清單02實數（20個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

有理數I

H實數的分類

加減乘除運算

T實數的四則運算

有理數和無理數的運算

實數一

T實數和數軸|

N絕對值的概念和曲

q實數的大小膜?--f實數的大小比較法則

T'數軸大小比較：數軸上右邊的點比左邊的點表示的數大

平方根的定義和崛

平方根與好平方根

N平方根的應用

平方根和立方根一N立方根的定義及順

L（立方根）--［立方根的計算）

T立方根的應用）

二次根式的定義及,筋

上二次根式的概念及分類

二次根式的合并

二次根式―-【二次根式的加減運算

二次根式的乘除運算

4二次根式的應歐用

【清單01】平方根

1.算術平方根的定義

如果一個正數%的平方等于a,即/=4，那么這個正數%叫做a的算術平方根（規定0的算術平方根還

是0）；。的算術平方根記作、萬，讀作的算術平方根”，。叫做被開方數.

注意：當式子&有意義時，。一定表示一個非負數，即&20,aN0.

2.平方根的定義

如果f=a,那么x叫做。的平方根.求一個數。的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為

逆運算.a（aNO）的平方根的符號表達為土&（a20）,其中G是。的算術平方根.

3.平方根的性質

a>0

V?=|<7|=<0a=0(G)=a(a>0)

a<0

4.平方根小數點位數移動規律

被開方數的小數點向右或者向左移動2位，它的算術平方根的小數點就相應地向右或者向左移動1

位.例如：,62500=250,V625=25,7625=2.5,-0.0625=0.25.

【清單02】無理數

有限小數和無限循環小數都稱為有理數.無限不循環小數又叫無理數.

注意：(1)無理數的特征：無理數的小數部分位數無限.無理數的小數部分不循環，不能表示成分數的形式

(2)常見的無理數有三種形式：①含口類.②看似循環而實質不循環的數，如：1.313113111…….③帶

有根號的數，但根號下的數字開方開不盡，如石.

【清單03】立方根的定義

L定義：如果一個數的立方等于。，那么這個數叫做。的立方根或三次方根.這就是說，如果三=4,那么

x叫做a的立方根.求一個數的立方根的運算，叫做開立方.

注意：一個數a的立方根，用如表示，其中a是被開方數，3是根指數.開立方和立方互為逆運算.

2.立方根的特征

立方根的特征：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0.

注意：任何數都有立方根，一個數的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數的符

號相同.兩個互為相反數的數的立方根也互為相反數.

3.立方根的性質

V-o==a

注意：第一個公式可以將求負數的立方根的問題轉化為求正數的立方根的問題.

4.立方根小數點位數移動規律

被開方數的小數點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數點就相應地向右或者向

左移動1位.例如，A/0.000216=0.06,WO.216=0.6，^216=6,寸216000=60.

【清單04】實數

有理數和無理數統稱為實數.

1.實數的分類

按定義分：

有理數：有限小數或無限循環小數

實數』

［無理數：無限不循環小數

按與0的大小關系分：

工物］正有理數

正數4［正無理數

實數<0

石淵」負有理數

負數，

負無理數

2.實數與數軸上的點一一對應.

數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應

3.實數運算

(1)注意：有理數關于絕對值、相反數的意義同樣適用于實數。

(2)運算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的。

【清單05】二次根式

1.二次根式的概念

一般地，我們把形如疝a20)的式子的式子叫做二次根式，“、廠”稱為稱為二次根號.如

—都是二次根式。

2.二次根式有無意義的條件

條件字母表示

被開方數為非負數

二次根式有意義癡有意義oaNO

被開方數為負數

二次根式無意義、/^無意義oa<0

3.二次根式的性質

(DJ￡(a20)有最小值，為0

⑵(%S=a(a20)

(3)a(a>0)

而=|a|="0(a=0)

*-a(aVO)

【清單06】二次根式的乘除法法則

1.二次根式的乘法法則：?后=疝(。20120)

(二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變)

2.二次根式的乘法法則的推廣

(1)Va-7b-7c=7abc(a>0,Z?>0,c>0)

(2)a7b-c7d=?cVbd(/2>0,J>0),即當二次根式前面有系數時，可類比單項式乘單項式的法則

進行計算，即將系數之積作為系數，被開方數之積作為被開方數。

3.二次根式的乘法法則的逆用

而=>Q,b>0)(二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數平方根的性質)

4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣

7abed=Va-Vb-Vc-4d(.a>0,￡?>0,c>0,6?>0)

