專題10統(tǒng)計

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

1.高考對統(tǒng)計的考查，重點是以下考點2022?新高考n卷，19(1)

(1)分層隨機抽樣頻率分布直方圖、頻數(shù)分布表2023?新高考H卷,19(1)

(2)統(tǒng)計圖表2024?新高考n卷，4

(3)會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，獨立性檢驗2022?新高考I4,20(1)

會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).

(4)能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢

和總體離散程度.

(5)了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.數(shù)據(jù)的數(shù)字特征2023?新高考I卷，9

(6)理解一元線性回歸模型和2x2列

聯(lián)表，會運用這些方法解決簡單的實際

問題.

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷未考查統(tǒng)計相關(guān)內(nèi)容，II卷中考查了頻數(shù)分布表中數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的求法。統(tǒng)

計的考查應(yīng)關(guān)注：相關(guān)性、頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征、獨立性檢驗、回歸分析等。這些考驗的是

學(xué)生讀取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的能力。預(yù)計2025年高考還是主要考查頻率分布直方圖和數(shù)據(jù)的數(shù)字

特征，可以多留意方差的計算方法！

試題精講

一、單選題

1.(2024新高考II卷4)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產(chǎn)量(均在［900,1200)之間，單位：kg)并部分整理下表

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)612182410

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是()

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】C

【分析】計算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數(shù)，再計算比例即可判斷B；根據(jù)極差計

算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計算公式即可判斷D.

【詳解】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯誤；

對于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為愣盧=66%,故B錯誤；

對于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確；

對于D,由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在口050,1100)的頻數(shù)為100-(6+12+18+24+10)=30,

所以平均值為+x(6x925+12x975+18xl025+30><1075+24xll25+10xll75)=1067,故D錯誤.

故選；C.

近年真題精選

一、多選題

1.(2023新高考I卷-9)有一組樣本數(shù)據(jù)占,々，…，天，其中為是最小值，%是最大值，貝1J()

A.%，工3，匕，工5的平均數(shù)等于無1，馬,…％的平均數(shù)

B.無的中位數(shù)等于尤1，%，…，工6的中位數(shù)

C.%，X3，尤4，工5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于占，了2，，、工6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%，%，尤4，%的極差不大于占,尤2,…，彳6的極差

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：設(shè)%,后,%，%的平均數(shù)為加，占…的平均數(shù)為W，

貝再+X2+%+X4+無5+*6X2+*3+*4+尤52(占+4)?(彳5+*2+*3+”4)

"—64-12

因為沒有確定2(%+%)，三+/+&+%的大小關(guān)系，所以無法判斷犯〃的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得〃7=九=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,〃=2；

例如L2,2,2,2,2,可得機=2,"=丫；故A錯誤；

6

對于選項B：不妨設(shè)王<x2<x3<x4<x5<x6,

可知吃,當(dāng)，匕，%的中位數(shù)等于西，孫…，%的中位數(shù)均為玉產(chǎn)，故B正確；

對于選項C：因為看是最小值，犬6是最大值，

則x2,x3,x4,x5的波動性不大于%,馬,…％的波動性，即X2,X3,X4,三的標(biāo)準(zhǔn)差不大于網(wǎng),9，…，%的標(biāo)準(zhǔn)差,

例如：2,4,6,8,10,12,貝II平均數(shù)“=:（2+4+6+8+10+12）=7,

標(biāo)準(zhǔn)差S[=^1[（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2]=,

4,6,8,10,貝!|平均數(shù)m=；（4+6+8+10）=7,

2222

標(biāo)準(zhǔn)差52=J^-[（4-7）+（6-7）+（8-7）+（10-7）]=下,

顯然叵>^，即邑>修；故C錯誤；

3

對于選項D：不妨設(shè)國Wx2Vx3V尤44三V%，

則％-尤12尤5-馬，當(dāng)且僅當(dāng)外=尤2,尤5=%時，等號成立，故D正確；

故選：BD.

