專題08平面向量小題全面梳理與精細分類

目錄

n，組it口且閑.田雉己14吉a

()3久口［4

04.小青

題型一：平面向量基本定理及其應用7

題型二：平面向量共線的充要條件及其應用8

題型三：平面向量的數量積9

題型四：平面向量的模與夾角11

題型五：等和線問題12

題型六：極化恒等式13

題型七：矩形大法15

題型八：平面向量范圍與最值問題16

題型九：等差線'等商線問題17

題型十：奔馳定理與向量四心19

題型十一：阿波羅尼斯圓問題21

題型十二：平行四邊形大法22

重難點突破：向量對角線定理24

差情;奏汨?日標旦祐

平面向量的數量積、模和夾角是高考中的重點和熱點內容，它們通常以選擇題或填空題的形式被考察。

這類題目經常以平面圖形作為背景，來測試學生對數量積、夾角以及向量垂直條件的理解和應用。此外,

這些內容還容易與平面幾何'三角函數、解析幾何以及不等式等其他數學知識相結合，作為解題的工具或

手段。近年來，高考中主要圍繞平面向量的坐標運算'模的最大或最小值問題，以及向量的夾角等問題進

行考察。這些問題與三角函數'解析幾何等知識點緊密相關，難度適中。

考點要求目標要求考題統計考情分析

2025年高考中，平面向

平面向量基本定理及

理解定理，掌握應用2022年I卷第3題，5分量的數量積預計將繼續成

其應用

為重點考察內容，可能會單

獨出現，也可能與平面圖形

2024年II卷第3題，5分

2023年北京卷第3題，4分等其他知識點相結合。考察

平面向量的數量積、理解概念，應用解決

2023年甲卷第4題，5分內容將涵蓋平面向量數量

模、夾角實際問題

2023年I卷第3題，5分積的定義、性質及其應用，

年卷第題，分

2023II135特別是利用數量積來計算

向量的夾角'模以及判斷向

2024年天津卷第14題，5分

量的垂直關系等問題。這些

2023年天津卷第14題，5分

掌握范圍求解，最值題目的難度可能會涵蓋基

平面向量范圍與最值2022年北京卷第10題，4分

方法，提升解題能力礎題、中檔題乃至難題，并

2022年浙江卷第17題，4分

2022年天津卷第14題，5分且以選擇題或填空題的形

式呈現。

〃用識導圖?思維引航\\

㈤3

.n過偏—?—拈工弓

1、平面向量的應用考向主要是平面幾何問題，往往涉及角和距離，轉化成平面向量的夾角、模的問題，

總的思路有：

（1）坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相

應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.

（2）基向量法：適當選取一組基底，溝通向量之間的聯系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程

進行求解.

2、平面向量中有關范圍最值問題的求解通常有兩種思路：

①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據平面圖

形的特征直接進行判斷；

②“數化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方

程有解等問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決.

0

心真題砒標?精御皿\\

1.（2024年北京高考數學真題）設a，b是向量，貝『'（。+以。-6）=0"是“。=-6或°=/'的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024年天津高考數學真題）已知正方形ABC￡>的邊長為1,DE=2EC,若BE=%BA+〃BC,其中幾,〃為

實數，則2+〃=;設/是線段班上的動點，G為線段AF的中點，貝"QDG的最小值為.

3.（2024年新課標全國II卷數學真題）已知向量2b滿足忖=1,k+2*2,且僅-2a），6,則忖=（）

A.|B.—C.BD.1

222

4.（2023年北京高考數學真題）已知向量編6滿足。+6=（2,3）,。-6=（-2,1）,則12Tz,『二（）

A.-2B.-1C.0D.1

5.（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）正方形ABC。的邊長是2,石是A5的中點，則石即:（）

A.75B.3C.2qD.5

6.（2023年高考全國甲卷數學（文）真題）已知向量。=（3,1）,>=（2,2）,貝|cos（a+6,a-?=（）

V17「上2A/5

A_LRN

171755

7.（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）已知向量a*,C滿足同=忖=1,同=應，^a+b+c=Q，貝I

COS〈Q一。,人一。〉=（）

4224

A.—B.—C.-D.一

5555

8.（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）已知。的半徑為1,直線出與。相切于點A,直線尸8與。

交于8,C兩點，。為BC的中點，若歸0|=應，則PAP。的最大值為（）

A1+V2口1+20

22

C.1+^/2D.2+72

9.（2023年天津高考數學真題）在VABC中，BC=1,ZA=60,Ar>=：AB,CE=gc。，記AB=a,AC=b,

用。力表示AE=；若M=；BC,則A?A尸的最大值為.

