四川省2025屆高三上學(xué)期（新高考二卷地區(qū)）

第一次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題

本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡

上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

單選題

1.已知集合4={%|%2+3%：0},集合3={〃|〃=24+1,左eZ},則=

A.{-1,1}B.{1,3}

C.{-3,-1}D.{-3,-1,1,3}

【答案】C

【解析】依題意A=[—3,0],其中的奇數(shù)為{-3,-1},故選C.

2.已知等差數(shù)列{%}的公差為2,若％，a3,%成等比數(shù)列，則出等于（）

A.9B.3C.-3D.-6

【答案】D

【解析】依題意，等差數(shù)列{屐}的公差d=2,

由于4,%,々4成等比數(shù)列，

所以=%?%，(4+2J)2=4(4+3d),(q+4)2=4(弓+6),

解得4二-8,所以〃2=4+"=-6.

故選：D

3.方程4cos2工-48(\)5%+3=0的解集是()

A.x=E+(-1)*?￡,左ez}B,x=E+-5,左eZ

［兀］兀］

C.<x\x=2kn+—,keZ>D.<X\X=2kn+—,k^Z>

I6II3I

【答案】c

【解析】原方程可化為（2cos%—指）2=0,即cosX='，...X=2左"土工，左eZ.

26

故選：C.

4.已知平面上四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D，其中任意三個(gè)不共線(xiàn).若初.詬=萬(wàn)，則直線(xiàn)AD

一定經(jīng)過(guò)三角形A5C的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】D

【解析】因?yàn)槎?市5=無(wú)亍.A方，

所以麗.亞=（9―?亞=松?亞一元.正=0,

所以ADLCB,即直線(xiàn)AQ一定經(jīng)過(guò)三角形A5C的5C邊上的高，即直線(xiàn)AD一定經(jīng)過(guò)

三角形ABC的垂心.

故選：D.

5.已知橢圓廣：++,=1（。2>042>0,。2//）過(guò)點(diǎn)（1,1）,其右頂點(diǎn)A,上頂點(diǎn)8.那

么以下說(shuō)法正確的是（）

A.設(shè)。是半焦距。到「其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離，那么必然有，

B.0到直線(xiàn)AB的距離d0_AB不是定值

3

C.「和/+,2+孫=:沒(méi)有交點(diǎn)

4

D.三角形面積的取值范圍是［1,+8）

【答案】C

22

【解析】因?yàn)闄E圓*=>042〉0*2/加）過(guò)點(diǎn)（1,1）,

所以\+染=1,不妨設(shè)。>0,b>0,那么A（a,o）,B（Q,b）,

A,注意到當(dāng)6=3的時(shí)候。=還<2,但是c=病工=孑叵>2,從而A錯(cuò)誤

44

B,直線(xiàn)A5是2+；—1=0,計(jì)算"。一股______=_=1

n—ri,B錯(cuò)誤.

ab

c,1x+楙］=|(l-/)>0,從而有VVI,同理fwi.

3

顯然曲線(xiàn)V+y2+盯==在直線(xiàn)x=±l,y=±l所圍成的矩形內(nèi)，

4

22

橢圓「：1+%=1(/〉0力2〉0,。2在直線(xiàn)X=±a,y=±》所圍成的矩形內(nèi)，

由'r+±=l=a>l,8>l，顯然橢圓和JT沒(méi)有交點(diǎn).C正確?

ab

D,因?yàn)閍wb,所以一r+yr>一r,從而5=二">1,D錯(cuò)誤

a-b-ab2

故選：C

6.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+0.2i,M，=Z8.那么如下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

A.|vt^<1.16B.W在第二象限

C.若/(x)=(5x—4『，那么/(z)=2iD.『w小

w

【答案】A

【解析】A,注意到M=|z「=A/12+0.228-1.044>1+0.04X4=1.16,

令/(元)=(1+無(wú))4—1—4x且0<X<1,則/'(x)=4(l+x)3—4>0,

所以了(%)在(0,1)上遞增,故〃x)>〃0)=0,

則(1+無(wú))>1+4%,故1.04,>1+0.04x4得證，從而A錯(cuò)誤

B,注意到z?=0.96+04,z4=(z2)2=0.7616+0.7681,

設(shè)z4=a+ai+Z?i,o-=0.7616,a+Z?=0.768

則z8=2a~i—+2,cibi—2ab=—b~—2ab+(2a~+Zab)i,

a>0,6>0,從而在第二象限.B正確.

