第7.3節萬有引力理論的成就學習目標1.理解“稱量”地球質量的基本思路，了解萬有引力定律在天文學上的重要應用。2.理解計算太陽質量的基本思路，能將天體運動轉化成相關模型后進行求解。3.認識萬有引力定律的科學成就，體會科學的迷人魅力，進一步認識運動與相互作用的觀念。知識點一“稱量”地球的質量如圖是我們測量物體質量的常用工具，地球這么大，我們如何“稱量”地球的質量呢？卡文迪什在實驗室測出了引力常量G的值，他被稱為“可以稱量地球質量的人”。他“稱量”的依據是什么？提示若忽略地球自轉的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球對物體的萬有引力，因為地球表面的重力加速度g及地球的半徑R均已知，由mg＝Geq\f(m地m,R2)得m地＝eq\f(gR2,G)。1.思路：若不考慮地球自轉的影響，地面上質量為m的物體所受的重力mg等于地球對物體的引力。2.關系式：mg＝Geq\f(mm地,R2)。3.地球的質量：m地＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質量。【思考】1.若知道某星球表面的重力加速度和星球半徑，能否用“稱量”地球的方法“稱量”該星球的質量。提示能。2.這種“稱量”星體質量的方法忽略了哪種因素的影響？提示星體自轉的影響。例1(2021·全國卷)卡文迪什用扭秤實驗測定了引力常量，以實驗驗證了萬有引力定律的正確性。應用引力常量還可以計算出地球的質量，卡文迪什也因此被稱為“能稱出地球質量的人”。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地面上的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半徑R＝6.4×106m，則地球質量約為()A.6×1018kg B.6×1020kgC.6×1022kg D.6×1024kg答案D解析根據公式eq\f(Gm地m,R2)＝mg，可得m地＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(9.8×（6.4×106）2,6.67×10－11)kg＝6×1024kg，故D正確。只要知道某星球表面的重力加速度g和星球半徑R，就可以估算出星球的質量。訓練1某天文愛好者長期觀察繞地球做勻速圓周運動的不同衛星，測出各衛星運行線速度的三次方和角速度滿足的關系如圖所示。已知引力常量為G，則地球的質量為（）A． B． C． D．答案A解析由萬有引力提供向心力得又聯立可得由題圖可知解得地球的質量為故選A。訓練2天文學家通過觀測的數據確認了銀河系中央人馬座的質量與太陽質量的倍數關系。研究發現，有一星體繞人馬座故橢圓運動，其軌道半長軸為個天文單位（地球公轉軌道的半徑為一個天文單位），人馬座就處在該橢圓的一個焦點上，觀測得到星的運行周期為15.2年。假若將星的運行軌道視為半徑個天文單位的圓軌道，可估算出人馬座的質量約是太陽質量的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍答案B解析星繞人馬座做圓周運動的向心力。由人馬座對星的萬有引力提供，設星的質量為，角速度為，周期為T，則由萬有引力提供向心力其中設地球質量為，公轉軌道半徑為，周期為，研究地球繞太陽做圓周運動，根據萬有引力提供向心力則綜上所述得式中年，天文單位，代入數據可得故選B。知識點二計算天體的質量和密度太陽是一個火熱的球體，如果不知道太陽表面的重力加速度，那么如何計算太陽的質量？提示太陽對地球的萬有引力提供了地球繞太陽做圓周運動的向心力，若知道地球的公轉周期及軌道半徑，根據Geq\f(m太m地,r2)＝m地eq\f(4π2,T2)r，可以推導出太陽的質量。1.太陽質量的計算(1)依據：設m太是太陽的質量，m是某個行星的質量，r是行星與太陽之間的距離，行星做勻速圓周運動的向心力由他們之間的萬有引力提供，即Geq\f(mm太,r2)＝meq\f(4π2r,T2)。(2)結論：m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，測出行星的公轉周期T和它與太陽間的距離r，就可以算出太陽的質量。2.行星質量的計算：如果已知衛星繞行星運動的周期和衛星與行星之間的距離，可計算行星的質量。【思考】如果知道地球繞太陽的公轉周期T和它與太陽間的距離r。(1)寫出太陽質量的表達式，并根據結果進一步理解開普勒第三定律。(2)若要求太陽的密度，還需要哪些量？提示(1)由Geq\f(m地m太,r2)＝m地eq\f(4π2,T2)r知m太＝eq\f(4π2r3,GT2)，所以eq\f(r3,T2)＝eq\f(Gm太,4π2)，可見eq\f(r3,T2)為一常量，只與太陽的質量有關，與行星的質量無關。(2)由密度公式ρ＝eq\f(m太,V)＝eq\f(\f(4π2r3,GT2),\f(4,3)πReq\o\al(3,太))＝eq\f(3πr3,GT2Req\o\al(3,太))，若要求太陽的密度，還需要知道太陽的半徑R太。角度1重力加速度法例2宇航員在距某一星球表面h高度處，以某一速度沿水平方向拋出一個小球，經過時間t后小球落到星球表面。