第三章金融市場均衡和資產(chǎn)估值：兩期模型第一節(jié)市場均衡金融市場均衡，是經(jīng)濟學(xué)一般均衡理論向不確定性經(jīng)濟的延伸。一般均衡，即瓦爾拉斯（Walras）均衡，同時又是帕累托（Pareto）最優(yōu)配置。一個經(jīng)濟體中有C種商品，I位消費者，J家廠商。

表示消費者i=1，2，…，I的消費集；

所有的都是C維向量；每位消費者的偏好關(guān)系定義為在他自己的消費集上，偏好關(guān)系是理性的，滿足理性選擇公理；

表示廠商j=1，2，…，J的生產(chǎn)集，且初始稟賦為

是一項消費/生產(chǎn)配置

是價格向量在I位消費者的福利分配水平下，使得以上均為C維向量假定消費者同時是投資者（即，私有產(chǎn)權(quán)經(jīng)濟）

表示第i位消費者擁有的第j家廠商的股份比例，所以有定義3.1（Walras均衡即競爭性均衡）：

構(gòu)成一個競爭性均衡，如果滿足以下條件：1.對于每個廠商j，其生產(chǎn)集合中的技術(shù)因素實現(xiàn)利潤最大化2.對每個消費者i，在預(yù)算約束集中消費對于偏好關(guān)系是最優(yōu)的。3.市場結(jié)清，即有在金融經(jīng)濟學(xué)里，把交易各種金融資產(chǎn)的金融市場看作完全競爭市場，因此，金融市場的均衡是Walras的競爭性均衡。定義3.2（帕累托最優(yōu)）：由I位消費者i=1,2,…,I的消費向量和J家廠商j=1,2,…,J的生產(chǎn)向量如果滿足：則稱為可行配置。一個可行配置稱為帕累托最優(yōu)的，即不存在任何其他的可行配置使得，而且至少對其中某個i，有福利經(jīng)濟學(xué)兩大基本定理：（第一定理）：如果是一個競爭性均衡（即，Walras均衡），則配置是帕累托最優(yōu)配置。（第二定理）：假設(shè)每個消費集和生產(chǎn)集都是凸集，偏好關(guān)系都滿足理性選擇公理，則對每個帕累托最優(yōu)配置，存在一個價格向量

使得是一個競爭性均衡。第二節(jié)Arrow-Debreu經(jīng)濟和狀態(tài)

或有要求權(quán)一、Arrow-Debreu經(jīng)濟t=0時期的事件都是已經(jīng)發(fā)生的、確定的t=1時期發(fā)生的事件是不確定的，且t=1時期發(fā)生的不同事件就是不同的狀態(tài)，假定可能發(fā)生S種不同的狀態(tài)：w=1,2,…,S。是所有可能狀態(tài)的集合，即狀態(tài)空間。狀態(tài)w出現(xiàn)的概率記為有定義3.3：一個狀態(tài)w的或有要求權(quán)是這樣一種證券，到t=1時期，如果出現(xiàn)狀態(tài)w，則支付1個單位的消費品；如果不出現(xiàn)狀態(tài)w，則不支付任何東西。狀態(tài)或有要求權(quán)被稱為Arrow-Debreu證券或基本證券。把交易Arrow-Debreu證券的市場經(jīng)濟稱為Arrow-Debreu經(jīng)濟。定義3.4：在兩期模型中，到t=1時期，如果對每一個可能發(fā)生的狀態(tài)w，市場上都相應(yīng)地存在w的狀態(tài)或有要求權(quán)，則這樣的市場稱為Arrow-Debreu經(jīng)濟中的完全市場，或稱其具有完全性。以記狀態(tài)w的或有要求權(quán)的價格。這是在t=0時期的價格，t=1時期可能得到支付，也可能得不到支付，所以也稱為狀態(tài)價格。Arrow-Debreu經(jīng)濟中市場的均衡和定價機制在t=0時期，每位投資者通過最大化如下效用函數(shù)（t=0時期的確定性效用函數(shù)與t=1時期的期望效用函數(shù)之和）進行金融決策：其中，是第i位投資者的消費計劃（包括在t=0和t=1兩個時期）。

，其中是各人的時間偏好參數(shù)，因此有另外，每位投資者在t=0和t=1時期具有稟賦分別為

和，后者是t=1時期獲得的不確定的資源投入（稟賦）。二、投資者的優(yōu)化模型投資者i=1,2,…,I通過解如下優(yōu)化規(guī)劃來金融決策：

是投資者i到t=1時期能夠獲得的不確定的稟賦，依賴于可能出現(xiàn)的不同的狀態(tài)。把未來不確定性的收入現(xiàn)金流證券化，相當于（t=0）持有一個基本證券的投資組合：