4.二次根式的除法法則

^=^(a>0,b>0)(二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變)

5.二次根式的除法法則的推廣

癡+痛+&=」a+b+c(a>0,b>0,c>0)

【清單07】最簡二次根式

1.最簡二次根式的概念

(1)被開方數不含分母

(2)被開方數中不含能開方開得盡得因數或因式

2.分母有理化

分母有理化：當分母含有根式時，依據分式的基本性質化去分母中的根號。

方法：根據分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號。

【清單08】同類二次根式

1.同類二次根式概念：化簡后被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。

2.合并同類二次根式的方法：把根號外的因數（式）相加，根指數和被開方數不變，合并的依據式乘

法分配律，如+=（〃z+20）

［清單09］二次根式的加減

1.二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。

2.二次根式加減運算的步驟：

①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；

②找：找出化簡后被開方數相同的二次根式；

③合：合并被開方數相同的二次根式一一將”系數”相加作為和的系數，根指數與被開方數保持不變。

【清單10］二次根式的混合運算

二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括

號里面的（或先去掉括號）

里型情單

【考點題型一】平方根

【典例1】歷的平方根是（）

A.V3B.-V3C.±3D.±9

【答案】C

【分析】先計算質=9,再計算±g=±3,解答即可.

本題考查了算術平方根，平方根的計算，熟練掌握定義是解題的關鍵.

【詳解】解：?；府=9,

+V9=±3,

故選C.

【變式1-1】16的平方根是（）

A.4B.-4C.16D.±4

【答案】D

【分析】本題考查求一個數的平方根.熟練掌握平方根的意義是解題關鍵.

根據平方根的定義進行解答即可.

【詳解】解：16的平方根是±4,

故選：D.

【變式1-2】|-25］的平方根為（）

A.5B.-5C.25D.5或一5

【答案】D

【分析】本題考查求絕對值，平方根.熟練掌握會求一個數的絕對值和平方根是解題的關鍵.

先求出|-25|=25,再求25的平方根即可.

【詳解】解：|-25|=25,則|-25|的平方根為5或一5.

故選：D.

【變式1-3】實數國的平方根為（）

A.3B.-3C.±3D.±V3

【答案】D

【分析】本題考查平方根，先得到眄=3,再求3的平方根即可.

【詳解】V9=3,

，3的平方根為土百，

故選：D.

【考點題型二】算術平方根

【典例2】4的算術平方根是（）

A.±2B.2C.V2D.16

【答案】B

【分析】題考查算術平方根，理解算術平方根的意義是解決問題的關鍵.

【詳解】解：4的算術平方根是2,

故選B.

【變式2-1】J號的算術平方根的倒數是（）

.,3

A.+-B；D

-2-1C-三

【答案】B

【分析】本題考查求一個數的算術平方根，倒數，先化簡，再求算術平方根，然后根據乘積為1的兩

個數互為倒數，求解即可.

【詳解】解：虎的算術平方根為|,|的倒數為|；

故選B.

【變式2-2］數后的算術平方根是（）

A.±V5B.±5C.V5D.5

【答案】C

【分析】根據算術平方根的性質解答即可.

【詳解】解：：叵=5,

數后的算術平方根是近，

故選C.

【點睛】審清題意是解題的關鍵一步，如本題是求點的算術平方根而不是求25的算術平方根.

【考點題型三】非負數的性質:算術平方根

【典例3】若（x-2尸+Jy+5+|z+1|=0,貝!Ixyz的值是（）

A.10B.-10C.3D.-3

【答案】A

【分析】本題主要考查了絕對值、平方、算術平方根的非負性，熟練掌握絕對值、平方、算術平方根

的非負性是解題的關鍵.

根據絕對值、平方、二算術平方根的非負性，可得x=2,y=-5,z=-1,再代入，即可求解.

【詳解】解：（X—2尸+yjy+5+|z+1|=0>

（x-2）2>0,y/y+5>0,|z+1|>0,

x—2—0,y+5=0,z+1=0,

解得：x=2,y——5,z=-1,

xyz=2X（—5）X（—1）=10.

故選：A.

【變式3-1］若(a-1)2+-2=0,貝!］(a-6)2。23=()

A.1B.-1C.0D.2022

【答案】B

【分析】本題考查了非負數的性質，代數式求值，由非負數的性質可得a-1=0,b-2=0,即得

a=l,b=2,再代入代數式計算即可求解，掌握非負數的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：???(a—l)2+VK=I=0,

a-1=0,b—2=0,

.".a—1,b—2,

：.(a-匕)2。23=(1一2尸。23=

故選：B.

