第38頁（共38頁）第十七章B卷一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?洛寧縣期末）將一支長為14cm的圓珠筆，放在底面內徑為6cm，高為8cm的圓柱形筆筒中，設圓珠筆在筆筒外面的長度為acm，則a的取值范圍是（）A．a≤10 B．a≤8 C．a≥6 D．4≤a≤62．（2024秋?金水區期末）下列條件中，哪個不能夠判斷一個三角形是直角三角形（）A．∠A＝∠B+∠C B．a2：b2：c2＝3：4：5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝12，b＝16，c＝203．（2024秋?江陰市期末）我國古代稱直角三角形為“勾股形”．如圖，數學家劉徽（約公元225年﹣公元295年）將勾股形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形．若a＝10，b＝2，則此勾股形的面積為（）A．28 B．30 C．32 D．364．（2024秋?新安縣期末）在△ABC中，a、b、c分別是三邊的長，下列說法：①∠B＝∠C﹣∠A；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：3；⑤a2：b2：c2＝1：2：3．其中，能判斷△ABC為直角三角形的條件有（）個．A．2 B．3 C．4 D．55．（2024秋?城關區期末）勾股定理被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中．如圖，所有四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面積分別為6，10，則正方形B的邊長是（）A．8 B．4 C．2 D．346．（2024秋?城關區校級期末）如圖，在底面周長約為6米的石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面盤繞2圈到達柱頂正上方（從點A到點C，B為AC的中點），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍至少為（）A．20米 B．25米 C．30米 D．15米7．（2024秋?萊西市期末）如圖，在4×4的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A．2 B．3 C．3 D．38．（2024秋?黃陂區期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝90°，BE＝AD＝4，∠BCD的平分線交AB于點E，若BC與CD的差為1，則AE的長為（）A．1 B．12 C．23 D9．（2024秋?浙江期末）如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝6，以AC為邊向△ABC外作等邊三角形ACD，以BC為腰作等腰Rt△BCE，連結DE．若AC為a，BC為b，DE為c，則下列關系式成立的是（）A．ab+8＝c2 B．a2+b2＝2c2 C．a2+c2＝3b2 D．ab+36＝c210．（2024秋?錦江區期末）如圖，以點O為圓心，以OP的長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點A．若點A的坐標為（﹣52，0），P點的縱坐標為﹣1，則P點的坐標為（）A．（﹣7，﹣1） B．（7，﹣1） C．(-51，-二．填空題（共5小題）11．（2024秋?鄞州區期末）已知△ABC的周長為16，AB＝6，當AC的值為時，△ABC是等腰三角形．12．（2024秋?南昌期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點P從點A出發，以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設運動時間為t秒（t＞0）．當點P運動到邊AB時，t為秒時，△BCP為等腰三角形．13．（2024秋?拱墅區期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分線交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AD，交AC于點E，過點D作DF∥AB，交AC于點F．若AB＝4，AE＝6，則DC2＝．14．（2024秋?嵩縣期末）如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地AB＝2.5米，當人體進入感應器的感應范圍內時，感應門就會自動打開．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（BC＝1.2米），感應門自動打開，則AD＝米．15．（2024秋?平谷區期末）如圖，將有一邊重合的兩張直角三角形紙片放在數軸上，紙片上的點A對應的數是﹣3，AC＝BC＝BD＝1，若以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，與數軸交于點E，則點E表示的數為．三．解答題（共8小題）16．（2024秋?云巖區期末）勞動教育是新時代教育體系中的重要組成部分．如圖，△ABC區域是云巖區某學校為勞動課開辟的勞動場地，小路AD將場地分為“水果培育”和“蔬菜種植”兩個部分，現用皮尺測量得到AB＝13m，AC＝15m，AD＝12m，BD＝5m．（1）請判斷小路AD是否與BC垂直，并說明理由；（2）求勞動場地△ABC的面積．17．（2024秋?