湖南省常德市臨澧縣2024-2025學年高二上學期第三次階段性考試數(shù)學質(zhì)量檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列中，，若，則（）A． B． C． D．192．已知直線與直線平行，則（）A．-2 B． C．1 D．-2或13．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，4．直線被圓截得的弦長的最小值為（）A． B． C． D．5．已知點，在直線和軸上各找一點和，則的周長的最小值為（

）A． B． C． D．6．已知拋物線的方程為，過其焦點的直線與拋物線交于、兩點，且，為坐標原點，則的面積和的面積之比為（

）A． B． C．2 D．7．已知F1是橢圓x29+y28=1的左焦點，過橢圓上一點A．[3?4,15C．[?1,13]8．設、分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右頂點，，是雙曲線上關于軸對稱的不同兩點，設直線、的斜率分別為、，則取得最小值時，雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．首項為正數(shù)，公差的等差數(shù)列，其前項和為，則下列命題中正確的有（

）A．若，則，B．若，，則中最大C．若，則使的最大的n為21D．若（為常數(shù)），則10．由直線上一點向圓引兩條切線，，，是切點，則（）A．線段長的最小值為B．四邊形面積的最小值為C．的最大值是D．當點的坐標為時，切點弦所在的直線方程為11．如圖，在邊長為1的正方體ABCD-中，M為BC邊的中點，下列結論正確的有（

）A．AM與所成角的余弦值為B．過三點A、M、的正方體ABCD-的截面面積為C．四面體BD的內(nèi)切球的表面積為D．正方體ABCD-中，點P在底面(所在的平面)上運動并且使∠MA=∠PA，那么點P的軌跡是橢圓三、填空題（本大題共3小題）12．已知首項為2的數(shù)列，其前項和為，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則的通項公式.13．在正方體中，F(xiàn)是BC的中點，點E在棱上，且，則直線與平面所成角的正弦值為．14．已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，若，且與交于點M，則的面積的最小值為________.四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式和前項和為；(2)設，求數(shù)列的前項和.16．已知雙曲線：的一個焦點到一條漸近線的距離為1，離心率為.設直線交雙曲線的右支于、兩點，交軸于點，且線段的中點為，為原點.(1)求雙曲線的方程；(2)求直線的方程；(3)求的面積.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，為中點，點在上，且．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點，使得平面，說明理由？18．已知圓和點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線與線段相交于點，記點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)點在直線上運動，過點的動直線與曲線相交于點.（?。┤艟€段上一點，滿足，求證：當?shù)淖鴺藶闀r，點在定直線上；（ⅱ）過點作軸的垂線，垂足為，設直線的斜率分別為，當直線過點時，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．如圖，以原點為圓心，為半徑分別作兩個同心圓，設A為大圓上任一點，連接，與小圓交于點．過點分別作軸、軸的垂線，兩垂線交于點．設以為始邊，為終邊的角為，點的坐標是，那么點A的橫坐標為，點的縱坐標為．由于點均在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有：．當半徑繞點旋轉(zhuǎn)一周時，就得到了橢圓的軌跡，因此我們把（為參數(shù)）叫做橢圓的參數(shù)方程．

(1)已知橢圓上有不同的兩點,，試寫出橢圓的參數(shù)方程，并利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最大值；（參考公式：若,，則．）(2)如圖，已知在三棱錐中，，，，且，，試利用橢圓的參數(shù)方程求銳二面角余弦值的最小值．

