模型11、豎直面圓周運動

【模型特點】

物體做圓周運動的速率是時刻在改變的，由于機械能守恒，物體在最高點處的速率最小，在最底點處的速率

最大。

物體在最低點處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；

而在最高點處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向可能有三種情況。

(1)彈力只可能向下，如繩拉球。這種情況下有E+/ng=2掰g,即v2y[gR否則不能通過最高點。

G

F

(2)彈力只可能向上，如車過橋。在這種情況下有加g-尸=管4加g,即vW癡

(3)彈力既可能向上又可能向下，如管內轉(或桿連球)。這種情況下，速度大小v可以取任意值?？梢赃M一

步討論：

①當v=0時，FN=mgt乙為支持力，沿半徑背離圓心

②當0<v<J]時，-4,+加8=竺!；，既背離圓心，隨v的增大而減小

r

③當v=y[gr時，FN=0

④當V〉時，FN+mg=&指向圓心并隨V的增大而增大。

r

【模型解題】

豎直面內圓周運動的求解思路

(1)定模型:首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點的臨界條件不同.

(2)確定臨界點：丫臨=病，對輕繩模型來說是能否通過最高點的臨界點，而對輕桿模型來說是演表現為

支持力還是拉力的臨界點.

(3)研究狀態:通常情況下豎直平面內的圓周運動只涉及最高點和最低點的運動情況.

(4)受力分析:對物體在最高點或最低點時進行受力分析，根據牛頓第二定律列出方程，成。

(5)過程分析:應用動能定理或機械能守恒定律將初、末兩個狀態聯系起來列方程.

【模型訓練】

【例1】如圖所示，是一個固定在桌面上處于豎直狀態的光滑大圓環，大圓環上套著一個小圓環。小圓環由

靜止開始從最高點下滑到最低點的過程中，下列說法正確的是()

A.小圓環所受支持力先做負功后做正功B.支持力的沖量為零

C.小圓環所受重力的瞬時功率先增大后減小D.支持力的功率先增大后減小

【答案】C

【詳解】A.小圓環在運動過程中只受到重力和支持力作用，且支持力始終沿半徑方向，初始階段背離圓心,

之后指向圓心，支持力方向始終與速度方向垂直，所以支持力始終不做功，A錯誤；

B.根據動量定理可知，動量的變化量等于重力沖量與支持力沖量的矢量和，由于初末速度沿水平方向，即

動量變化沿水平方向，而重力沖量豎直向下，所以支持力的沖量肯定不為零，B錯誤；

C.小圓環在下滑過程中，豎直方向的速度先增加后減小，所以重力的瞬時功率先增大后減小，C正確；

D.因支持力始終不做功，故支持力的功率始終為零，D錯誤。

故選C。

變式1.1如圖所示，豎直固定的圓環軌道半徑為民在環的最低點放置一個小球，給小球一水平向右的瞬時速度

V,小球會在環內運動.不計一切摩擦，重力加速度為g,為保證小球運動過程中不脫離軌道，瞬時速度V可能為

A.

C.汨D.+詢

【答案】A

【詳解】小球在環內做圓周運動，恰好通過最高點時，

ms,=m，

R

從最高點運動到最低點的過程中，根據動能定理可知，

1212

mg2R=-mvX

解得

Vi=^5gR；

小球在圓心所在水平線以下做運動時，

12

mgR=—mv2,

解得

小球不脫離軌道，速度V滿足解得

馬〈.2g.,v^y/igR,

A.廝在速度范圍內，所以A滿足題意，故A正確；

B.下尿不在速度范圍內，所以B不滿足題意，故B錯誤；

不在速度范圍內，所以C不滿足題意，故C錯誤；

D.|■而^不在速度范圍內，所以D不滿足題意，故D錯誤;

變式1.2如圖，豎直環/半徑為r,固定在木板3上，木板3放在水平地面上，8的左右兩側各有一支擋板

固定喜愛地上，2不能左右運動，在環的最低點靜放有一小球C,/、B、C的質量均為〃?，現給小球一水平

向右的瞬時速度V,小球會在環內側做圓周運動，為保證小球能通過環的最高點，且不會使環在豎直方向上

跳起（不計小球與環的摩擦阻力），小球在最低點的瞬時速度必須滿足

A.最小值,4gr，最大值J6grB.最小值，5gr，最大值J6gr

c.最小值價還，最大值31^D.最小值,4gr,最大值J7gr

【答案】C

【詳解】在最高點，速度最小時有:

mg=m—

r

解得:

Vi=7F

從最高點到最低點的過程中，機械能守恒,設最低點的速度為V/,根據機械能守恒定律，有:

2mgr+^mv^="匕"

解得:

v/=75gr

要使不會使環在豎直方向上跳起，環對球的壓力最大為：

F=2mg

從最高點到最低點的過程中，機械能守恒，設此時最低點的速度為V/

在最高點，速度最大時有：

mg+2mg=m-

r

根據機械能守恒定律有：

121,2

2mgy+—mv2=—mv2

解得：

所以為保證小球能通過環的最高點，且不會使木板離開地面，在最低點的初速度范圍為:

y15gr<v<y[7gr

A.最小值，4gr,最大值，6gr,與結論不相符，選項A錯誤；

B.最小值，5gr,最大值，6gr,與結論不相符，選項B錯誤；

C.最小值J5gr,最大值，7gr,與結論相符，選項C正確；

D.最小值J4gr,最大值，7gr,與結論不相符，選項D錯誤；

【例2】如圖所示，質量為用的汽車，沿半徑為R的半圓形拱橋運動，當汽車通過拱橋最高點3時速度大

小為v,則此時（）

A.汽車速度越大，對拱形橋壓力越大

B.在3點的速度最小值為風

C.若汽車速度等于廝，汽車將做平拋運動，越過橋后落地點與3點的水平距離為血火

D.若汽車對橋頂的壓力為等，汽車的速度大小為晅

22

【答案】C

【詳解】A.當汽車通過拱橋最高點3時速度大小為v,設此時橋頂對汽車的支持力為尸N，由牛頓第二定律

可得

V2

mg-F^=m--

解得

V2

綜=mg-m—

K

可知汽車速度越大，拱形橋對汽車的支持力越小，由牛頓第三定律，可知汽車對拱形橋壓力越小，A錯誤；

B.當汽車在B點的速度為庾時，由以上計算可知，此時橋對汽車的支持力是零，即汽車的最大速度是廝,

B錯誤；

C.若汽車速度等于旅，汽車與橋頂無相互作用力，汽車將做平拋運動，越過橋后到落地點，下落的高

度則有

R=；g/

落地點與3點的水平距離為

C正確；

D.若汽車對橋頂的壓力為W，由牛頓第三定律，可知橋頂對汽車的支持力大小為W，由牛頓第二定律

22

可得

然=mg-m--

K

解得汽車的速度大小為

D錯誤。

故選C。

變式2.1如圖所示，一汽車過半徑均為50m的圓弧形凹橋和凸橋，在凹橋的最低處和凸橋的最高處的速度

大小均為10m/s,取重力加速度大小g=10m/s2,則在凸橋的最高處和凹橋的最低處汽車對橋面的壓力大小之

比為（）

，入R/

/R上一

0?'