鄞州區期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，AB＝2CD，點F是CE中點．（1）求證：∠DCE＝∠ADF；（2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的長．18．（2024秋?正定縣期末）如圖，有一架秋千，當它靜止在AD的位置時，踏板離地的垂直高度DE為0.7m，將秋千AD往前推送4m（即BC為4m），到達AB的位置，此時，秋千的踏板離地的垂直高度BF為2.7m，秋千的繩索始終保持拉直的狀態．（1）求秋千的長度．（2）如果想要踏板離地的垂直高度為1.7m時，需要將秋千AD往前推送m．19．（2024秋?萬州區期末）放風箏是清明節的節日習俗，寓意將煩惱和疾病隨著風箏一起放飛，此外，放風箏還是一項娛樂性運動，無論是與家人還是朋友一起放風箏，都能增進彼此之間的關系．某校八年級幾名同學在學習了“勾股定理”之后，想用此定理來測量風箏的垂直高度．如圖，牽線放風箏的同學站在A處，風箏在F處，先測得他抓線的地方與地面的距離AB為1.5米，然后測得他抓線的地方與風箏的水平距離BC為15米，最后根據手中剩余線的長度計算出風箏線BF的長為17米．（1）求此時風箏的垂直高度EF的長；（2）若放風箏的同學站在點A不動，風箏沿EF的方向繼續上升到D處，風箏線又放出了8米，請求出風箏沿EF方向上升的高度FD的長．20．（2024秋?九龍坡區校級期末）某“項目學習實驗”小組開展了測量本校旗桿高度的項目主題活動，他們制定了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量．測量數據如下表（不完整）：項目主題測量旗桿的高度成員組長：xxx，組員xx、xxx、xxx，材料準備皮尺、紙、筆等測量示意圖測量步驟如圖，線段AB表示學校旗桿，步驟一：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺測量多出的這段繩子的長度；步驟二：用手握繩梢在地面移動，從旗桿底部起，逐步遠離，直到繩子拉直，不能再移動時為止，用皮尺測量此時拉繩子的手到地面的距離CD的長度；步驟三：用皮尺測量C點與旗桿之間的距離CE的長度．測量數據繩子垂到地面，比旗桿多出一段的長度CD的長度CE的長度2米1米9米……任務一：請你幫助該小組根據表中的測量數據，求出學校旗桿AB高度；任務二：寫出你在活動中的收獲，反思或困惑．（寫出一條即可）21．（2024秋?貴陽期末）某教學樓走廊左右兩側是豎直的墻MD和NE（即MD⊥DE，NE⊥DE），一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墻MD時，梯子底端B到左墻的距離BD＝7dm，頂端A到地面的距離AD＝24dm．（圖中所有點均在同一平面內）（1）求梯子AB的長；（2）如果保持底端位置B不動，將梯子斜靠在右墻NE上時，若梯子頂端C距離地面的距離CE＝20dm，求該教學樓走廊的寬度DE的長．22．（2024秋?新吳區期末）在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分線．（1）如圖①，過點D作DG∥BC交AB于點G，求證：△GBD是等腰三角形．（2）如圖②，若AC＝8，BC＝6，求CD的長．23．（2024秋?二七區期末）2024年12月4日，我國傳統節日春節申遺成功．為慶祝這一喜訊，鄭州市新湖社區舉辦了名為“鄭好遇見，大美非遺”的創意文化市集，諸多非遺有關文化項目集中亮相．圖圖和涵涵在市集上買了一個年畫風箏，在試飛風箏過程中，他們想利用數學知識測量風箏的垂直高度．以下是他們測量高度的過程：①先測得放飛點與風箏的水平距離BD的長為8米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線AC的長為10米；③牽線放風箏的手離地面的距離AB為1.5米．已知A、B、C、D點在同一平面內．（1）求風箏離地面的垂直高度CD；（2）在測高的過程中涵涵提出了一個新的問題：在手中剩余線僅剩7.5米的情況下，若想要風箏沿射線DC方向再上升9米，BD長度不變，能否成功呢？請你幫助解決涵涵提出的問題．

第十七章B卷參考答案與試題解析題號12345678910答案DBBCCAAADA一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?洛寧縣期末）將一支長為14cm的圓珠筆，放在底面內徑為6cm，高為8cm的圓柱形筆筒中，設圓珠筆在筆筒外面的長度為acm，則a的取值范圍是（）A．a≤10 B．a≤8 C．a≥6 D．4≤a≤6【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】D【分析】分當圓珠筆斜放在筆筒中時，露在筆筒外的長度最短，當圓珠筆垂直放在筆筒中時，露在筆筒外的長度最長兩種情況求解即可．【解答】解：如圖，當圓珠筆斜放在筆筒中時，露在筆筒外的長度最短，最短為14-AB2+如圖，當圓珠筆垂直放在筆筒中時，露在筆筒外的長度最長，最長為14﹣8＝6，故a的取值范圍是4≤a≤6，故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟記勾股定理是解題的關鍵．2．（2024秋?金水區期末）下列條件中，哪個不能夠判斷一個三角形是直角三角形（）A．∠A＝∠B+∠C B．a2：b2：c2＝3：4：5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝12，b＝16，c＝20【考點】勾股定理的逆定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】因此此題可根據三角形內角和及勾股定理逆定理可進行求解．