專題44三角函數(shù)恒等變形

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】輔助角1：基礎(chǔ)（化正與化余）................................................1

【題型二】輔助角2：非特殊角的輔助角..................................................2

【題型三】輔助角3：最值..............................................................3

【題型四】恒等變形1：“互余與互補(bǔ)”拆角...............................................4

【題型五】恒等變形2：拆角（和與差）..................................................5

【題型六】恒等變形3：拆角（30土a,60土。等）.........................................6

【題型七】恒等變形4：拆角（分式型）..................................................6

【題型八】恒等變形5：正切............................................................7

【題型九】恒等變形6：求角............................................................8

【題型十】恒等變形7：二倍角與降累....................................................8

【題型十一】恒等變形8：正余弦對(duì)偶式（平方）..........................................9

【題型十二】恒等變形9：正余弦對(duì)偶（和、差與積）.....................................10

二、真題再現(xiàn)..................................................................................11

三、模擬檢測(cè)..................................................................................12

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】輔助角1:基礎(chǔ)（化正與化余）

【典例分析】

6.a^6a

---sin—Fcos—

化簡(jiǎn)：6262

【提分秘籍】

基本規(guī)律

特殊角的的輔助角，源于正余弦“兩角和與差”公式

sin（（z+6）=sinacosp+cosasinp（S（a+/?））正余余正

sin（“一0=sinacosA—cosasin/（Sg一份）正余余正正角減余角

cos（a+0=cosacos少一sin“sin夕（C（a+//））余余正正偶函數(shù)。誰減誰無所謂cos?

—jff）=cos（jff-a）

cos（a—fl）=cosacosfl+sinasinfl（C（a-/?））

【變式演練】

V3sin—+cos—

1.化簡(jiǎn)：22

2化簡(jiǎn)：cosa-sina

l2k—4

（2021?全國?高三課時(shí)練習(xí)）若sinx+Kcos尤——，則上的取值范圍是（）

3及+3

A.13,一5

C.（-3,+oo）D.（-8,-3）［-3,-g

【題型二】輔助角2：非特殊角的輔助角

【典例分析】

（2022?全國?高三課時(shí)練習(xí)）當(dāng)函數(shù)y=3cosx-4sinx取得最大值時(shí)，tanx的值是（）

【提分秘籍】

基本規(guī)律

b

非特殊角的輔助角應(yīng)用，雖然可以用公式tan。=—,但是處理拔高題，僅僅簡(jiǎn)單的用此公式是遠(yuǎn)遠(yuǎn)

a

不夠的，要學(xué)會(huì)推導(dǎo)過程。知其然知其所以然。并且，深層次應(yīng)用，不僅僅會(huì)“化正”，更要會(huì)“化

余”。

22ab1

asina+bcosa-y/a+b[/sm/cosa\

AMM7荷$

(1)正弦形式，〃2+/sin(a+/?)：sina.cos，士cosssin4=sin(a±夕),

其中：cosyff=—7=^=,sin(3=b

{a2+b?

(2)余弦形式，〃2+/72cos(a-。)：cosscos尸土sina?sinQ=cos(a/?),

b

其中:

耳+/

【變式演練】

1.(2022?河南河南?模擬預(yù)測(cè)(理))己知函數(shù)/(x)=2sinx+3cosx在彳=。處取得最大值，貝i］cosp=()

A3713R2x/13「2A/133而

A.----D.----C.------nD.------------

13131313

2.已知3cosa—4sina=5,貝！Itana=

3.(2020?全國?高三課時(shí)練習(xí))若函數(shù)/(x)=2sinx+cosx在［0,a］上是增函數(shù)，當(dāng)a取最大值時(shí)，sina的

值等于()

A.好B?半R2A/5NA/5

555

【題型三】輔助角3：最值

【典例分析】

已知函數(shù)〃x)=sin5+acos5,周期T。，唱「叔且在》=看處取得最大值，則使得不等式

胃42a恒成立的實(shí)數(shù)彳的最小值為()

X△R6「小p.6

A.o.U.L).