已知該星球的半徑為R，引力常量為G，不計一切阻力，則該星球的質量為()A.eq\f(2hR2,Gt2) B.eq\f(2hR2,Gt)C.eq\f(2hR,Gt2) D.eq\f(Gt2,2hR2)答案A解析設該星球表面的重力加速度為g，小球在星球表面做平拋運動，有h＝eq\f(1,2)gt2。設該星球的質量為M，在星球表面有mg＝Geq\f(Mm,R2)，由以上兩式得，該星球的質量為M＝eq\f(2hR2,Gt2)，A正確。訓練1天問一號探測器在距火星表面高度為h的軌道上做周期為T的勻速圓周運動，已知引力常量為G，火星的半徑為R，火星的質量為（）A． B． C． D．答案C解析根據萬有引力提供向心力可得解得火星的質量為故選C。訓練2我國計劃在未來建立一個由21顆衛星組成的“月球北斗”導航系統，來幫助中國航天更安全、高效地探索月球。若將月球和地球均視為圓球，已知月球的平均密度約為地球平均密度的倍，則月球近地衛星的運行周期約為地球近地衛星運行周期的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍答案D解析在中心天體表面運行的衛星，對其進行分析，由萬有引力提供向心力，則有中心天體的平均密度聯立解得可得故選D。角度2環繞法例3一月球探測器繞月球做周期為T的圓周運動，軌道距月球表面的高度為H。已知月球半徑為R，引力常量為G，則月球的平均密度為()A.eq\f(3π,GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(H,R)))eq\s\up12(3) B.eq\f(π2,2GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(H,R)))eq\s\up12(3)C.eq\f(3,2GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(H,R)))eq\s\up12(3) D.eq\f(3π,4GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(H,R)))eq\s\up12(3)答案A解析月球探測器繞月球做勻速圓周運動，月球對探測器的引力提供向心力，有Geq\f(Mm,（R＋H）2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋H)，解得M＝eq\f(4π2（R＋H）3,GT2)，月球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3，則月球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3π（R＋H）3,GT2R3)＝eq\f(3π,GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(H,R)))eq\s\up12(3)，故A正確，B、C、D錯誤。天體質量和密度的計算方法(天體質量為M)重力加速度法環繞法情景已知天體的半徑R和天體表面的重力加速度g行星或衛星繞中心天體做勻速圓周運動思路物體在天體表面的重力近似等于天體與物體間的萬有引力：mg＝Geq\f(Mm,R2)行星或衛星受到的萬有引力提供向心力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r天體質量天體質量：M＝eq\f(gR2,G)中心天體質量：M＝eq\f(4π2r3,GT2)天體密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πRG)ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)說明未知星球表面重力加速度通常利用實驗測出，例如讓小球做自由落體、平拋、上拋等運動這種方法只能求中心天體質量，不能求環繞星體質量T為公轉周期r為軌道半徑R為中心天體半徑訓練12024年5月3日17時27分，長征五號運載火箭在中國文昌航天發射場點火起飛，成功將嫦娥六號探測器送入地月轉移軌道，發射任務取得圓滿成功。世界首次月球背面采樣返回之旅開啟。探測器登月前，先進入橢圓軌道Ⅱ，再進入近月圓軌道I。圖中P、Q分別為橢圓軌道的近月點和遠月點。已知月球半徑為R，嫦娥六號在軌道I運行周期為T，Q點離月球表面的高度為h，萬有引力常量為G，則（）A．探測器第一次從Q點飛行到P點的時間B．探測器第一次從Q點飛行到P點的時間C．月球的密度為D．月球的密度為答案B解析AB．根據開普勒第三定律解得探測器第一次從Q點飛行到P點的時間為聯立解得故A錯誤，B正確；CD．由萬有引力提供向心力根據聯立解得故CD錯誤。故選B。訓練2中國的月球計劃分為“繞月—探月—登月”三步，并預計在2030年前實現登月計劃。假設在不久的將來，中國載人飛船在月球表面成功著陸，宇航員在月球表面將一小球以初速度豎直向上拋出，經時間t小球落回拋出點。已知萬有引力常量G、月球的半徑R和，忽略月球的自轉。求月球的平均密度。答案解析小球在月球表面做勻變速直線運動，得假設月球質量為，小球質量為，得月球的密度為月球的體積為聯立可得月球的密度為知識點三發現未知天體預言哈雷彗星回歸1.