平行線的證明知識歸納與題型突破

（九類題型）

01思維導圖

02知識速記

一、定義、命題及證明

1.定義：一般地，用來說明一個名詞或者一個術語的意義的句子叫做定義.

2.命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.

要點：

(1)每個命題都由題設、結論兩部分組成，題設是己知事項，結論是由己知事項推出的事項.

(2)正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.

(3)公認的真命題叫做公理.

(4)經過證明的真命題稱為定理.

3.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理，才能作出判斷，這種演繹推理的過程稱為證明.

要點：

(1)實驗、觀察、操作所得出的結論不一定都正確，必須推理論證后才能得出正確的結論.

(2)證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”，這些根據可以是已知條件，學過的定義、基本事

實、定理等.

(3)判斷一個命題是正確的，必須經過嚴格的證明；判斷一個命題是假命題，只需列舉一個反例即可.

二、平行線的判定與性質

1.平行線的判定

判定方法1：同位角相等，兩直線平行.

判定方法2：內錯角相等，兩直線平行.

判定方法3：同旁內角互補，兩直線平行.

要點：根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：

(1)平行線的定義：在同一平面內，如果兩條直線沒有交點(不相交)，那么兩直線平行.

(2)如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性).

(3)在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線平行.

(4)平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

2.平行線的性質

性質1：兩直線平行，同位角相等；

性質2：兩直線平行，內錯角相等；

性質3：兩直線平行，同旁內角互補.

要點：根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質還有：

（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內，且沒有公共點.

（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.

三、三角形的內角和定理及推論

三角形的內角和定理：三角形的內角和等于180°.

推論：（1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

（2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.

要點：

（1）由一個公理或定理直接推出的真命題，叫做這個公理或定理的推論.

（2）推論可以當做定理使用.

四、三角形外角的性質

三角形一個外角等于與它不相鄰兩個內角的和。

03題型歸納

題型一命題與證明

例題

1.下列語句是命題的是（）

A.在線段N8上取點CB.作直線48的垂線

C.垂線段最短嗎？D.相等的角是對頂角

鞏固訓練

2.下列命題中，是真命題的是（）

A.互補的兩個角是鄰補角B.鄰補角一定互為補角

C.兩角相等，一定是對頂角D.無理數都是開方不盡的數

3.下列命題是假命題的是（）

A.對頂角相等B.直角三角形的兩個銳角互余

C.全等三角形的周長相等D.兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補

4.老師布置了一項作業，對一個真命題進行證明，下面是小云給出的證明過程:

,：c.La,

Z2=90°,

Z1=Z2,

/.b//c.

已知該證明過程是正確的，則證明的真命題是（）

A.在同一平面內，若6，。，且則B.在同一平面內，若bIIC,且貝Ijcl。

C.兩直線平行，同位角不相等D.兩直線平行，同位角相等

題型二同位角、內錯角與同旁內角

例題

5.下列所示的四個圖形中，N1和N2是同位角的是（）

鞏固訓練

6.如圖，下列說法正確的是（）

①N1和N3是同位角；②N1和N5是同位角；③/I和/2是同旁內角；④N1和N4是內錯角

C.①③D.②④

7.如圖，下列是內錯角的一組為（）.

C.N1與N3D.N3與N5

8.如圖，下列結論正確的是（）

A.N5與N2是對頂角B.N1與N4是同位角

C./2與N3是同旁內角D.N1與N5是內錯角

9.如圖所示，直線48與被直線4。所截得的內錯角是；直線。E與/C被直線所截得

的內錯角是;Z4的內錯角是.

題型三平行線的判定

例題

10.如圖所示，不能證明N8//CD的是（）

A.乙BAC=4CDB.UBC=3CE

C.乙DAC—BCAD./-ABC+/-DCB=\%Q°

鞏固訓練

11.下列說法錯誤的是（）

A.在同一平面內，沒有公共點的兩條直線是平行線

B.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

C.經過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行

D.在同一平面內，不相交的兩條線段是平行線

12.下列說法正確的是（）

A.在同一平面內，兩條線段不相交就平行B.過一點有且只有一條直線與已知直線平行

C.兩條射線或線段平行是指它們所在直線平行D.兩條不相交的直線是平行線

13.如圖，若N1=N2,則下列選項中，能直接利用“同位角相等，兩直線平行”判定。〃6的是)

14.如圖，下列條件不能判定的是（）

A.Z1=Z3B.Z3=Z5C.Zl+Z2=180°D.Z1=Z5

15.在同一平面內，若bA.c,則。與c的位置關系是.

16.如圖，Zl=108°,Z2=30°,若使6〃c,則可將直線6繞點/逆時針旋轉度.

17.如圖，對于下列給出的四個條件：①N1=N3；②/2=/3；③N4=N5；④N2+N4=180。中，能

判定4〃4的有.（填寫正確條件的序號）

18.如圖，將兩個完全相同的三角尺的斜邊重合放在同一平面內，可以畫出兩條互相平行的直線.這樣畫

的依據是.