份基本證券1，份基本證券2,…,份基本證券S，這個投資組合現(xiàn)在的市場價值就是

是投資者i在t=0擁有的初始稟賦，所以，投資者ｉ擁有的財富總共是消費者／投資者ｉ的消費計劃所要消耗的財富總量就是是消費者／投資者ｉ現(xiàn)在ｔ＝０的消費量是現(xiàn)在投資于基本證券的組合（份基本證券１，份基本證券２,…,份基本證券s）現(xiàn)在t=0的市場價值。持有這樣一個投資組合，可以保證到t=1時期，如果狀態(tài)w出現(xiàn)，將可獲得的消費。所以，這樣的消費計劃當然必須服從現(xiàn)在所擁有的財富（稟賦）的約束。優(yōu)化模型涵義：目標函數(shù)中，顯示了在時間維度上優(yōu)化投資者（消費者）的消費計劃；約束條件中，顯示了按照風險維度配置資源。三、優(yōu)化解：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

分別是t=0和t=1時期投資者的邊際效用。表面上看，狀態(tài)或有要求權(quán)的價格直接與個別投資者的偏好效用相聯(lián)系，但實際上，是金融市場均衡定價的結(jié)果，不因個別投資者的偏好效用不同而同時定出許多不同的狀態(tài)或有要求權(quán)的市場價格。即：金融資產(chǎn)通過市場交易定價，與投資者個人偏好無關(guān)。四、Arrow-Debreu經(jīng)濟的均衡定義3.5：一個Arrow-Debreu經(jīng)濟的市場均衡是滿足以下兩大條件的一組狀態(tài)或有要求權(quán)的價格1.每位投資者i，i=1,2,…,I都實現(xiàn)自己消費計劃的優(yōu)化注：arg是后面規(guī)劃問題的解。2.市場結(jié)清

分別看作在t=0時期和t=1時期的w狀態(tài)下市場的總供給和總需求。因此，Arrow-Debreu經(jīng)濟的一般均衡是存在的；Arrow-Debreu經(jīng)濟的均衡是帕累托最優(yōu)的。第三節(jié)復(fù)合證券和無套利定價一、復(fù)合證券及其在Arrow-Debreu經(jīng)濟中的無套利定價由于任何一個t=1時期的不確定性現(xiàn)金流都可以用一個Arrow-Debreu證券的組合來刻畫，所以，真實存在的證券都可以看作是由Arrow-Debreu證券合成的，稱為復(fù)合證券。假定現(xiàn)在t=0時期市場上共有k=1,2,…,N種復(fù)合證券在交易。到t=1時期，復(fù)合證券k面對不同狀態(tài)的現(xiàn)金流支付可以用如下行向量表示如果現(xiàn)在t=0時期市場是完全的，存在所有狀態(tài)w的狀態(tài)或有要求權(quán)(Arrow-Debreu證券)，則可以用這樣一個Arrow-Debreu證券組合來刻畫

份基本證券1，份基本證券2,…,份基本證券S。即，可以說，這個證券組合就成為復(fù)合證券k的一個復(fù)制品。按照無套利原理，這個復(fù)制品組合現(xiàn)在t=0時期的市場價格就是復(fù)合證券k的市場定價。復(fù)合證券k的市場定價可以表示為：記住：套利關(guān)系就是復(fù)制關(guān)系，無套利原理是指證券和它的復(fù)制品的市場均衡價格必須相等。二、金融市場的完全性只考慮復(fù)合證券的數(shù)目N和t=1時期可能出現(xiàn)的狀態(tài)的數(shù)目S相等，并且支付矩陣Z滿秩的情況，即有rank(Z)=N=S，因此，支付矩陣Z是方陣，且可逆.用復(fù)合證券構(gòu)造組合x：x1份復(fù)合證券1，x2份復(fù)合證券2,…,xN份復(fù)合證券N，則x表示為市場上所有在交易的N種復(fù)合證券的價格表示為P就是這種情況下市場的均衡價格體系。于是，復(fù)合證券的組合x的價格為：到t=1時期，面對各種可能出現(xiàn)的狀態(tài)，復(fù)合證券的組合x的支付T可以表示為：即，復(fù)合證券的組合x的支付T是組合x的行向量與支付矩陣Z的乘積。構(gòu)造復(fù)合證券的組合使得它到t=1時期的支付就是狀態(tài)w的或有要求權(quán)的支付，即有所以，狀態(tài)w（w=1,2,…,S）的或有要求權(quán)可以用復(fù)合證券的組合來復(fù)制，因為支付矩陣Z可逆，可以通過下式求出根據(jù)無套利原理，狀態(tài)w的或有要求權(quán)在t=0時期的價格應(yīng)該等于復(fù)合證券的組合的價格，所以有這樣，就在一個滿秩的金融市場結(jié)構(gòu)和Arrow-Debreu經(jīng)濟之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，就說這個金融市場是完全的金融市場。定理3.3：在兩期模型中，當且僅當t=1時期具有獨立支付的證券的數(shù)目與可能出現(xiàn)的狀態(tài)的數(shù)目相等時，金融市場是完全的。這里，獨立支付的證券的數(shù)目與可能出現(xiàn)的狀態(tài)的數(shù)目相等時，支付矩陣是滿秩的。三、在完全金融市場中復(fù)合證券的定價如果Arrow-Debreu經(jīng)濟中的市場是完全的，則有對于任何復(fù)合證券k來講，就有

