【詳解】解：①乙比甲晚出發，且當x=50時，，乙出發時，兩人第一次相遇，既甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為，結論①正確；②觀察函數圖象，可知：當時，取得最大值，最大值為，甲出發時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值，結論②正確；③設甲的速度為，乙的速度為，根據題意得：，解得：，∴，甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后，結論③錯誤；④，，兩地之間的距離是，結論④正確．綜上所述，正確的結論有①②④．故選：B．27．（2024·江蘇鹽城·中考真題）中國古代數學著作《增刪算法統宗》中記載的“繩索量竿”問題，大意是：現有一根竿子和一條繩索，用繩索去量竿子，繩索比竿子長5尺；若將繩索對折去量竿子，繩索就比竿子短5尺，問繩索、竿子各有多長？該問題中的竿子長為尺．【答案】15【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題關鍵．設繩索長尺，竿長尺，根據“用繩索去量竿，繩索比竿長尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出關于的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：設繩索長尺，竿長尺，根據題意得：．解得：故答案為15．28．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）某超市從某水果種植基地購進甲、乙兩種優質水果，經調查，這兩種水果的進價和售價如表所示：水果種類進價（元/千克）售價（元/千克）甲22乙25該超市購進甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元．(1)求的值；(2)該超市決定每天購進甲、乙兩種水果共150千克進行銷售，其中甲種水果的數量不少于50千克，且不大于120千克．實際銷售時，若甲種水果超過80千克，則超過部分按每千克降價5元銷售．求超市當天銷售完這兩種水果獲得的利潤（元）與購進甲種水果的數量（千克）之間的函數關系式（寫出自變量的取值范圍），并求出在獲得最大利潤時，超市的進貨方案以及最大利潤．【答案】(1)，(2)，購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的應用，解題的關鍵是∶（1）根據“購進甲種水果18千克和乙種水果6千克需366元：購進甲種水果30千克和乙種水果15千克需705元”列方程求解即可；（2）分，兩種情況討論，根據總利潤等于甲的利潤與乙的利潤列出函數關系式，然后利用一次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：根據題意，得，解得；（2）解：當時，根據題意，得，∵，∴隨的增大而增大，∴當時，有最大值，最大值為，即購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元；當時，根據題意，得，∵，∴隨的增大而減小，∴時，有最大值，最大值為，即購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元；綜上，，購進甲種水果80千克，乙種水果70千克，最大利潤為1060元．29．（2024·安徽·中考真題）鄉村振興戰略實施以來，很多外出人員返鄉創業．某村有部分返鄉青年承包了一些田地．采用新技術種植兩種農作物．種植這兩種農作物每公頃所需人數和投入資金如表：農作物品種每公頃所需人數每公頃所需投入資金（萬元）已知農作物種植人員共位，且每人只參與一種農作物種植，投入資金共萬元．問這兩種農作物的種植面積各多少公頃？【答案】農作物的種植面積為公頃，農作物的種植面積為公頃．【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設農作物的種植面積為公頃，農作物的種植面積為公頃，根據題意列出二元一次方程組即可求解，根據題意，找到等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【詳解】解：設農作物的種植面積為公頃，農作物的種植面積為公頃，由題意可得，，解得，答：設農作物的種植面積為公頃，農作物的種植面積為公頃．考點三三元一次方程（組）考向一三元一次方程（組）的應用30．（2024·貴州·中考真題）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設“■”與“●”的質量分別為x，y，則下列關系式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查等式的性質，設“▲”的質量為a，根據題意列出等式，，然后化簡代入即可解題．【詳解】解：設“▲”的質量為a，由甲圖可得，即，由乙圖可得，即，∴，故選C．31．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數字，且每個小球所標數字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數為落入該小孔槽小球上所標的數字），完成第一次操作．