19.如圖，下列錯誤的是（填序號）.

①如果4=那么。￡〃2C；②如果/=那么。E〃2C；

③如果//DE=/C,那么OE〃臺C；④如果NDEB=/C,那么。尸〃EC；

⑤如果ZD必=ZAED,那么AB//CD.

20.已知：如圖，直線N3與CD被"所截，Zl=Z2.求證：AB//CD.

E,

A----------------------B

c——D

21.如圖，直線4B,CD被直線4E所截,,CF平分/DCE,Zl=110°,Z2=55°.求證：AB//CD.

/c

BD/、F

題型四平行線的性質

例題

22.如圖，已知直線。、6被直線c所截.若alib,Z2=60°,則N1的度數為（）

A.50°B.60°C.120°D.130°

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23.如圖，AB//CD,BC平分NABD,/I=65。，則/2的度數是（）

\/

AB

A.35°B.45°C.50°D.60°

24.如圖，a||b,Zl=110°,Z3=40°,則/2等于（）

c.70°D.80°

25.如圖，將三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，若/1=65。，則/2的度數為（）

20°C.25°D.35°

26.如圖所示，下列推理及所注理由錯誤的是（）

A.因為N1=N3,所以22〃CD（內錯角相等，兩直線平行）

B.因為所以/2=/4（兩直線平行，內錯角相等）

C.因為所以-2=24（兩直線平行，內錯角相等）

D.因為22=/4,所以ND〃3c（內錯角相等，兩直線平行）

27.如圖，若8||3尸，則下列結論正確的是（）

A.ZACD=ZFB.ZEDC=ZFBCC./BCD=NEDCD.NCDB=NFBD

題型五平行線的判定與性質綜合

例題

28.如圖，下列推理正確的是（)

A.?.21=42,：.AC^BDB.-：ABIICD,."=NC

C.■?-Z3=ZJB,：.AC^BDD."ABIICD,.-.z4=z5

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29.已知：如圖，BC//EF,BC=EF,AF=DC,判斷線段AB和線段OE有怎樣的關系？請說明理由.

30.如圖，B,C,￡三點在同一直線上，NB4C=/D,NDAE=NE,CD平分/4CE.

AD

（2）若NE=ND,ZB=50°,求—E的度數.

題型六三角形的內角和

例題

31.在△NBC中，ZA:ZB:ZC=2:3:4,則22的度數為（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

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32.如圖，在A8/C中，/A4c=80。，ZB=30°,CD是，NC8的平分線，則/BOC的大小為（）

A

n

BN------------------------------

A.115°B.105°C.100°D.110°

33.如圖，點。是△4BC中8c邊上一點，ZB=ZC,且BD=FC,BE=DC,ZEDF=80°.則//的度

數是（）

A.20°B.50°C.80°D.100°

34.如圖所示，在△4BC中，CDVAB,垂足為點。，DE//AC,交BC于點E.若NN=50。，則NCDE

的度數是（）

A.25°B.40°C.45°D.50°

35.如圖所示，A/BGACDE均為直角三角形，且48=45。，ZD=30°,過點C作C尸平分/DCE交于

點尸.

BCE

（1）求證：CF//AB-

（2）求/。尸C的度數.

題型七三角形的外角性質

例題

36.如圖，△ABC中，xNB=55。，ZC=40°,則三角形/8C的外角44C等于（）

-A.100°Bc.95°C.85°D.75°

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37.將一副三角板按如圖所示擺放，若4=95°,則/2的度數是（）

2^45^

A.110°B.100°C.95°D.80°

38.如圖，若LOAD咨/\OBC,NO=65。，ND=20。，則N5瓦）的度數為（）

o

DAC

A.75°B.85°C.60°D.55°

39.如圖所示，ZA,Zl,22的大小關系是_

A

Bn

題型八三角形的內角和與外角性質綜合

例題

40.如圖，在△4BC中，N4CB=90。,沿C。折疊△C8。，使點3恰好落在NC邊上的點￡處.若

44=30°,則ZWE=°.

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41.已知乙43。=40。，點C為射線BD上一動點，BP平分NABD交AC于點、P,若ZUBC為直角三角形,

貝1]44PB=.

42.如圖，4C平分/DC2,CB=CD,ZM的延長線交2c于點區如果N￡2C=48。，則NA4E為.

題型九解答綜合題

例題

43.如圖，4D是△Z3C的角平分線，^ADC=80°,ABAC=70°.

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44.把下面的說理過程補充完整.

已知：如圖，DE//BC,ZADE=ZEFC,說明：Zl=Z2.

A

解：vDE//BC(已知),

:.ZADE=_,

:./ADE=NEFC(已知),

->?_=_(_)j

(_)

Z1=Z2(_)

(1)判斷與8是否平行，并說明理由；

⑵若40=40。,/瓦I屈=80。，求N/E尸的大小.

46.如圖，已知△4