【解答】解：A、由∠A+∠B+∠C＝180°且∠A＝∠B+∠C可得∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故該選項能夠判斷一個三角形是直角三角形，不符合題意；B、由a2：b2：c2＝3：4：5可得a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故符合題意；C、由a：b：c＝3：4：5可設a＝3x，b＝4x，c＝5x，可得（3x）2+（4x）2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，故該選項能夠判斷一個三角形是直角三角形，不符合題意；D、由a＝12，b＝16，c＝20可得a2+b2＝c2，符合勾股定理逆定理，∴△ABC是直角三角形，故該選項能夠判斷一個三角形是直角三角形，不符合題意；故選：B．【點評】本題主要考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理是解題的關鍵．3．（2024秋?江陰市期末）我國古代稱直角三角形為“勾股形”．如圖，數學家劉徽（約公元225年﹣公元295年）將勾股形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形．若a＝10，b＝2，則此勾股形的面積為（）A．28 B．30 C．32 D．36【考點】勾股定理；全等圖形．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】B【分析】設陰影部分的直角三角形的未知邊長為x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理可建立關于x的方程，利用整體代入的思想解決問題，進而可求出該三角形的面積．【解答】解：設陰影部分的直角三角形的未知邊長為x，則BC＝x+b，AC＝x+a，BA＝a+b，由勾股定理得（x+b）2+（a+b）2＝（x+a）2．∵a＝10，b＝2，（x+2）2+（10+2）2＝（x+10）2，解得：x＝3，∴AB＝3+2＝5，BC＝10+2＝12，∴△ABC的面積=12×12×5故選：B．【點評】本題考查了矩形的性質、勾股定理的應用和一元二次方程的應用，求出小正方形的邊長是解題的關鍵．4．（2024秋?新安縣期末）在△ABC中，a、b、c分別是三邊的長，下列說法：①∠B＝∠C﹣∠A；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：3；⑤a2：b2：c2＝1：2：3．其中，能判斷△ABC為直角三角形的條件有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5【考點】勾股定理的逆定理；三角形內角和定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】根據直角三角形的判定進行解答即可．【解答】解：①若∠B＝∠C﹣∠A，則∠B+∠A＝∠C，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，正確，符合題意；②若a2＝（b+c）（b﹣c），所以a2+c2＝b2，所以△ABC是直角三角形，正確，符合題意；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角為180°×④若a：b：c＝5：4：3，設a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0），則（3k）2+（4k）2＝（5k）2，則△ABC是直角三角形，正確，符合題意；⑤若a2：b2：c2＝1：2：3，a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形，正確，符合題意；故能判斷△ABC為直角三角形的條件有：①②④⑤．故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理及三角形內角和定理，熟知如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵．5．（2024秋?城關區期末）勾股定理被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中．如圖，所有四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面積分別為6，10，則正方形B的邊長是（）A．8 B．4 C．2 D．34【考點】勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】C【分析】本面積與正方形邊長的關系，以及各邊長之間的關系，據此即可求解．【解答】解：設三邊長分別為a，b，c，∴a2+b2＝c2，∴正方形A的面積+正方形B的面積＝正方形C的面積，正方形A、C的面積分別為6，10∴正方形B的面積是10﹣6＝4，∴正方形B的邊長是2，故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的背景圖，解題關鍵是掌握它們的面積與正方形邊長的關系，以及各邊長之間的關系，6．（2024秋?城關區校級期末）如圖，在底面周長約為6米的石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面盤繞2圈到達柱頂正上方（從點A到點C，B為AC的中點），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍至少為（）A．