【變式3-2］已知尤，y為實數，且，x—3+3(y—2尸=0,貝!的值為

【答案】2

【分析】本題考查了算術平方根的非負性以及已知字母的值求式子的值，正確掌握相關性質內容是解

題的關鍵.先由kl+3(y-2尸=0,得出x=1,y=2,再代入孫進行計算，即可作答.

【詳解】解：：7^=1+3。-2)2=0

：.Vx^l=0,3(y-2)2=0

.,.x—1,y=2

/.xy=1X2=2

故答案為：2

【變式3-3］若(2￡1+6)2+上苕=0,求(a+6)2。21的值=

【答案】1

【分析】本題考查了非負數的性質、求代數式的值，根據非負數的性質求出a=-3,6=4,代入計算

即可得出答案.

【詳解】解：：(2a+6)2+VF』=0,(2a+6尸20,VF^4>0,

2a+6=0,b—4=0,

解得：a=—3,b—4,

...(a+b)2°2i=(-3+4)2021=L

故答案為：1.

【考點題型四】立方根

【典例4】一卷的立方根是（）

2233

A--3B.-C.--D.-

【答案】A

【分析】此題考查了立方根的求解能力，關鍵是能準確理解并運用該知識進行正確地求解.運用立方

根的定義進行求解.

【詳解】解：???（號丫=g,

二一塔的立方根是-|,

故選：A

【變式4-1】計算：昨M的值是.

【答案】-4

【分析】本題主要考查的是求解一個數的立方根，掌握立方根的定義是解本題的關鍵.

根據立方根的定義求解即可.

【詳解】解：???（-4）3=-64,

V-64———4.

故答案為：-4.

【變式4-2］已知無一2的立方根是一2,則尤=.

【答案】-6

【分析】本題考查了立方根的定義，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

由題意得，%-2=（-2）3,解方程即可.

【詳解】解：由題意得，*—2=（—27，

解得：x=—6,

故答案為：-6.

【變式4-3］若。-I）3+27=0,貝I］%=.

【答案】-2

【分析】本題考查了立方根的定義，根據立方根的定義和題意得（久-1尸=-27,進行計算即可得；掌

握立方根的定義的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：0-1）3+27=0

（x-I）3=-27,

%-1=37^27

x—1=-3,

x=-2,

故答案為：-2.

【考點題型五】平方根與立方根綜合

【典例5］已知2a-7的算術平方根是3,b-9的立方根為-2.

⑴求a,b的值.

（2）求3a+6的平方根.

【答案】（l）a=8,b=1

（2）±5

【分析】（1）根據算術平方根和立方根的定義即可求出a、6的值；

（2）根據（1）中的結果求出3a+b的值，再根據平方根的定義即可求解；

本題考查了算術平方根、立方根、平方根，掌握算術平方根、立方根及平方根的定義是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：；2a—7的算術平方根是3,

.,.2a-7=9,

??CL=8,

9的立方根為一2,

**.b—9=-8,

??b=1；

（2）解：Va=8,b=1,

3a+b=3x8+1=25,

；.3a+b的平方根為±5.

【變式5-1］已知x—2的立方根是—2,貝！U+31的算術平方根是（）.

A.8B.6C.7D.5

【答案】D

【分析】本題考查了立方根、算術平方根，根據立方根的定義可得比-2=-8,得到久=-6,進而得

到x+31=25,再根據算術平方根的定義即可求解，掌握立方根和算術平方根的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：..”—2的立方根是—2,

x—2=-8

.*.%=—6,

Ax+31=-6+31=25,

；.x+31的算術平方根是5,

故選：D.

【變式5-2］求下列各式中的x的值：

(1)2久3=16；

(2)2(2%-I)2-50=0；

【答案】(l)x=2

(2)%=3或x-—2

【分析】本題考查利用平方根和立方根解方程：

(1)根據立方根的定義，解方程即可；

(2)利用平方根的定義，解方程即可.

【詳解】(1)解:2久3=16,

.'.X3—8,

/.x=V8=2；

(2)2(2%-I)2-50=0,

.,.2(2x-I)2=50,

/.(2x-l)2=25,

2x-l=5或2久一1=-5,

".x—3或久=—2.