海王星的發現：英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶根據天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星軌道外“新”行星的軌道。1846年9月23日，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發現了這顆行星——海王星。2.其他天體的發現：近100年來，人們在海王星的軌道之外又發現了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體。3.哈雷彗星回歸英國天文學家哈雷計算出在1531年、1607年和1682年出現的三顆彗星的軌道如出一轍，并預言這三次出現的彗星是同一顆星，周期約為76年，還預言它將于1758年底或1759年初再次回歸。1759年3月這顆彗星如期通過了近日點，它最近一次回歸是1986年，它的下次回歸將在2061年左右。4.海王星的發現和哈雷彗星的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位。例4十八世紀，人們已經知道太陽系有七顆行星，但是第七顆行星天王星的運動軌道有些“古怪”：它的軌道與根據萬有引力定律計算出來的軌道存在一些偏差，這個偏差產生的原因是()A.天文觀測數據不準確B.萬有引力定律的準確性有問題C.離天王星較近的土星對天王星的影響D.天王星軌道外面還有一顆未發現的行星答案D解析天王星軌道外面還有一顆未發現的行星。該行星對天王星產生吸引作用，使其軌道產生了偏差。故A、B、C錯誤，D正確。1.發現過程(1)由最外側天體軌道的“古怪”現象提出猜想。(2)根據軌道的“古怪”情況和萬有引力定律計算“新”天體的可能軌道。(3)根據計算出的軌道預測可能出現的時刻和位置。(4)進行實地觀察驗證。2.海王星與冥王星發現的重要意義并不僅僅在于發現了新天體，更重要的是確立了萬有引力定律的地位。訓練1萬有引力理論對于實踐有著巨大的指導作用。科學家們利用“計算、預測和觀察”的方法尋找新的天體。下面被稱為“筆尖下發現的行星”的是（

）A．太陽 B．地球 C．海王星 D．月球答案C解析被稱為“筆尖下發現的行星”的是海王星。故選C。訓練2下列說法正確的是（）A．哥白尼提出的日心說指出地球是圍繞太陽轉動的B．卡文迪許應用萬有引力定律，計算并觀測到海王星C．英國物理學家牛頓通過扭秤實驗裝置測量出了引力常量的大小D．開普勒在伽利略觀察的星體軌跡數據基礎上提出了開普勒三大定律答案A解析A．哥白尼提出“日心說”指出地球是圍繞太陽轉動的，故A正確；B．1846年，英國劍橋大學學生亞當斯和法國天文學家勒維耶應用萬有引力定律，計算并觀測到海王星，故B錯誤；C．英國物理學家卡文迪許利用扭秤實驗測出了引力常量的大小，故C錯誤；D．開普勒在第谷工作的基礎上，提出了開普勒三大定律，故D錯誤。故選A。知識點四天體運動的分析與計算1.基本思路一般行星或衛星的運動可看作勻速圓周運動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供。2.常用關系(1)Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r。(2)忽略天體自轉時，mg＝Geq\f(Mm,R2)(物體在天體表面受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得gR2＝GM，該公式通常被稱為“黃金代換式”，R為天體半徑，g為天體表面的重力加速度。3.四個重要結論設質量為m的天體繞另一質量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動。項目推導式關系式結論v與r的關系Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))∝eq\f(1,\r(r))r越大，v越小ω與r的關系Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))∝eq\f(1,\r(r3))r越大，ω越小T與r的關系Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))∝eq\r(r3)r越大，T越大a與r的關系Geq\f(Mm,r2)＝maa＝eq\f(GM,r2)∝eq\f(1,r2)r越大，a越小規律：“一定四定”(即r定了，v、ω、T、a都定了)，“越遠越慢”(即r越大，v、ω、a越小，T越大)。例5(2022·上海卷)木衛一和木衛二都繞木星做勻速圓周運動。它們的周期分別為42h、46min和85h、22min，它們的軌道半徑分別為R1和R2，線速度分別為v1和v2，則()A.R1＜R2，v1＜v2 B.R1＞R2，v1＜v2C.R1＞R2，v1＞v2 D.R1＜R2，v1＞v2答案D解析根據萬有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R＝meq\f(v2,R)，解得T＝eq\r(\f(4π2R3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,R))，根據題目可知，木衛一的周期小于木衛二的周期，則R1＜R2；根據線速度的表達式可知，v1＞v2，故D正確。