四川省自貢市田家炳中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月檢測

數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.直線/經(jīng)過點和（i,o）,則直線/的傾斜角為（）

27r3萬_n

A.—B.—C.一

343

2.已知空間向量值=（一1,2,1）,b=（3,x,-3）,且,//B，則x=（)

A.-3B.3C.-6D.6

3.在數(shù)列｛〃〃｝中q=1,a.=%+〃+L則4o=（）

A.36B.15C.55D.66

4.四棱柱的底面NBC。是邊長為1的菱形，側(cè)棱長為2,且

ZCiCB=ZCiCD=ZBCD=6（P,則線段4。的長度是（）

A.V6B.叵C.3D.VTT

2

fv2

5.設(shè)雙曲線C：--2L=1（Q>0,b>0）的左、右焦點分別為B,F2,離心率為右.尸是

ab

C上一點，且尸/尸，尸2尸.若的面積為4,則a=（）

A.1B.2C.4D.8

6.已知拋物線/=2加（/?>（））上一點/（加/）到其焦點的距離為0,。為坐標(biāo)原點，則

=（）

A.2B.VsC.4D.5

7.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周

22

率兀等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓二+4=1（。>6>0）的右焦點為

a2b2

廠（3,0）,過F作直線/交橢圓于42兩點，若弦4B中點坐標(biāo)為⑵T）,則橢圓的面積為（）

A.366TlB.18071C.9亞兀D.6島

8.在長方體力3。。-44￡。1中，AB=AD=2,AAX=\,。是/C的中點，點P在線段4G

試卷第1頁，共4頁

上，若直線OP與平面/CA所成的角為e,貝hose的取值范圍是（）

V2邪V2V6百萬

A.B.C.T'T

二、多選題

9.已知S”是等比數(shù)列｛%｝的前〃項和,邑，W，S6成等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）

A.。2+。5=2。8B.。3+。6=2。9

C.=〃2,%D.=〃3,%

22

10.已知雙曲線C:-^+工=1（0〈人＜1）,則（）

9-kk-1

A.雙曲線。的焦點在x軸上

B.雙曲線C的焦距等于4夜

C.雙曲線C的焦點到其漸近線的距離等于“二1

D.雙曲線C的離心率的取值范圍為1,

11.已知正方體N28-44GA的棱長為4,E尸是棱上的一條線段，且跖=1,點。是

棱4。的中點，點尸是棱G2上的動點，則下面結(jié)論中正確的是（）

A.尸。與EF一定不垂直B.當(dāng)尸跖的面積是2拒

C.點P到平面。￡尸的距離是定值述D.二面角尸-￡尸-。的正弦值是巫

510

三、填空題

12.已知空間向量￡=（-3,1,5））=（1,羽-1）,且￡與石垂直，則x等于.

13.設(shè)橢圓C:旦+廣=1（。＞6＞0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)],尸是C上的點，PF

?2b22

NPKB=30。，則橢圓C的離心率等于

14.已知數(shù)列｛4｝,滿足不等式2%44_1+%+]（其中〃eN*,〃N2）,對于數(shù)列｛4｝給出以

下四個結(jié)論：

試卷第2頁，共4頁

(T)%—%—^3—。2；

②數(shù)列｛%｝一定是遞增數(shù)列；

③數(shù)列｛%｝的通項公式可以是。“=2”；

④數(shù)列｛%｝的通項公式可以是。"="2-6”.

所有正確結(jié)論的序號是.

四、解答題

15.已知圓。：％2+丁=8內(nèi)有一點尸(T2),直線過點尸且和圓C交于4,8兩點，直線/

的傾斜角為a.

(1)當(dāng)a=135。時，.求4B的長;

(2)當(dāng)弦42被點尸平分時，求直線/的方程.

16.設(shè)等差數(shù)列｛.｝的前"項和為已知g=12,且S/2>0,Si3<0.

(1)求公差d的取值范圍；

(2)問前幾項的和最大，并說明理由.

17.已知點尸(1,加)在拋物線C:y2=28(p>0)上,1為焦點,且附=3.