【考點題型六】無理數

【典例6】實數0.3,y,V7,p0.131131113-(相鄰兩個3之間1的個數依次加1),其中無理數有

()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】本題考查了無理數的定義，根據無理數的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環小

數，③含有兀的數，結合所給數據進行判斷即可，解題的關鍵是掌握無理數的幾種形式.

【詳解】0.3是有理數，不符合題意；

B是分數，屬于有理數，不符合題意；

V7是無理數，符合題意；

］是無理數，符合題意；

0.131131113-（相鄰兩個3之間1的個數依次加1）是無理數，符合題意；

.?.無理數有3個，

故選：B.

【變式6-1】下列實數中是無理數的是（）

AgB.3.14C.V5D.38

【答案】C

【分析】本題主要考查無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：兀,2兀等；開不盡方的數；以

及像0.101001000100001…等有這樣規律的數.

無理數就是無限不循環小數，理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分

數的統稱，即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數，由此即可判斷選項.

【詳解】解：A、?是分數，屬于有理數，故此選項不符合題意；

B、3.14是小數，屬于有理數，故此選項不符合題意；

C、b是無理數，故此選項符合題意；

D、38是整數，屬于有理數，故此選項不符合題意；

故選：C.

【變式6-2］在實數-逐，3.14,0,gy,-V9,0.1616616661…（兩個1之間依次多一個6）中，

無理數的個數是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】本題考查了無理數，熟練掌握無理數的定義是解題的關鍵.

無限不循環小數叫做無理數，根據無理數的定義進行判斷即可.

【詳解】解：在實數一遍，3.14,0,py,-V9,0.1616616661...（兩個1之間依次多一個6）中，

-V5,p0.1616616661…（兩個1之間依次多一個6）是無理數，共3個，

故選：C.

【變式6-3］在實數-2.236,3,y,",m4,無理數的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【分析】本題考查了無理數的定義，熟知并運用無理數是無限不循環小數是解答本題的關鍵.直接利

用無理數的定義：無理數是無限不循環小數，分析即可得到答案.

【詳解】解：在實數一2.236,3,y,V2,TT,4,無理數有魚，n,共2個，

故選：A.

【考點題型七】實數

【典例7】有下列四個論斷：①-1是有理數；②乎是分數；③2.3131131113…（兩個3之間依次增加

一個1）是無理數；④兀是無理數.其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】本題主要考查了有理數，無理數，根據有理數與無理數的定義一一判斷即可.

【詳解】解：①是有理數，正確，

②弓是分數，錯誤，乎是無理數.

③2.3131131113...（兩個3之間依次增加一個1）是無理數，正確，

④兀是無理數，正確，

綜上：①③④正確，

故選：B

【變式7-1】下列說法正確的是（）

A.正實數和負實數統稱實數B.正數、。和負數統稱有理數

C.帶根號的數和負數統稱實數D.無理數和有理數統稱實數

【答案】D

【分析】此題主要考查實數的定義和分類，解題的關鍵是熟知實數的定義.根據實數的定義判斷即

可.

【詳解】解：A、正實數和負實數統稱實數，錯誤，。也是實數，故不符合題意；

B、正數、0和負數統稱有理數，錯誤，正數、0和負數統稱實數，故不符合題意；

C、帶根號的數和分數統稱實數，錯誤，故不符合題意；

D、無理數和有理數統稱實數，正確，故符合題意；

故選：D.

【變式7-2］下列說法不正確的是（）

A.無限循環小數是有理數B.實數和數軸上的點一一對應

C.有理數和無理數統稱為實數D.實數是由正實數和負實數組成

【答案】D

【分析】本題主要考查了實數的分類，實數與數軸的關系，根據實數的分類，實數與數軸的關系，逐

項判斷即可求解.熟練掌握有理數和無理數統稱為實數，實數和數軸上的點一一對應是解題的關鍵.

【詳解】解：A.無限循環小數是有理數，說法正確，故該選項不符合題意；

B.實數和數軸上的點一一對應，說法正確，故該選項不符合題意；

C.有理數和無理數統稱為實數，說法正確，故該選項不符合題意；

D.實數是由正實數、零和負實數組成，原說法錯誤，故該選項符合題意；

故選：D.

【變式7-3】下列說法錯誤的是（）

A.無理數的相反數還是無理數B.無限不循環小數是無理數

C.正數、負數統稱有理數D.實數與數軸上的點——對應

【答案】C

【分析】本題考查了無理數、實數的分類、相反數的定義，根據無理數、實數的分類、相反數的定義

逐項判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識點是解此題的關鍵.