二、解答題

1.（2022新高考I卷20）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分

為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患

該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

n(ad-bcf

附K?=

(a+Z?)(c+d)(a+c)[b+d)

P&Nk)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）答案見解析

【分析】⑴由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出K?的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為

患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；（2）（i）根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；（ii）

根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求R.

n(ad-be)”200(40x90-60xlQ)2

【詳解】（1）由已知K?=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100，

又尸(K?26.635)=0.01,24>6,635,

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

2.（2022新高考II卷J9）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如

下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

【答案】（1）47.9歲；

【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；

【詳解】（1）平均年齡元=（5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002）x10=47.9（歲）.

3.（2023新高考H卷?19）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯

差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

賴率,組距留率,級距

C—0

^8

M6

4

O.

0.010

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為P（c）;誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為4（。）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率p（c）=0.5%時，求臨界值c和誤診率q（c）；

【答案】⑴c=97.5,#）=3.5%；

【分析】（1）根據(jù)題意由第一個圖可先求出％再根據(jù)第二個圖求出c297.5的矩形面積即可解出;

【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002＞0.5%,所以95＜。＜100,

所以（c-95）x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

必備知識速記

一、分層隨機抽樣

1、分層隨機抽樣的概念

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總

體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為

分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層.

2、分層隨機抽樣的平均數(shù)計算

在分層隨機抽樣中，以層數(shù)是2為例，如果第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為M和N,抽取的樣本量分

別為加和〃，第1層和第2層的樣本平均數(shù)分別為1樣本平均數(shù)位石，則

—TV/"—TV—m_AT—____

①=------%+-------y=-----%+-----y.我們可以采用樣本平均數(shù)3估計總體平均數(shù)W

M+NM+Nm+nm+n

二、樣本的數(shù)字特征

1、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.

(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均

數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平.

(3)平均數(shù)：n個樣本數(shù)據(jù)為樂…，%的平均數(shù)為I=吞*[…+I,反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變

n

形：Z%=nx.

1=1

2、標(biāo)準(zhǔn)差和方差

(1)標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是%,馬，…，二，x

表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差s=p[(X]-x)2+(x,-尤)？+…+(x“-x)2].

Vn

(2)方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即S2=匕(再一易2+(馬-■2+3+(%-5).顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)

n

的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.在解決實際問題時，多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

(3)數(shù)據(jù)特征

標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大；

標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.反之亦可由離散程度的大小推算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小.

三、頻率分布直方圖

1,頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法

喘頻后率x組距=頻率.

②樣頻端數(shù)攀量=頻率,窗頻數(shù)策=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數(shù).

③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于1.

2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.設(shè)中位數(shù)為x,利用x左(右)側(cè)矩形面積之和等

于0.5，即可求出x.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中

點的橫坐標(biāo)之和，即有嚏=占口+%口++xnPn,其中尤“為每個小長方形底邊的中點，p“為每個小長方形

的面積.

四、百分位數(shù)

1、定義

一組數(shù)據(jù)的第。百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少

有(100-/9)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

2、計算一組〃個數(shù)據(jù)的的第0百分位數(shù)的步驟

(1)按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

(2)計算i=p%.

(3)若i不是整數(shù)而大于i的比鄰整數(shù)j,則第2百分位數(shù)為第，項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第。百分位數(shù)為

第i項與第i+1項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3、四分位數(shù)

我們之前學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù).在實際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25

百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).

五、變量間的相關(guān)關(guān)系

1、變量之間的相關(guān)關(guān)系

當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性，則這兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系.由于相關(guān)

關(guān)系的不確定性，在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中，統(tǒng)計發(fā)揮著非常重要的作用.我們可以通過收集大

量的數(shù)據(jù)，在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，對它們的關(guān)系作出判斷.

注意：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是不同的，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而且

函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系.

2、散點圖

將樣本中的n個數(shù)據(jù)點(%,%)(力=1,2,…/)描在平面直角坐標(biāo)系中，所得圖形叫做散點圖.根據(jù)散點圖中點

的分布可以直觀地判斷兩個變量之間的關(guān)系.

(1)如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為

正相關(guān)，如圖(1)所示；

(2)如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為

負相關(guān)，如圖(2)所示.