(1)求拋物線C的方程；

⑵過點？(4,0)的直線/交拋物線C于48兩點，O為坐標(biāo)原點，求次?礪的值.

18.如圖1,在A48C中，D,E分別為,NC的中點，O為DE的中點，AB=AC=25

BC=4.將△4DE沿DE折起到△&￡>￡的位置，使得平面4DE，平面3CED,如圖2.

(2)求直線AiE和平面AiOC所成角的正弦值;

試卷第3頁，共4頁

(3)線段4c上是否存在點F，使得直線DF和BC所成角的余弦值為由？若存在，求出芟

34c

的值；若不存在，說明理由.

丫225

19.如圖，已知橢圓二+方v=1(°>6>0)的離心率為苧，以該橢圓上的點和橢圓的左、右

焦點耳耳為頂點的三角形的周長為4(行+1).一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)尸為

該雙曲線上異于頂點的任一點，直線小和坐與橢圓的交點分別為4B和C、D.

(I)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)直線PF、、PF2的斜率分別為《、k2,證明尢尢=1；

(III)是否存在常數(shù)2,使得|/同+|。|=川/郎|。必恒成立？若存在，求2的值；若不存在,

請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCCDABCDABACD

題號11

答案BCD

1.D

【分析】算出直線的斜率后可得其傾斜角.

-1-0

【詳解】設(shè)直線的斜率為左，且傾斜角為。，則左=丁一=1,

0—1

冗

根據(jù)tana=1,而故。=^,故選D.

【點睛】本題考查直線傾斜角的計算，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【分析】利用向量平行列方程直接求得.

【詳解】因為空間向量之=（-1,2,1）,b=（3^,-3）,且Q//B，

3r-3

所以一;=：;=7,解得：x=-6.

-121

故選：C

3.C

【分析】利用遞推公式，代入。10=（%o-。9）+（。9-%）"1------%計算即可.

【詳解】由題意得知+1-4=〃+1,

e/、/、/、(1+10)x10

貝！JQ]0—(%()-%)+(。9—)+°，,+@2-升4=]N畀…+2i-1=------------=55.

故選：C.

4.D

【分析】根據(jù)空間向量運算法則得到直=麗+屈+西，再利用模長公式進行求解.

【詳解】因為NGCS=NGCD=ZBCD=60°,|c5|=|c5|=1,|CQ|=2,

所以麗.麗=|麗卜cos60°=g,CDCC=\,CBCC=\,

H^jC4=c3+cc\=CD+CB+CC1,

所以C4=[CD+CB+CCl)

答案第1頁，共13頁

I---?|2I---?|2I-----Q--------?-------------?

=\CD\+p|+/11+2CDC5+2CDCG+KBCG

=l+l+4+2x-+2xl+2xl=ll,

2

所以|瓦卜而，即線段4c的長度是而.

故選：D.

5.A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.

【詳解】?：?=出，”=島，根據(jù)雙曲線的定義可得||咫|-忸工||=2°,

SAPFFz=；|平H%|=4,即|小卜|尸用=8,

?.?片尸上巴？「閭2=（2城，

.-.(|P^|-|P^|)2+2|P^|-|FF,|=4C2,即/_5/+4=0,解得4=1,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式

的應(yīng)用，屬于中檔題.

6.B

【分析】利用拋物線的定義求解即可.

【詳解】

1+勺P，解得:P=2,拋物線X?=4了，則/（2,1）或/（一2,1）,則

10^1=75,

故選：B.

7.C

【分析】利用作差法構(gòu)建斜率、中點坐標(biāo)相關(guān)方程與，再結(jié)合C=77萬

xx-x2必+y2Q

即可求解出a、b,進而求出面積.

答案第2頁，共13頁

22

X

1M

-+

一

2鏟22

Qy^

11

【詳解】設(shè)小,必),B(x,y),則有＜22,兩式作差得:

22X

2%

-+

一2F

Q

即左=4，

x,-x2y1+y2a

弦45中點坐標(biāo)為Q,T),則左二一否+”義烏=—/冬,

%十為QTQ

又?.?斤=^^=1,—x-^,：,a2=2b2,

3-2-1a2

又■:c=y/a2-b2=3，；?可解得a=3A/2?b=3,

故橢圓的面積為abn=9A/2TI.

