利用導數研究函數的零點問題

（高考高頻考點，3大題型+1類易錯）

目錄

第一部分：題型篇..........................................1

題型一：函數零點（方程根）的個數問題..................1

題型二：函數的最值（極值）與函數零點問題.............11

題型三：函數的圖象與函數零點問題.....................19

第二部分：易錯篇.........................................31

易錯一：借助圖象時注意結合極限，畫更精確的圖象.......31

第一部分：題型篇

題型一：函數零點（方程根）的個數問題

典型例題

1nY

例題1.（23-24高一下?甘肅天水?階段練習）已知函數7'（x）—UX-----Fu-2,IER.

⑴當a=2時，求曲線），=〃”在點（1,/（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積；

⑵討論f（x）的零點個數.

【答案】①，

（2）答案見解析.

【分析】（1）把a=2代入，求出函數/（x）的導數，利用導數的幾何意義求出切線方程即可

求解.

InV-I-9V

（2）由零點的意義分離參數，構造函數g（x）=:x,利用導數探討直線與函數圖象交

X+X

點個數問題.

【詳解】(1)當a=2時，〃x)=2x——,求導得八無)=2———,則/'(1)=1,而

XX

/⑴=2,

因此曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程為y-2=x-l,即y=x+i,

直線y=x+i交X軸于點(-1,0),交V軸于點(0,1),

所以切線y=x+i與兩坐標軸圍成的三角形面積為gxixi=；.

(2)由〃x)=0,得a(x+D-也一2=0,即a=ln：+2x,

XX+X

Iny+9V

令g(x)=——，因此函數/(x)的零點個數，即為直線>與函數>=g(x)圖象交點個數,

X+X

,(2x+l)(x+1)-(2x+l)(lnx+2x)(2x+1)(1-x-Inx)

而g⑴=----------百券----------=—訪亍一，

令〃(無)=l-x-lnx,顯然函數力(x)單調遞減,而%(1)=0,

則當0<x<l時，h(x)>0,g'(x)>0,當x>l時,h(x)<0,g\x)<0,

因此函數g(x)在(0,1)上單調遞增，函數值集合為在(1,+⑹上單調遞減，函數值集

合為(0,1)

且gOXnax=g(D=l，在同一坐標系內作出直線>=a與函數V=g(X)的圖象,

觀察圖象知，當或。=1時，直線了=。與函數>=g(x)的圖象有一個交點，

當0<0<1時，直線>與函數y=g(x)的圖象有兩個交點，

所以當或。=1時，函數/(X)有一個零點；當0<°<1時，函數/(X)有兩個零點.

例題2.(浙江省L16聯盟2024-2025學年7月新高三適應性測試數學試題)已知“為實數,

〃eN*,設函數〃x)=x"-alnx.

(1)討論/(x)的單調性;

(2)若/(x)有兩個零點，求”的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)(ne,+oo)

【分析】（1）首先求函數的導數，分和。＞0兩種情況討論函數的單調性；

（2）根據（1）的結果，轉化為函數的最小值小于0,并且結合函數零點存在性定理說明存

在2個零點.

【詳解】(1)f'(x}=nx'-l--=r^^-x>0,

XX

當aWO時,r（x）＞0,/（x）在（0,+。）單調遞增,

1

當。＞0時，令/''（x）〉。，得

令小）＜0,得0<x<

所以函數的單調遞減區間是,單調遞增區間是

綜上可知，時，/（x）的增區間是（0,+s）；

（2）

。＞0時，/（X）的單調遞減區間是，單調遞增區間是M",+?

（2）由（1）可知，若“X）有兩個零點，則。＞0,

且當X=］色『時’/（X）取得最小值，/-tzlnf-r<0,

\7

得〃>〃e,

且x―0時，—+8,.當xf+oo,f(x)+oo,

所以有1個零點,也有1個零點,

\7

所以若八無）有兩個零點，則a＞〃e.

4

例題3.（23-24高二下?安徽蕪湖?期中）已知函數=-依?+12x+6在x3處取得

極小值-2.

⑴求實數6的值；

（2）若函數了=/（”-彳有三個零點，求實數2的取值范圍.

4

【答案】（1）/（%）=—8—+12%-2

⑵

7'⑶=0

【分析】（1）由已知可得,可得出關于實數。、。的方程組，解出這兩個未知

1/(3)=-2

數的值，即可得出函數/（X）的解析式；

（2）分析可知，直線>=%與函數/（無）的圖象有3個交點，利用導數分析函數/（無）的單調

性與極值，數形結合可得出實數幾的取值范圍.