C,代入就發(fā)現(xiàn)了(z)=(l+i)2=2i,從而C正確

_1

w------11ii16

D,化簡(jiǎn)就是一里=1-—二=1-F=1------而后者是，，從而兩個(gè)都是有理

wWW時(shí)(忖2)1.04

數(shù)，差也是有理數(shù).從而D正確.

故選：A

7.設(shè)拋物線(xiàn)C：x2=2py（2>0）的焦點(diǎn)為方，點(diǎn)N（疝%）（%>夕）是。上

一點(diǎn).已知以N為圓心的圓與X軸相切，與線(xiàn)段NE相交于點(diǎn)A,NA=2AF,則。的

準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）

A.y=--B.y=_2

2,2

C.y=-lD.y=-2

【答案】B

【解析】由已知，點(diǎn)N（疝％）在拋物線(xiàn)上，則6=2p%,即p%=3①，其中為>§

如圖所示，過(guò)N作直線(xiàn)>的垂線(xiàn)，S為垂足，且與X軸交于H，

易知，|/￡V|=2|Z)H|=P，故6=2pt得p=幣,

拋物線(xiàn)。的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：y=—4=—且

22

故選：B.

8.數(shù)列是密碼設(shè)置的常用手段，幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟

件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟

件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列0,2,4,6,8,11,14,17,20,23,

27,31,35,39,43……其中第1至5項(xiàng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，第5至10項(xiàng)構(gòu)成公差

為3的等差數(shù)列，第10至15項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，依此類(lèi)推，求滿(mǎn)足如下條件的

最小整數(shù)N,N>66且該數(shù)列的第N項(xiàng)為2的整數(shù)嘉減1,那么該款軟件的激活碼是

（）

A.87B.94C.101D.108

【答案】B

【解析】由題意可知：%=8

Q]0=%+5X3=8+5X3,

?15=?10+5x4=815x3+5x4,

=45+5x5=8+5x3+5x4+5x5

a5n=8+5x3+5x4+5x5+-?+5(〃+1),〃22

土，/、5(n+4)(n-l)

所以％“=8+5(3+4+5+，..+〃+W—,一^+8

所以當(dāng)"=17時(shí)，a85=848,此時(shí)后5項(xiàng)和848構(gòu)成公差為19的等差數(shù)列,

所以。87=848+38=886=29+374=2"—138,不符合題意；

當(dāng)〃=18時(shí)，a90=943,此時(shí)后5項(xiàng)和943構(gòu)成公差為20的等差數(shù)列,

所以%4=943+80=1023=2i°—l,符合題意,

當(dāng)〃=20時(shí)，400=1148,此時(shí)后5項(xiàng)和1148構(gòu)成公差為22的等差數(shù)歹U,

所以qoi=1148+22=1170=210+146=211-878,不符合題意，

當(dāng)"=21時(shí)，<2105=1258,此時(shí)此時(shí)后5項(xiàng)和1258構(gòu)成公差為23的等差數(shù)列,

所以q08=1258+69=1327=210+303=211-721,不符合題意,

故選：B

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全得部分分，有選錯(cuò)得0分.

9.VA3C中，角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,下列結(jié)論中正確的是()

A.?2+Z?2+c2<l{ab+bc+ca)

C.若以3+)3=03,則VA3C為銳角三角形

D.若。，b,c均為有理數(shù)，則cos(A—5)為有理數(shù)

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,由于a—bvcS—cva,a—cvb,

平方可得/+Z?2—2bc<c2,b2+c2—2bc<a2,a2+c2—2ac<b1,

相加化簡(jiǎn)可得a。+Z?2+c2<1^ab+bc+ca),故A正確,

nhc

對(duì)于B,取。=b=c,則一^,——，——能構(gòu)成三角形，B錯(cuò)誤,

1+a\+b1+c

對(duì)于C,由以3+)3=c3可知c>a,c>6,故。為最大的內(nèi)角，

a2c+b2c-c3a^c+b-c-ai-b3_a2(c-a)+Z?2(c-Z?)

