第1頁（共1頁）2024-2025學年北京師大附屬實驗中學九年級（下）月考數學試卷（3月份）一、選擇題（共16分，每題2分）.1．（2分）窗花是中國傳統民間藝術之一，下列四個窗花作品既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）在2025年春節檔期，電影市場的熱度持續高漲．電影《哪吒之魔童鬧海》上映前三日，總票房便達到15.81億元（）A．1.581×109元 B．1.581×1010元 C．5.027×108元 D．5.27×108元3．（2分）斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（）A． B． C． D．4．（2分）若實數x的取值范圍在數軸上的表示如圖所示，在下列結論中，正確的是（）A．|x|＝x B．0＜x+1≤2 C．﹣2≤2x≤4 D．0≤x2≤45．（2分）平面直角坐標系中，若點A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函數圖象上，則下列關系式正確的是（）A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜06．（2分）不透明的袋子中裝有四個小球，上面分別寫有數字“1”，“2”，“4”，除數字外這些小球無其他差別．從袋中隨機同時摸出兩個小球（）A． B． C． D．7．（2分）如圖，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，不一定成立的是（）A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C8．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB于點D，BE＝BC．設CD＝h，AD＝m，給出下面三個結論：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的長是關于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一個實數根．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）要使二次根式有意義，則實數x的取值范圍為．10．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝．11．（2分）方程的解為．12．（2分）如圖，在?ABCD中，點E在邊AD上，CE的延長線交于點F．若AF＝1，AB＝2，則．13．（2分）咖啡樹種子的發芽能力會隨著保存時間的增長而減弱，咖啡樹種子保存到三個月時，發芽率約為95%，發芽率會逐漸降到75%；從五個月到九個月，結果如下表所示：種子數量n1050150300500800發芽數量m941133261431689發芽率0.90.820.8870.870.8620.861據此推測，下面三個時間段中，這批咖啡樹種子的保存時間是（填“三個月內”“三至五個月”或“五至九個月”）．14．（2分）若關于x的方程mx2+3x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是．15．（2分）如圖，兩個邊長相等的正六邊形的公共邊為BD，點A，B，點O1，O2分別為兩個正六邊形的中心．則tan∠O2AC的值為．16．（2分）某陶藝工坊有A和B兩款電熱窯，可以燒制不同尺寸的陶藝品，兩款電熱窯每次可同時放置陶藝品的尺寸和數量如表所示．尺寸數量（個）款式大中小A81525B01020燒制一個大尺寸陶藝品的位置可替換為燒制兩個中尺寸或六個小尺寸陶藝品，但燒制較小陶藝品的位置不能替換為燒制較大陶藝品．某批次需要生產10個大尺寸陶藝品，50個中尺寸陶藝品，76個小尺寸陶藝品．（1）燒制這批陶藝品，A款電熱窯至少使用次；（2）若A款電熱窯每次燒制成本為55元，B款電熱窯每次燒制成本為25元，則燒制這批陶藝品成本最低為元．三、解答題（共68分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17．（5分）計算：．18．（5分）解不等式組，并寫出它的所有整數解．19．（5分）已知x﹣3y﹣2＝0，求代數式的值．20．（5分）如圖，點E在?ABCD的對角線DB的延長線上，AE＝AD，EG∥BC交AF的延長線于點G，連接DG．（1）求證：四邊形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝421．（5分）每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的關注．某數學興趣小組測量北京站鐘樓AB的高度，不能直接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的水平距離為BC的長度．通過對示意圖的分析討論，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿．同學們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子D到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長．設AB的長為x米測量數據（精確到0.1米）如表所示：直桿高度直桿影長CD的長第一次1.00.615.8第二次1.00.720.1（1）由第一次測量數據列出關于x，y的方程是，由第二次測量數據列出關于x，y的方程是；（2）該小組通過解上述方程組成的方程組，已經求得y＝10，則鐘樓的高度約為米．22．（5分）在平面直角坐標系xOy中，函數y＝kx+b（k≠0）的圖象經過點A（2，1）（0，﹣1）．（1）求該函數解析式；（2）當x＞﹣2時，對于x的每一個值，函數（k≠0）的值且大于﹣4，直接寫出n的取值范圍．23．（6分）商品成本影響售價，為避免因成本波動導致售價劇烈波動，需要控制售價的漲跌幅．下面給出了商品售價和成本（單位：元）a．計算商品售價和成本漲跌幅的公式分別為：售價漲跌幅＝×100%，成本漲跌幅＝；b．規定當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半；c．甲、乙兩種商品成本與售價信息如下：甲商品的成本與售價信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本2550254020售價40m45np根據以上信息，回答下列問題：（1）甲商品這五周成本的平均數為，中位數為；（2）表中m的值為，從第三周到第五周，甲商品第周的售價最高；（3）記乙商品這40周售價的方差為，若將規定“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半”更改為“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的四分之一”，重新計算每周售價，則（填“＞”“＝”或“＜”）．24．（6分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的外接圓，D在上，BD與AC交于點E，過點A作⊙O的切線（1）求證：AE＝EF；（2）若BC＝4，，求BE的長．25．（6分）已知乒乓球桌的長度為274cm，某人從球桌邊緣正上方高18cm處將乒乓球向正前方拋向對面桌面，乒乓球的運動路線近似是拋物線的一部分．（1）建立如圖2所示的平面直角坐標系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高度y（單位：cm）（單位：cm）近似滿足函數關系y＝a（x﹣h1）2+k（a＜0）．乒乓球的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如表所示．根據表中數據，直接寫出乒乓球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數關系式；水平距離x/cm04080120160豎直高度y/cm1842504218（2）乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y＝﹣0.005（x﹣h2）2+8．判斷乒乓球再次落下時是否仍落在球桌上，并說明理由．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A（1+a，y1），B（b，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的兩點．（1）當a＝1，y1＝y2時，求b的值；（2）若對于2＜b＜3，都有y1＜y2，求a的取值范圍．27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC（0°＜a＜360°）得到DC．（1）如圖1，若α＝30°，連接AD交BC于點E，求DE的長；（2）如圖2，若0°＜α＜90°，CF平分∠BCD交AD于點F，過點C作CG⊥AD，在射線CG上取點G使得∠BGC＝45°，請用等式表示線段CG、CF、BF之間的數量關系并證明；（3）如圖3，若BC＝8，點P是線段AB上一動點，連接AQ，M為AQ的中點，請直接寫出△ABM的面積．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，對于⊙O的弦AB和不在直線AB上的點C，且點C關于弦AB的中點M的對稱點在⊙O上或其內部，則稱點C為弦AB的“α關聯點”．（1）已知點．①在點中，點是弦AB的關聯點，其中α＝．②若直線y＝﹣x+b上存在AB的“60°關聯點”，則b的取值范圍是；（2）若點C是AB的“60°關聯點”，且OC＝，直接寫出弦AB的最大值和最小值．