10.（2023年新課標全國II卷數學真題）已知向量。，b滿足卜-可=6，卜+6卜|2。-可，則忖=

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：平面向量基本定理及其應用

【典例1-1］如圖，在VABC中，AN=：AC,P是3N的中點，AP=mAB+nAC＞則"［+”=（）

【典例1-2］（2024.河南商丘.三模）如圖，在VABC中，點。，E分別在邊AB,BC上，且均為靠近B的四

等分點，CD與AE交于點P,^BF=xAB+yAC,則3x+y=（）

應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘

運算.

2、用基底表示某個向量的基本方法：（1）觀察各向量的位置；（2）尋找相應的三角形或多邊形；（3）

運用法則找關系；（4）化簡結果.

【變式1-1*2024?廣東?模擬預測）已知等邊VA3C的邊長為1,點RE分別為的中點，若DF=3EF，

則AF=()

13

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2426

iuun3uum

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【變式1-2］（2024.新疆.模擬預測）在平行四邊形A5CD中，吼N分別在邊CO,AD上，DM=MC,AN=2ND,

AM,5N相交于點夕，則AP=（）

A.-AB+-ADB.-AB+-AD

4224

1?31-

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

3343

命題預測T

8.如圖，在平行四邊形ABC。中，點E滿足BE=；EC,點產為CD的中點，則Z）E+AF=（

)

31313515

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

23242424

題型二：平面向量共線的充要條件及其應用

【典例2-1】在VABC中，M、N分別在邊A3、AC上，且AB=2AM，AC=4AN，。在邊8c上（不包

12

含端點）.若AD=xA"+yAN,則一+一的最小值是（）

xy

A.2B.4C.6D.8

【典例2-2】已知〃川是平面內兩個不共線的向量，AB=a+Ab9AC=/ia+b^9則A,民。三點共線

的充要條件是（）

2

A.%—〃=1B.丸+〃=2C.=1D.—=1

1、平面向量共線定理：已知04=403+4。。，若4+//=1,則A,5,C三點共線；反之亦然.

2、兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：（1）若向量〃=（Xj,yJ,人=（入2,%），則〃//〃的充要條件

是%%-*2%=0；（2）若〃//8（/?工0），則0=；1/??

【變式2-1】如圖，已知點G是VABC的重心，過點G作直線分別與AB,AC兩邊交于Af,N兩點，設

UUUaimuumuuui

AM=xAB^AN=yAC^則的最小值為()

516

A.-B.4C.—D.3

23

【變式2?2］如圖所示，VABC中，點。是線段5C的中點,E是線段AP上的動點，^BE=xBA+yBC,

21

則一+一的最小值（）

xy

命題預測T

1.已知。是VABC所在平面內一點，若。4+02+0。=0,4加=尤4民4"=了4。,加0=/10乂元了均為正數,

則初的最小值為（）

題型三：平面向量的數量積

【典例3-1］如圖，在平行四邊形ABCD中，0,E分別為AC,BC的中點，歹為AE上一點，且E4=FB,

AD=2AB=4,貝.

【典例3-2】已知向量a,b滿足卜-20=|2°-4=2,且忖=1,貝心力=

1、向量的數量積：設兩個非零向量°,人的夾角為8,則同.glcosO叫做a與％的數量積，記作如匕.

2、數量積的幾何意義：數量積4小等于°的長度|刈與》在°的方向上的投影|b|cos6的乘積.

3、設向量〃=（%,%）,。=（工2，%）,則〃=石兀2+%丁2,由此得到：

⑴若。=（x,y）,則|〃『=%2+y2或⑷=Jf+y2?

⑵設4（為乂）,5（工2，%），則4B兩點間的距離45=|AB|="％-%丫+（%-%）?

⑶設兩個非零向量8,且a=（x，yj,人=（%2，%），則a_LZ?=芯%2+乂％=°

（4）若〃］都是非零向量，。是M與匕的夾角，則cose=4=/2%"：號2

1aM舊+4收+￡

【變式3?1】如圖，在VABC中，NBAC=,4￡>=2。5,尸為C。上一點，且滿足AP=冽AC+gA5,若,4=2,

,4=3,則AP-CD的值為.

【變式3-2］如圖，在平面四邊形ABC。中，。為8。的中點，且。4=3,OC=5.若A3.A0=-7，則

BC,DC=

A

?