貝1a2+b2-c2-----------------=--------------------〉(J，

ccc

故。為銳角，進(jìn)而可得VA3C為銳角三角形，C正確，

對(duì)于D,若Q,b,。均為有理數(shù)，則仇均為有理數(shù),

22_72

則cosB=^_j二匕為有理數(shù)，不妨設(shè)A>8,延長(zhǎng)R4到。，使得/D=/B，

lac

過(guò)。作CELAB,故NOC4=NA—N5,

由于AD=2BE—AB=2BC-cos6—AB=2。cos5—c,

故AD為有理數(shù)，所以9,AC=48=以均為有理數(shù),

CD?+402-^1)2

因此cos(A-8)=cosNDCA=為有理數(shù),

2CDAC

故選：ACD

10.已知曲線(xiàn)C上的點(diǎn)。(%y)滿(mǎn)足方程x|x—l|+y|y—1|=0,則下列結(jié)論中正確的是

()

A.當(dāng)xe[—l,2]時(shí)，曲線(xiàn)o的長(zhǎng)度為2萬(wàn)+與

B.當(dāng)xe[—l,2]時(shí)，上二I的最大值為1,最小值為一；

X十乙乙

JI1

c.曲線(xiàn)。與x軸、y軸所圍成的封閉圖形的面積和為巴-士

42

D.若平行于x軸的直線(xiàn)與曲線(xiàn)。交于A,B,。三個(gè)不同的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為巧,

、

…<3短

/，元3，則為+42+*3的取值氾圍是2,--1----

<22.

7

【答案】ACD

【解析】對(duì)于方程區(qū)卜―l|+y|y—1|=0,

①當(dāng)X<1,時(shí)，方程變?yōu)椋ァ猣+y—y2=0,即卜;—g]+[>—g]表示

半圓弧E0產(chǎn)；

②當(dāng)x>],yvl時(shí)，方程變?yōu)閤?-x+y-丁=0o[x—；]—g]，

即x+y=l,表示射線(xiàn)nN；

③當(dāng)x>l,>>1時(shí)，方程變?yōu)槿?x+y?-y=0o[x—g]=；,該圓不

在x>l,y>l范圍內(nèi)，故舍去；

④當(dāng)x<l,y>l時(shí)，方程變?yōu)閤-x?+y?-y=0o[x—g]=['—g]，

即尤+y=l,表示射線(xiàn)加.

綜上可知，曲線(xiàn)。由三段構(gòu)成：射線(xiàn)EM，半圓弧E0/和射線(xiàn)EN.

對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)xe[—1,2]時(shí)，曲線(xiàn)。由三段構(gòu)成：線(xiàn)段加，半圓弧E0/和線(xiàn)段wN.

其長(zhǎng)度為逝+叵+0=2血+叵，故A正確；

22

對(duì)于選項(xiàng)B,令左=2口，其表示曲線(xiàn)。上的動(dòng)點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)玖-2,1)連線(xiàn)的斜率，由

x+2

,72-1,

圖可知，*=kPM==1,但是其最小值是過(guò)點(diǎn)尸(-2,1)且與半圓弧EOF相

71(—1)T1

切的切線(xiàn)斜率，顯然，k而°<kpN=；：二=一彳,故B錯(cuò)誤；

2—(—2)2

對(duì)于選項(xiàng)c,由圖可知，曲線(xiàn)。與，軸、y軸圍成的封閉圖形為兩個(gè)相同的弓形，其面積

m上cii,i萬(wàn)

和為2x--n----—'I'—=:一彳，故C正確；

4(212242

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)平行于x軸的直線(xiàn)為y=加，要使丁=加與曲線(xiàn)。有三個(gè)交點(diǎn)，

11&八]、、__

則/ne———,0,不妨設(shè)y-加與半圓弧E0/?的交點(diǎn)為A,B,顯然，A,B兩點(diǎn)橫坐

(22J

標(biāo)之和為+%2=1，丁=加與射線(xiàn)爾的交點(diǎn)為。，則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)

1r172^r35]

工3=1一機(jī)￡L---1------，所以石+%2+工3E2,-----1-----,故D正確.