(1)(2)

3、相關(guān)系數(shù)

若相應(yīng)于變量X的取值％,變量y的觀測值為則變量X與y的相關(guān)系數(shù)

_n__/__

x)(y-y)Z'M一"盯

r="----=,,二,通常用r來衡量尤與y之間的線性關(guān)系的強弱，r

_I

|n_n_|n9n2

但(%-x)2f(y-y)2住x\-nx但yt-ny

yt=i?=iVi=\Vi=i

的范圍為一1</<1?

（1）當(dāng)r>0時，表示兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，表示兩個變量負相關(guān).

（2）w越接近1,表示兩個變量的線性相關(guān)性越強；H越接近o,表示兩個變量間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)

系.當(dāng)|r|=l時，所有數(shù)據(jù)點都在一條直線上.

（3）通常當(dāng)討>0.75時，認為兩個變量具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.

六、線性回歸

1、線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數(shù)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）的方法.

對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（尤1，力），（X2，>2），（X,”如）,其回歸方程y=6無的求法

為

〃__M__

￡（七一x）（y-y）^x^-nxy

b3--------------=-----------

^x^-nx'

i=li=l

a=y-bx

其中，x=~y\xi,y=—￡%，（x,y）稱為樣本點的中心.

n,=in;=1

2、殘差分析

對于預(yù)報變量y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值,,通過回歸方程得到的y稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)

測值等于殘差，自稱為相應(yīng)于點（％,y）的殘差，即有&-=%-少.殘差是隨機誤差的估計結(jié)果，通過對殘差

的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.

（1）殘差圖

通過殘差分析，殘差點（如自）比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶

狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

（2）通過殘差平方和。=分析，如果殘差平方和越小，則說明選用的模型的擬合效果越好；反

i=l

之，不合適.

（3）相關(guān)指數(shù)

￡（y,-獷

用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：R2=T----.

f（一）2

1=1

心越接近于1,說明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

七、非線性回歸

解答非線性擬合問題，要先根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過換元將陌生的非線性回

歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即

可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預(yù)報預(yù)測，注意計算要細心，避免計算錯誤.

1、建立非線性回歸模型的基本步驟：

(1)確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預(yù)報變量；

(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(是否存在非線性關(guān)系)；

(3)由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次函

數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)模型等)；

(4)通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

(5)按照公式計算線性回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)，得到線性回歸方程；

(6)消去新元，得到非線性回歸方程；

(7)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

八、獨立性檢驗

1、分類變量和列聯(lián)表

(1)分類變量：

變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

(2)列聯(lián)表：

①定義：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.

②2x2列聯(lián)表.

一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的取值分別為｛玉，％｝和｛%，%｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為

2x2列聯(lián)表)為

%總計

aba+b

Cdc+d

總計a+cb+dn=a+b+c+d

從2x2列表中，依據(jù)，—與上的值可直觀得出結(jié)論：兩個變量是否有關(guān)系.

a+bc+d

2、等高條形圖

(1)等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)

表數(shù)據(jù)的頻率特征.

(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)，與相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系.

a+bc+d

3、獨立性檢驗

計算隨機變量/=----------------------利用/的取值推斷分類變量x和y是否獨立的方法稱為z2獨

(Q+b)(c+d){a+c)(b+d)

立性檢驗.

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【統(tǒng)計常用結(jié)論】

均數(shù)、方差的性質(zhì)：如果數(shù)據(jù)%,馬，……，當(dāng)?shù)钠骄鶖?shù)為捻，方差為『，那么

X

①一組新數(shù)據(jù)須+。,%2+4..n+人的平均數(shù)為％+人，方差是d.

②一組新數(shù)據(jù)叼，3,...,OXn的平均數(shù)為〃X,方差是

③一組新數(shù)據(jù)叫+b,ax2+b,..,axn+Z?的平均數(shù)為+b，方差是"一.

常見的非線性回歸模型

(1)指數(shù)函數(shù)型y=(Q>0且awl,c>0)

兩邊取自然對數(shù)，lny=ln3)即Iny=lnc+xlna,

令原方程變?yōu)閂=lnc+￡lna,然后按線性回歸模型求出Ina,Inc.