BC

1.已知VA3C是邊長為4的等邊三角形，點。，E分別是邊AB,BC的中點，連接OE并延長到點凡使

得DE=2EF,則4尸.8。=.

題型四：平面向量的模與夾角

【典例4-11（2024?黑龍江佳木斯?模擬預測）已知向量4,0滿足&=（3,4）,a.b=6,卜-W=7,則問=—.

【典例4-2】（2024?全國?模擬預測）如圖，在VA03中，ZAOB=120°,02=204=26,P在以。為圓心,

半徑為1的圓上運動，則當尸4尸8取最大值時，cosZAPB=.

（1）向量的夾角要求向量“共起點”，其范圍為［0,萬］.

（2）求非零向量0,6的夾角一般利用公式cosO='*L=,<%+律=先求出夾角的余弦值,然后求

⑷聞4^4^

夾角.也可以構造三角形，將所求夾角轉化為三角形的內角求解，更為直觀形象.

【變式4-1］（2024.高三.重慶.期末）已知非零向量滿足：=g且=；無，則，=.

【變式4-2］已知平面內兩個向量。=（2太1）,6='，￡|，若。與萬的夾角為鈍角，則實數上的取值范圍

是.

命題預測T

1.平面向量滿足2同=W，aLb，若a+b+3=0，則cos〈&,e）=

題型五：等和線問題

【典例5-1】已知在VABC中，點尸滿足3AP-A8=AC，動點M在.3PC的三邊及內部運動，設

AM=xAC+yAB,則6x+3y的取值范圍為.(用區間表示)

【典例5-2】如圖，已知AB,C是圓。上不同的三點，CO與AB交于點D(點。與點。不重合)，若

OC=WA+juOB(2,〃eR),貝U幾+〃的取值范圍是.

平面內一組基底04,03及任一向量。尸，OP=WA+JuOB(A,iueR),若點尸在直線AB上或者在平行

于四的直線上，則彳+〃=左(定值)，反之也成立，我們把直線鉆以及與直線相平行的直線稱為等和線.

①當等和線恰為直線時，左=1；

②當等和線在。點和直線"之間時，左e(0,l)；

③當直線A5在點O和等和線之間時，丘(L+oo);

④當等和線過O點時，左=0；

⑤若兩等和線關于。點對稱，則定值后互為相反數；

【變式5-1】己知點C為扇形AO3的弧AB上任意一點，且NAOB=60,若0c=X0A+九4eR),則

X+4的取值范圍是.

27r

【變式5-2]如圖所示，/BAC=q-,圓河與AB,4c分別相切于點2E,A￡>=1,點尸是圓M及其內

部任意一點，S.AP=xAD+yAE（x,y&R）,則x+y的取值范圍是.

命題碩測J

1.已知。為VABC內一點，且40A+808+50C=0,點M在△O3C內（不含邊界），若AM=2AB+〃AC,

則4+〃的取值范圍是.

題型六：極化恒等式

【典例6-1]（2024.江西.模擬預測）已知圓C的半徑為2,點A滿足,4=4,E,尸分別是C上兩個動點,

且附=2力，則AE.AF的取值范圍是（）

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,22]D.[4,24]

【典例6-2】已知正六邊形ABCDE廠的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊形的中心，圓。的半徑為2,圓0

的直徑A?V〃CD,點尸在正六邊形的邊上運動，則尸的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

巧

極化恒等式

(1)平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:

DC

|a+Z?|2+|a-Z?|2=2(|a|2+|Z?|2)

證明：不妨設AB=a,AD=b,則AC=a+6,DB=a—b

|Ac|=AC={a+b^=|a|+2A-￡>+1/>|①

|DB|=DR=(a-b)=|a|-2a-&+|z?|②

①②兩式相加得：

|AC|2+|Z)B|2=+陽=2(朋2+|AD|2)

(2)極化恒等式：

上面兩式相減，得：-卜-弓］--------極化恒等式

①平行四邊形模式：a-b=^\AC^-\DB^

幾何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差

的L

4

②三角形模式：。力=|40「一；|。國2為2。的中點)

【變式6-1］已知圓。的半徑為2,弦長A8=26,C為圓。上一動點，則ACBC的最大值為.

7T

【變式6-2］在VABC中，AB=2,AC=6,ZABC=-,P,。是BC邊上的兩個動點，且尸。=4,則AP.QA

6

的最大值為.

