熱點題型?選填題攻略

專題06數列求通項

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型oiS“法...................................................................................1

n

題型02類S“法已知等式中左側含有：￡咕...................................................2

?=1

題型03累加法.................................................................................3

題型04累乘法..................................................................................4

題型05用“待定系數法”構造等比數列..........................................................5

題型06用“同除法”構造數列...................................................................6

題型07用“倒數變換法”構造等差數列..........................................................6

題型08形如an+1=pan+4"+（〃w1）型.......................................................7

題型09形如an+l=pan+qan_x(p^O)型.........................................................7

o------------題型探析,明規律-----------?>

題型01S“法

【解題規律?提分快招】

①S"=%+。2+“3+an-l+a”；

②S“T=q+4+。3+?a吁I（n>2）

①-②：S“-=a,（〃22）

a

【典例14】（2024?內蒙古呼倫貝爾?二模）已知遞增數列｛%｝的前a項和為4，若q=l,S向+2%+「3=：S”，

則上的取值范圍為（）

A.（0,4）B,（4,+oo）C.（0,3）D.（3,+oo）

【典例1-2】（2023?北京東城?一模）已知數列｛%｝各項均為正數，%=3%,S”為其前〃項和.若｛瘋｝是公

差為I?的等差數列，則％=，??=.

【變式1-1］（2024?全國?模擬預測）已知數列｛?！埃那啊椇蜑镾“，2%+l=3S,，若0<2”對任意的〃wN*

恒成立，則實數f的取值范圍為（）

A.(-3,2)B.[-3,2)C.[-3,2]D.(-3,2]

【變式1-2］（2023?北京?模擬預測）己知數列｛%｝的前〃項和S〃="2+3”+2SeN*）,則數列｛%｝的通項

公式為.

【變式1-3］（2023?北京?模擬預測）設數列料,｝的前〃項和S“=4"T-1,則a“=；使得命題

">乂,"eN*,都有an+1-an>100"為真命題的一個No的值為.

題型02類S”法已知等式中左側含有：￡咕

i=l

【解題規律?提分快招】

已知等式中左側含有：￡。,偽作差法（類似例：已知4+2%+3%+…+嗎,=2"求4,

（典例1-11（2024?江蘇鹽城,模擬預測）若數列｛。"｝滿足2%+T-'a2+■??+2%=4",｛%｝的前〃項和為5?,

則（）

2,n=l

【典例1-2】（2024,廣東廣州?模擬預測）已知數列｛%｝滿足4+30+9/+…+3"一&=（，設數列｛%｝的

前n項和為S,，則滿足S,、<k的實數k的最小值為.

【變式1-1］（2024?天津北辰?模擬預測）設數列｛4｝滿足％+2g+3%+…+"4=2"+l（〃eN*）,則數列

【變式1-2］（23-24高二下?吉林長春?期中）已知數列｛%｝是正項數列，且

樞T---\-yfa~-n2+3n｛neN*）,則^■+與+…+,=（）

A.216B.260C.290D.316

【變式1-3](24-25高三上?甘肅蘭州?階段練習)已知數列｛%｝滿足4+2%+3/++次?”=〃("+2),則

題型03累加法

【解題規律?提分快招】

若數列｛%｝滿足冊+「%=/(〃)(〃eN*),則稱數列｛許｝為“變差數列"，求變差數列｛?！埃耐棔r，利

用恒等式4=%+Q-％)+(。3-。2)+…+(4-4-1)=%+用1)+用恒+/⑶+…+/(九一1)(〃22)求

通項公式的方法稱為累加法。

具體步驟：

/一=/(I)

%-4=/(2)

。4一%=/◎)

=/("T)

將上述1個式子相加(左邊加左邊，右邊加右邊)得：

(“2-4)+(“3—”2)+(。4-%)+「+("”一凡-1)=/(1)+/(2)+/(3)++/(?—1)

整理得：??-a1=/(l)+/(2)+/(3)++/(n-l)

【典例1-1】(2023?北京大興?三模)如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，

后人稱為"三角垛三角垛"的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，

設各層球數構成一個數列｛%｝9=1,%=3,%=6,?4=10,則a=()

〃9

【典例1-2】(2024?北京西城?一模)在數列｛%｝中，%=2,4=-3.數列也｝滿足6“=4+「%(女河9.

若也｝是公差為1的等差數列，則｛b?｝的通項公式為2=,an的最小值為.