10111213

【提分秘籍】

基本規(guī)律

輔助角滿足：____________

asina+bcosa=da2/sin(a+0),所以-[a2/<asina+bcosa<y/c^+b2

【變式演練】

ijrjr

1.(2020?江西?南昌市八一中學(xué)高三開學(xué)考試)函數(shù)/(x)=-sin(x+—)+cos(x--)的最大值是()

363

C.1

2..若G>0,函數(shù)f&）=3sineox+4cos%（。<x-勺的值域?yàn)橹瘼?則cos償3）的取值范圍是.

3.（2015?河北唐山?一模（文））函數(shù)/（%）=同11%|+21cosX的值域?yàn)?/p>

A.[1,2]B.[0,3]C.[2,6]D.[1.V5]

【題型四】恒等變形1：“互余與互補(bǔ)”拆角

【典例分析】

JT1

（2021?四川德陽?高三期末）已知點(diǎn)尸（。,㈤是y軸上到A。,1）,3（2,4）距離和最小的點(diǎn)，且cos（?-J）=一,

3m

則sin（2aj）的值為（用數(shù)據(jù)作答）.

O

【提分秘籍】

基本規(guī)律

利用誘導(dǎo)公式來構(gòu)造

【變式演練】

=sin]cos|

COS-a]

6

1.（2022?全國-高三專題練習(xí)（文））已知。為銳角，且-i)人則

B

A.—B."C.1D.

222

2.（2021.廣東北江實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知sin（6+

二針貝ijsin()

7755

A.-B.——C.——D.

9999

3.（2022?廣東?廣州市第四中學(xué)高三階段練習(xí)）已知sin[7萬_V3

+a-—,則C0SIT-2a=(

~673l)

J_

A.--B.--C.-D.

3333

【題型五】恒等變形2：拆角（和與差）

【典例分析】

(2022?四川?射洪中學(xué)高三階段練習(xí))若。，尸都是銳角，且cosa=@，sin(?+^)=|,貝"os￡=

53

區(qū)5B.正C.短或型D.好或立

255255525

【提分秘籍】

基本規(guī)律

拆角變形要注意：

(1)角的范圍的判斷；

(2)根據(jù)條件進(jìn)行合理的拆角，如分=9+尸)-&,2a=9+￡)+3-月)等；

(a=(a+6)一月，a=/3—^/3—oc^,a:=—+p^+(^a—/3^=—+/7)—(/?—,

=,a+/3=(2a^-/3)-a,

2a=(a+^)+(a-/?),2/3=(a+/3)_(a_/3)等.

()3)盡量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范圍縮小.

【變式演練】

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知sin(473則cos(

cr+—1+sincr=--------，等于

5

43「34

A.—B."-C.—D.

555’5

2.(2022?云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知sina=2也，cos(a-/?)=^^,

M0<a<—,

74

37r

0<^<—,貝|sin〃=()

4

A9A/15r11ac巫D①

,3535,三35

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知a,0w(0,兀)，+=,cos13+—=——貝ljcos(2a_0=

I63

5石「5A/3D.B

A.B.X_z.--------------

-9~—"T93

【題型六】恒等變形3:拆角(30土斯60土口等)

【典例分析】

(2023?全國?高三專題練習(xí))求4cos50。-tan40。的值()

A.1B.3C.V2D.73

【提分秘籍】

基本規(guī)律

拆角時(shí)，可以拆為一,一,一的加減關(guān)系

346

/3={a+f3)-a,2a={a+/3)+{a-/3)

【變式演練】

2cos10

1.（2019?重慶市泰江南州中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））-tan20=

sin70

A.1B.心工C.73D.W

22

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)1——2cos20。所得的結(jié)果是（）

2tan20°

A.-B.1C.-D.2

422

cos350°-2sin160°_

3.（2021.全國?高三專題練習(xí)）

sin(-190°)

B.-B

A.一6

2

\_z.----D.