故選：C

8.D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得sin。的取值范圍，由此求得sin。，即可得

解.

【詳解】以。為原點，分別以所在直線為xj,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示

則。(0,0,0),/(2,0,0),C(0,2,0),0(1,1,0),口(0,0,1),

ULUL1ULILUUli

設(shè)尸(a,2-a,l)(O4aW2),則。尸=(a-1,1-0,1),4。產(chǎn)(-2,0,1=12,2,0),

設(shè)平面NC2的法向量為J=(x,y,z)

萬.4〃=—2x+z=0人一/…八

則萬?就=-2x+2y=0'j=1，倚D

ruur

n-OPQ—1+1—CL+21

所以sin。=Ti-tttfatfrfr-----------/

22

mmV6j(?-1)+(1-?)+f1

由于

21227

/.sin3-=Gsin2Oe.,/.1-sin20e

l2+2953?9

答案第3頁，共13頁

--i___________\n6

由于Oe0,—,所以cos0=V1-sin20e—

9.AB

【分析】根據(jù)題意，分情況進行討論，然后利用等差中項的性質(zhì)即可求解.

【詳解】若公比4=1有$3=3%,$6=6%,5=9%,

此時羽/邑+"，故公比六1,

由題意2sg=星+An2%（＞"=%（＞"+%（,"I

\-q\-q\-q

化簡有4+/=2/，兩邊同時乘以％,可得：a2+a5=2as.

兩邊同時乘以。聞，可得：a3+a6=2a9

故有+%=2/或+&=2as，

選選：AB.

10.ACD

【分析】根據(jù)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，對各選項逐一分析即可得答案.

【詳解】解：對A：因為0〈左＜1,所以9一左＞0,左一1＜0,

22

所以雙曲線C:———J=l（0〈左〈1）表示焦點在X軸上的雙曲線，故選項A正確；

9-k\-k

對B：由A知。2=9—左,/＞2=1—左，所以。2=〃2+62=10—2^,所以J10-2k,

所以雙曲線。的焦距等于2c=2J10-2左（0＜左＜1）,故選項B錯誤；

22

對C：設(shè)焦點在X軸上的雙曲線C的方程為--4=l（a＞0,6＞0）,焦點坐標(biāo)為（土c,0）,則

ab

漸近線方程為y=±2x,即土砂=0,

a

答案第4頁，共13頁

\bc\

所以焦點到漸近線的距離4=/「，=b

y]a2+b2

22______

所以雙曲線c：H-六=1(。<左<1)的焦點到其漸近線的距離等于vr^,故選項c正

確；

對D：雙曲線C的離心率6=

Q1A

因為0〈左<1，所以1<2-----<一，所以e=故選項D正確.

9-k9

故選：ACD.

11.BCD

【分析】對于A,利用特殊位置法，當(dāng)點P與點2重合時即可判斷；對于B,利用正方體

性質(zhì)找點到直線的距離，計算三角形面積；對于C,利用線面垂直的性質(zhì)定理可得是的高，

再利用三角形的面積公式求解即可；對于D,建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量,

利用向量法可求得二面角的余弦值的絕對值，從而即可求得.

【詳解】對于A,當(dāng)點尸與點R重合時，由正方體的性質(zhì)易得尸。1面而昉u面

ABBXAX,所以尸0，瓦"故A錯誤；

對于B,點尸到跖的距離"="^=4收，所以邑團=白4亞xl=20.故B正確;

對于C,由于平面PEF就是平面ABC}D},

所以點。到平面PEF的距離為14。=后，所以即=}20x0=g,

又因為點Q到AB的距離為QA="+22=23'，所以S.婀=；xlx2指=6.