命題預測n

1.已知點O為坐標原點，VABC為圓加：（了一1）2+（、一百）2=1的內接正三角形，貝I］OA-（O8+OC）的最小

值為.

2.如圖所示，正方形ABC。的邊長為而，正方形EFGH邊長為1,則AE2G的值為.若在線段A3

上有一個動點M，則MEMG的最小值為.

題型七：矩形大法

【典例7-1］已知圓G：/+/=9與。2：/+V=36,定點尸（2,0）,4B分別在圓Q和圓C2上，

滿足上則線段A8的取值范圍是

【典例7-2】在平面內，已知48］」相，04=052=1,AP=AB1+AB2,若|0P|<g,貝小。4|

的取值范圍是（）

矩形所在平面內任一點到其對角線端點距離的平方和相等已知點。是矩形ABC。與所在平面內任一點,

證明：+OC2=OB2+OD1.

【變式7-1］（2023?全國?高三專題練習）己知圓2：/+丁=16,點尸（1,2）,M,N為圓。上兩個不同的點,

且PM-PN=0若PQ=PM+PN,則|尸。|的最小值為.

【變式7-2］（2023?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第一中學校校考期中）已知向量6是平面內兩個互相垂

直的單位向量，若向量C滿足（。-。>僅-2°）=0,則同的最大值是（）

A.72B.@C.BD.6

225

（命題預測

1.已知向量a、b滿足忖=W=o-6=2且（a-c）?僅-c）=0,則忸-c|的最大值為.

題型八：平面向量范圍與最值問題

【典例8-1］若冏=1,忖=3,則卜+.+卜訓的最大值是；最小值是.

【典例8-2】（2024.全國.模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=A￡>=1,CB=C￡）=G,AC=2,點

P在邊CD上，則AP.8P的最小值為.

平面向量范圍與最值問題常用方法：

（1）定義法

第一步：利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉化為相應的等式關系

第二步：運用基木不等式求其最值問題

第三步：得出結論

（2）坐標法

第一步：根據題意建立適當的直角坐標系并寫出相應點的坐標

第二步：將平面向量的運算坐標化

第三步：運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底轉化向量

第二步：根據向量運算律化簡目標

第三步：運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等得出結論

(4)幾何意義法

第一步：先確定向量所表達的點的軌跡

第二步：根據直線與曲線位置關系列式

第三步：解得結果

【變式8-1](2024?高三?上海?期中)在平面上，已知兩個單位向量°、b的夾角為120。，向量e=+

其中萬+〃2=1.則同的最大值為.

【變式8-2】設向量a,6,c滿足同=忖=2,油=-2,.一與八0的夾角為60°,則同的最大值為

命題預測S

1.已知向量a，6滿足忖=2忖=2,則卜+。|+卜-4的最大值與最小值之和為

2.已知向量。/滿足|a|=2,|2a+b|+|b|=6,貝U|a+，|的取值范圍為

題型九：等差線、等商線問題

【典例9-1]如圖，在ABC中，點E在線段AD上移動(不含端點)，若AE=+〃AC,

則—=,方一〃的最小值為.

A

A

【典例9-2】（多選題）給定兩個單位向量0A,08,>OA-OB=-—,點C在以。為圓心的圓弧A3上運動,

2

OC=xOA+yOB,則瓜-y的可能取值為（）

A.-y[3B.-1C.2D.0

1、如圖設A8=G,AC=e2是平面內兩個不共線向量,若AP=刊+繇,反向延長AC到E,使AE=-AC,

AQ

當尸位于直線BE上時，一定有x-y=l,若AQ=xZ1+y&且則有左=—

"AP

Zf

BDC

2、如圖所示‘令器=老=黑"'若。尸=加4+"。2'根據等和線定理可得二需二相'所

以直線0C就是一條等商線.

【變式9-1］（多選題）在AABC中，點。滿足2。=。。，當點E在線段AD上（不含A點）移動時，記

AE=XAB+〃AC,貝！］（）

A.幾=2〃B.2=〃

14

C.+〃的最小值為1D.三+〃的最小值為4

4ZX

3

【變式9?2】（2023?山西?高一統考期末）已知在ABC中，點。滿足50=73C,點石在線段AD（不含端點A,

4

。）上移動，若AE=XAB+〃AC,則4■=.