【詳解】(1)解：因為/(x)=g1-G2+12x+b,貝lj/'(x)=4f-2ax+12,

/,(3)=36-6a+12=0Q=8

由題意可得，解得

/⑶=36-9a+36+6=-2b=-2

當a=8,6=—2時，/,（X）=4X2-16X+12=4（X-1）（X-3）,

顯然，函數/（x）在x=3處可取得極值.

4

因止匕，/（x）=—8%2+12x-2.

（2）解：問題等價于%有三個不等的實數根，求力的范圍.

由廣（力=4/-16%+12=4伍一1乂工一3）>0,得X<1或X>3,

由=4x~—16x+12=4（x-l）（x-3）<0,得l<x<3,

所以/（x）在（-嗎1）、（3,+力）上單調遞增,在。,3）上單調遞減,

則函數/（x）的極大值為/⑴=],極小值為/⑶=-2,如下圖所示:

由圖可知，當直線y=2與函數/（無）的圖象有3個交點,

因此，實數2的取值范圍是

例題4.（23-24高三下?山東青島?階段練習）已知函數=

⑴求f（x）的單調遞增區間;

(2)求出方程=。(。eR)的解的個數.

【答案】⑴(一8,0),

(2)答案見解析

【分析】(1)求出函數的定義域與導函數，即可列出'、/'(力、/(X)的關系表，從而得

到函數的單調遞增區間；

(2)問題轉化為函數了=/("的圖象與直線的交點個數，根據(1)分析函數的取值

情況，即可作出函數圖象，數形結合即可得解.

【詳解】(1)函數/'(X)的定義域為(-吃1)31,+。).

/'(x)=e,J).令/(x)=o解得工=0或n=：.

則X、/'(X)、/(x)的關系列表如下:

2

X(-雙0)0(0,1)

2

/‘(X)+0□-0+

小)單調遞增極大值單調遞減單調遞減極小值單調遞增

二/(x)的單調遞增區間為(-/⑼,弓，+"?

(2)方程/(x)=a(.eR)的解的個數為函數了=/(x)的圖象與直線了=。的交點個數.

在(1)中可知：f(x)在區間(-"⑼,上單調遞增，在(0,1),11,j上單調遞減,

在x=0處取得極大值/(O)=1,在x=q處取得極小值/=4e，,

令『，得X，

當x<0時，y>0,了的圖像過點(0,1),g,0).

當Xf-8時，>-0,但始終在X軸上方；

當X從1的左側無限近于1時，>當X從1的右側無限近于1時，yf+8；

33

當X=/時，y=4e2；當x—+8時，/f+8.

根據以上性質，作出函數的大致圖象如圖所示,

,當1<.<41時，V=/(x)與N="沒有交點，則方程/(x)=°的解為°個；

當"0或"1或時，尸/3與尸。有1個交點，則方程/(力=。的解為1個;

當0<a<l或.Ml時，V=/(x)與有2個交點，則方程/(x)=a的解為2個.

精練高頻考點

1.(23-24高二下?黑龍江?期末)已知函數/(力=(辦-a+l)e1

⑴若a=l,求/(無)的圖象在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)若關于x的方程/(x)=-L恰有兩個不同的實數解，求。的取值范圍.

e

【答案】⑴歹=2e%-e

(2)(1,+<?)

【分析】(])利用導數的幾何意義先求斜率，即可得切線方程；

(2)分。=0,。>0和三種情況，利用導數研究函數/(x)的圖象最值，數形結合求解

問題.

【詳解】(1)由a=l,得〃x)=xe=則/(x)=(x+l)e:

因為/6=e,/⑴=2e,

所以/'(x)的圖象在點處的切線方程為k2ex-e.

(2)顯然。=0不符合題意，

又/'(%)=("+l)e",

當Q〉0時，可知當工￡時，f\x)<o,y(x)在一巴一上單調遞減,

a)

當X時，f\x)>0,在(-+“]上單調遞增,

a)

1

a

則〃x)11m=/-ae,

且當Z，+aJ時，/(x)G^-(7e

當8,一時，/(x)e-aefl,0,

'a)v)

所以化簡可得1_°<0

因為g(a)=e'-@在(°，+8)上單調遞減,且g⑴=。，

所以不等式e"_°<o的解集為(1，+功.

當好0時，可知當xe,s,|時，/'(x)>0,/(x)在-皆上單調遞增,

當xe，：,+“M，r(x)<0,在,上單調遞減，

則/(**-aea

且當x」一，,+<?