2

【題型七】恒等變形4：拆角（分式型）

【典例分析】

（2022?全國?高三專題練習(xí)）sin242cos-2=（）

3cos36+1

【提分秘籍】

基本規(guī)律

分式型最終目標(biāo)是分別把分子分母化為積的形式，便于約分來化簡(jiǎn)。

【變式演練】

1.（2022?江蘇揚(yáng)州?高三開學(xué)考試）cos55o+sin25Ocos60。（）

cos25°

A.一3B.也C.--D.1

2222

2.（2018?廣東?華南師大附中高三期末）（2百sin70。-tan70。）sin80。=

A.1B.且C.6D.1

22

【題型八】恒等變形5：正切

【典例分析】

2sin2a

（2022?云南省下關(guān)第一中學(xué)高三開學(xué)考試）若tan（z=3,則二X的值為（）.

I4J

.’33

A.—3B.—6C.-----D.--

105

【提分秘籍】

基本規(guī)律

正切有關(guān)的恒等變形與求值：

主要運(yùn)用tana+tan尸=tan（a+尸）（1-tanatan尸）

【變式演練】

1+tana+tanp-tanLtan￡

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知。+￡=15,則)

1-tan?-tan-tanatan/?

6B3布

V.TC.1D.

則l+sin2"=()

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知tana=2,

cos2a

A.-3B.--C.3D.-

33

,(71)=3,tan(a+/7)=；,貝|tany0=(

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知tan|a+-)

l4

A.—B.—C.1D.2或6

77

【題型九】恒等變形6：求角

【典例分析】

5tanoc|

（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知兀），sin（o—分）=不，高/=一“貝肥+△=（）

A.-71B.兀C.—71D.口兀

666

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求角

1.拆角技巧

2.注意角的范圍

【變式演練】_

1.(2022?江蘇省濱海中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知cos(a—")=@，cos2a=20,aG(0,g),￡G(0,兀)，且a<

5102

B，則a-\-P=()

A.上B.型C.D.物

4464

2.(2022.江蘇省江陰高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試)已知tana=；,tan/?=T，且a,￡e(0㈤，則2a-夕=()

41

3.（2020?全國二專題練習(xí)（理））設(shè)。、尸￡（0,—）tancc—tan/?=—,則（）.

2cosp

,JTTTTTTT

A.2a-/3=—B.3a-B=5C.2a-\-/3~—D.3a+J3=—

【題型十】恒等變形7：二倍角與降幕

【典例分析】

（2023?全國?高三專題練習(xí)）2sinl8Ocos36。的值為（）

A.3B.1C.-D.2

22

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.二倍角公式

sin2a=2sinacosa（Sia）

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a_1=1—2sin2a（Cia）

2.降塞公式：cos2a=比2，sin2a=上好

3?升塞公式：1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a

1+cosa=Icos2^,1—cosa=Isin2^.

【變式演練】

sin0+cos8+1

1.（2022?全國?高三課時(shí)練習(xí)）已知2sin0—cos6=l,貝ijsin。-cos6+l的值為（

A-iB.0C.2D.0或2

2.（2022.全國.模擬預(yù)測(cè)）已知3,371,2_,則同1+cos2a)

cos2a+sin2a=)

12；1°1-sin2a

53

A.——B.——

816

「7白n49百

V-.-----

3232

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知sin（a+&[=述，則sin（2a+2]的值為（

)

13J3I,6j

「4A/2D.一逑

A.IB.--

9999

【題型十一】恒等變形8：正余弦對(duì)偶式（平方）

【典例分析】

12貝|si叫+￡卜

（2021?江西南昌?高三階段練習(xí)）E^[|cosa-cos26=],2sina+sin2p=m，)

【提分秘籍】

基本規(guī)律

對(duì)偶特征：

正弦對(duì)應(yīng)余弦，加和減對(duì)應(yīng)

【變式演練】

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知2sina-sin,=也,2cosa-cos'=1,貝！Jcos（a-￡）=（)

1

ABC.一D,四

--I-744

兀

2.（2023,全國二專題練習(xí)）已知一萬＜萬一?！慈f，sin/—2cosc=1,2sincc+cos/3=V2,則cosa~~

()

A.土逅B.土造

33

r6

Vx.—D.逅

33

3.（2021.福建.廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)高三階段練習(xí)）已知

a,13,ysintz+sin/=sin/?,cos+cos/=cos?,則下列說法正確的是（）

11兀兀

A.cos（/?-6Z）=--B.cos（^-cr）=-C./3-a=~—D.13-a=—

【題型十二】恒等變形9：正余弦對(duì)偶（和、差與積）

【典例分析】

（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知2sinacos￡=l,貝?。輈osasin尸的取值范圍是（）

313311

A.B.[-1,1]c.D.