20米 B．25米 C．30米 D．15米【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；應用意識．【答案】A【分析】把圓柱體的側面展開后是長方形，每圈龍的長度與高度和圓柱的周長組成直角三角形，根據勾股定理求出每圈龍的長度，最后乘2即可得出結論．【解答】解：如圖，根據題意可知，底面周長約為6米，柱身高約16米，∴AB＝6，AE=12AD=12∴BE=AB∴雕刻在石柱上的巨龍至少為2×10＝20（米）．故選：A．【點評】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是能夠將圓柱體的側面展開，并分析出每圈龍的長度與高度和圓柱的周長組成直角三角形．7．（2024秋?萊西市期末）如圖，在4×4的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A．2 B．3 C．3 D．3【考點】勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】A【分析】先利用勾股定理求出AC的長，再利用等積法即可求出BD的長．【解答】解：根據勾股定理得：AC=32∵S△又∵S△∴12∴12∴BD＝2．故選：A．【點評】本題考查勾股定理與網格問題．熟練掌握勾股定理，以及等積法求線段的長度，是解題的關鍵．8．（2024秋?黃陂區期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝90°，BE＝AD＝4，∠BCD的平分線交AB于點E，若BC與CD的差為1，則AE的長為（）A．1 B．12 C．23 D【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；推理能力．【答案】A【分析】連接DE，過E作EH⊥CD于H，根據角平分線的性質得到BE＝EH＝4，求得EH＝AD，根據全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．【解答】解：連接DE，過E作EH⊥CD于H，∵CE平分∠BCD，∠B＝90°，∴BE＝EH＝4，∵BE＝AD，∴EH＝AD，在Rt△ADE與Rt△HED中，AD=∴Rt△ADE≌Rt△HED（HL），∴AE＝DH，在Rt△BCE與Rt△HCE中，BE=∴Rt△BCE≌Rt△HCE（HL），∴BC＝CH，∵BC與CD的差為1，∴BC﹣CD＝CH﹣CD＝DH＝1，∴AE＝DH＝1，故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．9．（2024秋?浙江期末）如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝6，以AC為邊向△ABC外作等邊三角形ACD，以BC為腰作等腰Rt△BCE，連結DE．若AC為a，BC為b，DE為c，則下列關系式成立的是（）A．ab+8＝c2 B．a2+b2＝2c2 C．a2+c2＝3b2 D．ab+36＝c2【考點】勾股定理；等邊三角形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】過點E作EG⊥DC交DC的延長線于點G，證明∠CEG＝30°，利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖，過點E作EG⊥DC交DC的延長線于點G，∵在Rt△ABC中，斜邊AB＝6，∴∠ACB＝90°，∵△ACD是等邊三角形，Rt△BCE是以BC為腰的等腰直角三角形，∴∠ACD＝60°，∠BCE＝90°，∴∠DCE＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，∴∠ECG＝180°﹣120°＝60°，∴∠CEG＝30°，∵CD＝AC＝a，CE＝BC＝b，DE＝c，∴CG=12CE=∴EG=3CG=3在Rt△DGE中，DG＝DC+CG＝a+12根據勾股定理得：DG2+EG2＝DE2，且AC2+BC2＝a2+b2＝AB2＝36，∴（a+12b）2+（32b）2＝化簡得，ab+36＝c2，故選：D．【點評】此題考查了勾股定理、等邊三角形的性質、等腰直角三角形的性質，熟記勾股定理、等邊三角形的性質、等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．10．（2024秋?錦江區期末）如圖，以點O為圓心，以OP的長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點A．若點A的坐標為（﹣52，0），P點的縱坐標為﹣1，則P點的坐標為（）A．（﹣7，﹣1） B．（7，﹣1） C．(-51，-【考點】勾股定理；兩點間的距離公式．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．【答案】A【分析】由點A的坐標為（﹣52，0），得到OA＝52，過P作PB⊥x軸于B，設P（m，﹣1），根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵點A的坐標為（﹣52，0），∴OA＝52，過P作PB⊥x軸于B，設P（m，﹣1），∴OB＝﹣m，PB＝1，∵OP＝OA＝52，∴OB=OP∴P（﹣7，﹣1），故選：A．【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）11．（2024秋?