大專線性代數試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.設矩陣A為3×3矩陣，且A的行列式|A|≠0，則A的秩為：

A.1B.2C.3D.0

2.設向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的內積為：

A.14B.18C.20D.22

3.若矩陣A可逆，則A的逆矩陣A^{-1}滿足：

A.A^{-1}A=IB.AA^{-1}=IC.A^{-1}A=0D.AA^{-1}=0

4.設矩陣A和B都是n階方陣，且|A|=|B|≠0，則：

A.A和B等價B.A和B相似C.A和B等秩D.A和B等價或相似

5.設向量組a1=(1,1,1)，a2=(2,2,2)，a3=(3,3,3)，則該向量組的秩為：

A.1B.2C.3D.0

6.設矩陣A為3×3矩陣，且A的伴隨矩陣A*的秩為2，則A的秩為：

A.1B.2C.3D.0

7.設向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的夾角余弦值為：

A.1/2B.1/3C.1/6D.1/12

8.設矩陣A為3×3矩陣，且A的行列式|A|=0，則A的秩為：

A.1B.2C.3D.0

9.設向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的長度分別為：

A.√14,√14B.√14,√15C.√15,√14D.√15,√15

10.設矩陣A為3×3矩陣，且A的逆矩陣A^{-1}存在，則A的秩為：

A.1B.2C.3D.0

二、填空題（每題2分，共20分）

1.設向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的內積為______。

2.設矩陣A為3×3矩陣，且A的行列式|A|=0，則A的秩為______。

3.設向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的長度分別為______。

4.設矩陣A為3×3矩陣，且A的伴隨矩陣A*的秩為2，則A的秩為______。

5.設向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的夾角余弦值為______。

6.設矩陣A為3×3矩陣，且A的逆矩陣A^{-1}存在，則A的秩為______。

7.設向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的夾角余弦值為______。

8.設矩陣A為3×3矩陣，且A的行列式|A|=0，則A的秩為______。

9.設向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，則向量a與向量b的長度分別為______。

10.設矩陣A為3×3矩陣，且A的逆矩陣A^{-1}存在，則A的秩為______。

三、計算題（每題10分，共30分）

1.計算矩陣A的逆矩陣A^{-1}，其中A=[12;34]。

2.計算向量a與向量b的夾角余弦值，其中a=(1,2,3)，b=(4,5,6)。

3.計算矩陣A的行列式|A|，其中A=[123;456;789]。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若向量組a1,a2,...,an線性無關，則對任意常數k1,k2,...,kn，向量組ka1,ka2,...,kan也線性無關。

2.證明：若矩陣A可逆，則A的伴隨矩陣A*也可逆，且(A*)^{-1}=(A^{-1})^T。

五、應用題（每題10分，共20分）

1.已知線性方程組：

x+2y-z=3

2x+4y+2z=6

-x+y+3z=0

求解該方程組。

2.設線性變換T：R^3→R^3，由以下矩陣A定義：

A=[102;310;201]

求線性變換T的矩陣B，使得T(x)=Bx。

六、綜合題（每題20分，共40分）

1.已知矩陣A和B如下：

A=[123;456;789]

B=[123;456;789]

(1)計算矩陣A和B的行列式|A|和|B|。

(2)判斷矩陣A和B是否可逆，并說明理由。

(3)如果A和B可逆，計算它們的逆矩陣A^{-1}和B^{-1}。

2.設向量組a1=(1,1,1)，a2=(2,2,2)，a3=(3,3,3)，a4=(4,4,4)。

(1)判斷向量組a1,a2,a3,a4的線性相關性。

(2)如果向量組線性相關，求出其極大線性無關組，并求出對應的秩。

(3)如果向量組線性相關，求出該向量組的一個線性表示。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.C.3解析：由于矩陣A的行列式不為0，根據矩陣的性質，A可逆，其秩為n，即3。

2.A.14解析：向量a與向量b的內積計算公式為a·b=1*4+2*5+3*6=14。

3.B.AA^{-1}=I解析：矩陣A的逆矩陣A^{-1}滿足AA^{-1}=A^{-1}A=I，其中I為單位矩陣。

4.D.A和B等價或相似解析：由于|A|=|B|≠0，根據矩陣的性質，A和B等秩，進而等價或相似。

5.A.1解析：向量組a1,a2,a3線性相關，且a1,a2,a3線性無關，因此秩為1。

6.B.2解析：由于A的伴隨矩陣A*的秩為2，根據矩陣的性質，A的秩也為2。

7.A.1/2解析：向量a與向量b的夾角余弦值計算公式為cosθ=(a·b)/(|a||b|)，代入數值計算得到1/2。

8.D.0解析：由于A的行列式為0，根據矩陣的性質，A不可逆，其秩為0。

9.A.√14,√14解析：向量a和向量b的長度分別為|a|=√(1^2+2^2+3^2)=√14，|b|=√(4^2+5^2+6^2)=√14。

10.C.3解析：由于A的逆矩陣A^{-1}存在，根據矩陣的性質，A的秩為n，即3。

二、填空題答案及解析：

1.14解析：向量a與向量b的內積計算公式為a·b=1*4+2*5+3*6=14。

2.0解析：由于A的行列式為0，根據矩陣的性質，A不可逆，其秩為0。

3.√14,√14解析：向量a和向量b的長度分別為|a|=√(1^2+2^2+3^2)=√14，|b|=√(4^2+5^2+6^2)=√14。

4.2解析：由于A的伴隨矩陣A*的秩為2，根據矩陣的性質，A的秩也為2。

5.1/2解析：向量a與向量b的夾角余弦值計算公式為cosθ=(a·b)/(|a||b|)，代入數值計算得到1/2。

6.3解析：由于A的逆矩陣A^{-1}存在，根據矩陣的性質，A的秩為n，即3。

7.1/2解析：向量a與向量b的夾角余弦值計算公式為cosθ=(a·b)/(|a||b|)，代入數值計算得到1/2。

8.0解析：由于A的行列式為0，根據矩陣的性質，A不可逆，其秩為0。

9.√14,√14解析：向量a和向量b的長度分別為|a|=√(1^2+2^2+3^2)=√14，|b|=√(4^2+5^2+6^2)=√14。

10.3解析：由于A的逆矩陣A^{-1}存在，根據矩陣的性質，A的秩為n，即3。

三、計算題答案及解析：

1.解析：根據逆矩陣的定義，計算A的逆矩陣A^{-1}，首先計算A的行列式|A|=1，然后計算A的伴隨矩陣