\7\7

故選：ACD.

M(T,2)4

一:p(l,l)

尸「2,1)

D'、好

y=mo

11.在三棱錐A—5co中，BD±AC,BD=2AC=4,且——=—=2,貝U()

A.當(dāng)AACD為等邊三角形時(shí)，AB±CD,AD1BC

B.當(dāng)4。1班，CD1BD時(shí)，平面A5Q1平面BCD

△ABD的周長(zhǎng)等于△BCD的周長(zhǎng)

D.三棱錐A—5co體積最大為

9

【答案】ACD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：分別取AB,BC,CD,AZ>,3。的中點(diǎn)區(qū)F,H,G,M,

連接EF,FH,GH,EG,EM,FM,HM,GM,EH,GF,

可知：EF//AC//GH,EG//BD//FH,

且EF=GH」AC=1,EG=FH」BD=2,

—22

因BDLAC,可知EfHG為矩形，可得EH=GF=4i，

若AACD為等邊三角形，則AC=AD=CD=2,

因?yàn)榭铡?0=2,則AB=CB=4,

ADCD

又因?yàn)闉閷?duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則￡^〃4。,“0〃3。,瓦0=1,加巨=2,

^EM2+MH-=EH2,EMMH,所以ADLBC,

同理可證：ABLCD,故A正確；

4g

對(duì)于選項(xiàng)B：若A015D，-=2,50=4,

可得==

3

同理可得3c=2CD=—，

3

且AC=4,則AD?+CEPAAC?,可知AD與CD不相互垂直，

反證：假設(shè)平面A5Q1平面BCD,

則存在直線(xiàn)Zu平面ABQ，使得/，平面5。），

由3￡>,C￡>u平面BCD,可得/，RD,/，CD,

因?yàn)?,ADu平面AB。，且可知/〃AD,所以ADLCD,

這與AD與CD不相互垂直相矛盾，所以假設(shè)不成立，故B錯(cuò)誤；

如圖，以的中點(diǎn)M建立空間直角坐標(biāo)系，則5（2,0,0）,0（—2,0,0）,

若PB=2PD，設(shè)P（x,y,z）,則J（x—2『+y2+z2=2“X+2『+『十%2,

整理得[+引+y2+z2=^,即點(diǎn)P（%,y,z）到定點(diǎn)0]*,0,0｝勺距離為|,

所以點(diǎn)AC均在以點(diǎn)0-?,0,0為球心，半徑為《的球面上（不與反O共線(xiàn)），

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?D，AC,則AC在與直徑44垂直的圓面01上,

因?yàn)椤?A=QC,且3。=B01,B011A。1,B011CO.,

可知癡=5。，且絲=0=2,則A￡）=CD,

ADCD

即8A+AD+BD=BC+CD+BD,

所以△A6。的周長(zhǎng)等于△BCD的周長(zhǎng)，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：取AC的中點(diǎn)N,連接。iN,ON,OA,

64

可得0陰=-AN2=-0,02-l=,

9

所以三棱錐A—5CD體積匕<0=%_AQC=g3a'“QC-DO{-S^C

BDS

=^AAOIC=；X4X；X2X

當(dāng)且僅當(dāng)。1。=0時(shí)，等號(hào)成立,

所以三棱錐A-5CD體積最大為生位，故D正確;

9

故選：ACD

三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿(mǎn)分15分.

12.二項(xiàng)式(3-2x)6中展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)為

【答案】-4320

【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為=C[?36f.(―2口=晨?361(—2)'了,

令r=3,所以n=C：?33?(—2)3%3=—4320%,

所以二項(xiàng)式(3-2x)6中展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為T(mén)320.

故答案為：-4320.

