個性化輔導(dǎo)授課教案學(xué)員姓名：輔導(dǎo)類型（1對1、小班）：年級：輔導(dǎo)科目：學(xué)科教師：課題課型□預(yù)習(xí)課□同步課□復(fù)習(xí)課□習(xí)題課授課日期及時段年月日時間段教學(xué)內(nèi)容 三角函數(shù)、三角恒等變形、解三角形同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式【重點(diǎn)知識梳理】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限三角恒等變形（兩角和與差的三角函數(shù)）【考情解讀】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶).【重點(diǎn)知識梳理】1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ．cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ．tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ)．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα．cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)．3．有關(guān)公式的逆用、變形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)．(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).4．函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡與給角求值【例1】(1)已知α∈(0，π)，化簡：eq\f(（1＋sinα＋cosα）·（cos\f(α,2)－sin\f(α,2)）,\r(2＋2cosα))＝________．(2)[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280°)＝______．【答案】(1)cosα(2)eq\r(6)【規(guī)律方法】(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：①一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，正確使用公式；②二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；③三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升冪”等．(2)對于給角求值問題，一般給定的角是非特殊角，這時要善于將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角．另外此類問題也常通過代數(shù)變形(比如：正負(fù)項(xiàng)相消、分子分母相約等)的方式來求值．【變式探究】(1)4cos50°－tan40°＝()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3)D．2eq\r(2)－1(2)化簡：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝________．【解析】(1)原式＝4sin40°－eq\f(sin40°,cos40°)＝eq\f(4cos40°sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin80°－sin40°,cos40°)＝eq\f(2sin（120°－40°）－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°＋sin40°－sin40°,cos40°)＝eq\f(\r(3)cos40°,cos40°)＝eq\r(3)，故選C.法三(從“冪”入手，利用降冪公式先降次)原式＝eq\f(1－cos2α,2)·eq\f(1－cos2β,2)＋eq\f(1＋cos2α,2)·eq\f(1＋cos2β,2)－eq\f(1,2)cos2α·cos2β＝eq\f(1,4)(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋eq\f(1,4)(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－eq\f(1,2)cos2α·cos2β＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2).【答案】(1)C(2)eq\f(1,2)考點(diǎn)二三角函數(shù)的給值求值、給值求角【例2】(1)已知0<β<eq\f(π,2)<α<π，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，求2α－β的值．(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tan（α－β）＋tanβ,1－tan（α－β）tanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)>0，又α∈(0，π)．∴0<α<eq\f(π,2)，又∵tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝eq\f(3,4)>0，∴0<2α<eq\f(π,2)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.∵tanβ＝－eq\f(1,7)<0，∴eq\f(π,2)<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).【規(guī)律方法】(1)解題中注意變角，如本題中eq\f(α＋β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))；(2)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，選正弦較好．【變式探究】已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0<β<α<eq\f(π,2)，(1)求tan2α的值；(2)求β.【解析】(1)∵cosα＝eq\f(1,7)，0<α<eq\f(π,2)，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7)，∴tanα＝4eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×4\r(3),1－48)＝－eq\f(8\r(3),47).(2)∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴0<α－β<eq\f(π,2)，∴sin(α－β)＝eq\f(3\r(3),14)，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(1,2).∴β＝eq\f(π,3).考點(diǎn)三三角變換的簡單應(yīng)用【例3】(2014·廣東卷)已知函數(shù)f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，x∈R，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)))＝eq\f(3,2).(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝eq\f(3,2)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－θ)).【規(guī)律方法】解三角函數(shù)問題的基本思想是“變換”，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q達(dá)到由此及彼的目的，變換的基本方向有兩個，一個是變換函數(shù)的名稱，一個是變換角的形式．變換函數(shù)名稱可以使用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角的余弦公式等；變換角的形式，可以使用兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式等．【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若α是第二象限角，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,3)))＝eq\f(4,5)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cos2α，求cosα－sinα的值．【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋eq\f(2kπ,3)≤x≤eq\f(π,12)＋eq\f(2kπ,3)，k∈Z.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋\f(2kπ,3)，\f(π,12)＋\f(2kπ,3)))，k∈Z.【隨堂練習(xí)】考點(diǎn)一已知三角函數(shù)值求值例1、已知角A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(sinB＋cosB，cosC)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(sinC，sinB－cosB)，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(1,5).(1)求tan2A的值；(2)求的值．【解析】(1)∵eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－eq\f(1,5).∴sinA＋cosA＝－eq\f(1,5)，①兩邊平方并整理得：2sinAcosA＝－eq\f(24,25)，∵－eq\f(24,25)<0，∴A∈(eq\f(π,2)，π)，∴sinA－cosA＝eq\r(1－2sinAcosA)＝eq\f(7,5).②聯(lián)立①②得：sinA＝eq\f(3,5)，cosA＝－eq\f(4,5)，∴tanA＝－eq\f(3,4)，∴tan2A＝eq\f(2tanA,1－tan2A)＝eq\f(－\f(3,2),1－\f(9,16))＝－eq\f(24,7).(2)∵tanA＝－eq\f(3,4)，∴＝eq\f(cosA－3sinA,cosA＋sinA)＝eq\f(1－3tanA,1＋tanA)＝＝13.【方法技巧】對于條件求值問題，即由給出的某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”即使“目標(biāo)角”變換成“已知角”．若角所在象限沒有確定，則應(yīng)分情況討論，應(yīng)注意公式的正用、逆用、變形運(yùn)用，掌握其結(jié)構(gòu)特征，還要注意拆角、拼角等技巧的運(yùn)用．【變式探究】已知α∈(eq\f(π,2)，π)，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈(eq\f(π,2)，π)，求cosβ的值．考點(diǎn)二已知三角函數(shù)值求角例2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個銳角α、β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為eq\f(\r(2),10)，eq\f(2\r(5),5).