訓練1北斗衛星導航系統是我國實施的自主發展，獨立運行的衛星導航系統，實現了全球通訊全覆蓋。如圖，兩顆可視為質量相等的衛星A、B繞地球做勻速圓周運動，所受萬有引力大小分別為FA、FB；角速度大小分別為ωA、ωB；周期分別為TA、TB；線速度大小分別為vA、vB。下列關系正確的是（）A．FA<FB B．ωA=ωB C．TA<TB D．vA<vB答案C解析根據萬有引力定律可得所以，，則，，，故選C。訓練2中國的空間站項目是一個重要的航天工程項目，展示了中國在航天技術領域的顯著進步。空間站的環繞半徑為某衛星環繞半徑的，則下列說法正確的是（）A．空間站的運行速度是該衛星運行速度的9倍B．空間站的運行周期是該衛星運行周期的27倍C．空間站的運行角速度是該衛星運行角速度的27倍D．空間站的運行向心加速度是該衛星運行向心加速度的9倍答案C解析設地球質量為M，繞地做勻速圓周運動的物體質量為m，其環繞半徑為r，線速度為，周期為，角速度為，加速度為a，則由萬有引力提供向心力得解得由于空間站的環繞半徑為某衛星環繞半徑的，可得故選C。例6(多選)三顆人造地球衛星A、B、C繞地球做勻速圓周運動，如圖所示，已知mA＝mB<mC，則對于三顆衛星，下列選項正確的是()A.運行線速度大小關系為vA>vB＝vCB.運行角速度關系為ωA>ωB＝ωCC.向心力大小關系為FA＝FB<FCD.軌道半徑與運行周期關系為eq\f(Req\o\al(3,A),Teq\o\al(2,A))＝eq\f(Req\o\al(3,B),Teq\o\al(2,B))＝eq\f(Req\o\al(3,C),Teq\o\al(2,C))答案ABD解析由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以vA>vB＝vC，選項A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，所以ωA>ωB＝ωC，選項B正確；由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝Geq\f(M,r2)，所以aA>aB＝aC，又mA＝mB<mC，所以FA>FB，FB<FC，選項C錯誤；三顆衛星都繞地球運動，由開普勒第三定律得eq\f(Req\o\al(3,A),Teq\o\al(2,A))＝eq\f(Req\o\al(3,B),Teq\o\al(2,B))＝eq\f(Req\o\al(3,C),Teq\o\al(2,C))，選項D正確。訓練1（多選）韋伯望遠鏡發現一顆代號為K2-18B的類地行星，已知它的公轉周期和地球相同，它的公轉軌道半徑為地球和太陽間距的0.2倍。K2-18B和地球均圍繞各自中心天體做勻速圓周運動，則K2-18B和地球的（）A．中心天體質量之比為B．中心天體質量之比為C．線速度大小之比為D．線速度大小之比為答案AC解析AB．K2-18B公轉軌道半徑為地球和太陽間距的0.2倍，根據萬有引力提供向心力變形得其中K2-18B的類地行星與地球的周期相等，且，可得中心天體質量之比為故A正確，B錯誤；CD．根據其中K2-18B的類地行星與地球的周期相等，且，可得線速度之比為故C正確，D錯誤。故選AC。訓練2北京時間2024年10月30日4時27分，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號F遙十九運載火箭在酒泉衛星發射中心點火發射，成功對接于空間站天和核心艙，發射取得圓滿成功。載人飛船的發射過程要經過多次變軌方可到達預定軌道，載人飛船首先從圓軌道Ⅰ的A點變軌到橢圓軌道Ⅱ，然后在橢圓軌道Ⅱ的B點再變軌進入預定軌道Ⅲ，下列說法正確的是（）A．飛船從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅱ需要在A點減速B．若飛船在軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上運行的周期分別為、、，則C．飛船分別在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上運行時，經過相同時間，飛船與地心連線掃過的面積相等D．飛船在軌道Ⅱ上運行時經過B點的速度大于7.9km/s答案B解析A．飛船從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅱ，做離心運動，需要在A點加速，故A錯誤；B．由開普勒第三定律由圖可知軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的半徑逐漸變大，所以周期關系為故B正確；C．軌道Ⅰ和軌道Ⅱ不是同一個軌道，不適用于開普勒第二定律，故C錯誤；D．軌道Ⅲ的運行速度一定小于，由軌道Ⅱ變軌到軌道III需在B點加速，所以B點速度一定小于，故D錯誤。故選B。隨堂對點自測1.