鄞州區期末）已知△ABC的周長為16，AB＝6，當AC的值為4或5或6時，△ABC是等腰三角形．【考點】勾股定理；等腰三角形的判定．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】4或5或6．【分析】根據等腰三角形的定義分三種情況討論，當BC＝6時，當AC＝6時，當AC＝BC＝5時，再結合三角形的三邊關系可得答案．【解答】解：已知△ABC的周長為16，AB＝6，∴AC+BC＝16﹣6＝10，△ABC是等腰三角形，分三種情況討論：當BC＝6時，則AC＝4，符合三角形的三邊關系；當AC＝6時，則BC＝4，符合三角形的三邊關系；當AC＝BC＝5時，符合三角形的三邊關系，綜上所述，當AC的值為4或5或6時，△ABC是等腰三角形．故答案為：4或5或6．【點評】本題考查勾股定理，等腰三角形的判定，熟練運用分類討論是解答本題的關鍵．12．（2024秋?南昌期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點P從點A出發，以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設運動時間為t秒（t＞0）．當點P運動到邊AB時，t為5或4.75或5.3秒時，△BCP為等腰三角形．【考點】勾股定理；等腰三角形的判定．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】5或4.75或5.3．【分析】先根據勾股定理求出AC＝4cm，再分BP＝BC＝3，PC＝PB，CP＝CB＝3三種情況分類討論，結合等腰三角形的性質即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC=AB2①如圖，當BP＝BC＝3時，△BCP為等腰三角形，∴AC+CB+BP＝4+3+3＝10cm，∴t＝10÷2＝5秒；②如圖，當PC＝PB時，△BCP為等腰三角形，∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠ACB+∠BCP＝90°，∴∠A＝∠ACB，∴AP＝PC，∴PC＝PB，∴PA＝PB=12AB＝2.5∴AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5cm，∴t＝9.5÷2＝4.75秒；③如圖，當CP＝CB＝3時，作CD⊥AB于D，則△ABC的面積=12×4×∴CD＝2.4，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=BC∴PB＝2BD＝3.6，∴CA+CB+BP＝4+3+3.6＝10.6（cm），∴t＝10.6÷2＝5.3秒．綜上所述，t為5秒或4.75秒或5.3秒時，△BCP為等腰三角形．故答案為：5或4.75或5.3．【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質與判定，直角三角形的性質等知識，熟知相關知識并注意等腰三角形的定義分類討論是解題關鍵．13．（2024秋?拱墅區期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°．∠BAC的平分線交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AD，交AC于點E，過點D作DF∥AB，交AC于點F．若AB＝4，AE＝6，則DC2＝72．【考點】勾股定理；等腰三角形的判定與性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】72．【分析】（1）過D作DG⊥AC于G，可證△ABD≌△AGD（HL），AB＝AG＝4，EG＝2，再通過△ADG∽△DGE，可得BD＝DG＝22，再根據△ABC∽△DGC可得AC=2DC【解答】解：過D作DG⊥AC于G，∵∠BAC的平分線交BC于點D，∴∠1＝∠2，DB＝DG，又∵AD＝AD，∴△ABD≌△AGD（HL），∴AB＝AG＝4，∴EG＝AE﹣AG＝2，∵DG⊥ACN，∴∠2+∠ADG＝90°，∴△ADG∽△DGE，∴AGDG=DG∴DG＝22，BD＝DG＝22，∵∠ABC＝∠DGC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DGC，∴DCAC=DG∴AC=2DC∴42+(2解得DC＝62或﹣22（舍去），∴DC2＝72．故答案為：72．【點評】本題考查勾股定理，正確進行計算是解題關鍵．14．（2024秋?嵩縣期末）如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地AB＝2.5米，當人體進入感應器的感應范圍內時，感應門就會自動打開．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（BC＝1.2米），感應門自動打開，則AD＝1.5米．【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】見試題解答內容【分析】過點D作DE⊥AB于點E，構造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的長度即可．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，則AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE故答案為：1.5．【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形，利用勾股定理求得線段AD的長度．