A.3:2B.2:3C.2:1D.3:1

【答案】B

【詳解】在最高點，根據牛頓第二定律

在最低點，根據牛頓第二定律

mv2

F-fng=——

mK

解得

&>=2:3

然2

故選B。

變式2.2如圖所示，汽車通過拱橋最高點時（）

A.汽車隊橋的壓力等于汽車所受的重力

B.汽車隊橋的壓力大于汽車所受的重力

C.汽車速度越大，它對橋面的壓力就越大

D.汽車速度越大，它對橋面的壓力就越小

【答案】D

【詳解】汽車通過拱橋最高點時由重力和支持力的合力提供向心力

V2

—r=m——

R

解得

v2

F=mg-m—

2

根據牛頓第三定律可知對橋面的壓力〃7g-加汽車速度越大，它對橋面的壓力就越小。

故選D。

【例3］在豎直平面內光滑圓軌道的外側，有一小球（可視為質點）以某一水平速度從最高點/出發沿圓軌

道運動，至2點時脫離軌道，最終落在水平面上的C點，圓軌道半徑為五,重力加速度為g,不計空氣阻

力。下列說法中正確的是（）

A.小球從/點出發的速度大小匕=庾

B.小球經過B點時的速度大小vB=4gR

C.小球經過3點時速度變化率大小為g

D.小球落在。點時的速度方向豎直向下

【答案】C

【詳解】A.根據題意可知，小球在N點沒有脫離軌道，則小球對圓軌道的壓力不為零，由牛頓第二定律有

<y[gR

故A錯誤；

B.根據題意可知，小球在3點脫離軌道，則小球對圓軌道的壓力為零，只受重力作用，設此時小球與圓心

的連線與豎直方向的夾角為由牛頓第二定律有

mgcos0=m

VB=Jg尺cos9<yfgR

故B錯誤；

C.根據題意可知，小球在2點脫離軌道，則小球對圓軌道的壓力為零，只受重力作用，小球的加速度為g,

即小球經過8點時速度變化率大小為g,故C正確；

D.根據題意可知，小球在8點脫離軌道，速度方向為斜向下，只受重力作用，水平方向做勻速直線運動,

小球落地時，水平方向速度不為零，則小球落在C點時的速度方向不可能豎直向下，故D錯誤。

故選Co

變式3.1如圖所示，質量為根的物體從半徑為尺的半球形碗邊向碗底滑動，滑到最低點時的速度為v,若

物體與碗的動摩擦因數為〃，則物體滑到最低點時受到的摩擦力的大小是（）

VV

C.〃儂g-二）D.〃機（g+二）

【答案】D

【詳解】物體滑到最低點時

F^-mg=m—

K

得

V2

FN^mg+m—

K

物體滑到最低點時受到的摩擦力的大小

耳=〃加恁+1）

變式3.2如圖所示，上表面光滑，半徑為R=0.2m的半圓柱體放在水平面上，小物塊位于半圓柱體頂端，若

給小物塊一水平速度%=2m/s,重力加速度g取lOm/s?,下列說法正確的是（）

A.小物塊將沿半圓柱體表面滑下來

B.小物塊落地時水平位移大小為0.2m

C.小物塊落地速度大小為W5m/s

D.小物塊落地時速度方向與水平地面成30。角

【答案】C

【詳解】A.設小物塊在半圓柱體頂端做圓周運動的臨界速度為v,則重力剛好提供向心力時，由牛頓第二

定律得

2

ms:=m——

R

解得

v=yfgR=V2m/s

因為

%>v

所以小物塊將離開半圓柱體做平拋運動，故A錯誤；

B.小物塊做平拋運動時豎直方向滿足

水平位移為

x=vot

聯立解得

x=0.4m

故B錯誤；

C.小物塊落地時豎直方向分速度大小為

V,,=gt=y]2gR=2m/s

落地時速度的大小為

聯立解得

v=2V2m/s

故C正確；

D.由于

Vv=%

故落地時速度方向與水平地面成e角，滿足

tan0=—=1

%

解得

6=45°

故D錯誤。

故選C。

【例4】如圖所示，可視為質點的、質量為m的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運

動，下列有關說法中正確的是（）

A.小球能夠到達最高點時的最小速度為0

B.小球能夠通過最高點時的最小速度為庾

C.如果小球在最高點時的速度大小為2庾，則此時小球對管道的內壁有作用力

D.如果小球在最低點時的速度大小為腐，則小球通過最低點時與管道內壁有相互作用力

【答案】A

【詳解】AB.圓形管道內能支撐小球，小球能夠通過最高點時的最小速度為0,故A正確，B錯誤；

C.設管道對小球的彈力大小為尸，方向豎直向下。由牛頓第二定律得

V2

mg+F=

解得

F=3mg

方向向下，根據牛頓第三定律得知：小球對管道的彈力方向豎直向上，即小球對管道的外壁有作用力，對

管道的內壁沒有作用力，故C錯誤；

D.在最低點，根據牛頓第二定律，有

V2

N-mg=m—

解得

N>Q

所以小球通過最低點時對管道的外壁有作用力，故D錯誤。

故選Ao

變式4.1如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做完整的圓周運動，小球直徑略小于管道的尺寸,