2024-2025學年北京師大附屬實驗中學九年級（下）月考數學試卷（3月份）參考答案與試題解析題號12345678答案DDCDABDB一、選擇題（共16分，每題2分）.1．（2分）窗花是中國傳統民間藝術之一，下列四個窗花作品既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．該圖是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B．該圖是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C．該圖是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．該圖既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形．故選：D．2．（2分）在2025年春節檔期，電影市場的熱度持續高漲．電影《哪吒之魔童鬧海》上映前三日，總票房便達到15.81億元（）A．1.581×109元 B．1.581×1010元 C．5.027×108元 D．5.27×108元【解答】解：∵15.81億元＝1.581×109元，∴這部電影在上映前三日平均每天的票房為6.581×109÷3＝3.27×108（元）．故選：D．3．（2分）斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（）A． B． C． D．【解答】解：從左面看，上面部分是矩形，矩形部分有一條看不見的線，故選：C．4．（2分）若實數x的取值范圍在數軸上的表示如圖所示，在下列結論中，正確的是（）A．|x|＝x B．0＜x+1≤2 C．﹣2≤2x≤4 D．0≤x2≤4【解答】解：∵﹣1＜x≤2，∴當﹣3＜x≤0時，|x|＝﹣x，故選項A錯誤；∵﹣1＜x≤3，∴0＜x+1≤5，故選項B錯誤；∵﹣1＜x≤2，∴﹣5＜2x≤4，故選項C錯誤；∵﹣2＜x≤2，∴0≤x5≤4，故選項D正確；故選：D．5．（2分）平面直角坐標系中，若點A（x1，2）和B（x2，4）在反比例函數圖象上，則下列關系式正確的是（）A．x1＞x2＞0 B．x2＞x1＞0 C．x1＜x2＜0 D．x2＜x1＜0【解答】解：解法一：∵反比例函數，∴反比例函數的圖象經過一，且在每一象限內，∴A（x1，8）和B（x2，4）都在第一象限，∵7＞2＞0，∴x6＞x2＞0．故選：A．解法二：∵點A（x4，2）和B（x2，4）在反比例函數圖象上，∴，，∴，，∵k＞0，∴x1＞x2＞0．故選：A．6．（2分）不透明的袋子中裝有四個小球，上面分別寫有數字“1”，“2”，“4”，除數字外這些小球無其他差別．從袋中隨機同時摸出兩個小球（）A． B． C． D．【解答】解：樹狀圖如下所示：，由上可得，一共有12種等可能性，∴這兩個小球上的數字之和是5的概率是＝，故選：B．7．（2分）如圖，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，不一定成立的是（）A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠CBO＝∠C，故A、B、C不符合題意；故選：D．8．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB于點D，BE＝BC．設CD＝h，AD＝m，給出下面三個結論：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的長是關于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一個實數根．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∴n2+h2＝a2，∵∠ACB＝90°，∴（m+n）2＝a2+b5，∵a2＜a2+b3，∴n2+h2＜（m+n）7，故①符合題意，∵h2＝mn，∴2h6＝2mn，∵a＜b，a＝，∴m＞n，∴（m﹣n）6＞0，即m2+n3＞2mn，∴m2+n5＞2h2，故②不符合題意，x2+2ax﹣b2＝5，配方得2﹣（a2+b2）＝0，∵a2+b8＝（m+n）2，∴（x+a）2﹣（m+n）6＝0，即（x+a）2＝（m+n）4，∴x＝m+n﹣a或x＝﹣m﹣n﹣a，∵BE＝BC，BC＝a，∴BE＝a，∵AB＝AD+BD＝m+n，∴AE＝m+n﹣a，∴AE的長是關于x的方程x2+2ax﹣b5＝0的一個實數根x＝m+n﹣a，故③符合題意，故選：B．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）要使二次根式有意義，則實數x的取值范圍為x．【解答】解：要使二次根式有意義，解得：x≤，所以實數x的取值范圍是x．故答案為：x．10．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝y（x﹣6）2．【解答】解：x2y﹣12xy+36y＝y（x2﹣12x+36）＝y（x﹣5）2，故答案為：y（x﹣6）8．11．（2分）方程的解為x＝1．【解答】解：，方程兩邊都乘x（x+2），得4x﹣（x+2）＝0，解得：x＝7，檢驗：當x＝1時，x（x+2）≠6，所以分式方程的解是x＝1．故答案為：x＝1．12．