答案1．【正確答案】B【詳解】∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又，∴，∴，故選：B．2．【正確答案】A【詳解】由直線與直線平行，則，且，解得．故選：A．3．【正確答案】D【分析】由題意，若，則，即，依次驗證即可【詳解】由題意，若，則，即.選項A，，即，不成立；選項B，a?選項C，a?選項D，a?故選：D4．【正確答案】A【詳解】易知直線過定點，圓心為，，在圓內(nèi)，當直線時，直線被圓截得的弦長最短，且最短弦長為，故選：A．5．【正確答案】D【分析】根據(jù)點關于直線對稱的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】設點關于直線的對稱點為，則有，解得，所以，點關于軸的對稱點為，由對稱可得，，所以的周長為，如圖所示，當四點共線時，的周長最小，最小值為.故選D.6．【正確答案】C【詳解】如圖所示，，，，解得，代入拋物線方程可得，不妨設在第一象限，解得，直線的方程為：，化為，聯(lián)立，化為，解得，的面積和的面積之比.故選：C.7．【正確答案】A設F2為橢圓的右焦點，由題知a=3,c=1，故F1?1,0,F2令x=PF2,x∈[2,4]，所以PQ?PF1=x8．【正確答案】D【詳解】設，則，，，∴，即，，，，，設，則，，，時，，遞減，時，，遞增，所以時，取得最小值，此時，.故選：D．9．【正確答案】AC【詳解】選項A，由，得，由題意得，則，所以，，故A正確；選項B，由，得，，則；，則；所以，則等差數(shù)列首項，公差，即數(shù)列為遞減數(shù)列，當時，；當時，.則中最大，故B錯誤；選項C，由，知且，故，故等差數(shù)列首項，公差，即數(shù)列為遞減數(shù)列，當時，；當時，.，，且當時，，故使的最大的n為21，故C項正確；選項D，當時，，則，不滿足，故D錯誤.故選：AC.10．【正確答案】ABD【詳解】圓標準方程為：，圓心為，半徑為，，，所以，A正確；，由選項A知，其最小值為，B正確；，顯然PC越大，越大，而PC無最大值，因此無最大值，C錯；設，，當時，又，因此過點的圓的切線方程為，又，所以切線方程化為，可以驗證當時，切線方程也是，又切線過，則，同理切線方程為，又切線過，則，所以過兩點的直線方程為，即，D正確；故選：ABD．11．【正確答案】AC【詳解】以為坐標原點，以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，則，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，，1，，，，與所成角的余弦值為，故正確；取的中點，則，故梯形為過、、的正方體的截面，，，，梯形的高為，梯形的面積為，故錯誤；四面體的體積為，又四面體的所有棱長均為，四面體的表面積為，設四面體的內(nèi)切球半徑為，則，解得，四面體的內(nèi)切球的表面積為，故正確；，點在以為軸，以為母線的圓錐的側(cè)面上，，1，，，1，，故，設與平面的夾角為，則，，點在平面上的軌跡是雙曲線，故錯誤．故選：AC1.構造三角形利用相似比和勾股定理求解；2.體積分割即等體積方法計算．12．【正確答案】【詳解】由題設，數(shù)列的首項為，故，由，即.故13．【正確答案】/【詳解】以為坐標原點,分別以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的邊長為4，則，所以設平面的一個法向量為，所以，所以，解得,設直線與平面所成角為，因為，所以.14．【正確答案】1【分析】由直線垂直可構造出斜率關系，得到，通過直線與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關系求得；聯(lián)立兩切線方程，可用表示出，代入點到直線距離公式，從而得到關于的面積的函數(shù)關系式，求得所求最值．【詳解】解：拋物線的方程為，即，所以，設,，,，則，所以切線方程，，由于，所以，由題意可設直線方程為，拋物線方程聯(lián)立，得，所以，則，，即即，聯(lián)立方程得，即，點到直線的距離，，所以．當時，面積取得最小值1．故1.15．【正確答案】(1)，.(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，.（2）由（1）知，，，當，時，；當，時，，當，時，；當，時，，綜上可得，數(shù)列的前項和.16．【正確答案】(1)(2)(3)2【詳解】（1）不妨設雙曲線的一個焦點為，雙曲線的一條漸近線為，即，依題意，結合，化簡得，又離心率，所以所以雙曲線C的方程為.（2）設，由題意得，又，，兩式相減得，所以，又直線l過點,所以直線l的方程為,即，經(jīng)驗證此時直線與雙曲線有兩個交點，滿足題意.（3）聯(lián)立，消去y得，所以，所以，又點到直線l的距離，所以的面積.

17．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)不存在，理由見解析【詳解】（1）在中，．所以，即；又因為，在平面中，面，面，，所以平面；（2）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，由（1）已證，且已知，故以為原點，建立如圖空間直角坐標系，則，，，所以，，，因為為中點，所以，由知，，設平面的法向量為，則即，令，則，于是，又因為由（1）已證平面，所以平面的法向量為，所以，平面與平面夾角的余弦值；（3）設是線段上一點，則存在使得，因為，所以，因為平面，所以平面當且僅當，即，即，解得，因為，所以線段上不存在使得平面．18．【正確答案】(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得，由橢圓的定義可知動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，從而求出軌跡方程；（2）（ⅰ）設直線的方程為，設，與橢圓聯(lián)立韋達定理，把線段長度比轉(zhuǎn)化為坐標比，代入韋達定理化簡即可得點在定直線上；（ⅱ）利用坐標表示兩個斜率，然后作商，將韋達定理代入即可判斷.【詳解】（1）由題意知圓心，半徑為4，且，，則，所以點的軌跡為以為焦點的橢圓，設曲線的方程為，則，解得，所以，所以曲線的方程為.

（2）（?。┮驗橹本€的斜率一定存在，設直線的方程為，因為在上，所以，由得，，設，則，由得，化簡得，則，化簡得，又因為，所以，所以點在定直線上.（ⅱ）因為直線過，所以，直線方程為，從而得，.由（?。┲?，，，所以，所以存在實數(shù)，使得.

19．【正確答案】(1)橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），面積的最大值為;(2)【詳解】（1）因為橢圓方程為，則橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設，其中，則，因為，所以，所以，故面積的最大值為.（2）如圖1，作于，連接，因為，，又，面