時，/(x)G―。,-aea

Va17

0,-ae°,

7

所以關于X的方程/(x)=-工不可能有兩個不同的實數解.

e

綜上，a的取值范圍為(1,+8).

【點睛】思路點睛：涉及含參的函數零點問題，利用導數分類討論，研究函數的單調性、最

值等，結合零點存在性定理，借助數形結合思想分析解決問題.

2.(23-24高二下?陜西漢中?期末)已知函數/(x)=x2-8x+61nx-%.

(1)求〃x)的單調區間及極值點；

(2)若方程/⑺=0有三個不同的根，求整數加的值.(In3a1.09)

【答案】(l)/(x)的單調遞增區間為(0,1),(3,+8),單調遞減區間為(1,3),極大值點為1,

極小值點為3；

⑵-8.

【分析】(1)對已知函數進行求導，利用導數研究函數的單調區間與極值點；

(2)利用(1)中結論，方程/("=0有三個不同的根，滿足，;可求出答案.

【詳解】(1)因為/(x)=x2-8x+61nx-加，所以021+@=2(1)(1),

XX

令/'(x)>0,得x>3或0cx<1,令/''(x)<0,得l<x<3,

所以/(x)在(0,1),(3,+s)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減.

故/'(x)的單調遞增區間為(0/)，(3,+8),單調遞減區間為(1,3),極大值點為L極小值點

為3.

(2)由(1)知/(x)在(0,1),(3,+。)上單調遞增,在(1,3)上單調遞減.

因為=/(3)=61n3-15-m,

當X.0時，f(X)->-00,當Xf+8時，

且方程行)=。有三個不同的根,所以圖=6田15.…

所以根的取值范圍是(61n3-15,-7).

因為ln3R.O9,所以61n3-15。-8.46,故整數加的值為-8.

3.(23-24高二下?云南曲靖?期末)已知函數/(x)=%「.

(1)判斷函數/(x)的單調性，并求出的極值；

(2)設函數g(x)=/(x)-a(aeR),討論函數g(x)的零點個數.

【答案】⑴單調性見解析；極大值為1,無極小值

(2)答案見解析

【分析】(1)根據廣(x)>0nx<0J'(x)<0=>x>0,即可得出的單調性，結合極值的概

念即可求解；

(2)將原問題轉化為直線V與函數》=/(x)圖象的交點個數，由(1)可得〃x)的單調

性，作出圖形，結合圖形即可求解.

【詳解】(1)貝q/(x)=—

ee

令/'(%)>0=>x<0,/'(%)<0=>x>0,

所以/(X)在(-8,0)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減，

則/(X)在x=0處取得極大值，且"0)=1,無極小值.

(2)由題意知g(x)=/(x)-a,

要求函數g(x)的零點個數，即求方程。=/(幻的根的個數，

即求直線了=。與函數>=/(x)圖象的交點個數.

由(1)知/⑺在(-%0)上單調遞增，在(0,+◎上單調遞減,

且/(x)s=〃0)=l，/(-l)=0,當X--8時/(X)3-8,當x>0時/(x)>0,

由圖可知當或。=1時，函數g(x)有1個零點；

當0<°<1時，函數g(x)有2個零點；

當。>1時，函數g(x)有。個零點.

4.(24-25高三上?湖北武漢?開學考試)已知函數〃x)=x-：lnx與函數g(x)=e“'-x,其

中a>0.

⑴求/(x)的單調區間；

(2)若g(x)>0,求。的取值范圍;

⑶若曲線v=/(x)與X軸有兩個不同的交點，求證：曲線y=〃x)與曲線y=g(x)共有三個

不同的交點.

【答案】①答案見解析

(2)]"

⑶證明見解析

【分析】(1)借助導數研究其導函數的正負即可得其單調區間；

即構造函數()后借助導數

(2)若xWO,可得不等式恒成立，若x>0,/!X=￥

求出其最大值即可得解;

(3)根據題設先證兩條曲線有(國⑼，(9，°)兩個交點，再構造函數8(x)=e"-2x+：向

證明其除了這兩個交點后還存在第三個交點即可得.