15．（2024秋?平谷區期末）如圖，將有一邊重合的兩張直角三角形紙片放在數軸上，紙片上的點A對應的數是﹣3，AC＝BC＝BD＝1，若以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，與數軸交于點E，則點E表示的數為-3-【考點】勾股定理；實數與數軸．【答案】﹣3-3或﹣3+【分析】根據題意和勾股定理，可以分別求得AB和AD的長，再根據紙片上的點A對應的數是﹣3，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，與數軸交于點E，然后即可寫出點E表示的數．【解答】解：由題意可得，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AC＝BC＝BD＝1，∴AB=A∴AD=A∵以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，與數軸交于點E，∴點E表示的數為﹣3-3或﹣3+故答案為：﹣3-3或﹣3+【點評】本題考查勾股定理、實數與數軸，解答本題的關鍵是明確題意，求出AD的長．三．解答題（共8小題）16．（2024秋?云巖區期末）勞動教育是新時代教育體系中的重要組成部分．如圖，△ABC區域是云巖區某學校為勞動課開辟的勞動場地，小路AD將場地分為“水果培育”和“蔬菜種植”兩個部分，現用皮尺測量得到AB＝13m，AC＝15m，AD＝12m，BD＝5m．（1）請判斷小路AD是否與BC垂直，并說明理由；（2）求勞動場地△ABC的面積．【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識．【答案】（1）AD與BC垂直，理由見解析；（2）84m2．【分析】（1）由AD2+BD2＝AB2可推導出△ABD為直角三角形且∠ADB＝90°；從而推導出△ADC為直角三角形，于是得到結論（2）利用勾股定理計算得CD，從而完成求解．【解答】解：（1）AD與BC垂直，理由：∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD為直角三角形且∠ADB＝90°，∴AD與BC垂直；（2）∵AD⊥BC，∴AD2+CD2＝AC2，∴CD=AC2-∴S△ABC=12AD?BC=12AD×（∵BD+CD＝5+9＝14（m），∴S△ABC=12×12×14=84（【點評】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．求解的關鍵是熟練掌握勾股定理的性質，完成求解．17．（2024秋?鄞州區期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，AB＝2CD，點F是CE中點．（1）求證：∠DCE＝∠ADF；（2）若∠BAC＝90°，AE＝6，AC＝8，求DF的長．【考點】勾股定理；三角形的角平分線、中線和高．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）11．【分析】（1）連結DE，證明CD＝DE得DF⊥EC，然后根據余角的性質即可證明∠DCE＝∠ADF；（2）由勾股定理求出EC＝10，從而求出CF＝5，由直角三角形斜邊的中線得DE＝AE＝6，從而CD＝DE＝6，然后再利用勾股定理即可求出DF的長．【解答】（1）證明：連結DE，如圖，∵AD是BC邊上的高線，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵CE是AB邊上的中線，∴E是AB邊上的中點，∴AB＝2DE，∵AB＝2CD，∴CD＝DE，∵點F是CE中點，∴DF⊥EC，∴∠DFC＝90°，∴∠FDC+∠DCF＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠FDC+∠ADF＝90°，∴∠DCE＝∠ADF；（2）解：∵∠BAC＝90°，在直角三角形ACE中，由勾股定理得：EC=∵點F是CE中點，∴CF＝5，∵∠ADB＝90°，E是AB邊上的中點，∴DE＝AE＝6，∴CD＝DE＝6，∵∠DFC＝90°，在直角三角形CDF中，由勾股定理得：DF=【點評】本題考查了勾股定理，三角形的角平分線、中線和高，熟練運用勾股定理是解答本題的關鍵．18．（2024秋?正定縣期末）如圖，有一架秋千，當它靜止在AD的位置時，踏板離地的垂直高度DE為0.7m，將秋千AD往前推送4m（即BC為4m），到達AB的位置，此時，秋千的踏板離地的垂直高度BF為2.7m，秋千的繩索始終保持拉直的狀態．（1）求秋千的長度．（2）如果想要踏板離地的垂直高度為1.7m時，需要將秋千AD往前推送3m．【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識．【答案】（1）秋千的長度為5米；（2）3．【分析】（1）設AB＝x米，則AC＝（x﹣2）米，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程求解即可；（2）由題意得出AC的長，再根據勾股定理求出BC的長即可．【解答】解：（1）由題意知，DE＝0.7米，BF＝2.7米，CE＝BF＝2.7米，∴CD＝CE﹣DE＝2.7﹣0.7＝2（米），設AB＝x米，則AC＝（x﹣2）米，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝5，即秋千的長度為5米；（2）∵踏板離地的垂直高度BF為2.7米，∴CD＝1.7﹣0.7＝1（米）∴AC＝5﹣1＝4（米），∴BC=AB即需要將秋千AD往前推送3米，故答案為：3．