專題12平行四邊形與中位線

選擇題

1.（2022?四川樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作。E0AB,垂足為E,過點B作B用AC,垂足為

F.若AB=6,AC=8,DE=4,則8F的長為（）

5

A.4B.3C.-D.2

2

【答案】B

【分析】利用平行四邊形ABC。的面積公式即可求解.

【詳解】解：EDEEMB,BFELAC,平行承形ABCD=DExAB=2x；xACxBF,

04x6=2x-x8xBf,E18F=3,故選：B.

2

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，利用平行四邊形A8CD的面積公式求垂線段的長是解題的關鍵.

2.（2022?浙江寧波）如圖，在咫AABC中，。為斜邊AC的中點，E為3D上一點，F為CE中點.若=

DF=2,則3。的長為（）

A.2y/2B.3C.26D.4

【答案】D

【分析】根據三角形中位線可以求得AE的長，再根據可以得到AO的長，然后根據直角三角形斜

邊上的中線和斜邊的關系，可以求得BD的長.

【詳解】解：回。為斜邊AC的中點，F為CE中點，DF=2,EL4E=2DF=4,蜘E=AD,蜘。=4,

在RtELABC中，。為斜邊AC的中點，回8D=gAC=AD=4,故選：D.

【點睛】本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關系、三角形的中位線，解答本題關鍵是求出AD的長.

3.（2022?四川眉山）在AABC中，43=4,BC=6,AC=8,點D,E,廠分別為邊A3,AC,3c的

中點，則△DEF的周長為（）

A.9B.12C.14D.16

【答案】A

【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，可得出AABC的周長=2ADEF的周長.

【詳解】團0,E,F分別為各邊的中點，ME、EF、DF是AABC的中位線，

^DE=^BC=3,EF=^AB=2,DF=《4C=4,I3ADEF的周長=3+2+4=9.故選：A.

【點睛】本題考查了三角形中位線定理.解題的關鍵是根據中位線定理得出邊之間的數量關系.

4.（2022?浙江紹興）如圖，在平行四邊形A3CD中，AD=2AB=2,ZABC=60°,E,尸是對角線上的

動點，且血=止，M,N分別是邊AD,邊3c上的動點.下列四種說法：①存在無數個平行四邊形MENF；

②存在無數個矩形MENV；③存在無數個菱形MENF；④存在無數個正方形MENF.其中正確的個數是

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可.

【詳解】

如圖，連接AC,與BD交于點0,連接/WE0MF0N用E/VEI/WN,

團四邊形A8C。是平行四邊形I3OA=OC,OB=OD

甩。E=。甩點H3F時BD上的點，回只要M0/V過點。，

那么四邊形MENF就是平行四邊形回存在無數個平行四邊形MENF,故①正確；

只要MN=EF,MN過點、0,則四邊形MENF是矩形，

團點E、F是8。上的動點，團存在無數個矩形MENF,故②正確；

只要/WA/I3EF,/WN過點。，則四邊形/WENF是菱形；

回點E、F是8。上的動點，團存在無數個菱形MENF,故③正確；

只要MN=￡F,MNBiEF,MN過點。，則四邊形MENF是正方形，

而符合要求的正方形只有一個，故④錯誤；故選：C

【點睛】本題考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的判定、解答本題的關鍵時明確

題意，作出合適的輔助線.

5.（2022?浙江嘉興）如圖，在44SC中，AB=AC=8,點E,F,G分別在邊AB,BC,AC上，EF//AC,

GF//AB,則四邊形AEFG的周長是（）

，C

A.32B.24C.16D.8

【答案】C

［分析】根據EF〃AC,G尸〃AB,可得四邊形AEFG是平行四邊形,從而得到FG=AE,AG=EF,再由E尸〃AC,

可得回BFE=I3C,從而得到EIB=I3BFE,進而得到8E=EF,再據四邊形AEFG的周長是2（AE+EF）,即可求解.