[x=x

(2)對數(shù)函數(shù)型y=/?lnx+a

令廠二:，原方程變?yōu)閥'—,然后按線性回歸模型求出b,a.

[x=lnx

(3)幕函數(shù)型y=ax"

n

兩邊取常用對數(shù)，lgy=lg(ax),BP1gy=nigx+Igaf

令0,=：gy，原方程變?yōu)閥'=Mx'+lga,然后按線性回歸模型求出"，Iga.

[X=Igx

(4)二次函數(shù)型y=6/+°

令R，原方程變?yōu)閥'=6x'+0,然后按線性回歸模型求出b,?.

[x=x

h

(5)反比例函數(shù)型y=a+±型

x

■y=y

令，1，原方程變?yōu)閥=Zzx'+a,然后按線性回歸模型求出b,a.

x=—

、X

名校模擬探源

一、單選題

1.（2024?河南?三模）已知某學(xué)校高三年級甲、乙、丙三個班級人數(shù)分別為40,30,50,學(xué)校計劃采用按

比例分配的分層隨機抽樣的方法在三個班級中評選優(yōu)秀學(xué)生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人，則

高三年級三個班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為（）

A.16B.30C.24D.18

【答案】C

【分析】利用分層隨機抽樣及已知，求出三個班級分配到的優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)即得.

【詳解】甲、乙、丙三個班級人數(shù)比為4:3:5,由分層隨機抽樣知，三個班級優(yōu)秀學(xué)生名額分別為8,6,

10,

所以高三年級三個班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為8+6+10=24人.

故選：C

2.（2024?山東?二模）某校高三共有200人參加體育測試，根據(jù)規(guī)則，82分以上的考生成績等級為A,則

估計獲得A的考生人數(shù)約為（）

T頻率/組距

0.030-------------1—1

0.025-----------------------

0.015------1-I—

0.010—1—

0.005---------------------------1

----V-I――I_?

°405060708090100分數(shù)

A.100B.75C.50D.25

【答案】C

【分析】首先計算出82分以上的考生的頻率，即可得獲得A的考生人數(shù).

QA_QO

【詳解】由頻率分布直方圖可得82分以上的考生的頻率約為0.025><10乂弁令+0.005*10=0.25,

所以獲得A的考生人數(shù)約為200x0.25=50人，

故選：C.

3.（2024?浙江紹興.三模）有一組樣本數(shù)據(jù)：2,3,3,3,4,4,5,5,6,6.則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)

字特征中，數(shù)值最大的為（）

A.第75百分位數(shù)B.平均數(shù)C.極差D.眾數(shù)

【答案】A

【分析】分別求出該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)、平均數(shù)、極差、眾數(shù)，比較大小，即可得到答案.

【詳解】計算第75百分位數(shù)：，=10*0.75=7.5,則取第8位數(shù)據(jù)，

即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為5；

平均數(shù)為2+3+3+3+4+4+S+5+6+6=4

極差為6-2=4；

眾數(shù)為3.

綜上，第75百分位數(shù)最大.

故選：A.

4.（2024.山西.三模）某次趣味運動會，設(shè)置了教師足球射門比賽:教師射門，學(xué)生守門.已知參與射門比賽

的教師有60名，進球數(shù)的平均值和方差分別是3和13,其中男教師進球數(shù)的平均值和方差分別是4和8,

女教師進球數(shù)的平均值為2,則女教師進球數(shù)的方差為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【分析】設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為上,根據(jù)總體的平均數(shù)求出左，設(shè)女教師進球數(shù)的方差為52,根

據(jù)方差公式計算可得.

【詳解】設(shè)參加射門比賽的男教師人數(shù)為上,則全部參賽教師進球數(shù)的平均數(shù)二+（6。-*2=3,

60

解得左=30,即參賽的男女教師各有30人，

設(shè)女教師進球數(shù)的方差為S2,

依題意可得13dx[8+（4-3）2]+善卜+（2—3）[,解得$2=16.

故選：B

5.（2024?四川涼山?三模）樣本數(shù)據(jù)內(nèi),尤2，,毛的平均數(shù)元=4,方差$2=1,則樣本數(shù)據(jù)2占+1,2X2+1,L,

2%+1的平均數(shù)，方差分別為（）

A.9,4B.9,2C.4,1D.2,1

【答案】A

【分析】由平均值、方差的性質(zhì)求新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.