【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟記勾股定理是解題的關鍵．19．（2024秋?萬州區期末）放風箏是清明節的節日習俗，寓意將煩惱和疾病隨著風箏一起放飛，此外，放風箏還是一項娛樂性運動，無論是與家人還是朋友一起放風箏，都能增進彼此之間的關系．某校八年級幾名同學在學習了“勾股定理”之后，想用此定理來測量風箏的垂直高度．如圖，牽線放風箏的同學站在A處，風箏在F處，先測得他抓線的地方與地面的距離AB為1.5米，然后測得他抓線的地方與風箏的水平距離BC為15米，最后根據手中剩余線的長度計算出風箏線BF的長為17米．（1）求此時風箏的垂直高度EF的長；（2）若放風箏的同學站在點A不動，風箏沿EF的方向繼續上升到D處，風箏線又放出了8米，請求出風箏沿EF方向上升的高度FD的長．【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識．【答案】（1）此時風箏的垂直高度EF的長為9.5米；（2）風箏沿EF方向上升的高度FD的長為12米．【分析】（1）根據矩形的判定定理得到四邊形ABCE是矩形，求得AB＝CE＝1.5米，根據勾股定理即可得到結論；（2）根據勾股定理得到CD=BD2-BC2=252-15【解答】解：（1）∵AB⊥AE，CE⊥AE，BC⊥DE，∴∠BAE＝∠AEC＝∠BCE＝90°，∴四邊形ABCE是矩形，∴AB＝CE＝1.5米，在Rt△BCF中，CF=BF∴EF＝CF+CE＝8+1.5＝9.5（米），答：此時風箏的垂直高度EF的長為9.5米；（2）在Rt△BCD中，BD＝17+8＝25（米），BC＝15米，∴CD=BD∴DF＝CD﹣CF＝20﹣8＝12（米），答：風箏沿EF方向上升的高度FD的長為12米．【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．20．（2024秋?九龍坡區校級期末）某“項目學習實驗”小組開展了測量本校旗桿高度的項目主題活動，他們制定了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量．測量數據如下表（不完整）：項目主題測量旗桿的高度成員組長：xxx，組員xx、xxx、xxx，材料準備皮尺、紙、筆等測量示意圖測量步驟如圖，線段AB表示學校旗桿，步驟一：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺測量多出的這段繩子的長度；步驟二：用手握繩梢在地面移動，從旗桿底部起，逐步遠離，直到繩子拉直，不能再移動時為止，用皮尺測量此時拉繩子的手到地面的距離CD的長度；步驟三：用皮尺測量C點與旗桿之間的距離CE的長度．測量數據繩子垂到地面，比旗桿多出一段的長度CD的長度CE的長度2米1米9米……任務一：請你幫助該小組根據表中的測量數據，求出學校旗桿AB高度；任務二：寫出你在活動中的收獲，反思或困惑．（寫出一條即可）【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識．【答案】任務一：13；任務二：見解析（答案不唯一）．【分析】任務一：設AB＝x米，則AE＝（x﹣1）米，AC＝（x+2）米，連同CE＝9米，代入AC2＝AE2+CE2，解方程即可得解；任務二：由于測量數據存在誤差，不知道哪一次測量誤差小，為了減小誤差，可以測多次，取幾次測量結果的平均值．【解答】解：任務一：設AB＝x米，則AE＝（x﹣1）米，AC＝（x+2）米，在Rt△ACE中，CE＝9米，由勾股定理得：AC2＝AE2+CE2，∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92，解得：x＝13，答：學校旗桿AB高度為13米；任務二：測量數據不準確，在測量過程中為了避免誤差太大，可以多次測量，取平均值作為最后的測量結果等（答案不唯一）．【點評】本題主要考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．21．（2024秋?貴陽期末）某教學樓走廊左右兩側是豎直的墻MD和NE（即MD⊥DE，NE⊥DE），一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墻MD時，梯子底端B到左墻的距離BD＝7dm，頂端A到地面的距離AD＝24dm．（圖中所有點均在同一平面內）（1）求梯子AB的長；（2）如果保持底端位置B不動，將梯子斜靠在右墻NE上時，若梯子頂端C距離地面的距離CE＝20dm，求該教學樓走廊的寬度DE的長．【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識．【答案】（1）梯子AB的長為25dm；（2）該教學樓走廊的寬度DE的長為22dm．【分析】（1）根據勾股定理求出梯子的長，進而可得出結論；（2）根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：（1）∵MD⊥DE，∴∠ADB＝90°，∴AB=AD2+答：梯子AB的長為25dm；（2）∵NE⊥DE，∴∠CEB＝90°，∴BE=BC2-∴DE＝BD+BE＝7+15＝22（dm），答：該教學樓走廊的寬度DE的長為22dm．【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．22．（2024秋?新吳區期末）在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分線．（1）如圖①，過點D作DG∥BC交AB于點G，求證：△GBD是等腰三角形．