再重復以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是（從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．【答案】乙槽【分析】設第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據題意，得，當時，x最大，為8，根據每次操作數字不相同，故數字1不可能再出現，故第二次操作最小的是乙槽．本題考查了方程的應用，特殊解，熟練掌握整數解是解題的關鍵．【詳解】設第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據題意，得，當時，x最大，為8，根據每次操作數字不相同，故數字1不可能再出現，故第二次操作計分最低的是乙槽．故答案為：乙槽．一、單選題1．（2024·廣西河池·三模）關于x的方程的解是，則a的值為（

）A． B．0 C．2 D．8【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義，根據題意將代入，即可求解．【詳解】解：依題意，解得：，故選：C．2．（2024·湖北·模擬預測）我國古代數學名著《張邱建算經》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清酒、醑酒各幾斗？如果設清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實際問題列二元一次方程，設清酒x斗，醑酒y斗，根據“現在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現在拿30斗谷子，共換了5斗酒”列出二元一次方程組即可，理解題意，找準等量關系，正確列出方程是解此題的關鍵．【詳解】解：設清酒x斗，醑酒y斗，由題意得：，故選：A．3．（2024·貴州畢節·三模）已知關于x，y的二元一次方程組的解也是方程的解，則k的值為（

）A． B． C．2 D．無法計算【答案】C【分析】此題考查了解二元一次方程組，二元一次方程的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數的值．把k看作已知數求出x與y，代入已知方程計算即可求出k的值．【詳解】解：由①②得：，解得：，把代入①得：，解得：，把，代入，得：，解得：，故選：C4．（2024·浙江·模擬預測）從某個月的月歷表中取一個方塊．已知這個方塊所圍成的4個方格的日期之和為44，求這4個方格中的日期．若設左上角的日期為x，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的應用．左上角的日期為x，則其余三個數分別為，，，根據和為44，列出方程即可．【詳解】解：設左上角的日期為x，依題意得，故選：C5．（2024·浙江·模擬預測）學校要制作一塊廣告牌，請來兩名工人，已知甲單獨完成需4天，乙單獨完成需6天，若先由乙做1天，再兩人合作，完成任務后共得到報酬900元，若按各人的工作量計算報酬，則分配方案為（

）A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，熟悉掌握工程問題中的數量關系是解題的關鍵．設兩人合作了天，根據甲的工作量乙的工作量剩余工作總量列出方程求解即可．【詳解】解：設兩人合作了天，∴由題意可得：解得：∴甲的工作量為∴甲的報酬為：元，∴乙的報酬為：元，故選：B．6．（2024·遼寧·模擬預測）在解方程時，經過移項后的式子為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】該題主要考查了一元一次方程的解法，解題的關鍵是掌握一元一次方程的解法．根據一元一次方程的解法：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為一的方法解答即可．【詳解】解：，移項得，化簡得，故選：A．7．（2024·廣東廣州·中考真題）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛．設該車企去年5月交付新車輛，根據題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出題目中的數量關系是解題關鍵．設該車企去年5月交付新車輛，根據“今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛”列出方程即可．【詳解】解：設該車企去年5月交付新車輛，根據題意得：，故選：A．8．（2024·遼寧·模擬預測）學校組織植樹活動，已知在甲處植樹的有人，在乙處植樹的有人現調人去支援，使在甲處植樹的人數是乙處植樹人數的倍，問應調往甲、乙兩處各多少人？設應調往甲處人，則所列方程正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設應調往甲處人，根據題意列出方程即可求解，根據題意找到等量關系是解題的關鍵．【詳解】解：設應調往甲處人，由題意可得，，故選：．