【詳解】由元=4,得樣本數(shù)據(jù)2為+1,22尤+1,L,2%+1的平均數(shù)為戒+1=2*4+1=9，

由S2=1,得樣本數(shù)據(jù)2占+1,2%+1,L,2%+1的方差為4s2=4

故選：A

6.（2024.四川成都.三模）“數(shù)九”從每年“冬至”當(dāng)天開始計算，每九天為一個單位，冬至后的第81天，“數(shù)

九”結(jié)束，天氣就變得溫暖起來.如圖，以溫江國家基準(zhǔn)氣候站為代表記錄了2023—2024年從“一九”

到“九九”成都市的“平均氣溫”和“多年平均氣溫”（單位：C）,下列說法正確的是（）

數(shù)九寒天氣溫對比

■■平均氣溫=1多年平均氣溫單位：℃

一九二九三九四九五九六九七九八九九九

A.“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升

B.“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”低0.1"C

C.“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差

D.“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差

【答案】D

【分析】由圖表數(shù)據(jù)分析可判斷A,B；由方差的意義可判斷C；由極差的計算公式分析D.

【詳解】對于A,“八九”、“九九”的平均氣溫比“七九”的“平均氣溫”低，故A錯誤；

對于B,“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”高故B錯誤；

對于C,由圖表，“平均氣溫”的波動比“多年平均氣溫”的波動大，

則“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差大于“多年平均氣溫”的方差，故C錯誤；

對于D,“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差為：10.6-5.4=5.2,

“多年平均氣溫”的極差為10.7-5.3=5.4,

貝!1“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差，故D正確.

故選：D.

7.（2024?陜西?三模）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共

3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有

選錯的得。分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正

確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考

試中，小明同學(xué)三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了

一個選項，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】先對各題得分情況分別進行統(tǒng)計，再對總得分情況分析排序，根據(jù)中位數(shù)規(guī)定即可求得.

【詳解】由題意得小明同學(xué)第一題得6分：

第二題選了2個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；

第三題選了1個選項，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；

由于相同總分只記錄一次，因此小明的總得分情況有：

6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，所以中位數(shù)為弓-：口.

故選：C.

8.（2024?浙江?三模）在對某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個項目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨

機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15,10,由此估計樣

本的方差不可熊為（）

A.11B.13C.15D.17

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為"女生的平均數(shù)為7,總體的平均數(shù)為高，方差為d,

結(jié)合方差的公式，分析選項，即可求解.

【詳解】設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為"女生的平均數(shù)為亍，總體的平均數(shù)為京,方差為S2,

80120—2—3—

則w=-----------XH-------------工二兀十二）7，

80+12080+120

80120

s1[15+(x—iv)2]+[10+(y-w)2]

80+12080+120

2g__34——A_-

=-[15+--(x-y)2]+-[10+--(X-^)2]=12+—(X-)7)2>12,

結(jié)合選項，可得A項不符合.

故選:A.

9.（2024?安徽安慶?三模）已知一組數(shù)據(jù)占出2，，/的平均數(shù)為1，另一組數(shù)據(jù)，笫的平均數(shù)為

了伍彳了）.若數(shù)據(jù)X],%,,xm,yt,y2,，笫的平均數(shù)為2=位+（1—,其中g(shù)<a<l,則以〃的大小關(guān)系

為（）

A.m<nB.m>nC.m=nD.%，〃的大小關(guān)系不確定

【答案】B

【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義表示結(jié)合已知列等式，作差比較即可.

【詳解】由題意可知芯+々+L+4=w彳，+y2+L+yn=ny,

xx+x2++%機+%+%++%=（機+幾）三，于是欣+砂=（根+〃）區(qū),

又彳=友+（1-〃萬，所以西+方=（m+〃”=（帆+〃）[就+（1-4）7],

所以a=("?+〃)a,"=(m+”)(1-a),兩式相減得=

所以機>w.