(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．【方法技巧】(1)已知某些相關(guān)條件，求角的解題步驟：①求出該角的范圍；②結(jié)合該角的范圍求出該角的三角函數(shù)值．(2)根據(jù)角的函數(shù)值求角時，選取的函數(shù)在這個范圍內(nèi)應(yīng)是單調(diào)的．【變式探究】已知向量a＝(sinθ，－2)與b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，eq\f(π,2))．(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝eq\f(\r(10),10)，0<φ<eq\f(π,2)，求φ的值．三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【考情解讀】1.能畫出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的單調(diào)性．【重點(diǎn)知識梳理】1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，k∈Z))值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域、值域【例1】(1)函數(shù)y＝eq\f(1,tanx－1)的定義域?yàn)開___________．(2)函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為()A．2－eq\r(3)B．0C．－1D．－1－eq\r(3)【答案】(1){x|x≠eq\f(π,4)＋kπ且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}(2)A【規(guī)律方法】(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)．【變式探究】(1)函數(shù)y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域?yàn)開_______．(2)函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域?yàn)開_______．【解析】(1)法一要使函數(shù)有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示．在[0，2π]內(nèi)，滿足sinx＝cosx的x為eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以原函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)))，k∈Z)).法二利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)．∴定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).【答案】(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z))))(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1))考點(diǎn)二三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性【例2】(1)已知ω＞0，0＜φ＜π，直線x＝eq\f(π,4)和x＝eq\f(5π,4)是函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象的兩條相鄰的對稱軸，則φ＝()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(3π,4)(2)函數(shù)y＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－1是()A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)D．最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)【答案】(1)A(2)A【規(guī)律方法】(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x；求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．(2)求最小正周期時可先把所給三角函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，則最小正周期為T＝eq\f(2π,|ω|)；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式．【變式探究】(1)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))中心對稱，那么|φ|的最小值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)(2)若函數(shù)f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)(φ∈[0，2π])是偶函數(shù)，則φ＝()A.eq\f(π,2)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,2)D.eq\f(5π,3)【答案】(1)A(2)C考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性【例3】(1)已知f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，x∈[0，π]，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．(2)已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．(0，2]【答案】(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))(2)A【規(guī)律方法】(1)求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx＋φ看作一個整體代入y＝sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù)．(2)對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡捷．【變式探究】(1)若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，則ω等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C．2D．3(2)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))的單調(diào)減區(qū)間為______．【答案】(1)B(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)函數(shù)的圖像【考情解讀】了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響；2.了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題．【重點(diǎn)知識梳理】1．“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的簡圖“五點(diǎn)法”作圖的五點(diǎn)是在一個周期內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及與x軸相交的三個點(diǎn)，作圖時的一般步驟為：(1)定點(diǎn)：如下表所示.X－eq\f(φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0(2)作圖：在坐標(biāo)系中描出這五個關(guān)鍵點(diǎn)，用平滑的曲線順次連接得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象．(3)擴(kuò)展：將所得圖象，按周期向兩側(cè)擴(kuò)展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的圖象．2．函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩種途徑3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義當(dāng)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時，A叫做振幅，T＝eq\f(2π,ω)叫做周期，f＝eq\f(1,T)叫做頻率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx(ω＞0)的周期為π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五點(diǎn)法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到．【解析】(1)f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinωx＋\f(\r(3),2)cosωx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))，又∵T＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2.∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).∴函數(shù)f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx的振幅為2，初相為eq\f(π,3).(3)法一把y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移eq\f(π,3)個單位，得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象；再把y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象；最后把y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象．法二將y＝sinx的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝sin2x的圖象；再將y＝sin2x的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位，得到y(tǒng)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象；再將y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象．