9．（2024·湖南·模擬預測）在《九章算術》方田章“圓田術”中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術所體現的是一種無限與有限的轉化的思想，比如在…中，“…”代表按規律不斷求和，設．則有，解得，故．類似地的結果為（）A． B． C． D．43【答案】A【分析】本題主要考查解一元一次方程和數字的變化規律，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1．設，知，據此可得，再進一步求解可得．【詳解】解：設，則，，解得，，，故選：A二、填空題10．（2024·河北邯鄲·三模）若，表示非零常數，整式的值隨的取值而發生變化．如下表：013…1359…則關于的一元一次方程的解是．【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是關鍵．將關于的一元一次方程化為，然后根據表格得出當時，，即可求出關于的一元一次方程的解．【詳解】解：關于的一元一次方程可化為，由表格可知，當時，，關于的一元一次方程的解為．故答案為：．11．（2024·河南·模擬預測）已知關于x，y的二元一次方程的一個解是，則a的值為【答案】3【分析】本題考查了二元一次方程的解的含義．將代入二元一次方程，即可得出答案．【詳解】解：由題意將代入二元一次方程得，，∴，故答案為：3．12．（2024·遼寧錦州·模擬預測）已知a，b都是實數，設點，若滿足，則稱點P為“新奇點”．若點是“新奇點”，則M的坐標為．【答案】【分析】本題考查新定義．根據新定義確定m的值．解題關鍵是理解新定義．根據“新奇點”的定義，得方程．求解得出的值，從而求出點的坐標，即可求解．【詳解】解：∵點是“新奇點”，∴．解得：．∴．∴點M的坐標為．故答案為：．13．（2024·全國·模擬預測）已知任意兩個非零實數，滿足，小玲說可以得到．下面為小玲給出的證明過程：，第一步，第二步即，第三步，第四步即，第五步兩邊開平方，得，第六步．以上證明過程中，開始出現錯誤的是第步．【答案】六【分析】根據等式的性質進行判斷即可．本題考查等式的性質，運用完全平方公式進行運算，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．【詳解】解：由可得，那么他是從第六步出錯的，故答案為：六．14．（2024·上海·模擬預測）已知方程組，則的值為【答案】1【分析】本題考查了化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．將z看做已知數表示出x與y，代入原式計算即可得到結果．【詳解】解：方程組變形得：①×2+②得：，即，將代入①得，，則．故答案為：1．15．（2024·河北·模擬預測）已知嘉嘉購買了紅、綠、藍三種顏色的筷子各只，將紅、綠、藍三種顏色的筷子分別放入甲、乙、丙桶中．（1）若嘉嘉從甲桶拿出4只筷子放入乙桶中，此時乙桶中的筷子數量是甲桶筷子數量的2倍，則m的值為；（2）若嘉嘉從甲、丙桶分別拿出只紅、藍筷子放入乙桶中，接下來，從乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只綠色筷子，此時乙桶中綠色筷子的數量與剩余紅色、藍色筷子的數量和相等，則的值為．【答案】62【分析】該題主要考查了一元一次方程的應用，以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意．（1）根據題意得出甲桶中有只筷子，乙桶中有只筷子．再根據乙桶中的筷子數量是甲桶筷子數量的2倍，列出方程求解即可；（2）根據題意得出兩次拿放后每個桶中筷子數目情況，再列等式即可求解；【詳解】解：（1）∵甲、乙桶中分別有只筷子，嘉嘉從甲桶拿出4只筷子放甲乙桶中，∴甲桶中有只筷子，乙桶中有只筷子．∵乙桶中的筷子數量是甲桶筷子數量的2倍，∴，解得：；（2）甲、乙、丙桶初始狀態和第一次拿放后每個桶中筷子數目情況列表如下：甲乙丙初始狀態紅綠藍第一次紅綠紅藍藍第二次：從乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只綠色筷子，則此時乙桶中有只綠色筷子，拿出的筷子中藍色和紅色筷子共只，則乙桶中紅色和藍色筷子剩余只，∵乙桶中綠色筷子的數量與剩余紅色、藍色筷子的數量和相等，∴，即，．16．（2024·安徽·模擬預測）甲、乙兩人在一條直線道路上分別從A，兩地同時騎摩托車出發，相向而行．當兩人相遇后，甲繼續向地前進(甲到達地時停止運動)，乙也立即調頭返回地．在整個運動過程中，甲、乙均保持各自的速度勻速行駛．若甲、乙兩人之間的距離米)與乙運動的時間秒)之間的關系如圖所示，則A，兩地之間的距離為米．【答案】【分析】本題考查一次函數的應用、一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．根據題意和函數圖象可以得到甲乙相遇時行駛的時間，然后根據函數圖象中的數據可以列出相應的方程，即可求得A，兩地之間的距離．【詳解】解：由題意和圖象可得，甲從A地到地用的時間為秒，乙從開始到回到地用的時間為秒，甲乙相遇的時，甲乙都行駛了秒，設，兩地的路程為米，，解得，，故答案為：．17．