(天體質量的計算)(2024·新課標卷，3)天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的()A.0.001倍 B.0.1倍C.10倍 D.1000倍答案B解析行星繞太陽做圓周運動，萬有引力提供向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得，M＝eq\f(4π2r3,GT2)，則eq\f(M紅,M太)＝eq\f(req\o\al(3,行)·Teq\o\al(2,地),req\o\al(3,地)·Teq\o\al(2,行))＝eq\f(0.073,0.062)≈0.1，故B正確。2.(天體質量的計算)(2021·全國乙卷)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力，設太陽的質量為M，可以推測出該黑洞質量約為()A.4×104M B.4×106MC.4×108M D.4×1010M答案B解析由萬有引力提供向心力有Geq\f(m中m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，整理得eq\f(R3,T2)＝eq\f(Gm中,4π2)，可知eq\f(R3,T2)只與中心天體的質量有關，則eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(\f(Req\o\al(3,S2),Teq\o\al(2,S2)),\f(Req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地)))，已知T地＝1年，由題圖可知恒星S2繞銀河系運動的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正確。3.(天體密度的計算)假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常量為G，則地球的密度為()A.eq\f(3π,GT2)·eq\f(g0－g,g0) B.eq\f(3π,GT2)·eq\f(g0,g0－g)C.eq\f(3π,GT2) D.eq\f(3π,GT2)·eq\f(g0,g)答案B解析設物體的質量為m，地球的質量為m地、半徑為R，在地球兩極的物體所受重力等于萬有引力，即Geq\f(m地m,R2)＝mg0，在赤道上的物體做圓周運動的周期等于地球的自轉周期，半徑等于地球的半徑，有Geq\f(m地m,R2)－mg＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，又地球的質量m地＝eq\f(4,3)πR3ρ，聯立三式可得ρ＝eq\f(3π,GT2)·eq\f(g0,g0－g)，B正確。4.(天體運動的分析與計算)(2022·廣東卷)“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設火星和地球的冬季是各自公轉周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍。火星和地球繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動。下列關于火星、地球公轉的說法正確的是()A.火星公轉的線速度比地球的大B.火星公轉的角速度比地球的大C.火星公轉的半徑比地球的小D.火星公轉的加速度比地球的小答案D解析由題意可知，火星的公轉周期大于地球的公轉周期，根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知火星的公轉半徑大于地球的公轉半徑，故C錯誤；根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知火星公轉的線速度小于地球公轉的線速度，故A錯誤；根據ω＝eq\f(2π,T)可知，火星公轉的角速度小于地球公轉的角速度，故B錯誤；根據Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，可知火星公轉的加速度小于地球公轉的加速度，故D正確。5.2024年6月25日，嫦娥六號返回器準確著陸于內蒙古四子王旗預定區域，工作正常，實現世界首次月球背面采樣返回。據中國探月工程總設計師吳偉仁院士介紹：我國航天員有望在十年內登上月球。如果將來宇航員在月球（視為質量分布均勻的球體）表面以大小為的初速度豎直上拋一物體（視為質點），經時間返回手中。已知引力常量為G，月球的半徑為R，則月球質量為（）A． B． C． D．答案C解析設月球表面的重力加速度為，據豎直上拋運動規律可知，有又解得故選C。6．人類有可能在不久的將來登上火星。未來某航天員在地球表面將一重物在離地高h處由靜止釋放，測得下落時間為，來到火星后，也將一重物在離火星表面高h處由靜止釋放，測得下落時間為，已知地球與火星的半徑之比為k，不考慮地球和火星的自轉，則地球與火星的密度之比為（）A． B． C． D．答案A解析根據可得可知在星球表面可得可得故選A。對點題組練題組一天體質量和密度的計算1.(2024·山東泰安高一期末)已知衛星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為r，運動周期為T，地球半徑為R，引力常量為G，則下列說法正確的是()A.