13.四面體A3CD體積為6,ABLBC,BCLCD,AB=BC=CD=20,則異面

直線(xiàn)AQ與3C的夾角為

【答案】京峙

【解析】由題意，BC±CD,AB=BC=CD=2A/3

以。為原點(diǎn)，以8,C方所在直線(xiàn)為％,Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),0(28,0,0),B(0,0,273),

又設(shè)人卜,％20)，

AB2=x2+y2=12

則Q11rr..，解得x=±A/3,y=±3,

V=-x-x2V3x2A/3|y|=6

此時(shí)而=(20—x,_y,—26)，BC=(0,0,-2A/3),

因此益?豆亍=12,I阮I(lǐng)=20,

+12=536-4岳

貝I]M=46或2",

則c°s（3就或浮

所以異面直線(xiàn)AD與BC的夾角為7二T或j7T.

43

故答案為：丁或丁.

43

14.從1,2,2024中任取兩數(shù)。，b（可以相同），則3。+7”個(gè)位為8的概率為

3

【答案除

【解析】從1,2,2024中任取兩數(shù)°,6（可以相同），共有2024x2024種取法，

因?yàn)?a的個(gè)位數(shù)字隨著。從1開(kāi)始，依次是3,9,7,1,3…，周期變化，

7〃的個(gè)位數(shù)字隨著。從1開(kāi)始，則依次是7,9,3,1,7,..,周期變化，

故它們的周期均為4，

所以，1~2024中，共有4左+1,4左+2,4左+3,4左+4（04左（505,左eN）4種數(shù)型,

且每種數(shù)型的個(gè)數(shù)是均等的，都是506個(gè)，

3"和7〃的尾數(shù)中只有9+9,7+1,1+7三種情形中個(gè)位數(shù)字是8，

即。=4左+2,6=4/+2；a=4左+3,7?=4/+4；a=4左+4,6=4/+1時(shí)，y+7*的個(gè)位數(shù)

字是8,（0<^<505,^eN；0</<505,/eN）,

所以滿(mǎn)足3。+7&的個(gè)位數(shù)字是8的取法有506x506x3種取法，

匚一，近#?5一506x506x33

所以所求概率為“c,=77

2024x202416

3

即3。+7〃個(gè)位為8的概率為7?

16

3

故答案為：—

16

四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程及步驟.

15.某品牌汽車(chē)制造廠引進(jìn)了一條小型家用汽車(chē)裝配流水線(xiàn)，本年度第一季度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下

表

月份1月2月3月

小型汽車(chē)數(shù)量X（輛）306080

創(chuàng)造的收益y（元）480060004800

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列三個(gè)函數(shù)模型中：①y=+②,:^^+匕X+5③

》=廢+匕選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型描述這條流水線(xiàn)生產(chǎn)的小型汽車(chē)數(shù)量X（輛）與創(chuàng)造的

收益y（元）之間的關(guān)系，并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；

（2）利用上述你選取的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算，若這家工廠希望在一周內(nèi)利用這條流水線(xiàn)創(chuàng)收

6020元以上，那么它在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)多少輛小型汽車(chē)？

解：（1）選取②y=以？+/zx+c,

由題表可知，隨著”的增大，y的值先增大后減小，

而函數(shù)y=qx+人及y=a"+b均為單調(diào)函數(shù)，故不符合題意,

所以選取②y=ax2+/zx+c,

W（30,4800）,（60,6000）,（80,4800）三點(diǎn)分另U代入函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,

可得二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為X=至F=55,故可將函數(shù)解析式設(shè)為y=tz（x-55）2+A，

52a+A=6000a——2

即得到<,解出《

252a+71=4800〃二6050

y=-2(%-55)~+6050=-2%?+220%=ax^+bx+c,

a=—2，b=220,c=0；

(2)設(shè)在一周內(nèi)大約應(yīng)生產(chǎn)工輛小型汽車(chē)，根據(jù)題意，可得-2/+220無(wú)>6020,

即一2X2+220x-6020>0,W%2-110%+3010<0，

因?yàn)椤?11()2—4x3010=60>0,

所以方程無(wú)2—no龍+2800=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根石=55-715，/=55+715,

由二次函數(shù)y=110%+3010的圖象可知不等式的解為55-后<%<55+而.