【詳解】解：A、無理數的相反數還是無理數，故原說法正確，不符合題意；

B、無限不循環小數是無理數，故原說法正確，不符合題意；

C、正有理數、0、負有理數統稱有理數，故原說法錯誤，符合題意；

D、實數與數軸上的點一一對應，故原說法正確，不符合題意；

故選：C.

【考點題型八】實數的性質

【典例8】一舊的相反數是；-魚的絕對值是；通-2的相反數是

【答案】V3V22-V5/-V5+2

【分析】本題主要考查了求一個數的相反數和絕對值，只有符號不同的兩個數互為相反數，正數和0

的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，據此求解即可.

【詳解】解：-8的相反數是?的絕對值是|-夜|=&;西-2的相反數是2-倔

故答案為：V3；V2；2-V5.

【變式8-1】在-3.14,兀，4,一5中，絕對值最小的數是（）

A.-3.14B.nC.4D.-5

【答案】A

【分析】本題主要考查了實數比較大小，絕對值的意義，根據正數和0的絕對值是它本身，負數的絕

對值是它的相反數求出四個數的絕對值，再比較大小即可得到答案.

【詳解】解：|-3.14|=3.14<|7r|=nr<|4|=4<|-5|=5,

故選：A.

【變式8-2】7T方的相反數是,舊-2的絕對值是.

【答案】32-V3

【分析】本題考查了實數的性質，主要利用了相反數的定義，絕度值的性質，根據立方根的定義求出

斗干是解題的關鍵.先根據立方根的定義求出"萬，再根據相反數定義，絕對值的性質解答.

【詳解】

解：Vz27=-3,|V3-2|=2-V3,

所以，斗市相反數是3,皆-2的絕對值是2-舊.

故答案為：3,2-V3.

【變式8-3］舊的相反數是；|兀-3|=.

【答案】一百兀一3/-3+n

【分析】本題考查實數的性質，根據相反數與絕對值的定義求解即可.

【詳解】於的相反數是一8；

；兀-3>0,

|TT—31=n—3；

故答案為：—V5,71—3.

【考點題型九】實數與數軸

【典例9】如圖，數軸上A,8兩點對應的實數分別是1和百，若點A與點C到點8的距離相等，則點

C所對應的實數為（）

OABC

―01~x/j2~'3^

A.2V3-1B.1+V3C.2+V3D.2V3+1

【答案】A

【分析】本題考查的是實數與數軸，根據題意求出BC的長，確定點C對應的實數.

【詳解】解：2兩點所對應的實數分別是1和百，

：.AB=V3-1,

'：AB=BC,

.".SC=V3-1,

AOC=V3+V3-1=2V3-1,

...點C對應的實數是28-1,

故選：A.

【變式9-1】已知數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡|a+-|c-的結果是（）

IIII

ca0b

A.a+cB.c-CLC.—CL—cD.a+2b-c

【答案】A

【分析】本題主要考查了實數與數軸，根據數軸可得Q+b>0,c—bvo,據此化簡絕對值即可.

【詳解】解：由數軸可知c<a<0<b,\a\<\b\,

a+b>0,c—b<0,

，|a+一|c-=a+b+（c—b）=a+b+c—b=a+c,

故選：A.

【變式9-2］如圖，正方形0ABe的邊長為1,。/在數軸上，以原點。為圓心，對角線。8的長為半徑畫

弧，交正半軸于一點，則這個點表示的實數是（）

CB

Z/\\

—/4I:.

O1

A.1B.1.5C.V3D.V2

【答案】D

【分析】本題考查了實數與數軸，勾股定理，利用勾股定理求出。B即求解，掌握勾股定理的應用是解

題的關鍵.

【詳解】解：?.?四邊形。4BC為正方形，

.?.OA=4B=1,Z.OAB=90°,

OB=Vl2+l2=V2,

.??這個點表示的實數是VL

故選：D.

【變式9-3］如圖，數軸上，下列各數是無理數且表示的點在線段力B上的是（）

A.0B.7^9

【答案】C

【分析】本題考查了實數與數軸、無理數的估算，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

先根據數軸可得在線段上的點，所表示的無理數的取值范圍為大于-魚且小于遮，再根據無理數的

估算逐項判斷即可得.

【詳解】解：由數軸可知，在線段4B上的點所表示的無理數的取值范圍為大于-魚且小于魚.

A、0是有理數，則此項不符題意；

B、g中的-9<0,故該數不存在，則此項不符合題意；

C、/一1是無理數，且一&則此項符合題意；

D、TT是無理數，但n?3.14>V2~1.414,則此項不符題意；

故選：C.

