模型15水平面內(nèi)的圓周運動

模型概述

1.圓周運動的求解思路

(1)一審題：審題意，確定研究對象(以做圓周運動的物體為研究對象)

(2)二確定：確定圓周運動的軌道平面，確定圓心

(3)三分析:

①分析幾何關(guān)系，求半徑

②分析物體的受力情況，畫出受力分析圖，確定向心力的來源(關(guān)鍵)

③分析物體的運動情況，即物體的線速度、角速度等相關(guān)量，確定向心加速度的表達(dá)式

(4)列方程：根據(jù)牛頓運動定律合圓周運動知識列方程

2.水平面內(nèi)圓周運動的動力學(xué)分析:

3.水平面內(nèi)的圓周運動常見的臨界問題:

(1)物體恰好(沒有)發(fā)生相對滑動，靜摩擦力達(dá)到最大值.

(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為0.

(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達(dá)到最大承受值.

(4)物體所受支持力為0或繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為0.

典題攻破

1.水平面內(nèi)圓周運動的動力學(xué)分析

【典型題1】（2024?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，一水平圓盤繞豎直中心軸以角速度3做勻速圓周運動，

緊貼在一起的M、N兩物體（可視為質(zhì)點）隨圓盤做圓周運動，N恰好不下滑，M恰好不滑動，兩物體與

轉(zhuǎn)軸距離為r,已知M與N間的動摩擦因數(shù)為％M與圓盤面間的動摩擦因數(shù)為出，最大靜摩擦力等于滑

動摩擦力。匕與出應(yīng)滿足的關(guān)系式為（）

1]

C.從〃2=1D,一1

自

【答案】C

【詳解】以MN整體為研究對象，受力分析如圖所示

由靜摩擦力提供向心力可得〃2（"?M+叫。8=（刃M+加N）02r

以N為研究對象，受力分析如圖所示

由M對N的彈力提供向心力，則有仄=777N0/

由平衡條件可得自然=網(wǎng)記

聯(lián)立解得從42=1

故選Co

2.水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題

【典型題2】(2024?江蘇?模擬預(yù)測)如圖所示，AB為豎直放置的光滑圓筒，一根長細(xì)繩穿過圓筒后一端

連著質(zhì)量叫=5kg的小球P,另一端和細(xì)繩BC(懸點為B)在結(jié)點C處共同連著質(zhì)量為%的小球Q,長

細(xì)繩能承受的最大拉力為60N,細(xì)繩BC能承受的最大拉力為27.6N。轉(zhuǎn)動圓筒使BC繩被水平拉直，小

球Q在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，小球P處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時圓筒頂端A點到C點的距離4=1.5m,細(xì)

繩BC的長度4=0.9m,重力加速度g取lOm/sz,兩繩均不可伸長，小球P、Q均可視為質(zhì)點。求：

(1)當(dāng)角速度。多大口寸，6c繩剛好被拉直(結(jié)果可用根號表示)；

3

3

【詳解】(1)BC繩剛好被拉直時，由幾何關(guān)系可知AC繩與豎直方向的夾角的正弦值sin。"

對小球m2受力分析，由牛頓第二定律可知加?gtan<9=小0工

解得用=^y^-rad/s

(2)對小球m2,豎直方向有叫g(shù)eos。=？g

得m2=4kg

當(dāng)BC被拉斷時有叫g(shù)sin0+FTBC=m2a^l2

解得a)2=4rad/s

針對訓(xùn)練

一、單選題（本題共6小題。每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多

選、錯選均不得分）

1.（2024?陜西?三模）如圖所示，有一輛汽車在前擋風(fēng)玻璃內(nèi)懸掛了一個掛件。當(dāng)汽車在水平公路上轉(zhuǎn)

彎時，司機發(fā)現(xiàn)掛件向右傾斜并且傾斜程度在緩慢減小，已知汽車的轉(zhuǎn)彎半徑一定，則下列說法正確的

A.汽車正在向右加速轉(zhuǎn)彎

B.汽車正在向右減速轉(zhuǎn)彎

C.汽車正在向左加速轉(zhuǎn)彎

D.汽車正在向左減速轉(zhuǎn)彎

【答案】D

【詳解】掛件向右傾斜，對掛件受力分析可知，重力、拉力的合力水平向左，即向心力向左，汽車向左

2

轉(zhuǎn)彎。設(shè)掛件與豎直方向的夾角為則擺動過程中的向心力為尸=冽gtan6=加（

由于掛件傾斜程度在緩慢減小，擺角變小，而汽車的轉(zhuǎn)彎半徑一定，所以汽車的速率在減小，即汽車正

在向左減速轉(zhuǎn)彎。

故選D。

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）兩根長度不同的細(xì)線下面分別懸掛兩個小球，細(xì)線上端固定在同一點，若兩