【詳解】(1).=/(x)的定義域為：{工比>0},

(

又已知q>0,㈢

axax

所以時，/'(x)<OJ(x)單調遞減；

時，/'(x)>0,/(x)單調遞增；

(2)由題意：g(x)=e"-x>0,即es>x,

InV

若xWO,不等式恒成立，若x>0,即。〉——,

x

^/z(x)=-(x>0),h'［x)=^,

當xe(0,e)時,/f(x)>O,/z(x)單調遞增,

當xe(e,+oo)時，〃(尤)<0,單調遞減，

故〃(x)max=g，故。的取值范圍為］，+sj；

(3)曲線了=〃X)與X軸有兩個不同的交點，即函數了=〃”有兩個不同的零點和馬,

不妨令0<玉<%,由(2)知，。的取值范圍為］o,J,

且由QaXx=再得再=一1叫，

a

同理得曲線y=/(x)與曲線y=g(x)共有兩個不同的交點(無“0),(x2,0),

下面證明這兩條曲線還有一個交點，

令H(x)=eai-2x+—lux,

八,/、1ca-axe^2ax-l

H,(x)=aeax+——2=-------------，

axaxax

令t=ax,則根。/一2/+1/>0,

加'(/)=Q(l+%)e'一2,令〃(。=加'?)=a(l+，)e'一2,

則=〃(2+。占>0恒成立，則m\t)單調遞增，

又，⑴=2ae-2<0,

22

令加⑺=°（1+。3-2=0,得e'=4（]+o</，

故存在,使得了=加⑺在（0,%）上單調遞減，在&,+8）單調遞增，

a

m（0）=l>0,m（l）=ae-l<0,m^ln—^=1>0,

2

故"7?）=afe'-27+l有兩個零點小修0</1<1<，2<為一，

a

令a=ax3,t2=ax4,即y=〃（x）有且只有兩個極值點了3，匕，

所以了=〃（x）在（0,演）上單調增，在（覆,看）上單調減，在（匕,+8）上單調增，

又才（國）=辦1+5-220,若理占）=0,叫=1,

由產=占得再=e,a=』與題設矛盾，所以H'（xJ>0,

e

同理“'（_￥2）>0,占,尤2不可能在同一單調區間，0<西<%,匕</，

故有0="（再）<"（不）,"（匕）<"（%2）二°，

所以在（毛，匕）間存在唯一的與使得"（%）=0,即兩條曲線還有一個交點看,

故曲線y=與曲線y=g（x）共有三個不同的交點.

【點睛】關鍵點點睛：最后一問關鍵點在于先得出曲線y=/（x）與曲線>=g（力共有兩個不

同的交點（西⑼，（與0）,再通過構造函數"（X）=e2x+fnx去證明其除了這兩個交點

后還存在第三個交點.

題型二：函數的最值（極值）與函數零點問題

典型例題

例題1.（23-24高二下?江蘇南京?期中）已知函數〃x）=e[x2-8）+m.

⑴當a=0時，求函數.”=〃x）在點（0,〃0））處的切線方程；

⑵若函數y=/（"有三個不同的零點，求實數膽的取值范圍.

【答案】（l）J=-8x-8

⑵（"0）

【分析】（1）求出/'（o）、r（o）,利用直線的點斜式方程可得答案；

⑵轉化為e'（/-8）=-加有三個不同的交點，令g（x）=e?2_8）,利用導數求出g（x）的

極值可得答案.

【詳解】(1)當加=0時，/(x)=el(x2-8),r(x)=eI(x2+2x-8),

/(0)=e°(0-8)=-8,/,(0)=e°(02+2x0-8)=-8,

所以了=-8x-8:

(2)若函數V=/(x)有三個不同的零點，

即/(x)=(/-8)+%=0,e^x2-8)=-m有三個不同的交點，

令g(x)=eA-8),g[x)=ex(x2+2x-8)=e*(x—2)(x+4),

由g,(x)>0=>xe(-oo,-4)u(2,+co),g,(x)<0=>xe(-4,2),

所以g(x)在(-。,-4)和(2,+s)上單調遞增，(-4,2)上單調遞減，

極大值為g(-4)=廠(16-8)=8「，極小值為g(2)=e2(4-8)=Ye?,

且當x<-2亞時，/(x)>0,當-2及<x<2后時，〃x)<0,

當x>2行時，/(x)>0,

根據函數圖象可知，0〈-加<8e<,-Se-4<m<0?

例題2.(23-24高二下?北京海淀?期末)已知函數./■(%)=(x-l)e-x2.

⑴判斷f(x)在(-a,。)上的單調性，并證明；

⑵求/'(x)在(0,+功上的零點個數.

【答案】⑴/⑺在(-雙。)上單調遞增，證明見解析；

(2)一個.

【分析】(1)先判斷單調性，再求導函數根據導函數正負證明函數單調性;

(2)結合函數單調性及極值結合零點存在定理得出零點個數.