【變式1-1](23-24高二下?北京大興?期中)已知數歹式?！埃凉M足％且4=10,則。“的最小

值是()

A.-15-14

C.-110

【變式1-2](2024?河北唐山?二模)已知數列｛4｝滿足。用=。,+%+2",即)=130,則4=()

【變式1-3](2023?云南紅河?一模)已知數列｛q｝滿足：ai=9,an+l-an=2n,貝!]/=()

題型04累乘法

【解題規律?提分快招】

若數列｛許｝滿足&"=/(〃)(〃eN*),則稱數列｛%｝為“變比數列"，求變比數列｛%｝的通項時，利用

a

n--------4-=q./⑴"(2)"(3)?…("22)求通項公式的方法稱為累乘法。

。2。3an-\

具體步驟：

■⑴

ax

%=八2)

。2

幺=/(3)

2=/5-1)

將上述1個式子相乘(左邊乘左邊，右邊乘右邊)得：

"?&="1)./⑵/⑶."("—1)

a]CI3〃1

整理得：^=/(1)-/(2)/(3)-

【典例1-11(22-23高二下?河南南陽?階段練習)已知數列｛4｝的項滿足“用=號％,而q=1,則冊=()

2211

（〃+l）n（n+l）2"-I2n-l

【典例1-2］（23-24高二上?江蘇鹽城?期末）數列｛%｝滿足％=2,%+尸亞口氏（”eN*）,則

n

。2024__

+^^4+???I^^2023

【變式1-1］（23-24高二下?山西晉城?階段練習）已知數列｛4｝滿足，4=1,nan+l=（2n+2）an,則

"100/、

二（）

I^^3+^^4++Cl-yQ0

50515051

A.----B.----C.—D.—

1011019999

【變式1-2］（2022?山西太原?二模）己知數列｛4｝的首項為1,前力項和為S“，且“S角=（”+2）S“，則數

列｛4｝的通項公式%=.

【變式1-3］（2023?陜西咸陽?模擬預測）數列｛風｝滿足4=2,且當=普、（〃eN*且〃>1）,若｛q｝

3〃+13n—2

的前〃項和為S",貝IJ滿足S,>R217的最小正整數〃的值為.

題型05用“待定系數法”構造等比數列

【解題規律?提分快招】

形如40+1=而〃+"（左Q為常數，切片0）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為

許+1+〃?=%（%+咽（其中：m=-^―）,由此構造出新的等比數列｛冊+，科，先求出｛?！?利｝的通項，從而

K-1

求出數列｛見｝的通項公式.

標準模型：??+1=kan+p（匕P為常數，3#0）或％=總?］+。（匕2為常數，kp^O）

2

【典例1-1］已知數列｛%｝滿足。用=§%+4,且4=1,則｛%｝的通項公式為（）

…3t「C—］「D.…+（|「

【典例1-2］若數列｛《,｝滿足，%=2,a?+1=3o?+2（?>l,?eN）,則數列｛《,｝的前〃項和S“=.

【變式1-1］已知數列｛q｝滿足%+i=24+2,4=1,則?！?.

【變式1-2］已知數列｛4｝滿足%M=2%+g,且｛叫前8項和為761,則％=.

【變式1-3］已知數列｛%｝滿足%=-2,且a“+i=3a,+6,貝！|。"=.

題型06用“同除法”構造數列

【解題規律?提分快招】

(1)形如%+i=4%+pq"+i("eN*),可通過兩邊同除將它轉化為寢■=2+",從而構造數列?

qq［qJ

為等差數列，先求出I3］的通項，便可求得｛《,｝的通項公式.

n+in+l

(2)形如4用=kan+q(〃eN*),可通過兩邊同除q,將它轉化為索=+1，換元令：仇=之,

qqqq

k

則原式化為：bn+l=-bn+l,先利用構造法類型1求出4，再求出｛凡｝的通項公式.

q

(3)形如許-%+1=3"+1即(左工。)的數列，可通過兩邊同除以即+1%,變形為」--2=-左的形式，從而

。〃+1冊

構造出新的等差數列先求出］，1的通項，便可求得｛aJ的通項公式.

【典例1-1］已知數列｛q｝滿足。角=34+3"(〃wN*),且弓=1,則數列｛叫的通項公式為.

【典例1-2】數列｛?！埃凉M足卬=2,〃用=2%+2用，則數列｛q｝的通項公式為%=.

【變式1-11數歹?。荩?｝滿足％=2,。同=3%+2M,則數列｛%｝的通項公式為%=.

【變式1-2］記數列｛4｝的前〃項和為3若為=2,2.用-3%=2",則十晨=.

【變式1-3］已知數列｛q｝的首項為4=1,且滿足。用+%=3x2",則a“=.