個小球以相同的角速度繞共同的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，則兩個擺球在運動過程中，相對位

置關(guān)系示意圖正確的是圖中的（

/〃〃"〃〃

A.B.

【答案】B

【詳解】小球做勻速圓周運動，對其受力分析如圖所示

由牛頓第二定律有mgtan0=marLsinQ

整理可得ACOSO=4

CD

兩球的角速度相同，即懸點到圓心的高度相同，則兩球處于同一高度。

故選B。

3.（2024?江蘇?高考真題）如圖所示，輕繩的一端拴一個蜂鳴器，另一端穿過豎直管握在手中。蜂鳴器

在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，緩慢下拉繩子，使蜂鳴器升高到水平面內(nèi)繼續(xù)做勻速圓周運動。不計空氣

阻力和摩擦力，與升高前相比，蜂鳴器（）

A.角速度不變

B.線速度減小

C.向心加速度增大

D.所受拉力大小不變

【答案】C

【詳解】設(shè)繩子與豎直方向夾角為小球做圓周運動的半徑為r,小球質(zhì)量為m。

CD.對小球分析有%=mgtan。=小%，斗=/與

cos"

根據(jù)a、b兩個位置可知，b位置更高，則0b>葭，代入上式，故止匕FTb>FTa,anb>ana

故C正確、D錯誤；

AB.根據(jù)角動量守恒有mvr二mor2二L

可解出V=*啦2,°=杵苧可!9b>9a,代入上式，有“>V”環(huán)〉3“

故AB錯誤。

故選Co

4.（2025?河北?模擬預(yù)測）如圖所示，一距地面高為0.80m、半徑為1.2m的水平圓盤上放置質(zhì)量分別為

0.85kg、0.15kg的A和B兩個物體，用長為1.2m的輕繩連接，A物體在轉(zhuǎn)軸位置上，當(dāng)圓盤繞其豎直軸

以角速度30轉(zhuǎn)動時，A、B兩物體剛好相對圓盤靜止。兩物體均看作質(zhì)點，兩物體與圓盤之間的動摩擦

因數(shù)均為0.2,g取10m/s2。某時刻輕繩突然斷裂，下列說法正確的是（）

A|回

A.輕繩斷裂前，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度為？~rad/s

B.輕繩斷裂前，輕繩拉力的大小為0.3N

C.B物體落到水平面的位置到豎直軸的距離為1.6m

D.B物體落地時的速度大小為4m/s

【答案】A

【詳解】AB.當(dāng)圓盤繞其豎直軸以角速度30轉(zhuǎn)動時，有尸+〃用Bg=冽B0；R，尸=4加Ag

聯(lián)立解得廠=L7N,a>0=^rad/s

故A正確，B錯誤；

C.輕繩突然斷裂，B物體做平拋運動，有

所以B物體落到水平面的位置到豎直軸的距離為s=x+R=2.8m

故C錯誤；

D.B物體落地時的速度大小為v=+（g/）2=4」m/s

故D錯誤。

故選Ao

5.（2024?北京昌平?二模）如圖所示，兩個質(zhì)量均為m的小木塊A、B（可視為質(zhì)點）放在水平圓盤上，A、

B到轉(zhuǎn)軸。。的距離分別為1、2/.小木塊與圓盤之間的動摩擦因數(shù)均為〃，可以認(rèn)為小木塊最大靜摩

擦力等于滑動摩擦力.若圓盤從靜止開始繞軸轉(zhuǎn)動，并緩慢地加速，用。表示圓盤轉(zhuǎn)動的角速度，用g

表示重力加速度的大小，下列說法正確的是（）

o\

AB

,iri□,

I

A.圓盤對A的作用力大小大于A對圓盤的作用力大小

B.當(dāng)0=絲時，A所受摩擦力的大小為W"g

V21

C.A、B所受摩擦力的大小始終相等

D.B一定比A先開始滑動

【答案】D

【詳解】A.圓盤對A的作用力與A對圓盤的作用力是相互作用力，總是等大反向，選項A錯誤；