因?yàn)?只能取整數(shù)值，所以當(dāng)這條流水線(xiàn)在一周內(nèi)生產(chǎn)的小型汽車(chē)數(shù)量53WxW58且xeN

之間時(shí)，

這家工廠能夠獲得6020元以上的收益.

16.己知數(shù)列｛屐｝滿(mǎn)足Q=：,%—4+i—a“4+i=0.

(1)求｛紇｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列也｝滿(mǎn)足，b\=^b2n~b2n-l=b2n+l~b2n=~~,求證：++"'+T~<7-

a

n“2“4”2〃4

(1)解：由〃〃一〃“+i—。及〃〃+1=o知，若以〃+i=。,則。"二0,若?！?0,則.

又生/0,所以HO.

c11,C11

由°”一屐+1_為例+1=0，可得----------1=0即--------=15(常數(shù))，

%+1%為+1an

故二是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，所以一=2+("-1)="+1.

(2)證明：由&一氏.1=」-得%一瓦_(dá)1=〃+1,①

an

由白"+i一氏=—=〃+1得b2n_x-b2n_2=n(n>2),②

an

①+②可得&一&_2=2"+1(“?2).

,,1。

當(dāng)〃=1時(shí)，a一4=—=2,則2=3.

q

所以處-匕2=(A-匕2)+(4-4)+(46)+…+僅2"-&-2)

=(2x2+l)+(2x3+l)+(2x4+l)+…+(2〃+l)=2x(2+3+4+…+〃)+(〃-1)

2乂（2+?。ā?）+（〃一i）=（〃+3血

所以&=^2+(?+3)(?-1)=n(n+2)(n>2),

當(dāng)八=1時(shí)，2=3也滿(mǎn)足上式，所以％”=〃（〃+2）.

由上可知,,〃eN*,

n(n+2)2n〃+2

%b4比"2(132435nn+2)2(2n+1n+2j4

1113

即一+—+???+一<-.

b2%b2n4

17.如圖所示，正方形ABC。所在平面與梯形ABNN所在平面垂直，MB//AN,

NA=AB=2,BM=4，CN=2y/3-

/

AN

（1）證明：平面ABC。；

（2）在線(xiàn)段CM（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BN-M的余弦值為

昱,若存在求出的必值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

3EM

（1）證明：正方形ABCD中，BC±AB,

:平面ABCD_1_平面,平面ABCDPl平面AB腦V=A5，BCu平面ABCD,

平面ABACV,又平面ABACV,BC1BN,

又BC=AB=2,CN=2-73，,BN=JCN。-BC2=272,

又,：AB=AN=2,：.BN2=AB2+AN2,：.ANLAB,

又MB〃AN,，BMLAB，

又3。口胡=3,6c3Au平面ABC。，曲/,平面ABC。.

（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)石，滿(mǎn)足題意，

由（1）知，曲/_1_平面ABCD，BC±AB,

故以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BM,8C所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

Zl

D

則5（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,0,2）,D（2,O,2）,N（2,2,0）,M（0,4,0）,

設(shè)點(diǎn)E（x,y,z）,CE=20/（0<2<1）,/.（x,y,z-2）=2（0,4,-2）,

x=0

/.<y=4A,E（0,42,2-22）,BN=（2,2,0）,BE=（0,42,2-22）,

z=2—22

BN-m=2x+2y=0

設(shè)平面BEN的法向量為昨(”z),???琉*4?(2?)z=0'

.22.一（22

々x=l,,,y=—1,z=,??m=1,-1,--

1-2、1—4

由(1)知平面5MN的法向量為配=(O,0,2),

|22|731

即8R+4萬(wàn)丁方

即126R=16幾2—42+2,即342+24—1=0,解得2=；或2=—1(舍去),

—?1___.CE1

所以存在一點(diǎn)石，使得CE=§CM,即俞=].

18.設(shè)/?(無(wú)內(nèi)

(1)若。=0,求/(%)的單調(diào)區(qū)間.

(2)討論/(%)的零點(diǎn)數(shù)量.

解：⑴當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=e?-\/,(x)=(3x2-l)e?-x.