【考點題型十】實數大小比較

【典例10】比較大小：V3-2一手.

【答案】>

【分析】本題主要考查了實數的大小比較，熟練掌握實數的大小比較法則是解題的關鍵.根據實數的

運算及不等式的性質求解即可.

【詳解】解：27>16,

3V3>4,

*'?2A/3—4〉—V3,

V3-2>-y,

故答案為：>

【變式10-1］若。=A/至，b-|—A/2|,C——7（—2）3,則a、b、c的大小關系是（）

A.a>c>bB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

【答案】A

【分析】先對題目中的二次根式化簡，比較大小即可.

本題考查了二次根式的化簡及估算，絕對值，比較實數大小.

【詳解】解：由題可得a=V3^=3,6=|—\/2|=V2,c——J（-2）3=—（—2）=2,

由3>2>VL

故選A.

【變式10-21在3,|,-2,一b這四個數中，最小的數是（）

A.3B.-C.-V3D.-2

2

【答案】D

【分析】本題考查了實數的大小比較、無理數的估算、求一個數的絕對值，先估算出1<百<2,再根

據正數都大于0,負數都小于0,正數大于一切負數，兩個負數進行比較，絕對值大的反而小，即可得

出答案.

【詳解】|-2|=2,|-V3|=V3,

VI<3<4,

.,.V1<V3<V4,即1<冉<2,

一2<—V3<-<2,

2

.?.在3,|,-2,一遍這四個數中，最小的數是一2,

故選：D.

【變式10-3】比較下列各數的大小：（填

(2)-2-V5.

【答案】（1）<

⑵〉

【分析】本題主要考查實數的大小比較，正確掌握實數絲襪大小的方法是解題的關鍵.

（1）首先得出1〈夕—1<2,進而比較得出答案；

（2）直接利用負數比較大小，絕對值大的反而小，進而得出答案.

【詳解】（1）解：<校<3,

Al<V7-1<2,

?V7-1,2

--—<3；

故答案為：<；

（2）解：V2<V5,

—2>—

故答案為：>.

【考點題型十一】估算無理數的大小

【典例11】估計畫-1的值應在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【答案】C

【分析】本題主要考查了無理數的估算，根據題意得到6<何<7是解題的關鍵.先估算出例的范

圍，再得到俯-1的范圍，即可求解.

【詳解】解：36<40<49,

6<V40<7,

5<V40—1<6,

???估計河-1的值應在5和6之間，

故選：C.

【變式11-1］與m最接近的整數是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本題考查了估算無理數的大小,熟練掌握無理數的估算方法是解本題的關鍵.

運用算術平方根的知識進行估算求解即可.

【詳解】解：；32<11<3.52,

.-.3<V1T<3.5,

即與vn最接近的整數是3,

故選B.

【變式11-2］若a,b是兩個連續的整數且a<6m<b,貝必+6的值為.

【答案】9

【分析】此題考查了無理數的估算，估算出4<g<5,a,b是兩個連續的整數且a<同<b,據

此得到a=4,b=5,代入即可得到答案.

【詳解】解：???16<18<25,

/.V16<V18<V25

A4<V18<5

由題意可知，a,b是兩個連續的整數且a<g<b,

??ci—4,b=5

「?a+b=9

故答案為：9

【變式11-3】大于傷且小于舊的所有整數的和是—.

【答案】7

【分析】本題考查估算無理數的大小，掌握算術平方根的定義是正確解答的前提

根據算術平方根的定義估算無理數正，聞的大小，再求大于傷且小于后的所有整數的和即可.

【詳解】解：???2<逐<3,4<V23<5,

.?.大于幾且小于后的所有整數有3和4,其和為3+4=7,

故答案為：7.

【考點題型十二】實數的運算

【典例12】計算

11

(1)74+

⑵-32+|V2-3|+V36.

【答案】（丑

(2)-V2

【分析】本題主要考查了實數混合運算，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算.

(1)利用算術平方根及立方根的定義計算即可；

(2)利用有理數的乘方，絕對值的性質，算術平方根的定義進行計算即可.

【詳解】(1)解：〃+昨I—

1

=2—1——

1

=—?

2，

(2)解：—3?+|V2-3|+V36

=-9+3-72+6

=-V2.