B.當(dāng)―陛

V21

時，A所受摩擦力的大小為人=加療/=；〃加g

選項B錯誤；

C.根據(jù)/=加。/

可知，在兩物塊未發(fā)生相對滑動時，A、B所受摩擦力的大小不相等，當(dāng)兩物塊都產(chǎn)生相對滑動后受滑動

摩擦力大小相等，選項C錯誤；

D.根據(jù)比就/=〃"7g

可知外=

可知產(chǎn)生滑動時B的臨界角速度較小，則B一定比A先開始滑動，選項D正確。

故選Do

6.（2024?山東?模擬預(yù)測）某同學(xué)在游樂園體驗轉(zhuǎn)盤投球游戲。俯視圖如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤勻速旋轉(zhuǎn)的

角速度為。，籃筐在轉(zhuǎn)盤中心。該同學(xué)坐在轉(zhuǎn)盤上，將一球水平投出，出手點與籃筐的水平距離為r,

豎直高度為h,若球能投進(jìn)籃筐，球出手方向需沿半徑向后方偏一合適角度。，球的出手速度為V。忽略

空氣阻力，則（）

A.h、r不變，。增大時，若要投中，需增大。和■

B.h、。不變，r增大時，若要投中，需增大。和/

C.r不變，入增大時，若要投中，需增大。和■

D.以上說法都不對

【答案】A

【詳解】如圖所示

球出手后，合速度％沿半徑方向，做平拋運動，由介=

可知角度'與r無關(guān)；球出手速度為懺嘉或八浸T烹棧

2h

AD.由題可知，。在0°到90°之間，h、r不變，口增大時，若球仍投中，根據(jù)tan6=o,

g

可知6增大，根據(jù)

可知V增大，故A正確，D錯誤;

B.h、。不變，r增大時，。不變，若球仍投中，根據(jù)v=/二或v二品

sm”cos0\2h

可知v增大，故B錯誤;

2h

C.①、r不變，h增大時，若球仍投中，根據(jù)tan。=0,

g

可知。增大，根據(jù)V='二

sm”

可知v減小，故C錯誤。

故選Ao

二、多選題（本題共3小題。每小題列出的四個備選項中至少有一個是符合題目要求的。全部

選對的得全分,選對但不全的得一半分,有選錯的得0分）

7.（2024?河北保定?二模）如圖所示，鐵路拐彎處內(nèi)、外軌有一定的高度差，當(dāng)質(zhì)量一定的火車以設(shè)計

的速率「在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)彎時，軌道對車輪的支持力大小為月，當(dāng)火車以實際速率在此彎道上轉(zhuǎn)

彎時，軌道將施于車輪一個與枕木平行的側(cè)壓力F,下列說法正確的是（）

mg

A.若v>%,側(cè)壓力/方向由外軌指向內(nèi)軌

B.若丫<%,側(cè)壓力/方向由內(nèi)軌指向外軌

C.若v>%,軌道對車輪的支持力等于巴

D.若v<%,軌道對車輪的支持力大于用

【答案】AB

2

【詳解】設(shè)拐彎處的軌道半徑為R，內(nèi)、外軌形成的傾角為。，則有機gtan6="^

設(shè)當(dāng)火車以實際速率v轉(zhuǎn)彎時，軌道對車輪的支持力大小為黑，有

黑=小+機gas0

廠.八mv1cos0

F=mgsin”--------

當(dāng)v>%,側(cè)壓力F方向由外軌指向內(nèi)軌，罵，當(dāng)v<%,側(cè)壓力F方向由內(nèi)軌指向外軌，外〈片。

故選ABo

8.（2024?廣東?三模）如圖所示，配有轉(zhuǎn)盤的中式圓餐桌是我國的傳統(tǒng)家具。質(zhì)量為m的小碗（可視為

質(zhì)點）放在水平轉(zhuǎn)盤邊緣上隨轉(zhuǎn)盤一起由靜止緩慢加速轉(zhuǎn)動，若小碗與轉(zhuǎn)盤以及桌面間的動摩擦因數(shù)均