設(shè)點P到平面。跖的距離為〃，則;?邑2EK“=g,所以〃=?，故C正確；

對于D,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，0(2,0,4),設(shè)E(4,f,0),尸(4,/+1,0)?>0),尸(0,",4),

所以市=(0,1,0),近=(4,f一一4),QE=(2J,-4),

-仿屈=0b=0

設(shè)平面PEF的法向量為〃=(七,弘，4),貝一,即|...n,

n-PE=0[4X]+?-〃)％-4Z]=0

答案第5頁，共13頁

令3=1,得必=0,4=1,則〃=(1,0,1),

m-EF=0%=0

設(shè)平面。射的法向量為加=(工2/2/2),貝卜一，即

m?QE=02X2+ty2-4Z2=0'

令々=2,得％=0,s2=1，則蔡=(2,0,1),設(shè)二面角尸-跖-。的平面角為。，

則cosa=k0s(〃,%)=」=所以sina=-；==----，故D正確;

I\'n'|mlV1010

【分析】利用向量垂直充要條件列出關(guān)于X的方程，解之即可求得X的值

【詳解】空間向量2=(-3,1,5)I=(1,X,T),且Z與g垂直，

則-3xl+x+5x(-l)=0,解之得x=8

故答案為：8

13.2^/173

33

【分析】由已知可得P點坐標(biāo)，在Rt△冏鳥中，由/尸片工=30。，可得2c=g?,結(jié)合橢

圓的性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖所示,L(c,0),

答案第6頁，共13頁

在中，ZPF,F2=30°,

2c=V3x—,得2ac=g（〃2一。?），

a

整理得02+宜3-1=0,ee（0,l）,

3

解得e=".

3

故答案為：皂.

3

14.①③④

【分析】求得知-%與%-電的大小關(guān)系判斷①；舉反例否定②；利用題給條件證明數(shù)列

｛%｝的通項公式可以是%=2"肯定③；利用題給條件證明數(shù)列｛4｝的通項公式可以是

a?=n2-6n肯定④.

【詳解】數(shù)列｛%｝滿足不等式2為4％+4用（其中〃eN*,〃22）,

則有a?-4T<an+l-an（其中〃eN*,〃W2）,

①由a3-a2<aA-a3,可得。4-%2%-%.判斷正確；

②當(dāng)%=6時，滿足2an<a,i+an+l,數(shù)列｛%｝為常數(shù)列.

則數(shù)列｛%｝不一定是遞增數(shù)列.判斷錯誤；

③當(dāng)%=2"時，由2"T>0,可得2X2"42"T+2"*I,

即不等式2g+an+l成立，則數(shù)列｛%｝的通項公式可以是%=2".判斷正確；

④當(dāng)an="2-6〃時，

答案第7頁，共13頁

2a“+?,+])=2("2—6")—[1-1)—6?-1%(?+l)—6,+1%—2<0

2

則不等式2a“<a,i+an+l成立，則數(shù)列｛aJ的通項公式可以是a?=n-6n.判斷正確；

故答案為：①③④

15.(1))730

⑵x-2y+5=0

【分析】(1)寫出直線方程，求出圓心到直線的距離，由勾股定理求得弦長；

(2)求出圓心與尸點連線斜率，從而得直線/斜率，得直線方程；

【詳解】(1)由題意直線的斜率為左=tanl35o=-l,直線方程為y-2=-(尤+1),即

x+y—1—0,

圓心為C(0,0),圓半徑為廠=2行，

C到直線AB距離為d=,

Vl2+122

所以|A8|=2產(chǎn)彳=2,(2物2_(,2=顧.

21

(2)弦45被點尸平分，則CP_L,又后CP=-7=—2，所以左25=彳，

直線4B方程為>-2=夫+1),即x-2y+5=0；

24

16.(1)<t/<-3；(2)數(shù)列前6項和最大，理由見解析.

【分析】(1)利用等差數(shù)列前〃項和公式，由S2>0,S/3<0可求出結(jié)果；

(2)利用等差數(shù)列前〃項和公式，由S/2>0，S/3Vo推出&〉0，。7<0后可得結(jié)果.

【詳解】(1)Vti3=12,：.ai=n-2d,

112a+66d>024+7d〉0

V5；2>0,Si3<0,/.j,所以

13%+78d<03+d<0

.24

所以---<d<-3.