【變式12-1](1)V9-7C-6)2-

(2)^=8+V125+V4

(3)4/-121=0

(4)(2x—1)3+8=0

【答案】(1)0；(2)5；(3)x=±y；(4)x=-|

【分析】本題考查實數的運算及利用平方根、立方根解方程，熟知相關運算方法是正確解決本題的關

鍵.

(1)按二次根式性質及立方根定義化簡再合并即可；

(2)按二次根式性質及立方根定義化簡再合并即可；

(3)按平方根定義解方程即可；

(4)按立方根定義解方程即可.

【詳解】解：(1)原式=3—6+3

=0；

(2)原式=—2+5+2

=5；

(3)4x2=121,

0121

=——，

(4)2x-1=-2

2x=-1,

i

x=——2.

【變式12-2］計算:

⑴|-2|+(-17—際

(2)(-5)2+27+(-3)x

【答案】⑴-2

(2)22

【分析】本題考查了實數的運算；

(1)先算絕對值、立方和27的立方根，再加減即可；

(2)先算乘方，再算乘除，最后算加減.

【詳解】(1)原式=2—1—3

=-2；

(2)原式=25-27x|x|

=25-3

=22.

【變式12-3］計算題：

(1)V4-V8+|-7|+(—1)2023；

(2)已知工(2x+1)2—9=0,求x的值；

4

【答案】(1)6

(2)%=2.5或％=-3.5

【分析】本題主要考查了實數和絕對值的運算、平方根的性質:

(1)利用實數和絕對值的法則進行運算即可；

(2)利用平方根的性質進行運算即可.

【詳解】(1)解：V4-V8+|-7|+(-l)2023

=2-2+7+(-1)

=6；

(2)解：i(2x+I)2-9=0,

4

(2x+1)2—36=0,

(2x+1)2=36,

2x+l=±6,

解得：x=2.5或久=-3.5.

【變式12-4］計算：

(1)-V8+|V3-2|-7(-6)2

(2)(%一5尸一9=7

【答案】⑴―—6

(2)x=1或x=9

【分析】本題主要考查了實數的運算，求平方根的方法解方程：

(1)先計算立方根和算術平方公式，再計算加減法即可；

(2)根據求平方根的方法解方程即可.

【詳解】(1)解：一強+|我—2|—尼型

=-2+2-73-6

=-V3—6；

(2)解：—5)2—9=7,

(x—5)2=16,

—5=±4,

.*.%=1或久=9.

【考點題型十三】二次根式有意義的條件

【典例13】使式子弟在實數范圍有意義的x的取值范圍是()

X-3

A.%。3B.%H—1C.x>1且％。3D.%>—3且%H3

【答案】C

【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，解題的關鍵是熟練掌握二次根式

有意義的條件和分式有意義的條件.根據被開方數為非負數且分母不為0,可求出x的取值范圍.

【詳解】解：：筆在實數范圍內有意義.

x-3

x—12。旦％—3H0,

解得：x>1且久W3,

故選：C.

【變式13-1］若式子反力在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是()

2323

A.x>-B.x>-C.x>-D.%>-

3232

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據二次根式的被開方數是非負數即可得出答案.

【詳解】解：由題意得2x—320,

、3

???X>-.

2

故選：D.

【變式13-2］若式子二石在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是.

【答案】%<2

【分析】根據二次根式的被開方數是非負數列出不等式，解不等式得到答案.本題考查的是二次根式

有意義的條件，熟記二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意得：6-3%>0,

解得：x<2,

故答案為：x<2.

【考點題型十四】二次根式的性質與化簡

【典例14】實數mb的數軸上對應點的位置如圖所示，則化簡J(a—1尸一J(a—療+6的結果是

()

b_____OL

-2-1O1~*~~23~

A.1B.2b—1C.2aD.1—2a

【答案】B

【分析】本題主要考查了實數與數軸，實數的性質.先根據數軸推出b<-1<0<1<須進而得到

a-1>0,a-b>0,據此化簡絕對值和求算術平方根，然后合并同類項即可得到答案.

【詳解】解：由數軸可知，fa<-l<O<l<a,且網>|a|,

ci-1>0,CL—b>0,

J(a-1)2—J(a—b)2+b

=a—1—(a—b)+b

=a—1—a+b+b

=2b—1,

故選：B.

【變式14-1]若7Vt<9,則化簡|5—t|+J(t—10)2的結果是()

A.5B.-5C.2t-15D.15-2t

【答案】A

【分析】本題主要考查可化解絕對值，求一個數的算術平方根，根據7<t<9化簡絕對值，求出

JQ-10尸的算術平方根,然后計算求解即可.