Z

命題預測

1.（多選題）已知二ABC中，AB=AC=J^,BC=2,￡＞是邊8c的中點，動點尸滿足尸。=1,AP=xAB+yAC,

則（）

A.x+y的值可以等于2

B.x-y的值可以等于2

C.2尤+y的值可以等于一1

D.x+2y的值可以等于3

題型十：奔馳定理與向量四心

【典例10-1】“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論.奔馳定

理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯.它的具體內容是：已知M是VA2C內一點，

△3加。,八4m,447監的面積分別為與同戊，且5屋肱1+品?1歷+51趾=0.以下命題錯誤的是（）

A.若SA：SB:S。=1:1:1,則M為.ABC的重心

B.若M為VABC的內心，則5c.MA+AC.MB+AB.MC=O

C.若/BAC=45。,ZABC=60。，M為VABC的外心，則梟：:S0=石:2:1

D.若M為VABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,貝1kosNAMB=-亞

6

【典例10-2】平面向量中有一個非常優美的結論：已知。為VABC內的一點，BOC,△AOC,VA03的

面積分別為％,SB，S「貝”A-Q4+SB-O3+SC-OC=0.因其幾何表示酷似奔馳的標志，所以稱為“奔馳

定理”.已知。為VABC的內心，三個角對應的邊分別為a,b,c,已知。=3,6=2石，c=5,則8OAC=

()

A.2由-8B.-2C.76-7D.3忘-9

1、重心定理：①在AABC中，若G為重心，則AG=gaB+gAC.

x1+x2+x3

X~3

(2)GA+GB+GC=0.③,

、,_%+%+%

y-

3

④三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個三角形面積相等.

2、奔馳定理：若SyiY.-OA+S￡RJ+則SAQB：SACOIVC.：SBQLOZCL=&;U：SBQ：SA/1；

3、垂心定理：三角形三邊上的高相交于一點

故點0是AA5C的垂心，

則一定有OA-OB=O3-OC=OC-QA.

OAOB=OCOB^OB(OA-OC)=O^OBCA=0,即O8_LCA,以此類推即可證明.

4、外心向量定理:

(1)AO-AB=^AB^,AO-AC=||AC|2；BOBC=^BC^；

(2)AO-AF=^AB^+^AC^,20.通=；網2+施仔,=加邛+3河；

⑶AO-BC=-|AC|2--|AB|2-BO-AC=-|BC|2--|BA|2-CO-AB=-|BC|2--|AC|2.

222222

5、內心定理

①角平分線的交點，到三條邊的距離相等;

OA.,a+OB-h+OC,c=0；

③AO?(〃+。+c)=AB?b+AC-c

【變式10-1]在平面上有VA2C及內一點。滿足關系式：+即稱為經典

的“奔馳定理”，若VABC的三邊為a,b,c,現有a.Q4+6.OB+°OC=0則。為VA2C的（）

A.外心B.內心C.重心D.垂心

【變式10-2】設二ABC的內角A,B,C的對邊分別為。,b,c,P是：A8C所在平面上的一點,

cb_2「a_「2

PAPB=—PAPC+——PA=—PBPC+----PB,則點尸是二ABC的（）

bbaa

A.重心B.外心C.內心D.垂心

命題預測T

TT

1.在銳角VABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,ZA=-,。為其外心.若VABC外接圓半徑為R,

且%^乂8+￡2^￡.4?=_!_./7叢0,則加的值為（）

cb2R

A.1B.73C.2D.立

4

2.已知VABC的外心為G,內角AB,C的對邊分別為a,b,c,且a：6：c=5:5:8.若=-28,則CG-C8=

25

A.B.50C.25D.25A/2

T

題型十一：阿波羅尼斯圓問題

【典例11-1]（2024?高三?上海?期中）平面上到兩個定點距離之比為常數〃幾>。,2=1）的動點的軌跡為圓,

且圓心在兩定點所確定的直線上，結合以上知識，請嘗試解決如下問題：已知a,6,e滿足

\a\=\c\=l,^=2,a-b=1,則c+1-a+||c-Z?|的取值范圍為.

【典例11-2】古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發現：“平面內到兩個定點A、B

的距離之比為定值％（2>0且％大1）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼

斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標系xOy中，A（-2,0）、磯2,0）,點P滿足謁=3,則叢.9的最小值

為.

在平面上給定兩點A,8,設點P在同一平面上且滿足衛=彳，當九＞0且義工1時，P點的軌跡是個圓，

PB

稱之為阿波羅尼斯圓（4=1時。點的軌跡是線段A8的中垂線）.

【變式11-1】已知平面向量a,b,c，滿足a="=2,且|a+Z?|=2拒，\a+b+c\=