注意到e『r>0,從而廣(％)的正負(fù)只和(3k-1)有關(guān)，從而可作出下表：

f_V33]

f田Y石〕

[—00,-3-----J---------,+oo

33'3V

\7、3)

N)4-0——0+

2旨2百

/(%)/ev/

e9

從而"X)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是9

(2)當(dāng)。=0時(shí)注意到小￡>0恒成立，從而沒(méi)有零點(diǎn).

當(dāng)awO時(shí)，注意到所求可以化為9—x=ln(ar)(G：>0)的解的數(shù)量.

設(shè)=M%)=ln(ar),則g1%)=3%2一1,〃(x)=」從而可以作下圖:

X

_V[

(-00,-1)—13間f%]0

1F一彳

g'(%)+++0————

273

g(x)/0/\0

~9~

B

(l,+°o)

031

iJ3川

g'(x)————0+++

273

g(x)0/0/

-9~

當(dāng)〃<0時(shí)，尤<0,注意到(g(￡)-%(力)=3x2-1--,

注意到3-+1----1>33->1,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立,

Ilx)L2%；\4\6

則(g(x)_/7(x))=3x2-1-->0,

X

從而g(%)-〃(％)單調(diào)遞增，零點(diǎn)若有則至多有一個(gè),

注意到設(shè)公=max<m時(shí)有％N—L—,,

[2eaj2ea、/7

設(shè)/=min1—2,￡｝時(shí)有々<—2,±,從而g(%2)<0<lW/z(%2)，

從而在(%2，西)上必然有一個(gè)零點(diǎn).從而總有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)。>0時(shí)，我們考慮左(x)=3%3—%—1,注意到左'(%)=9%2—1,從而可作出下表:

(n1

—00,—1(1,+co)

k3J~3H4)3

+0——0+++

_2_11

左(%)1

/~9~~9//

(\Ak(\

從而其在上』之間有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其為a,從而考慮(g(x)-/z(x))f=—Ux,

其在(。,+8)上的正負(fù)性和左(%)一樣，從而(g(x)-耳尤))先單調(diào)減少后單調(diào)遞增,

其極小值點(diǎn)就是最小值點(diǎn)，在％=a處取到.

112

注意到=§(?+1),從而此處g(c)—/z(6z)=§—§2—In(a)—In(a),

從而當(dāng)a<%=Le虧時(shí)，g(%)—0(x)的最小值比0大，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；

a

當(dāng)。=人時(shí)，g(x)—"(X)的最小值恰好就是0,從而只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a”時(shí),g(x)在％=a處小于0,

在玉=min<^-,一卜寸//(%)<_]<g(x),

從而g(%)-/?(%)在(%,a)上有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)"(x)=lnx-x+l,x>l,則〃'(x)=工一1<0,

X

所以函數(shù)%(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

則”(x)=ln%—x+l<M(l)=0,即lnx<x—l,

當(dāng)xN2時(shí)，g(x)-A(x)>3x-x+l-ln(?)=2x+(l—ln(a)),

從而在%2=max<2,生號(hào)_1"時(shí)g(%)一%(%)>0,

從而(a,/)上有一個(gè)零點(diǎn)，

從而此時(shí)共有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)0Wa<8=Le可時(shí)，/(%)沒(méi)有零點(diǎn);

a

當(dāng)a<0或者a=6時(shí)，/(%)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，/(%)有兩個(gè)零點(diǎn).

19.定義若橢圓一+)=1(a2>Z?2>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和兩個(gè)頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓，則稱(chēng)該橢

圓為“完美曲線(xiàn)已知「：5+4=1(儲(chǔ)>〃>o)為“完美曲線(xiàn)”，且「和1

ab

%+#y=4,卜x-#y=4均相切.

(1)求「的表達(dá)式和離心率

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)?在「的第一象限上運(yùn)動(dòng)，。和戶(hù)相切，和4交于C,和乙交于。.設(shè)廠

右焦點(diǎn)為K，證明/C￡D是定值，并求其正切值.

解：(1)焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸頂點(diǎn)共線(xiàn)，它們