【詳解】解：：7<t<9,

**.|5-t|+—10)2

=t—5+10—t

=5,

故選：A.

【變式14-2】已知2<a<3,則化簡J(a—;r)2+|a—2|的結果為.

【答案】兀-2/-2+兀

【分析】本題主要考查了二次根式，掌握二次根式的性質"篩=|a|”及絕對值的定義是解決本題的關

鍵.

利用二次根式的性質先化簡J(a-兀尸,再利用絕對值的定義化簡得結論.

【詳解】解：J(a—兀)2+1—2]

=|a—TT|+\(1—211

2<a<3,

原式=71—a+a—2

=71—2.

故答案為：71—2.

【變式14-3】把(1-a)匚匚根號外的因式移入根號內，化簡后的結果是_____.

7l-a

【答案】—-1+a

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，二次根式有意義的條件，根據題意可得（1-a）<0,據此利

用二次根式的性質化簡即可.

［詳解］解：（1-a）=-J士.（-at=_析工

故答案為：—7a-1

【考點題型十五】最簡二次根式

【典例15］下列各式中，屬于最簡二次根式的是（）

A.V3B.V12C.Vl?5D.VSa2

【答案】A

【分析】本題考查了最簡二次根式以及二次根式的性質，根據最簡二次根式的定義：二次根式的被開

方式中不含分母，并且不含有能開得盡方的因式或因數，進行判斷即可.

【詳解】解：A、V3,是最簡二次根式，符合題意；

B,V12=2V3,不是最簡二次根式，不符合題意；

C、50=乎，不是最簡二次根式，不符合題意；

D、V3^=V3|a|,不是最簡二次根式，不符合題意.

故選：A.

【變式15-1】下列二次根式，是最簡二次根式的是（）

A.Va2+b2B.V4C.V18D.

【答案】A

【分析】本題考查了最簡二次根式，滿足以下兩個條件：①被開方數不含分母；②被開方數中不含能

開得盡方的因數或因式，像這樣的二次根式叫做最簡二次根式，由此判斷即可.

【詳解】解：A、笆是最簡二次根式，故此選項符合題意；

B、被開方數含有能開得盡方的因數4,所以不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

C、被開方數含有能開得盡方的因數9,所以不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

D、被開方數含有分母，所以不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；

故選：A.

【變式15-2］下列式子中是最簡二次根式的是（）

A.Vn?B.V12C.V14D.J|

【答案】C

【分析】本題主要考查了最簡二次根式的定義，根據最簡二次根式的定義：被開方數中不含能開得盡

方的因數或因式；被開方數因數是整數，因式是整式，進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、而笆=|刈，不是最簡二次根式，不符合題意；

B、V12=2V3,不是最簡二次根式，不符合題意；

C、E是最簡二次根式，符合題意；

D、J|=f,不是最簡二次根式’不符合題意?

故選：C.

【考點題型十六】同類二次根式.

【典例16】下列根式中，與遮是同類二次根式的是（）

A.V24B.V18C.V20D.V12

【答案】D

【分析】本題考查了同類二次根式的定義，根據二次根式的性質把各個二次根式化簡，根據同類二次

根式的定義判斷即可，掌握二次根式的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：A、由值=2逐，與遍不是同類二次根式，不符合題意；

B、由煒=3或，與舊不是同類二次根式，不符合題意；

C、由何=2病，與百不是同類二次根式，不符合題意；

D、由g=2V3,與百是同類二次根式，符合題意；

故選：D.

【變式16-1］如果最簡二次根式7^=7與同是同類二次根式，那么a的值是.

【答案】4

【分析】本題考查二次根式的性質，解題的關鍵是正確理解最簡二次根式以及同類二次根式的概念，

本題屬于基礎題型.根據同類二次根式以及最簡二次根式的定義即可求出答案.

【詳解】解：由題意可知：V20=2V5,

3a—7=5,

a=4.

故答案為：4

【變式16-21迎與最簡二次根式3Gl是同類二次根式，則a=—.

【答案】1

【分析】本題考查了同類二次根式，幾個二次根式化為最簡二次根式后，若被開方數相同，那么這幾

個二次根式叫同類二次根式.

先將強化成最簡二次根式，然后根據同類二次根式得到被開方數相同得出關于。的方程求解即可.

【詳解】解：：佃=2a與最簡二次根式37^不I是同類二次根式，

.,.a+1=2,即：a=1.

故答案為：1.

【變