（2024·四川綿陽·三模）如果方程組的解也是方程的一個解，則的值為．【答案】【分析】此題考查了解二元一次方程組和解一元一次方程．先求出二次一次方程組的解，再代入，解一元一次方程即可得到的值．【詳解】解：把②代入①得，，解得，，把代入②得，，∴，把代入得，，解得，故答案為：三、解答題18．（2024·陜西西安·模擬預測）解方程：【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次方程，按照去括號，移項，合并同類項，系數化為1的步驟解方程即可．【詳解】解：去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數化為1得：．19．（2024·廣東·模擬預測）解方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解二元一次方程組．（1）利用加減消元法進行計算即可；（2）先將方程組整理成一般式，再利用加減消元法求解可得．【詳解】（1）解：，，，解得，把代入①，，解得，∴原方程組的解是；（2）解：，化簡方程組可得，，得，，解得，將代入②，得，∴方程組的解為．20．（2024·河北邯鄲·模擬預測）如圖，整數m，n，t在數軸上分別對應點M，N，T．

(1)若m，n互為相反數，描出原點O的位置并求t的值；(2)當點T為原點，且：時，求“□”所表示的數．【答案】(1)圖見解析，；(2)3【分析】本題考查了相反數、數軸、一元一次方程、實數的運算，考查運算能力．（1）根據相反數的定義，得到原點O的位置，據此求解即可；（2）根據原點的位置，確定m，n的值，代入計算即可求解．【詳解】（1）解：∵m，n互為相反數，∴，即點M，N到原點的距離相等，∴原點的位置如圖所示：

則；（2）解：∵點T為原點，則，∵，∴，∴．21．（2024·重慶·二模）某汽車工廠現有一批汽車配件訂單需交付，若全部由1個工人生產需要150天才能完成．為了快速完成生產任務，現計劃由一部分工人先生產3天，然后增加6名工人與他們一起再生產5天就能完成這批訂單的生產任務．假設每名工人的工作效率相同．(1)前3天應先安排多少多工人生產？(2)增加6名工人一起工作后，若每人每天使用機器可以生產600個A型配件或650個B型配件，如果3個A型配件和2個B型配件配套組成一個零件系統，要使每天生產的A型和B型配件剛好配套，應安排生產A型配件和B型配件的工人各多少名？【答案】(1)前3天應先安排名工人生產(2)應安排13名工人生產A型配件，則安排8名工人生產B型配件【分析】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元一次方程．（1）設前3天應先安排名工人生產，根據題意列一元一次方程求解即可；（2）設安排名工人生產A型配件，則安排名工人生產B型配件，根據題意列一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：設前3天應先安排名工人生產，根據題意得，解得，答：前3天應先安排名工人生產；（2）解：由題意，總共有名工人生產，設安排名工人生產A型配件，則安排名工人生產B型配件，根據題意得，解得，，答：應安排13名工人生產A型配件，則安排8名工人生產B型配件．22．（2024·廣東·模擬預測）每年月份，某商家都會在線上平臺開設的網店銷售荔枝和龍眼兩種水果．下表是5月份某個星期兩種水果的銷售信息（荔枝箱，龍眼箱）．商品荔枝龍眼成本/(元/箱)3040售價/(元/箱)4860這個星期網店銷售荔枝和龍眼共，獲利9600元，求這個星期網店銷售荔枝和龍眼各多少箱．【答案】荔枝200箱，龍眼300箱【分析】本題主要考查二元一次方程的實際應用．熟練掌握總利潤與每箱利潤和數量的關系，列出方程組，是解題的關鍵．設這個星期網店銷售荔枝x箱，龍眼y箱，根據“這個星期網店銷售荔枝和龍眼共，獲利9600元”，列出二元一次方程組，即可求解．【詳解】解：設這個星期網店銷售荔枝x箱，龍眼y箱，依題意得：，解得：．答：這個星期網店銷售荔枝200箱，龍眼300箱．23．（2024·貴州貴陽·一模）（1）計算：；（2）下面是小穎同學解方程組的部分過程：解：令，①－②，得，…上述解法中，使用的方法是________(填“代入消元法”或“加減消元法”)，并請你選擇不同于題中的方法解該方程組．【答案】（1）；（2）加減消元法；選擇代入消元法解析式見詳解，【分析】本題主要考查整式的混合，消元法解二元一次方程組，（1）運用乘法公式展開，再根據整式的混合運算即可求解；（2）方法一：運用“代入消元法”將①變形得，再把代入②，可求出的值，從而求出的值；方法二：運用“加減消元法”的方法，用可求出的值，再代入①即可求解．【詳解】解：（1）；（2）根據題意，①－②，得，消去未知數，∴運用的是加減消元法，故答案為：加減消元法；選擇代入消元法解析，由①得，，將③代入②，得，去括號、移項、合并同類項，得，解得，將代入③，得，∴原方程組的解為24．（2024·河北·模擬預測）聰聰根據市自來水公司的居民用水收費標準，制定了如下水費計算程序轉換機示意圖：用戶張大爺劉奶奶王阿姨聰聰家用戶輸入（）8151825輸入（）輸出（元）24a60b輸出（元）(1)根據該程序轉換機計算表中a、b的值；(2)當時，月應繳納水費（元）用x的代數式表示為__