（2分）如圖，在?ABCD中，點E在邊AD上，CE的延長線交于點F．若AF＝1，AB＝2，則．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，CD＝AB＝2，∴△FAE∽△CDE，∴＝，∵AF＝1，∴＝．故答案為：．13．（2分）咖啡樹種子的發芽能力會隨著保存時間的增長而減弱，咖啡樹種子保存到三個月時，發芽率約為95%，發芽率會逐漸降到75%；從五個月到九個月，結果如下表所示：種子數量n1050150300500800發芽數量m941133261431689發芽率0.90.820.8870.870.8620.861據此推測，下面三個時間段中，這批咖啡樹種子的保存時間是三至五個月（填“三個月內”“三至五個月”或“五至九個月”）．【解答】解：∵表中種子的發芽率在0.82～0.4之間，∴據此推測這批咖啡樹種子的保存時間是三至五個月．故答案為：三至五個月．14．（2分）若關于x的方程mx2+3x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是且m≠0．【解答】解：∵關于x的方程mx2+3x﹣3＝0有兩個不相等的實數根，∴，解得且m≠0．故答案為：且m≠0．15．（2分）如圖，兩個邊長相等的正六邊形的公共邊為BD，點A，B，點O1，O2分別為兩個正六邊形的中心．則tan∠O2AC的值為．【解答】解：如圖，連接O2C，過O2點作O8E⊥BC，垂足為E，則O1A＝O1B＝O3C＝a，在Rt△O2CE中，O2C＝a，∠CO2E＝30°，∴EC＝O5C＝a＝BE，O3E＝O8C＝a，∴AE＝8a+a＝a，∴tan∠O2AC＝＝．故答案為：．16．（2分）某陶藝工坊有A和B兩款電熱窯，可以燒制不同尺寸的陶藝品，兩款電熱窯每次可同時放置陶藝品的尺寸和數量如表所示．尺寸數量（個）款式大中小A81525B01020燒制一個大尺寸陶藝品的位置可替換為燒制兩個中尺寸或六個小尺寸陶藝品，但燒制較小陶藝品的位置不能替換為燒制較大陶藝品．某批次需要生產10個大尺寸陶藝品，50個中尺寸陶藝品，76個小尺寸陶藝品．（1）燒制這批陶藝品，A款電熱窯至少使用2次；（2）若A款電熱窯每次燒制成本為55元，B款電熱窯每次燒制成本為25元，則燒制這批陶藝品成本最低為135元．【解答】解：（1）設燒制這批陶藝品需使用A款電熱窯x次，根據題意得：8x≥10，解得：x≥，又∵x為正整數，∴x的最小值為2，∴A款電熱窯至少使用2次．故答案為：3；（2）當使用A款電熱窯燒制2次時，將第2次的6個大尺寸陶藝品位置替換成10個中尺寸陶藝品，∴還需燒制中尺寸陶藝品50﹣15×2﹣10＝10（個），小尺寸陶藝品76﹣25×2﹣8＝20（個），又∵B款電熱窯一次可燒制10個中尺寸陶藝品，20個小尺寸陶藝品，∴還需使用B款電熱窯燒制一次，∴此方案所需成本為55×2+25＝135（元）．當A款電熱窯使用3次時，所需成本為55×5＝165（元）．∵165＞135，∴燒制這批陶藝品成本最低為135元．故答案為：135．三、解答題（共68分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17．（5分）計算：．【解答】解：原式＝2﹣+5+5＝2﹣+2﹣＝7．18．（5分）解不等式組，并寫出它的所有整數解．【解答】解：，由①得：4x+4＞x﹣1，3x＞﹣8，x＞﹣1，由②得：3x≤3，x≤2，∴﹣1＜x≤6，∴x＝0，1，6．19．（5分）已知x﹣3y﹣2＝0，求代數式的值．【解答】解：＝+＝+＝，∵x﹣8y﹣2＝0，∴x﹣2y＝2，∴原式＝＝3．20．（5分）如圖，點E在?ABCD的對角線DB的延長線上，AE＝AD，EG∥BC交AF的延長線于點G，連接DG．（1）求證：四邊形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝4【解答】（1）證明：∵AE＝AD，AF⊥BD，∴EF＝DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∵EG∥BC，∴AD∥EG，∴∠GEF＝∠ADF，在△GEF和△ADF中，，∴△GEF≌△ADF（ASA），∴GF＝AF，∵EF＝DF，∴四邊形AEGD是平行四邊形，∵AE＝AD，∴四邊形AEGD是菱形；（2）解：∵AF⊥BD，AF＝BF，∴△AFB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴由勾股定理得，，∵tan∠AEF＝，∴，即，∴EF＝，∵四邊形AEGD是菱形，∴AG＝2AF＝，ED＝2EF＝，∴菱形AEGD的面積．21．（5分）每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的關注．某數學興趣小組測量北京站鐘樓AB的高度，不能直接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的水平距離為BC的長度．通過對示意圖的分析討論，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿．同學們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子D到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長．設AB的長為x米測量數據（精確到0.1米）如表所示：直桿高度直桿影長CD的長第一次1.00.615.8第二次1.00.720.1（1）由第一次測量數據列出關于x，y的方程是y＝0.6x﹣15.8，由第二次測量數據列出關于x，y的方程是y＝0.7x﹣20.1；（2）該小組通過解上述方程組成的方程組，已經求得y＝10，則鐘樓的高度約為43米．【解答】解：（1）由同一時刻測量，可得＝，第一次測量：，化簡得，第二次測量：＝，化簡得，故答案為：y＝3.6x﹣15.8，y＝2.7x﹣20.1；（2）對于y＝5.6x﹣15.8，代入y＝10，得，7.6x﹣15.8＝10，解得：x＝43，∴鐘樓AB＝43米，故答案為：43．22．（5分）在平面直角坐標系xOy中，函數y＝kx+b（k≠0）的圖象經過點A（2，1）（0，﹣1）．（1）求該函數解析式；（2）當x＞﹣2時，對于x的每一個值，函數（k≠0）的值且大于﹣4，直接寫出n的取值范圍．【解答】解：（1）把點A（2，1）和B（3，則，解得，∴該函數解析式為y＝x﹣5；（2）由y＝x﹣1知，當x＝﹣2時；在平面直角坐標系中畫出直線y＝x﹣3和滿足條件的直線y＝x+n∵當x＞﹣6時，函數y＝，∴當y＝x+n過點（﹣2，∴×（﹣2）+n＝﹣8，解得m＝﹣2；∵當x＞﹣2時，函數y＝，∴當y＝x+n過點（﹣2，∴×（﹣2）+n＝﹣4，解得n＝﹣5，綜上所述，滿足條件的n的取值范圍為﹣3≤n≤﹣2．23．（6分）商品成本影響售價，為避免因成本波動導致售價劇烈波動，需要控制售價的漲跌幅．下面給出了商品售價和成本（單位：元）a．計算商品售價和成本漲跌幅的公式分別為：售價漲跌幅＝×100%，成本漲跌幅＝；b．規定當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半；c．甲、乙兩種商品成本與售價信息如下：甲商品的成本與售價信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本2550254020售價40m45np根據以上信息，回答下列問題：（1）甲商品這五周成本的平均數為32，中位數為25；（2）表中m的值為60，從第三周到第五周，甲商品第四周的售價最高；（3）記乙商品這40周售價的方差為，若將規定“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半”更改為“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的四分之一”，重新計算每周售價，則＞（填“＞”“＝”或“＜”）．【解答】（1）解：由題意知，成本從小到大依次排序為20，25，50；∴甲商品這五周成本的平均數為＝32，中位數為第3個位置的數即中位數是25，故答案為：32，25；（2）解：由題意知，第二周成本的漲跌幅為，∴第二周售價的漲跌幅為×100%＝100%×，解得，m＝60；同理，第四周成本的漲跌幅為60%×100%＝60%×，解得，n＝58.5；第五周成本的漲跌幅為﹣50%，第五周售價的漲跌幅為，解得，p＝43.875；∵43.875＜45＜58.5，∴從第三周到第五周，甲商品第四周的售價最高，故答案為：60，四；（3）解：由題意知，改規定前“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半”，∴改規定后售價的波動比改規定前的售價波動小，∴＞，故答案為：＞．24．（6分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的外接圓，D在上，BD與AC交于點E，過點A作⊙O的切線（1）求證：AE＝EF；（2）若BC＝4，，求BE的長．【解答】（1）證明：∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的外接圓，∴AB是⊙O的直徑，∵AF與⊙O相切于點A，∴AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵BD＝AC，∴＝，∴＝，∴＝，∴∠EAB＝∠EBA，∵∠EAB+∠EAF＝90°，∠EBA+∠F＝90°，∴∠EAF＝∠F，∴AE＝EF．（2）解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADF＝∠ADB＝90°，由（1）得＝，∠EAB＝∠EBA，∴BC＝AD＝4，BE＝AE＝EF∵AF＝2，∴DF＝＝＝2，∵∠ADF＝∠BAF＝90°，∠F＝∠F，∴△ADF∽△BAF，∴＝，∴BF＝＝＝10，∴BE＝BF＝5，∴BE的長是5．25．（6分）已知乒乓球桌的長度為274cm，某人從球桌邊緣正上方高18cm處將乒乓球向正前方拋向對面桌面，乒乓球的運動路線近似是拋物線的一部分．