地球表面的重力加速度大小為eq\f(4π2R,T2)B.地球的質量大小為eq\f(4π2R3,GT2)C.衛星的向心加速度大小為eq\f(4π2r,T2)D.地球的平均密度大小為eq\f(3π,GT2)答案C解析設地球質量為M，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，根據萬有引力和重力的關系有mg＝Geq\f(Mm,R2)，則有g＝eq\f(4π2r3,T2R2)，A、B錯誤；向心加速度為a＝eq\f(4π2r,T2)，C正確；由質量和密度的關系得ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)，D錯誤。2.(多選)(2024·西南大學附中期中)2023年3月17日，我國成功將“高分十三號02星”發射升空，衛星順利進入預定軌道。假設入軌后，“高分十三號02星”以線速度為v繞地球做周期為T的勻速圓周運動。已知地球的半徑為R，引力常量為G。由此可知()A.該衛星到地球表面的高度為eq\f(vT,2π)－RB.該衛星到地球表面的高度為eq\f(2vT,π)－RC.地球的質量eq\f(Tv3,2πG)D.地球的質量eq\f(Rv2,G)答案AC解析由v＝eq\f(2πr,T)得r＝eq\f(vT,2π)，所以該衛星到地球表面的高度為h＝eq\f(vT,2π)－R，A正確，B錯誤；衛星繞地球做勻速圓周運動，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得M＝eq\f(rv2,G)＝eq\f(Tv3,2πG)，C正確，D錯誤。3.2022年8月10日，我國在太原衛星發射中心用長征六號運載火箭成功將“吉林一號”組網星中的16顆衛星發射升空，衛星順利進入預定的環繞地球運動軌道，發射任務取得圓滿成功。這16顆衛星的軌道平面各異，高度不同，通過測量發現，它們的軌道半徑的三次方與運動周期的二次方成正比，且比例系數為p。已知引力常量為G，由此可知地球的質量為()A.eq\f(2πp,G) B.eq\f(4πp,G)C.eq\f(4π2p,G) D.eq\f(2π2p,G)答案C解析衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，又由題意可知r3＝pT2，聯立解得M＝eq\f(4π2p,G)，C項正確。4.設在地球上和在某未知天體上，以相同的初速度豎直上拋一物體，物體上升的最大高度比為k(均不計阻力)，且已知地球和該天體的半徑比也為k，則地球質量與該天體的質量比為()A.1 B.kC.k2 D.eq\f(1,k)答案B解析在地球和天體的表面附近，物體的重力近似等于物體受到的萬有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，豎直上拋時物體上升的最大高度H＝eq\f(veq\o\al(2,0),2g)，聯立解得中心天體的質量M＝eq\f(veq\o\al(2,0)R2,2HG)，則eq\f(M地,M天)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R地,R天)))eq\s\up12(2)·eq\f(H天,H地)＝k，B正確。題組二天體運動的分析和計算5.人造衛星以地心為圓心，做勻速圓周運動。關于其各物理量間的關系，下列說法正確的是()A.半徑越大，速度越小，周期越小B.半徑越大，速度越小，周期越大C.所有衛星的線速度均是相同的，與半徑無關D.所有衛星的角速度均是相同的，與半徑無關答案B解析根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝mω2r，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可知半徑越大，速度越小，周期越大，角速度越小，故B正確。6.(2023·江蘇卷)設想將來發射一顆人造衛星，能在月球繞地球運動的軌道上穩定運行，該軌道可視為圓軌道。該衛星與月球相比，一定相等的是()A.質量B.向心力大小C.向心加速度大小D.受到地球的萬有引力大小答案C解析7.(2022·河北卷)2008年，我國天文學家利用國家天文臺興隆觀測基地的2.16米望遠鏡，發現了一顆繞恒星HD173416運動的系外行星HD173416b，2019年，該恒星和行星被國際天文學聯合會分別命名為“羲和”和“望舒”，天文觀測得到恒星羲和的質量是太陽質量的2倍，若將望舒與地球的公轉均視為勻速圓周運動，且公轉的軌道半徑相等。則望舒與地球公轉速度大小的比值為()A.2eq\r(2) B.2C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析地球繞太陽公轉和行星望舒繞恒星羲和的勻速圓周運動都是由萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得公轉的線速度大小為v＝eq\r(\f(GM,r))，其中中心天體的質量之比為2∶1，公轉的軌道半徑相等，則望舒與地球公轉速度大小的比值為eq\r(2)，故C正確。8.