【詳解】CD/(力在(y,o)上單調遞增,證明如下：

因為/(x)=(x-l)e*-x2,

所以尸(無)=ex+(x-l)e"-2x=xex-2x=x(e*-2),

又因為無€（-8,0）,從而e'-2<l-2<0,

所以/"（x）=x（e=2）>0,

所以/'（x）在（-%。）上單調遞增.

（2）由（1）知：/,（x）=x（eI-2）,

因為xe（0,+s）,

令/'（x）=0,得x=ln2.

/（x）與/'（X）在區間（0,+功上的情況如下:

X（O,ln2）In2（ln2,+⑹

/'（X）□0+

/（X）極小/

因為/（0）=（0_l）e°_（）2=T<0,/（2）=（2-l）e2-22=e2-22>0,

所以由零點存在定理及/（X）單調性可知，/（X）在（0,+8）上恰有一個零點.

例題3.（23-24高二下?遼寧沈陽?期末）已知函數"月=*+°（--1）.

（1）當。=0時,求/（x）的極值;

（2）當。=1時,求/（X）在［1,+8）上的最小值;

⑶當"0時，若/（X）在（l,e）上存在零點，求”的取值范圍.

【答案】（1）/（X）極大值=—沒有極小值

（2）/（尤）皿=。

【分析】（1）利用導函數求函數的極值;

（2）利用導函數求函數的最值；

（3）求函數/（x）的導數，構造新的函數g（x）,根據函數g（x）的導數，對。進行分類，結合

函數的單調性、零點存在定理和極值即可求解。的取值范圍.

【詳解】（1）當a=0時，〃x）=等，定義域是（0,+”）,則/⑴/浮,

令/'（力=0,Mx=e,無變化時，/'（x）,/（x）的變化情況如下表:

(O'e)e(e,+8)

/'（X）+0—

2

/（X）/

e

7

所以“X)極大值=〃e)=j/(尤)沒有極小值.

(2)當a=l時，/(x)=^^+x2-1,xe[1,+<?),

則/,(X)=>+2X=2(I：：+X)

令g(x)=l-lnx+x3,xe[l,+8),

則g'(x)=+3x2=———->0,

xx

則g（x）在［L+00）上是增函數，則8（無置=g⑴=2,

所以/'（x）＞0,即/（x）在［1,+8）上是增函數,

則小號=/⑴=o.

故當°=1時，/（x）在上+⑹上的最小值是0；

(3)/(x)=^^+a(x2-l),xe(l,e),

2(l-lnx+Q%3)

2-2Inx.

---------F2ax=

x

令g(x)=&_[nx+l,xe(l,e),g'(x}=3ax2--=1

XX

當a<0時，g'(x)<0,則g(x)在(l,e)上是減函數，貝I]g(x)<g(l)=。+1.

①當。+1?0時，/'(x)<0,則/(x)在(l,e)上是減函數，〃x)1mx〈/⑴=0,不合題意;

②當a+l>0時，a>-l,g(l)>0,g(e)=ae3<0,則存在毛e(l,e),使g(x0)=0,

即/''(/)=0,x變化時，/'(x),f(x)的變化情況如下表：

X(i,%)xo

r(x)+0—

f(x)/極大值/（與）

則/(x)極大值=〃％)>〃1)=。，

因為f(x)在(Le)上有零點，

2/\—7

所以/仁)="+0.-1)<0,解得.〈事.

所以，a的取值范圍是1

例題4.(23-24高二下?重慶?期末)已知函數〃x)=xe*.

⑴若關于x的方程f(x)=k有且只有一個實數根，求實數k的取值范圍;

(2)若關于x的不等式/(力+/(1-力冷對\/龍€1,2恒成立，求實數。的取值范圍.

【答案】⑴《

(2)~,問.

【分析】(1)利用導數研究函數的單調性，求解出函數的極值和最值從而求解出范圍.

(2)利用抽象函數求導，分析出函數的單調性分析出極值和最值求解出取值范圍.

【詳解】⑴因為/(尤)的定義域為RJ'(x)=(l+x)e',

又?4>(),.?.當x<-l時，/'(x)<0,則/'⑺單調遞減；

當x>-l時，r(x)>o,則/(無)單調遞增，

所以/"(X)的單調減區間為(-8,-1),單調增區間為(-1,+功；

又〃0)=0,x<0時/(x)<0,/(-1)=--,

e

故片《一:卜他+⑹；

(2)設g(x)=/(x)+/(l-x),

g，(x)=/(x)1一x)=(l+x)e'-(2-x)e'

令人(x)=g1x),

h\x)=(2+x)e*-(x-3)e-,考查這個函數發現”(x)在;VxW2恒正，

即當;4x42時，/(x)>0,g，(x)單調遞增，

g'(x)2g[g]=(V.g(x)在xe1,2上單調遞增，

???g(xLn捉，

即實數。的取值范圍為卜叫血］.