題型07用“倒數變換法”構造等差數列

【解題規律?提分快招】

類型1:形如冊+1=上」(。應為常數，。行。)的數列，通過兩邊取“倒”，變形為，=工+'，

pan+qan+lanq

即：從而構造出新的等差數列先求出的通項，即可求得冊.

ka

類型2：形如4+i=——n(PM為常數，〃w0,鄉。0,左。0)的數列，通過兩邊取“倒”，變

PM+q

qIpap

形為——1=￡—+：，可通過換元：〃7=一1，化簡為：優+i=/d+f(此類型符構造法類型1：用“待

%+ikankankk

定系數法''構造等比數列：形如?！?1=肌”+。(匕。為常數，kp片0)的數列，可用“待定系數法”將原

等式變形為即+1+機=左（即+〃，）（其中：“7=4），由此構造出新的等比數列｛%+m｝,先求出｛許+相｝的

k-1

通項，從而求出數列｛凡｝的通項公式.）

【典例1-1］己知數列｛4｝的首項4="且a用=J］，,+,+L+'<2025,則滿足條件的最大整數

n=.

「、1

【典例1-2】數列｛。“｝中，若4=1,凡包=式尸，則—=-

【變式1-1］己知數列｛4｝滿足4=1,a向=肅力，（〃eN*）,則氏=.

【變式1-2］已知數列｛%｝滿足％=l,2an+1-an+a?an+l=0（neN*）,則數列｛%｝的通項公式為.

【變式1-3］已知數列｛”“｝滿足％=；,且““+L/R，則數列｛%｝的通項公式為%=.

題型08形如4+1=夕%+W+77?（。/1）型

【解題規律?提分快招】

滿足%+i=P%,+w（2。1）的數列｛%｝的通項公式的求法：

設a?+1++1）+5=p［an+An+B］,通過待定系數法確定A,5的值，轉化成以4+A+8為首項，

以P為公比的等比數列｛4+An+B｝,再利用等比數列的通項公式求出｛an+A”+5｝的通項整理可得an

【典例1-1］在數列｛叫中，已知弓=2,且〃向=4見-3〃+l（“eN*）,則該數列的通項公式為.

【典例1-2］在數列｛《,｝中，%=3,且％=3a“+4〃-6（/eN*）,則｛4｝的通項公式為.

【變式1-1］設數列｛4｝滿足q=4,%=3%+2K“22）,則數列｛%｝的通項公式為.

【變式1-2］若4=1，%+i=2a,-3"，wwN*,則?！?;

【變式1-3］在數列｛%｝中，已知q=3,且q用=3q,+4〃-6（〃eN*）,若7004a047000,則九取值的集合

為.（用列舉法表示）

題型09形如??+i=Pa“+qa“_［（pX0）型

【解題規律?提分快招】

滿足a.=P%+qa.i（。w0）的數列｛%｝的通項公式的求法：

可以將遞推式化為。用一當%=%（4-芯/_1）,其中再，馬是方程/一小―4=0的兩個根，若1

是方程的根，則直接構造數列｛氏-a—J;若1不是方程的根，則需要構造兩個數列，采取消元的方法求

數列｛4｝.

【典例1-1］已知數列｛%｝滿足?！?2+3凡=4乙+1,且。2=5,%=17,對VwwN*,（-iy'2（a?+l）<a?,則

數列｛%｝的通項公式是;實數％的取值范圍是.

【典例1-2］已知數列｛4｝中％=1,a2=-,且滿足4a4+i=4a“-a“_i（neN,心2）,則。“=.

o-----------題型通關?沖高考-----------*>

一、單選題

1.（2024?廣東河源?模擬預測）記S,為非零數列何｝的前〃項和，若S,M=2S“，”WN*,則?=（）

A.2B.4C.8D.16

2.（2024?河南?模擬預測）已知數列｛4｝,｛"｝中，fl］=2,b1=6,an+x=2an,bn+l=2bn-an,若冊=粼，則機=

（）

A.4B.5C.6D.7

3.（2024洞北?模擬預測）已知函數〃》）滿足〃》+1）-〃力=2》-1,且〃0）=1,設數列｛風｝滿足％,=〃“）,

則數列｛4｝的前“項和的表達式為（）

A./—2〃+2B.n2—n+1

9-1)(21)n(n+I).

cD.———--n+l

?62

4.（23-24高二下?山西晉城?階段練習）已知數列｛4｝滿足，%=1,〃。用=（2"+2）%，則

“100-zX

一()

CL??^^3+^^4++QQ

50515051

A.B.---C.—D.—

1011019999

5.(2024?山東濟寧?三模)已知數列｛%｝中，4=2,%=1,a?+1=a?-a?_1(?>2,〃wN*),則%024=()

A.-2B.-1C.1D.2

6.（2024?河南?模擬預測）已知數列｛%｝滿足」一=:,且%=：,則％ou=（）

an+l5%$4

口丫?！?1011031010rriY010

bJi+31011i+31010bJ

7.（2024?湖南永州?三模）已知非零數列｛%｝滿足2%用-2"+2a,=0,貝|］詠=（）