（2）如圖②，若AC＝8，BC＝6，求CD的長．【考點】勾股定理；角平分線的定義；平行線的性質；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）3．【分析】（1）先根據BD是△ABC的角平分線得出∠ABD＝∠DBC，再由DG∥BC得出∠DBC＝∠BDG，故可得出∠BDG＝∠ABD，據此得出結論；（2）先根據勾股定理求出AB的長，過點D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質得出CD＝DE，故可得出Rt△BCD≌Rt△BED，故BE＝BC＝6，設CD＝x，則AD＝8﹣x，DE＝x，AE＝AB﹣BE，再利用勾股定理求出x的值即可．【解答】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠DBC，∵DG∥BC，∴∠DBC＝∠BDG，∴∠BDG＝∠ABD，∴DG＝BG，即△GBD是等腰三角形；（2）解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=AC過點D作DE⊥AB于點E，∵BD是△ABC的角平分線．∴CD＝DE，在Rt△BCD與Rt△BED中，CD=∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝6，設CD＝x，則AD＝8﹣x，DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CD＝3．【點評】本題考查的是勾股定理，角平分線的定義，角平分線的性質，平行線的性質，全等三角形的判定與性質，熟知以上知識是解題的關鍵．23．（2024秋?二七區期末）2024年12月4日，我國傳統節日春節申遺成功．為慶祝這一喜訊，鄭州市新湖社區舉辦了名為“鄭好遇見，大美非遺”的創意文化市集，諸多非遺有關文化項目集中亮相．圖圖和涵涵在市集上買了一個年畫風箏，在試飛風箏過程中，他們想利用數學知識測量風箏的垂直高度．以下是他們測量高度的過程：①先測得放飛點與風箏的水平距離BD的長為8米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線AC的長為10米；③牽線放風箏的手離地面的距離AB為1.5米．已知A、B、C、D點在同一平面內．（1）求風箏離地面的垂直高度CD；（2）在測高的過程中涵涵提出了一個新的問題：在手中剩余線僅剩7.5米的情況下，若想要風箏沿射線DC方向再上升9米，BD長度不變，能否成功呢？請你幫助解決涵涵提出的問題．【考點】勾股定理的應用．【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識．【答案】（1）7.5（米）；（2）能成功，理由見解析．【分析】（1）過點A作AE⊥CD于點E，在Rt△AEC中，根據勾股定理即可求解；（2）假設能上升9m，作圖Rt△AEF，根據勾股定理可得AF＝15m，再根據題意，10+7.5＝17.5＜17即可求解．【解答】解：（1）如圖1所示，過點A作AE⊥CD于點E，則AE＝BD＝8米，AB＝CD＝1.5米，∠AEC＝90°，∴CE=AC∴CD＝CE+CD＝6+1.5＝7.5（米）；（2）能成功，理由如下：假設能上升9m，如圖所示，延長DC至點F，連接AF，則CF＝9米，∴EF＝CE+CF＝6+9＝15（米）．∴AF=AE∵AC＝10米，余線僅剩7.5米，∴10+7.5＝17.5＞17，∴能上升9m，即能成功．【點評】本題主要考查勾股定理的運用，解答本題的關鍵是作出輔助線，構造直角三角形解決問題．

考點卡片1．實數與數軸（1）實數與數軸上的點是一一對應關系．任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數．數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數．（2）在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數a的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離．（3）利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小．2．兩點間的距離公式兩點間的距離公式：設有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點間的距離為AB=(說明：求直角坐標系內任意兩點間的距離可直接套用此公式．3．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．（2）性質：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規作圖法等，要注意積累，多動手實踐．4．平行線的性質1、平行線性質定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．5．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點．6．三角形內角和定理（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．（3）三角形內角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．7．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．