【詳解】解EEE產〃AC,GF//AB,

團四邊形AEFG是平行四邊形，^\FG=AE,AG=EF,

SEF//AC,00BFE=0C,

^AB=AC,00B=[3C,00B=EBFE,SBE=EF,

回四邊形AEFG的周長是2（AE+EF）=2（AE+BE）=248=2x8=16.故選：C

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握平行四邊形的判定和性

質，等腰三角形的性質是解題的關鍵.

6.（2022?四川達州）如圖，在AABC中，點D,E分別是AB,8C邊的中點，點F在￡>E的延長線上.添加

一個條件，使得四邊形4）尸C為平行四邊形，則這個條件可以是（）

A.ZB=ZFB.DE=EFC.AC=CFD.AD=CF

【答案】B

【分析】利用三角形中位線定理得到DE0AC且DE=^AC,結合平行四邊形的判定定理進行選擇.

【詳解】解：團在蜘BC中，D,E分別是AB,BC的中點，

EIDE是EMBC的中位線，SDESACS.DE=^AC,

A、根據回8=臚不能判定C的D,即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤.

B、根據OE=EF可以判定DF^AC,由“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行

四邊形，故本選項正確.

C、根據AC=CF不能判定ACI3DF,即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤.

D、根據AD=CF,FDMC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，故本選項錯誤.故選：B.

【點睛】本題主要考查了三角形的中位線的性質和平行四邊形的判定.三角形中位線定理：三角形的中位

線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

7.（2022?浙江麗水）如圖，在AABC中，D,E,F分別是2C,AC,AB的中點.若A3=6,BC=8,則

四邊形的周長是（)

A

A.28B.14C.10D.7

【答案】B

【分析】首先根據D,E,F分別是BC,AC,A3的中點，可判定四邊形■是平行四邊形，再根據三

角形中位線定理，即可求得四邊形3/）防的周長.

【詳解】解：:D,E,F分別是BC,AC,A8的中點，

；.EF、瓦（分別是"BC的中位線，

:.EF//BC,ED//ABS.EF=-BC=-x8=4,￡D=-AB=-x6=3,

2222

，四邊形是平行四邊形，.?.BD=EF=4,BF=ED=3,

四邊形BDE尸的周長為：BF+BD+ED+EF=3+4+3+4=14,故選：B.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質，三角形中位線定理，判定出四邊形3DEF是平行四邊形是

解決本題的關鍵.

8.（2022?湖南懷化）一個多邊形的內角和為900。，則這個多邊形是（）

A.七邊形B.八邊形C.九邊形D.十邊形

【答案】A

【分析】根據。邊形的內角和是（n-2）?180。，列出方程即可求解.

【詳解】解：根據n邊形的內角和公式，得（n-2）?180。=900。，解得n=7,

回這個多邊形的邊數是7,故選：A.

【點睛】本題考查了多邊形的內角和，解題的關鍵是熟記內角和公式并列出方程.

9.（2022?四川南充）如圖，在正五邊形ABCDE中，以AB為邊向內作正人45戶，則下列結論錯誤的是（）

B

A.AE=AFB.NEAF=NCBFC./F=/FAFD.NC=NE

【答案】C

【分析】利用正多邊形各邊長度相等，各角度數相等，即可逐項判斷.

【詳解】解：回多邊形ABCDE是正五邊形，

回該多邊形內角和為：（5-2）x180°=540°,AB=AE,

540°

IBNC=/E=/￡AB=/ABC=y—=108。，故D選項正確；

EIAABF是正三角形，0Z.FAB=Z.FBA=Z.F=60°,AB=AF=FB,

團NEAF=ZEAB-ZFAB=108°-60°=48°,ZCBF=ZABC-ZFBA=108°-60°=48°,

回NEAF=NCBF,故B選項正確；S1AB=AE,AB=AF=FB,0AE=AF,故A選項正確；

BIN尸=60。，ZEAF=48°,回N產尸，故C選項錯誤，故選：C.

【點睛】本題考查正多邊形的性質以及多邊形內角和公式，熟練掌握正多邊形"各邊長度相等，各角度數相

等"是解題的關鍵.