L22_L44J一22

【變式演練】

41

sin（a+￡）=—cos（a-￡）=—

1.（2022?貴州?貴陽一中高三階段練習(xí)（文））已知。，D夕均為銳角，且滿足5,'2,

則(

sinasin￡=)

R3A/3「4+3石小11

A.—D.。.\j.

20101020

,1tancc

2.(2022?浙江?高三專題練習(xí))已知sin(a-p)==,sin(i+〃)=不，則--=()

'752tanp

A.-8B.-9C.8D.9

真題再現(xiàn)」

1.(2022?全國?高考真題)若5由(。+尸)+以雙。+夕)=2后801。+?)111/，貝I]()

A.tan(6Z-/?)=lB.tan(a+〃)=l

C.tan(^z-/?)=-lD.tan(a+￡)=-l

2.(2021?全國?高考真題(文))cos12——cos2——=()

A.[B.V3「0D.B

2322

3.（2021.全國.高考真題（文））若a/。,鄉(xiāng))八cosa

,tan2a=----------，則tana-()

12,)2-sin6Z

A.晅B.好「V5D,巫

15533

4.（2021?全國?高考真題（文））函數(shù)/。）=sin；+cos；的最小正周期和最大值分別是（）

A.3兀和B.3兀和2C.6兀和血D.6兀和2

sin8(1+sin28)

5.（2021?全國?高考真題）若tan。=-2,則:()

sin0+cos0

6226

A.——B.C.一D.-

5555

3

6.（山東?高考真題（文））已知cosx=—,貝!jcos2%=()

4

]_

A.--B.c.--D.-

4488

7.（陜西?高考真題（理））右3sini+cosi_0,貝!J.一=()

cosa+sin2a

105-2

A.—B.c-D.-2

33?3

8.（2020?全國?高考真題（文））已知5垣<9+$皿[<9+幻=1,貝！Jsin]?+/（）

D,正

A.-B.c.-

2332

IT

9.（2020?全國?高考真題（理））已知2tan。-tan（e+/=7,則tan6=（）

A.-2B.-1C.1D.2

兀

10.（2019.全國?高考真題（文））已知&e(0,—),2sin2a=cos2a+l,則sina=

B.、

A1

-55

「V3D.還

35

（理））若sina=。

11.（2018?全國?高考真題,貝|cos2a=

3

8778

A.—B.C.——D.--

9999

12.(2022?浙江?高考真題)若3sina-sin〃=二V10,a+/?=],貝Usina=__________,cos2/=_

:M模擬檢測(cè)

1.2022?江西上饒?高三期末）已知函數(shù)"x）=asinx+〃cosMabwO）的圖象關(guān)于％=看對(duì)稱，且/（x0）=|tz,

的值是（）

n24「7c24

A.——B.-----C.—D.——

25252525

2.（2020?全國?高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)/（工）=2sinx+cosx在[0,a]上是增函數(shù)，當(dāng)a取最大值時(shí)，sina的

值等于（）__

口百

AA/52r26n小

5555

3.已知當(dāng)x=-?時(shí)，函數(shù)/（x）=asinx+cosx取到最大值，貝lj/1x+9]是（

）

A.奇函數(shù)，在尤=0時(shí)取到最小值；B.偶函數(shù)，在x=0時(shí)取到最小值；

C.奇函數(shù)，在天="時(shí)取到最小值；D.偶函數(shù)，在尤=萬時(shí)取到最小值;

浙江省紹興市諸暨市海亮高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月選考數(shù)學(xué)試題

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））已知a,/€（0,2萬），且滿足sina-