（3.3.2）上式被稱為基本定價方程。上式變形得

（3.3.3）由于，其中是時間偏好參數(shù)，所以相當于將t=1時期的效用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值折算到t=0時期。其中，表示在t=0時期的預(yù)期值。人們在t=0時期對未來預(yù)測，依據(jù)的是當時能掌握的信息。以F0表示t=0時期投資者能夠掌握的信息集，則有，該式對所有的N種復(fù)合證券都成立。進一步，將上式推廣到多時期模型，則有具有這樣性質(zhì)的隨機過程被稱為鞅。所以，服從鞅過程。下面引入無風險資產(chǎn)：如果金融市場是完全的，則由基本定價方程，可以到t=1時期構(gòu)筑收入現(xiàn)金流：對所有的狀態(tài)都有，所有，現(xiàn)金流就是確定的、無風險的。這種復(fù)合證券就被稱為“無風險資產(chǎn)”或“無風險證券”。結(jié)合基本定價方程和，就有如果用狀態(tài)或有要求權(quán)的組合復(fù)制無風險證券，由無套利原理，無風險證券的價格就是令為無風險利率，則無風險證券在t=0時期的定價應(yīng)該是在t=1時期的現(xiàn)金流價值（為1）用無風險利率折現(xiàn)得到的現(xiàn)值，即：所以，有最終，基本定價方程可以改寫為：COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),COV(aX,bY)=abCOV(X,Y)改寫后的基本定價方程的經(jīng)濟解釋：證券的定價可以通過將未來的收入現(xiàn)金流用無風險利率折現(xiàn)后再乘以一個調(diào)整因子得到，這樣的模型也被稱為“風險調(diào)整折現(xiàn)模型”。四、不完全金融市場的均衡即rank(Z)<S的情況，此時金融市場不完全。實際的金融市場是不完全的。五、冗余證券如果某種證券在t=1時期的支付與其他證券的支付互相間不獨立，可以用其他證券的組合復(fù)制出來，市場上有沒有這樣的證券無關(guān)緊要，不會影響市場的均衡定價機制，這樣的證券稱為“冗余證券”。根據(jù)無套利原理，冗余證券的均衡價格就等于復(fù)制組合的價格。第四節(jié)風險中性定價和等價鞅測度一、風險中性定價如果金融市場是完全的，則所有的狀態(tài)或有要求權(quán)的價格一定非負。原因：市場均衡時，由于投資者的非厭足性假設(shè)，所以一定有因此，如果金融市場是完全的，由基本定價方程可知因為所有的狀態(tài)或有要求權(quán)的價格，并且有

由可知，，所以，令

，顯然，所有的于是，可以看作是某種概率分布，這樣的概率分布被稱為“風險中性概率”。于是，

表示到t=1時期的收入現(xiàn)金流在風險中性概率上的預(yù)期值（即，風險中性的概率平均值）因此，在風險中性的環(huán)境下，金融資產(chǎn)的定價是未來收入現(xiàn)金流的預(yù)期值用無風險利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。二、兩期模型的金融經(jīng)濟學(xué)基本定理第一基本定理：風險中性概率存在的必要而充分的條件是金融市場不存在無風險套利機會。第二基本定理：風險中性概率是唯一的，其必要而充分的條件是：金融市場是完全的。三、等價鞅測度風險中性概率被稱為真實概率的等價鞅測度，因為：第一，它可以作為鞅過程的概率測度；第二，和之間具有這樣的“等價性”，即，對于任何一個狀態(tài)空間的子集合E，E代表的是一個事件，如果E的概率為0，則它的概率也一定為0，反之亦然。即：第五節(jié)帕累托最優(yōu)和風險共享一、帕累托最優(yōu)由于代表了財富在所有的投資者之間的分配，因此，對于每個帕累托最優(yōu)配置，相對于財富分配而言，存在一個競爭性均衡的價格體系。即，福利經(jīng)濟學(xué)第二定理：在Arrow-Debreu經(jīng)濟的完全市場中，任一個帕累托最優(yōu)配置，都可以通過相對于財富分配的競爭性均衡實現(xiàn)。二、風險分享三、線性風險分享法則必要性證明（略）第六節(jié)總量分析一、完全市場和代表性經(jīng)紀人定義代表性經(jīng)紀人的效用函數(shù)如下：其拉格朗日函數(shù)為：進一步得到：由前面可知，Arrow-Debreu證券的均衡定價在總量分析下有：由基本定價方程：以及上述表達式，可以得到：該式表明，市場上金融資產(chǎn)的定價可以利用代表性經(jīng)紀人的邊際效用給出，而代表性經(jīng)紀人的邊際效用只與總量消費有關(guān)。二、HARA型偏好與總量性可得：定理3.10的經(jīng)濟含義：首先，其效用函數(shù)是HARA型的；并且，它意味著，如果所有消費者/投資者的個體都具有該式HARA型效用函數(shù)，并且其中的參數(shù)取值都相等，則經(jīng)濟呈現(xiàn)總量性。而經(jīng)濟如果具有總量性，社會計劃者在全社會資源約束下優(yōu)化配