10.（2022?湖南湘潭）在口ABCD中（如圖），連接AC,已知NB4C=40。，NACB=80。，則/BCD=（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

【答案】C

【分析】根據平行四邊形的對邊平行和兩直線平行內錯角相等的性質，再通過等量代換即可求解.

【詳解】解：回四邊形ABCD為平行四邊形，^AB//CD00DCA=0C4B,

SZBCD=^DCA+^ACB,ABAC=40°,ZACB=80°

0ZBCD=405+805=1205,故選：C.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質和平行線的性質，解題的關鍵是熟記性質并熟練運用.

1L（2022?河北）依據所標數據，下列一定為平行四邊形的是（

A.

【答案】D

【分析】根據平行四邊形的判定及性質定理判斷即可；

【詳解】解：平行四邊形對角相等，故A錯誤；

一組對邊平行不能判斷四邊形是平行四邊形，故B錯誤；

三邊相等不能判斷四邊形是平行四邊形，故C錯誤；

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D正確；故選：D.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質,掌握平行四邊形的判定及性質是解題的關鍵.

12.（2022?湖南岳陽）下列命題是真命題的是（）

A.對頂角相等B.平行四邊形的對角線互相垂直

C.三角形的內心是它的三條邊的垂直平分線的交D.三角分別相等的兩個三角形是全等三角形

【答案】A

【分析】根據對頂角性質判斷A,根據平行四邊形的性質判斷B,根據三角形的內心定義判斷C,根據全等

三角形的判定定理判斷D.

【詳解】A.對頂角相等是一個正確的命題，是真命題，故A符合題意；

B.菱形的對角線互相垂直，非菱形的平行四邊形的對角線不垂直，所以平行四邊形的對角線互相垂直是一個

假命題，故B不符合題意；

C.三角形的內心是三角形內角平分線的交點，不一定是三邊的垂直平分線的交點，則三角形的內心是它的三

條邊的垂直平分線的交點是一個假命題，故C不符合題意；

D.三角分別相等的兩個三角形不一定全等，故D不符合題意；故選：A.

【點睛】本題考查了真命題與假命題的判斷，對頂角的性質，平行四邊形的性質，三角形的內心定義，全

等三角形的判定，熟練掌握這些性質、定義、定理是解決問題的關鍵.

13.（2022?河北）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設AABC與四邊形比的外角和的度數分別為

a,P,則正確的是（

A.a-j3=0B.a-j3<0C.a-j3>0D.無法比較a與尸的大小

【答案】A

【分析】多邊形的外角和為360。，AABC與四邊形BCDE的外角和均為360。，作出選擇即可.

【詳解】解：回多邊形的外角和為360。，

國AABC與四邊形2CDE的外角和。與尸均為360。，回a-4=0,故選：A.

【點睛】本題考查多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和為360。是解答本題的關鍵.

14.（2022?河南）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC,BD相交于點。，點E為CO的中點.若0E=3,則

菱形ABC。的周長為（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】由菱形的性質可得出8。=。。，AB=BC=CD=DA,再根據中位線的性質可得3c=2OE=6,結合菱

形的周長公式即可得出結論.

【詳解】解:回四邊形"CO為菱形，BBO=。。，AB=BC=CD=DA,

G1OE=3,且點E為CO的中點，是△BCD的中位線，

EIBC=2OE=6.團菱形ABC￡）的周長為:4BC=4x6=24.故選：C.

【點睛】本題考查了菱形的性質以及中位線的性質，解題的關鍵是求出AD=6.

15.（2022?山東泰安）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,8￡>相交于點。.點E為8C的中點，連接E。

并延長交于點F,ZABC=60°,BC=2AB.下列結論：?AB±AC；（2）AD=4OE；③四邊形AEC尸

是菱形；④&BOE=：Swc-其中正確結論的個數是（）

AFD

BEC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】通過判定AASE為等邊三角形求得出=60。，利用等腰三角形的性質求得NE4c=30。，從而判

斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結合菱形的性質和含30。直角三角形的性質

判斷②；根據三角形中線的性質判斷④.