為〃，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，轉(zhuǎn)盤的半徑為r,餐桌的半徑為R,重力加速度為g,轉(zhuǎn)盤與桌面

的高度差不計，下列說法正確的是（）

A.當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度增至、產(chǎn)時，小碗相對轉(zhuǎn)盤開始滑動

\2r

B.小碗由靜止到即將滑動的過程中，轉(zhuǎn)盤對小碗做的功為

C.若尺=0廠，小碗最終會從桌面滑落

D.若小碗未滑離桌面，則公不會小于1廠

2

【答案】BD

2

【詳解】A.小碗即將滑動時有〃加8=加1=冽療尸

r

解得V=,a>=

故A錯誤；

B.根據(jù)動能定理可得沙==

故B正確；

C.小碗滑動后沿轉(zhuǎn)盤邊緣滑出，若未能滑到桌面邊緣，根據(jù)牛頓第二定律可得〃=加。

2[_______

2

由1==—r<-\/R—r2=r

2a2

可知小碗不會從桌面邊緣滑落。故c錯誤;

D.小碗未滑離桌面需滿足火之

故D正確。

故選BDo

9.（2024?四川南充?三模）如圖，足夠大水平圓盤中央固定一光滑豎直細(xì)桿，質(zhì)量分別為2m和m的小球

A、B用輕繩相連，小球A穿過豎直桿置于原長為1的輕質(zhì)彈簧上，彈簧勁度系數(shù)為左=半，B緊靠一

個固定在圓盤上且與0AB共面的擋板上，在緩慢增加圓盤轉(zhuǎn)速過程中，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，不計一

切摩擦，重力加速度為g,則（）

A.球離開圓盤后，彈簧彈力不變

B.繩子越長小球飛離圓盤時的角速度就越大

c.當(dāng)角速度為、區(qū)時，彈簧長度等于!

D.當(dāng)角速度為杵時，彈簧彈力等于3/wg

【答案】AD

【詳解】A.球離開圓盤后，對B豎直方向Tcose=??g

對A豎直方向與=2機g+Tcos9=3mg

即彈簧彈力不變，選項A正確；

B.設(shè)小球恰飛離圓盤時繩子與豎直方向夾角為此時彈簧長度為11,對A,k-mg

解得

貝ljcos—

對B,mgtan9。-ma^Lsin0O

則小球飛離圓盤時的角速度為定值，與繩長無關(guān)，選項B錯誤；

C.當(dāng)角速度為行＜為，此時物塊還沒有離開圓盤，此時彈簧長度大于:，選項c錯誤;

D.當(dāng)角速度為j華＞/此時物塊已經(jīng)離開圓盤，此時彈簧彈力等于3mg,選項D正確。

故選AD。

三、計算題（本題共2小題。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、方程式和重要演算步驟。只寫出最

后答案的不能得分。有數(shù)值計算的題，答案中必須明確寫出數(shù)值和單位）

10.（2024?北爾朝陽?二模）如圖所示，水平圓臺可以繞其中心軸轉(zhuǎn)動。在圓臺中心兩側(cè)放上甲、乙兩物

體，兩物體的質(zhì)量均為m,均可視為質(zhì)點，甲、乙兩物體到圓臺中心距離分別為2R、R,其連線過圓臺中

心。兩物體與圓臺間的動摩擦因數(shù)均為口，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。

（1）若圓臺以某一角速度轉(zhuǎn)動時，甲、乙均未滑動。求兩物體的加速度之比與：。乙;

（2）若圓臺的角速度逐漸增大，請分析說明甲、乙兩物體誰先滑動；

（3）若將甲、乙兩物體用不可伸長的輕繩連接，輕繩最初拉直而不張緊，緩慢增加圓臺的轉(zhuǎn)速，求兩物

體剛要滑動時圓臺轉(zhuǎn)動的角速度。。

【答案】（1）2:1；（2）甲；（3）眄手

【詳解】（1）若圓臺以某一角速度轉(zhuǎn)動時，甲、乙均未滑動，根據(jù)°=

可得兩物體的加速度之比與：。乙=2尺：滅=2:1

(2)若圓臺的角速度逐漸增大，根據(jù)〃加g=M(臉'

可得例=竹

因甲轉(zhuǎn)動半徑較大，臨界角速度較小，可知甲物體誰先滑動；

(3)兩物體剛要滑動時，甲受最大靜摩擦力指向圓心