內側壁半徑為七小球半徑為r,則下列說法正確的是()

A.小球通過最高點時的最小速度%山=Jg(R+r)

B.小球通過最低點時的最小速度%M=0

C.小球在水平線成以下的管道中運動時，內側管壁對小球一定無作用力

D.小球在水平線仍以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力

【答案】C

【詳解】A.由于管道在最高點可以對小球產生向上的支持力，由牛頓第二定律

mv2

mg-F'=

R+r

當然=mg時，速度最小，解得

%in=°

故A錯誤；

B.小球從最高點運動到最低點的過程中，重力做正功，小球速度增大，所以通過最低點的速度大于0,故

B錯誤；

C.小球在與圓心等高的水平線成以下的管道中運動時，豎直向下的重力沿半徑方向的分力沿半徑向外，

小球所需的向心力是沿半徑向圓心的，所以小球一定受到外側管壁指向圓心的作用力，內側管壁對小球一

定無作用力，故C正確；

D.小球在與圓心等高的水平線以上的管道中運動時，豎直向下的重力沿半徑方向的分力沿半徑向圓心,

小球所需的向心力也是沿半徑向圓心的；若小球的速度較小，重力沿半徑方向上的分力大于或等于小球做

圓周運動所需的向心力，外側管壁對小球就沒有作用力，故D錯誤。

故選C。

變式4.2如圖所示，在豎直平面內的光滑圓形管道的半徑為R（管徑遠小于&），小球。、6大小相同，質

量均為機，直徑均略小于管徑，均能在管中無摩擦運動。兩球先后以相同速度v通過管道最低點，且當小

球。在最低點時，小球b在最高點，重力加速度為g,以下說法正確的是（）

A.當丫=同時，小球b在管道最高點對管道壓力為0

B.速度v至少為腐，才能使兩球在管內做完整的圓周運動

C.當小球6在最高點對管道無壓力時，小球。比小球6所需向心力大5/wg

D.只要兩小球能在管內做完整的圓周運動，就有小球。在最低點對管道的壓力比小球6在最高點對管

道的壓力大6優g

【答案】A

【詳解】AC.當小球b在最高點對軌道無壓力時，所需要的向心力

Fh=mg=m^

從最低點到最高點，由機械能守恒可得

1212

mg-2A+—mvb=—mv

對于4球，在最低點時，所需要的向心力

F=m—

aR

聯立解得

v=y/5gR

Fa=5mg

小球”比小球b所需向心力大4〃?g,故C錯誤，A正確；

B.小球在最高點的速度只要大于零，小球即可通過最高點，最高點的臨界速度為0,根據機械能守恒定律

得

2mgR=；mv2

解得

v^2y[gR

即速度v至少為2項，才能使兩球在管內做完整的圓周運動，故B錯誤；

D.由B分析可知，若v=2庾，兩小球恰能在管內做完整的圓周運動，小球6在最高點對軌道的壓力大

小

Fb=mg

小球。在最低點時有

v2

Fa-mg=m—

解得

Fa=5mg

小球。在最低點對軌道的壓力比小球6在最高點對軌道的壓力大4mg,故D錯誤。

故選Ao

【例5】一豎直平面內半徑為式的光滑圓軌道如圖所示，一質量為〃?的小球(可視為質點)在大小恒定、

方向始終指向圓心的外力的作用下，在圓軌道外側沿著軌道做圓周運動，當小球通過最低點3時，小球的

速度大小％=病^(g為重力加速度大小)，軌道對小球的彈力大小為2"g,求：

(1)外力的大??；

(2)小球運動到最高點時所受的彈力大小。

【答案】(1)8wg；(2)87Mg

【詳解】(1)設外力大小為凡小球在最低點時，由牛頓第二定律有

v}

r-mg-2mg=加%

解得

F=Smg

(2)施加的外力始終指向圓心，外力不做功，故小球從/點運動到3點的過程機械能守恒，有

1212

—mvA+2mgR=—mvB

解得

VA=y[gR

設小球在/點受到的彈力大小為功，當小球通過4點時，由牛頓第二定律有