【詳解】解：?.,點E為8C的中點，二次^=23￡=28,

又rBC=2AB,:.AB=BE,

ZABC=60°,.1A4BE是等邊三角形，

:.NBAE=NBEA=60°,ZEAC=NECA=30°,

ABAC=ZBAE+ZEAC=90°,即A3_LAC,故①正確；

在平行四邊形ABC。中，ADIIBC,AD=BC,AO=CO,

:.ZCAD=ZACB,

ZCAD=ZACB

在AAO尸和ACOE中，\OA=OC,

ZAOF=ZCOE

:.\AOF^\COE{ASA）,.-.AF=CE,

四邊形AEC尸是平行四邊形，

又?.?AB,AC,點石為3c的中點，:.AE=CE,

二平行四邊形AEC尸是菱形，故③正確；

:.AC±EF,在RtACOE中，ZACE=30°,

:.OE=-CE=-BC=-AD,故②正確；

244

在平行四邊形ABCD中，OA=OC,

又,點E為的中點，，5ABet萬=/SABOC=工SAABC，故④正確；

綜上所述：正確的結論有4個，故選：A.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，含30。的直角三角形

的性質，掌握菱形的判定是解題關鍵.

16.（2022?山東濱州）下列命題，其中是真命題的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相平分的四邊形是菱形D.對角線互相垂直的矩形是正方形

【答案】D

【分析】分別根據平行四邊形，矩形，菱形及正方形的判定定理進行判斷即可.

【詳解】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故A錯誤，不符合題意；

有三個角是直角的四邊形是矩形，故B錯誤，不符合題意；

對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故C錯誤，不符合題意；

對角線互相垂直的矩形是正方形，故D正確，符合題意；故選：D.

【點睛】本題考查了平行四邊形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

二、填空題

17.（2022?江蘇揚州）"做數學"可以幫助我們積累數學活動經驗.如圖，已知三角形紙片A3C,第1次折

疊使點8落在邊上的點8,處，折痕AD交3c于點。；第2次折疊使點A落在點。處，折痕交于

點、P.若8C=12,貝!.

第1次折疊第2次折疊

【答案】6

［分析］根據第一次折疊的性質求得BD=DB'=^BB'^AD±BC,由第二次折疊得到AM=DM,MN±AD,

進而得到腦V〃8C,易得MN是AADC的中位線，最后由三角形的中位線求解.

【詳解】解：團己知三角形紙片A3C,第1次折疊使點8落在3c邊上的點夕處，折痕AD交于點E

BD=DB'=-BB',AD±BC.

2

團第2次折疊使點A落在點。處，折痕交AE于點P,

SAM=DM,AN=ND,5iMN±AD,SMN//BC.

SAM=DM,I3MN是AADC的中位線，

SMP=-DB',MN=-DC.

22

0BC=12,BD+DC=CB'+2BD=BC,

^MP+MN=-DB'+-DC=-（DB'+DB'+B'C}=-BC=6.

222''2

故答案為：6.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質和三角形中位線的性質，理解折疊的性質，三角形的中位線性質是解

答關鍵.

18.（2022?江蘇連云港）如圖，在QABCZ）中，NA5c=150。.利用尺規在2C、54上分別截取BE、BF,

使BE=BF；分別以E、尸為圓心，大于;項7的長為半徑作弧，兩弧在NCB4內交于點G；作射線8G交OC

于點H.若AO=6+1，則3H的長為.

【答案】72

【分析】如圖所示，過點H作于M,由作圖方法可知，平分蜘8C,即可證明E1C8H=EICHB,得到

CH=BC=6+1,從而求出HM,CM的長，進而求出的長，即可利用勾股定理求出8”的長.

【詳解】解：如圖所示，過點H作HM0BC于M,

由作圖方法可知，BH平分EMBC,

00/lBH=0CBH,

回四邊形ABCD是平行四邊形，

SBC=AD=y/3+l,AB//CD,

00CHB=EL4BH,0C=18O0-ELABC=3OO,

0CH=BC=V3+1,

SHM

22

0CM=y]CH2-CM2=三3,

2

J3-1

^BM=BC-CM=-——，

2

團BH=^HM2+BM2=A/2，

故答案為：V2.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規作圖，平行四邊形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股

定理，等腰三角形的性質與判定等等，正確求出CH的長是解題的關鍵.