(多選)如圖所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運動的三顆衛星，a和b的質量相等，且小于c的質量，則()A.b所需向心力最小B.b、c的周期相同且大于a的周期C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D.b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度答案ABD解析因衛星運動的向心力是由它們所受的萬有引力提供的，即Fn＝eq\f(GMm,r2)，則b所需向心力最小，A正確；由eq\f(GMm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正確；由eq\f(GMm,r2)＝man，得an＝eq\f(GM,r2)，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以b、c的線速度大小相等且小于a的線速度，D正確。綜合提升練9.已知M、N兩星球的半徑之比為1∶2，在星球表面豎直上拋物體時，其上升的最大高度h與初速度平方v2的關系如圖所示(不計空氣阻力)，M、N兩星球的密度之比為()A.1∶1 B.1∶2C.1∶4 D.1∶8答案A解析由豎直上拋運動和題圖可知veq\o\al(2,0)＝2gM·2h0，veq\o\al(2,0)＝2gN·h0，可得gM∶gN＝1∶2。根據eq\f(GMm,R2)＝mg、M＝ρ·eq\f(4,3)πR3可得ρ＝eq\f(3g,4πGR)，則M、N兩星球的密度之比為eq\f(ρM,ρN)＝eq\f(gM,gN)·eq\f(RN,RM)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,1)＝eq\f(1,1)，A正確。10.(2023·浙江卷)木星的衛星中，木衛一、木衛二、木衛三做圓周運動的周期之比為1∶2∶4。木衛三周期為T，公轉軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍，月球繞地球公轉周期為T0，則()A.木衛一軌道半徑為eq\f(n,16)rB.木衛二軌道半徑為eq\f(n,2)rC.周期T與T0之比為neq\f(3,2)D.木星質量與地球質量之比為eq\f(Teq\o\al(2,0),T2)n3答案D解析已知月球繞地球公轉的軌道半徑為r，木衛三繞木星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有eq\f(GM木星m木衛三,（nr）2)＝m木衛三eq\f(4π2,T2)nr；月球繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有eq\f(GM地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,0))r，聯立解得木星質量與地球質量之比eq\f(M木星,M地)＝eq\f(Teq\o\al(2,0),T2)n3，D正確；如果地球、木星質量相等，則根據上式可知eq\f(T2,Teq\o\al(2,0))＝n3，但木星、地球質量并不相等，C錯誤；設木衛一、木衛二、木衛三的軌道半徑分別為R1、R2、R3，根據開普勒第三定律eq\f(R3,T2)＝k，可知Req\o\al(3,1)∶Req\o\al(3,2)∶Req\o\al(3,3)＝1∶4∶16，所以木衛一的軌道半徑為eq\f(nr,\r(3,16))，木衛二的軌道半徑為eq\f(nr,\r(3,4))，A、B錯誤。11.若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地，若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R(不考慮月球自轉的影響)。求：(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；(2)月球的質量M；(3)月球的平均密度ρ。答案(1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)解析(1)物體在月球表面附近做自由落體運動，則h＝eq\f(1,2)g月t2解得g月＝eq\f(2h,t2)。(2)因不考慮月球自轉的影響，則有Geq\f(Mm,R2)＝mg月月球的質量M＝eq\f(g月R2,G)＝eq\f(2hR2,Gt2)。(3)月球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3h,2πRGt2)。12.科學家發現太陽系外某星系有一恒星和一行星，并測得行星圍繞該恒星運動的周期是地球繞太陽運動周期的800倍，行星與該恒星間的距離為地球到太陽距離的90倍。假定該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓軌道，僅利用以上兩個數據可以求出的量是（）A．恒星與太陽的質量之比B．恒星與太陽的密度之比C．行星與地球的質量之比D．行星表面與地球表面的重力加速度之比答案A解析A．根據萬有引力提供向心力可得