（1）建立如圖2所示的平面直角坐標系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高度y（單位：cm）（單位：cm）近似滿足函數關系y＝a（x﹣h1）2+k（a＜0）．乒乓球的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如表所示．根據表中數據，直接寫出乒乓球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數關系式；水平距離x/cm04080120160豎直高度y/cm1842504218（2）乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y＝﹣0.005（x﹣h2）2+8．判斷乒乓球再次落下時是否仍落在球桌上，并說明理由．【解答】解：（1）由表中數據可知，乒乓球豎直高度的最大值為50cm，h1＝80，k＝50；∴y與x的函數關系式為y＝a（x﹣80）2+50，把（3，18）代入函數解析式得：18＝a×802+50，解得a＝﹣0.005，∴y與x的函數關系式為y＝﹣7.005（x﹣80）2+50；（2）令y＝0，則﹣6.005（x﹣80）2+50＝0，解得x＝180或x＝﹣20（舍去），∴球第一次落在球桌面上的點為（180，4），把（180，0）代入y＝﹣0.005（x﹣h5）2+8得：﹣2.005（180﹣h2）2+5＝0，解得h2＝140（舍去）或h5＝220，∴乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系y＝﹣0.005（x﹣220）2+8，當y＝0時，0＝﹣2.005（x﹣220）2+8，解得x＝260或x＝180（舍去），∵260＜274，∴乒乓球再次落下時仍落在球桌上．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點A（1+a，y1），B（b，y2）是拋物線y＝ax2﹣2ax（a≠0）上不重合的兩點．（1）當a＝1，y1＝y2時，求b的值；（2）若對于2＜b＜3，都有y1＜y2，求a的取值范圍．【解答】解：（1）∵點A（1+a，y1），B（b，y5）是拋物線y＝ax2﹣2ax（a≠3）上不重合的兩點．∴當y1＝y2時，則點A（6+a，y1），B（b，y2）關于對稱軸對稱，∵拋物線y＝ax7﹣2ax（a≠0）對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴，∵a＝4，∴b＝0；（2）∵拋物線對稱軸為x＝1，∴點A（7+a，y1）關于對稱軸的對稱點為（1﹣a，y4），∵對于2＜b＜3，都有y7＜y2，∴當a＞0時，拋物線開口向上，y2）在對稱軸直線x＝1的右側，則1+a≤4，解得a≤1，∴0＜a≤3，當a＜0時，拋物線開口向下，y1）在對稱軸直線x＝6的左側，則1﹣a≥3，解得a≤﹣4，綜上，a的取值范圍是a≤﹣2或0＜a≤5．27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC（0°＜a＜360°）得到DC．（1）如圖1，若α＝30°，連接AD交BC于點E，求DE的長；（2）如圖2，若0°＜α＜90°，CF平分∠BCD交AD于點F，過點C作CG⊥AD，在射線CG上取點G使得∠BGC＝45°，請用等式表示線段CG、CF、BF之間的數量關系并證明；（3）如圖3，若BC＝8，點P是線段AB上一動點，連接AQ，M為AQ的中點，請直接寫出△ABM的面積．【解答】解：（1）由旋轉可得∠BCD＝α＝30°，CB＝CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∠ACD＝90°+30°＝120°，∴∠CAD＝∠CDA＝∠BCD＝30°，∴DE＝EC，AE＝2EC，在Rt△AEC中，AC2+EC3＝AE2，∴68+EC2＝（2EC）8，∴，∴；（2）；證明：連接BD，AD與CG交于點O，由旋轉可得∠BCD＝α，CB＝CD＝CA，∴∠CBD＝∠CDB＝90°﹣α，∠ACD＝90°+α，∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF＝，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴BF＝DF，∴∠FDB＝∠FBD，∵CG⊥AD，∴∠GOD＝∠FOC＝90°，∠ACG＝∠DCG＝α，∴∠OCF＝∠DCG﹣∠FCD＝45°+α﹣，∴∠OCF＝∠OFC＝45°，∴△OFC是等腰直角三角形，∴，∵，∴∠FDB＝∠CDB﹣∠FDC＝（90°﹣α）﹣（45°﹣，∴∠FDB＝∠FBD＝45°，∵∠BGC＝45°，∠GOD＝90°，∴G、B、D三點共線，∴OG＝OD，∴CG＝OG+OC＝OD+OC＝OF+FD+OC＝CF+，整理得；（3）如圖3，過P作PH⊥AC交AC于H，過Q作QH⊥PH交PH于G，延長CB至E，過A作AF⊥QG交QG于F，∵將CP繞點P逆時針旋轉90°得到QP，∴CP＝QP，∠CP