【規(guī)律方法】作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象常用如下兩種方法：(1)五點(diǎn)法作圖法，用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)z＝ωx＋φ，由z取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3,2)π，2π來求出相應(yīng)的x，通過列表，計算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；(2)圖象的變換法，由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”．【變式探究】設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜0))的最小正周期為π，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2).(1)求ω和φ的值；(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖象．【解析】(1)∵T＝eq\f(2π,ω)＝π，ω＝2，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,4)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，∴sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又－eq\f(π,2)＜φ＜0，∴φ＝－eq\f(π,3).(2)由(1)得f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，列表：2x－eq\f(π,3)－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)πeq\f(5,3)πx0eq\f(π,6)eq\f(5,12)πeq\f(2,3)πeq\f(11,12)ππf(x)eq\f(1,2)10－10eq\f(1,2)圖象如圖．考點(diǎn)二利用三角函數(shù)圖象求其解析式【例2】(1)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖象如圖所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，則f(0)＝()A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)(2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為________．【解析】(1)由三角函數(shù)圖象得eq\f(T,2)＝eq\f(11π,12)－eq\f(7π,12)＝eq\f(π,3)，即T＝eq\f(2π,3)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝3.又x＝eq\f(7π,12)是函數(shù)單調(diào)增區(qū)間中的一個零點(diǎn)，所以3×eq\f(7π,12)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ，解得φ＝－eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))).由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，得A＝eq\f(2\r(2),3)，所以f(x)＝eq\f(2\r(2),3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，所以f(0)＝eq\f(2\r(2),3)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\f(2,3).【答案】(1)C(2)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))【規(guī)律方法】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)五點(diǎn)法，由ω＝eq\f(2π,T)即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求．【訓(xùn)練2】(1)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，△EFG是邊長為2的等邊三角形，則f(1)的值為()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(\r(6),2)C.eq\r(3)D．－eq\r(3)(2)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的圖象如圖所示，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值為______．(2)由三角函數(shù)圖象可得A＝2，eq\f(3,4)T＝eq\f(11π,12)－eq\f(π,6)＝eq\f(3,4)π，所以周期T＝π＝eq\f(2π,ω)，解得ω＝2.又函數(shù)圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，2))所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝2，0＜φ＜π，解得φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝1.【答案】(1)D(2)1考點(diǎn)三函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)應(yīng)用【例3】(2014·山東卷)已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函數(shù)f(x)＝a·b，且y＝f(x)的圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\r(3)))和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求m，n的值；(2)將y＝f(x)的圖象向左平移φ(0<φ<π)個單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若y＝g(x)圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0，3)的距離的最小值為1，求y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．所以函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z.【規(guī)律方法】解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的方法：先將y＝f(x)化為y＝asinx＋bcosx的形式，然后用輔助角公式化為y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)(如周期性、對稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題．【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為eq\f(π,2).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))的值；(2)求函數(shù)y＝f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值及對應(yīng)的x的值．解三角形（正弦定理和余弦定理）【考情解讀】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；【重點(diǎn)知識梳理】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c22bccos__A；b2＝c2＋a22cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，r.【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，則sin∠BAC＝()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(\r(5),5)(2)如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長為________．【解析】(1)由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝5，所以AC＝eq\r(5).再由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，所以sinA＝eq\f(BC·sinB,AC)＝eq\f(3×\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).【答案】(1)C(2)eq\r(3)【提分秘籍】利用正、余弦定理解三角形的關(guān)鍵是合理地選擇正弦或余弦定理進(jìn)行邊角互化，解題過程中注意隱含條件的挖掘以確定解的個數(shù)．【變式探究】在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足eq\r(2)asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝c.(1)求角A的大小；(2)若△ABC為銳角三角形，求sinBsinC的取值范圍．考點(diǎn)二三角形形狀的判斷例2、設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定【解析】依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn)，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，從而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝eq\f(π,2)，故選B.【答案】B【提分秘籍】依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法(1)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；(2)利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．注意：在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．【變式探究】在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若sinB·sinC＝sin2A，試判斷△ABC的形狀．考點(diǎn)三三角形的面積問題例3、在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面積S＝5eq\r(3)，b＝5，求sinBsinC的值．【解析】(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－2(舍去)．因?yàn)?<A<π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)bc＝5eq\r(3)，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝eq\r(21).又由正弦定理得sinB