精練高頻考點

1.(23-24高二下?貴州畢節?階段練習)已知函數=一;/一

⑴當6=0時，求/(x)在［-2,3］上的值域;

(2)若方程/(力=0有三個不同的解，求6的取值范圍.

……「1。7］

【答案】⑴-V>7

【分析】(1)利用導數研究函數/(X)的單調性，求出/(-1),/(2),/(-2),/(3),即可求解；

17(-1)>0

(2)由(1)可得函數/(X)的極值，由方程/(x)=0有3個不同的解可得;，解之即

［八6<u

可求解.

【詳解】(1)當6=0時，/(x)=gx3—;/-2x,貝lJ/'a)=x2-x-2=(x+l)(x-2),

令/'(%)<0n-1<%<2/(%)1或x〉2,

所以/(X)在(-1,2)上單調遞減，在(一8,一1)、(2,+8)上單調遞增，

7

故/(X)在X=-l處取得極大值，且為

6

在工=2處取得極小值，且為/(2)=-

又在［-2,3］上，/(-2)=-1,/(3)=-1,

所以在［-2,3］上的值域為「先］；

36

(2)由(1)知/(x)在(-1,2)上單調遞減，在(-8,-1)、(2,+8)上單調遞增,

7

所以/(X)在X=-1處取得極大值，且為/(-1)=(-3

O

在％=2處取得極小值，且為八2)=-

/(-1)>0

若方程/(x)=0有3個不同的解，則

/(2)<0

7

—b>0

6”010[7

即<,角牛倚----<b<—,

1036

---b<0

.3

所以實數6的取值范圍為

2.(23-24高二下?云南玉溪?期中)設〃x)=a(x-5y+61nx,曲線了=/("在點(1)⑴)處

的切線與了軸相交于點(0,6).

(1)求實數。的值；

⑵若函數了=/(x)+6有三個零點，求實數6的取值范圍.

【答案】(l)a=g

9

(2)---61n2<b<-2-61n3

【分析】(1)利用導數求出函數在(1,了(1))處的切線方程后結合其過的點可求實數。的值.

(2)利用導數討論函數的單調性和極值，從而可求實數b的取值范圍.

【詳解】(1)由/(x)=a(x-5)2+6hw,得x>0,且/(無)=2a(x-5)+!.

令x=l,貝U/(l)=16aJ'(l)=6-8a,

所以曲線J=/(x)在(1J⑴)處的切線方程為y-16a=(6-&0(尤-1).

代入(0,6)解得。=；.

(2)由(1)知/'(上)=丫_5+￡=(工2)(.3),

XX

令/'(x)=0,解得或x=3,

當0<x<2或x>3時，/'(x)>0,當2Vx<3時，

故y=/(x)的單調遞增區間是(0,2)和(3,+8),單調遞減區間是(2,3),

a

由此可知在X=2處取得極大值7(2)=5+61n2,

在x=3處取得極小值〃3)=2+61n3,

因為函數y=/(x)+6有三個零點，即方程/(耳=-6有三個根，

而當x->0時，/(x)f-OO,當Xf+8,/(x)f+co,

99

^2+61n3<-Z)<-+61n2,所以-5-61112<6<-2-61113.

3.(23-24高二下?廣東惠州?期中)已知函數〃X)=；X3-4X+4.

(1)求曲線V=的圖象在點(1，/⑴)處的切線方程；

(2)若方程"X)=才有3個不同的根，求實數k的取值范圍.

［答案］⑴9x+3y_10=0；

【分析】(1)利用導數的幾何意義求出曲線y=〃x)在點(1,/。))處的切線方程.

(2)利用導數求出函數/(X)的極值，并作出其圖象，數形結合求出左的范圍.

【詳解】⑴函數/3=白3-4X+4,求導得r(x)=x2-4,則=而八1)=；,

所以曲線)，=/("的圖象在點(1J⑴)處的切線方程為＞-g=-3(x-l),即9為+3y-10=0.