12(4+。12)二0

I”2,所以%+〃i2〉0

(2)VS72>0,Si3<0,所以<

13(%+%)：0+/3<0'

2-

答案第8頁，共13頁

[外+為>0

所以r二，所以。6>0，%<0，

[2%<0

又d<0,所以數(shù)列前6項為正數(shù)，從第7項起為負(fù)數(shù).

，數(shù)列前6項和最大.

17.(l)y2=8x

⑵次匈=-16

【分析】(1)首先根據(jù)焦半徑公式|P^=Xp+],求解P,得到拋物線方程；

(2)設(shè)/(三,%),8包,％),設(shè)直線x=7+4,與拋物線方程聯(lián)立，求得必％,再利用點在

拋物線上得到再馬，從而求得04-0B的值.

【詳解】⑴拋物線C：V=2px(p>0),焦點廠已0),由附=1+勺3得。=4.

拋物線C得方程為/=8兀

(2)依題意，可設(shè)過點7(4,0)的直線/的方程為x="+4,

y2=8x,

由得y-88—32=0,

x=ty+4

設(shè)4(再,M),8(%2，%)，貝！1%％=—32,

XX

?**22=反于X§%2=16,OAOB=xxx2+yxy2=-16.

18.(1)見解析

巫

10

-4歹1

⑶存在；1^=3

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的特征，可以得出4。，。石，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理,

可以得出4。，平面3CE。，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可以得出4。，80；

(2)根據(jù)題中的條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得結(jié)果；

(3)關(guān)于是否存在類問題，都是假設(shè)其存在，結(jié)合向量所成角的余弦值求得結(jié)果.

【詳解】(1)因為在A4BC中，D,E分別為48,/C的中點，

所以DE//BC,AD=AE,

答案第9頁，共13頁

所以4。=4￡,又。為DE■的中點,

所以

因為平面4DE_L平面BCED,且4。u平面AXDE,

所以4。_L平面BCED,

BDu平面BCED,

所以4。，50.

(2)取8c的中點G,連接OG,所以0EL0G,

由(1)得Afl1OG.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z.

由題意得：4(0,0,2),￡(0,1,0),0(0,0,0),C(2,2,0)

所以章=(0,1,-2),西=(0,0,2),云=(2,2,0),

設(shè)平面AXOC的法向量為〃=(x,y,z),

n-OA=0[2z=0

則:，即cqn，

n-OC=0[2x+27=0

令x=l,則y=-l,z-0,所以7=(1,-1,0).

設(shè)直線4E與平面AXOC所成的角為。，

則而,=向(章用卜*=1*=*?

(3)假設(shè)線段4c上存在點尸適合題意，

答案第10頁，共13頁

設(shè)乖=2詬，其中4e[0,l].

設(shè)/(再,％,zj,則有(占,%Z]-2)=(22,22,-22),

所以無I=22，M=2A,Z[=2-22,從而產(chǎn)(22,22,2-22),

所以方=（24,22+1,2-22）,又就=（0,4,0）,

?______,~DF~BC4|22+1|

所以cos(DF,BC)\=一|一

11DF\\BC4^(22)2+(22+1)2+(2-22/

__________|2.+1|__________力

V^（2A）2+（22+l）2+（2-22）23'

整理得3儲_7幾+2=0,

解得力=；,舍去2=2.

AF1

所以線段4c上存在點尸適合題意，且差=不

【點睛】該題屬于典型的立體幾何問題，第一問證明線線垂直，需要將空間關(guān)系都理清，把

握住線線垂直、線面垂直、面面垂直的關(guān)系，即可得出結(jié)果；第二問求的是線面角的正弦值,

正好是直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值的絕對值;第三問屬于是否存在類問

題，在解題的過程中，需要我們先假設(shè)其存在，按照題的條件進行求解，如果推出矛盾，就

是不存在.

22

19.（I）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

84

^-￡=1（IDkl-k2=^—=\.（Ill）存在常數(shù)加3在使得|/回+|。|=川/創(chuàng)恒

44%-48

成立，

【詳解】試題分析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為C,由題意知：￡=巫,