故選：B

10.(2024?陜西榆林?三模)在一次數(shù)學(xué)模考中，從甲、乙兩個班各自抽出10個人的成績，甲班的十個人成

績分別為占*2、、/，乙班的十個人成績分別為％%，，%).假設(shè)這兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相同、方差也相同，則把

這20個數(shù)據(jù)合并后()

A.中位數(shù)一定不變,方差可能變大

B.中位數(shù)可能改變,方差可能變大

C.中位數(shù)一定不變,方差可能變小

D.中位數(shù)可能改變,方差可能變小

【答案】A

【分析】不妨設(shè)玉4％V2V〈X。，表達出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)相同得到

三4為<為</或％則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是上愛或者^中位數(shù)不變，再設(shè)第一

組數(shù)據(jù)的方差為平均數(shù)為元，第二組數(shù)據(jù)的方差為d,平均數(shù)為歹，根據(jù)公式得到合并后平均數(shù)為了，

方差為s'2,s/2=?+1(x-?)2+|(y-?)2>52,得到結(jié)論.

【詳解】不妨設(shè)為《馬<4,%，

則玉、々、…、%的中位數(shù)為區(qū)產(chǎn)，力為、加的中位數(shù)為甘1，

因為豆產(chǎn)=%；%,所以當(dāng)<%vy6V%或為vx5V尤6v乂，

則合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)是石產(chǎn)或者為產(chǎn)，所以中位數(shù)不變.

設(shè)第一組數(shù)據(jù)的方差為S?,平均數(shù)為無，第二組數(shù)據(jù)的方差為S2,平均數(shù)為少,

合并后總數(shù)為20,平均數(shù)為了，方差為s'2,

s'2=^1^{iop+(x-?)2]+iop+(y-?)2]}

=1p+(x-?)2]+|[52+(y-?)2]=52+1(x-?)2+|(y-?)2>52.

如果均值相同則方差不變，如果均值不同則方差變大.

故選:A.

二、多選題

11.(2024.全國?三模)在某次數(shù)學(xué)測試中，甲、乙兩個班的成績情況如下表:

班級人數(shù)平均分方差

甲45881

乙45902

記這兩個班的數(shù)學(xué)成績的總平均分為總總方差為則（）

A.x=88B.嚏=89C.s1=8.6D.6=2.5

【答案】BD

【分析】代入公式計算即可.

【詳解】依題意得4=g*88艱5x90=gg,2=|jx（［1+（88-89）2］）+|jx（［2+（90-89）2］）=2.5.

5

故選：BD.

12.（2024?廣東廣州?三模）在某次學(xué)科期末檢測后，從全部考生中選取100名考生的成績（百分制，均為

整數(shù)）分成［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100）五組后,得到如下圖的頻率分布直方圖，則（）

,頻率/組距

0.04------------

0.03------------------

0.02-----------------------

a-------------------------1

————1——>

o5060708090100成績（分）

A.圖中。的值為0.005B.低于70分的考生人數(shù)約為40人

C.考生成績的平均分約為73分D.估計考生成績第80百分位數(shù)為83分

【答案】AC

【分析】利用頻率分布直方圖逐項求解

【詳解】對于A,由（勿+0.02+0.03+0.04）+10=+解得。=0.005,故A對；

對于B,低于70分的考生人數(shù)約為（0.005+0.04）x10x100=45,故B錯；

對于C,考生成績的平均分約為

0.005x10x55+0.04x10x65+0.03x10x75+0.02x10x85+0.005x10x95=73，故C對；

對于D,成績落在［50,80）內(nèi)頻率為（0.005+0.04+0.03）x10=0.75,

落在［50,90）內(nèi)頻率為（0.005+0.04+0.03+0.02）x10=0.95,

故考生成績第80百分位數(shù)落在［80,90）,設(shè)為m,

由0.75+（“1—80）x0.02=0.8,解得m-82.5,

故考生成績第80百分位數(shù)為82.5分，故D錯誤；

故選：AC

13.（2024.河北?三模）根據(jù)中國報告大廳對2023年3月~10月全國太陽能發(fā)電量進行監(jiān)測統(tǒng)計，太陽能發(fā)