(2)函數〃X)=$3-4X+4,定義域為R,求導得廣(X)=X2-4=(X-2)(X+2),

當工￡(一8,-2)U(2,+8)時,/z(x)＞0,當不￡(—2,2)時，/'(%)＜0,

函數/(x)在(-a,-2),(2,+。)上單調遞增；在(-2,2)上單調遞減，

OOA

則當x=-2時，“X)取得極大值當工=2時，/(X)取得極小值

作出函數/(x)的圖象，如圖，

若方程〃X)=上有3個不同的根，則直線了=左和函數了=/("的圖象有3個交點,

A98

觀察圖象知，當-§＜左＜?■時，直線了=左和函數＞=/(力的圖象有3個交點，

所以實數上的取值范圍為,*g]

4.(23-24高二下?河南?階段練習)已知函數〃x)=1+21nx.

(1)求曲線V=/(”在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)求函數/(尤)的零點個數.

【答案】(1)》-了=0

(2)0

【分析】(1)先求切點，再利用導數求切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程.

(2)求導，分析函數的單調性，根據函數的極值判斷函數零點的個數.

112

【詳解】(1)函數/(x)=、+21nx,可得/(尤)=

所以/'⑴=1且/(1)=1,即切線的斜率為左=1且切點坐標為(1,1),

所以切線方程為夕-l=x-l,即x-y=O.

2r—1

(2)由(1)知,/'(%)=——,x>0,

當時，單調遞減

當xe時，/(%)>0,/(x)單調遞增，

所以當x時，函數/(X)取得極小值，也為最小值，/Q^=2+21n1=2-21n2>0,

所以〃x)>0,所以函數“X)沒有零點，即函數〃x)的零點個數為0.

題型三：函數的圖象與函數零點問題

典型例題

例題1.(2024?陜西榆林?模擬預測)已知函數/(x)=/-x-alnx.

⑴若函數/(x)單調遞增，求實數”的取值范圍；

(2)若函數/■(》)有且僅有2個零點，求實數a的取值范圍.

【答案】⑴,叱-可；

⑵(O,l)U(l,+8).

【分析】(1)將問題轉化為r(x"0恒成立，參變分離后根據二次函數性質可得；

(2)構造函數g(x)=q^,xe(O,l)51,+8),利用導數判斷函數單調性，根據直線了=。

與g(x)的圖象有一個交點可得a的范圍.

【詳解】⑴函數/(X)的定義域為(0,+8),r(x)=2x-l-p

因為函數/(尤)單調遞增，所以2x-l-在區間(0,+到上恒成立，

即aW2/-x在區間(0,+。)上恒成立，

因為2/一x=2(x」［二，所以當x=J時，(2x2-x),=-：，

I4J84'8

所以aV-g,即實數。的取值范圍為

O

(2)因為/⑴=0,所以、=1是/(%)的一個零點.

當XW1時，由/(x)=、2—x—alnx=0,得aX-x

(2x-l)lnx-(x-l)

記g(%)=彳一-,XG(0,l)u(l,+a?),則g'(x)=

(inx)2

I己人(x)=(2x—1)Inx—(x—1),貝lj/(x)=21nx--+1,

io1

記加(尤)=2如x--+1,則加'(無)=一+二＞0,所以加(x)在(0,+8)上單調遞增,

又加⑴=0,所以當xe(0,l)時，加(x)＜0,當xe(L+oo)時,m(x)＞0,

所以，”x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+句上單調遞增，

所以，當x=l時，有最小值〃(1)=0,

所以,當xe(O,l)u(l,+8)時,/z(x)＞0,即g'(x)＞0,

所以，g(x)在區間(0,1)和(1,+功上單調遞增，

因為X趨近于1時，g(x)趨近于1,X趨近于0時，g(x)趨近于0,X趨近于.時，g(x)

趨近于+00,

作出函數g(x)的圖象如圖：

尸g(x)

由圖可知，當0＜。＜1或。＞1時，直線＞與g(x)的圖象有一個交點，

即/'(X)在區間(0,1)"1,+。)上有一個零點,

所以，當0＜。＜1或。＞1時，/(x)在(0,+“)有兩個零點，

所以，實數°的取值范圍為(。,1)。(1,+8).

【點睛】關鍵點睛:第二問關鍵在于當xe(O,l)31，+s)時，參變分離，構造函數g(x)=^^

利用導數判斷函數g(x)的單調性，數形結合即可求解.

例題2.(23-24高二下?山東聊城?期末)已知函數/(x)=(ae，-b)x-e*+b.

(1)當6=0時,求/(x)的單調區間;

(2)若/'⑺的導函數;(x)滿足人勸“一)恒成立.

(I)求。的值；

<n)討論/(x)零點的個數.

【答案】(1)見解析

(2)(I)a=2(口)見解析

【分析】(1)分類討論a>0,a=0,a<0,結合導數得出單調區間；

(2)(I)根據極值的定義確定彳=-；是/'(x)的極小值點，進而得出”的值；(II)分離

參數，構造函數〃(》)=生生0,并結合導數得出其圖像，數形結合得出/卜)零點的個

x-1

數.

【詳解】(1)6=0時，/(x)=ex(ax-1),xeR,f\x)=ex(ax-\+a),

當Q=0時，f\x)=-ex<0J(x)在R上單調遞減；

當aW0時，/'(x)=ae，(x---1］，

若Q〉0,則時，/O)<0,/(x)單調遞減；

a

i時，/a)>oja)單調遞增；

a

若"0,則％<工-1時，/'(x)〉0J(x)單調遞增；

a

x>,一1時，/(x)<0,/(x)單調遞減；

a

綜上，。=0時，/(X)的單調減區間為(-叫+8),無單調增區間；

a>0時，"X)的單調減區間為單調增區間為匕-1,+"］；

°<0時，/(X)的單調增區間為單調減區間為(：T,+")；

(2)(I)由/(x)=(ae--b)x-e"+b,f(x)=ex(ax+a-l)-b,xeR,

因為/‘(X)恒成立，所以/'(-|)是/(X)的最小值，

即％=-；是/⑴的極小值點.

令g(x)=f(x)=e"(ax+tz-1)-b,g'(x)=ex(ax+2a-1),

且g'||=屋5(^_1]=0,解得a=2.

此時8。)=爐(2*+3)6<-：時，g'(x)<O,g(x)單調遞減，即/'(X)單調遞減;

3

時，g'(x)〉o,g(x)單調遞增，即/'(X)單調遞增，

所以''(》)2/(-卞,符合題意.

故”2.

(II)由(I)知/(%)=(2e*—e”+6=e*(2x—1)—6(x—1),

因為/⑴=ew0,所以/(x)零點的個數等價于方程6=e”(2xf實根的個數.

X—1

廿(21)xex(2x-3)

令h(x)=則h\x)=

x-1(I),

3

所以當x<0或、>：時，/'(x)〉0;

3

當0<x<l或l<x<3時，/'(x)<0,

即〃(x)在(-叱0)和《，+金上單調遞增，在(0,1)和上單調遞減,

當Xf-oo時，x-1^-00,e"-0,2x—l-—8,所以/z(x)-O,

3

又h(O)=l,h4靛，所以〃(無)的大致圖象如圖所示:

所以當640或6=1或6=40時，

方程6=4(2"-1)恰有一個實根,/(x)零點的個數為1；

x—\

3

當0<6<1或6>4”時，

eI(2x-l).

方程6=恰有兩個實根，/(x)零點的個數為2；

X-]

當l<6<4e，時，方程6=e'(二］)無實根,/")零點的個數為0.

【點睛】關鍵點睛：解決問題(H)時，關鍵在于分離參數，構造函數，利用導數得出單調

性，進而由圖像判斷零點個數.

例題3.(2024高三?全國?專題練習)已知a>0且函數/(x)=H(x>0),若曲線

ax

y=/(x)與直線y=i有且僅有兩個交點，求”的取值范圍.

【答案】(l,e)U(e,+a))

【分析】由題意得方程l(X>0)有兩個不同的解，方程變形得兩邊取對數整理

得皿=皿，令8(幻=止@>0),分析g(x)的單調性和值域可得。的取值范圍.

XaX

【詳解】曲線y=〃x)與直線了=1有且僅有兩個交點，

可轉化為方程二=1(》>0)有兩個不同的解，

a

方程h=l(X>0),化為4=x"，兩邊取對數得xlna=〃lnx,即也=皿，

axxa

即方程—=—有兩個不同的解.

xa

令g(x)=也二(%>。)，貝!Jg'(x)=lT：，(x>。)，

X%

令g'(x)=上半=0,解得x=e,

X

當xe(0,e)時,g'(x)>0,此時g(x)單調遞增；

當xe(e,+8)時，g'(x)<0,此時g。)單調遞減.

故g(x)max=g(e)=,，且當X>e時，g(x)e(0」)，

ee

又g(l)=0,所以。〈啊<L解得l<a<e或a>e,

ae

故。的取值范圍是(l,e)U(e,+s).

例題4.(2024?全國?模擬預測)已知函數/■(元的圖象在點(0,7(0))處的切線方程為

ax+b

2x+y+1=0,