電量（單位：億千瓦時）月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：

月份3456

發(fā)電量/億千瓦時242.94230.87240.59259.33

月份78910

發(fā)電量/億千瓦時258.9269.19246.06244.31

關(guān)于2023年3月~10月全國太陽能發(fā)電量，下列四種說法正確的是（）

A.中位數(shù)是259.115B.極差是38.32

C.第85百分位數(shù)是259.33D.第25百分位數(shù)是240.59

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)，極差，百分位數(shù)的定義，代入計算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】將數(shù)據(jù)從小至U大排序可得230.87,240.59,242.94,244.31,246.06,258.9,259.33,269.19,共8個數(shù)據(jù),

所以中位數(shù)是-------------=245.185,故A錯誤；

極差是269.19-230.87=38.32,故B正確；

因為8x0.85=6.8,所以第85百分位數(shù)是第7個數(shù)，即259.33,故C正確；

因為8x0.25=2,所以第25百分位數(shù)是包240丁59+絲242絲94=241.765,故D錯誤；

故選:BC

14.（2024?廣東汕頭?三模）下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（）

A.樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差

B.樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)

C.樣本乙的方差一定小于樣本甲的方差

D.樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)分布的最小值和最大值判斷A；根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)的概念，并結(jié)合圖象判斷BCD.

【詳解】對于A,甲的數(shù)據(jù)介于［1.5,7.5］之間，極差小于或等于6；乙的數(shù)據(jù)分布于［2.5,8.5］,極差小于或等

于6；從而甲和乙的極差可能相等，A錯誤；

對于B,根據(jù)頻率分布直方圖可知，甲的眾數(shù)介于［2.5,5.5）之間，乙的眾數(shù)介于（5.5,6.5］,乙的眾數(shù)大于甲的

眾數(shù)，B正確；

對于C,甲的數(shù)據(jù)比較分散，乙的數(shù)據(jù)比較集中，因此乙的方差小于甲的方差，C正確；

對于D,甲的各組頻率依次為：0.15,0.20,0.20,0.20,0.15,0.10,其中位數(shù)位于[3.5,4.5）之間，

乙的各組頻率依次為：0.05,0.10,0.15,0.35,0.20,0.15,其中位數(shù)位于[5.5,6.5）之間，

所以甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù)，D正確.

故選：BCD

15.（2024.黑龍江?三模）在某市初三年級舉行的一次體育考試中（滿分100分），所有考生成績均在[50,100]

內(nèi)，按照[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成五組，甲、乙兩班考生的成績占比如圖所示，則

下列說法錯誤的是（）

60.00%--------------------------------------------------

50.00%------------------------------r-----------------

40.00%-----------------、、、、---------

30.00%--------/---------/V--------\----------

20.00%——/-------/-------V--------

10.00%—//-----------\——

0.00%-------------------------------------——

[50,60）[60,70）[70,80）[80,90）[90,100]

—甲班成績占比乙班成績占比

A,成績在[70,80）的考生中，甲班人數(shù)多于乙班人數(shù)

B.甲班成績在[80,90）內(nèi)人數(shù)最多

C.乙班成績在[70,80）內(nèi)人數(shù)最多

D.甲班成績的極差比乙班成績的極差小

【答案】ACD

【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖逐個分析判斷即可.

【詳解】對于A,由圖知，每一組中的成績占比都是以各自班級的總?cè)藬?shù)為基數(shù)的，

所以每一組中的甲班、乙班人數(shù)不能從所占的百分比來判斷，故A錯誤；

對于BC,由圖可知甲班成績主要集中在[80,90）,乙班成績主要集中在[60,70）,B正確，C錯誤；

對于D,由圖可知甲班成績的極差和乙班成績的極差的大小無法確定，故D錯誤.

故選：ACD

三、解答題

16.（2024?青海海南?二模）某青少年跳水隊共有100人，在強化訓(xùn)練前、后，教練組對他們進行了成績測

試，分別得到如圖1所示的強化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.

頻率頻率

組距組巨

。o32

O28

2

1

0

2

2

O

.O

S

1

9

6

O1

.O

.........r—

0.006

1-

4—

0.00