19.（2022?四川南充）數學實踐活動中，為了測量校園內被花壇隔開的A,B兩點的距離，同學們在外

選擇一點C,測得AC兩邊中點的距離DE為10m（如圖），則A,B兩點的距離是m.

【分析】根據題意得出DE為A48C的中位線，然后利用其性質求解即可.

【詳解】解：回點。、E為AC,BC的中點，

BDf為MBC的中位線，

0D￡=1O,

EMB=2DE=20,

故答案為：20.

【點睛】題目主要考查三角形中位線的判定和性質，熟練掌握三角形中位線的性質是解題關鍵.

20.（2022?湖南株洲）如圖所示，已知NMON=60。，正五邊形ABCDE的頂點A、8在射線。河上，頂點E

在射線GW上，則ZAEO=度.

N

UABM

【答案】48

【分析】/E4O是正五邊形的一"於外角，利用多邊形外交和360。算出一個外角/E40,再利用△OAE的內

角和180。，即可算出

【詳解】團四邊形ABCDE是正五邊形，/E4O是一個外角

360°

SZEAO=——=72°

5

在△Q4E中：

ZAEO=180°-Z.EAO-ZMON=180°-72°-60°=48°

故答案為：48

【點睛】本題考查多邊形外角和和三角形內角和，注意多邊形外角和均為360。

21.（2022?四川遂寧）如圖，正六邊形A8CDEF的頂點A、F分別在正方形BMG”的邊BH、GH上.若正方

形BMGH的邊長為6,則正六邊形ABCDEF的邊長為.

【答案】4

【分析】連接BE,根據正六邊形的特點可得SE//AF,根據含30度角的直角三角形的性質即可求解.

【詳解】如圖，連接BE,

??,正六邊形48CDEF的頂點4F分別在正方形BMGH的邊8H、GH上

???正六邊形每個內角為180。—-二120。，班為對稱軸

/.ZABE+ZBAF=180°

S.AF//BE

貝ljZABE=ZHAF=60°=ZFEB

則NAEH=30。，

??,正方形BMGH的邊長為6

:.BH=6,

AH_1

,AF-2

設=貝!Jx+2x=6

解得％=2

BA=2x=4

故答案為：4

【點睛】本題考查了正多邊形的性質，正方形的性質，含30度角的直角三角形的性質，掌握以上知識是解

題的關鍵.

22.（2022?浙江舟山）正八邊形的一個內角的度數是一度.

【答案】135

【分析】根據多邊形內角和定理：（n-2）?180。（*3且n為正整數）求出內角和，然后再計算一個內角的

度數即可.

【詳解】正八邊形的內角和為：（8-2）xl80°=1080°,

每一個內角的度數為：1080。+8=135。，故答案為135.

23.（2022?江西）正五邊形的外角和等于%

【答案】360

【詳解】試題分析：任何n邊形的外角和都等于360度.

考點：多邊形的外角和.

24.（2020?湖南湘西）一個正多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數是.

【答案】6

【分析】利用正多邊形的外角和以及正多邊形的內角和定理即可解決問題.

【詳解】解：：正多邊形的外角和是360度，正多邊形的內角和是外角和的2倍，

則內角和是720度，720+180+2=6,

這個多邊形的邊數為6.

故答案為：6.

【點睛】本題主要考查了正多邊形的內角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關鍵.

25.（2022,湖南常德）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙

片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：

從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；......；

如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一

張多邊形紙片的邊數為.

【答案】6

【分析】根據多邊形的內角和進行即可求解.

【詳解】解：根據題意用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，則每剪一次，所有的多邊

形的內角和增加360。，

10張紙片，則剪了9次，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，設還有一張多邊形

紙片的邊數為“，

」.（5-2）xl800+3xl80°+（4-2）xl80°x5+（"-2）xl80°=360°+360°x9,

解得n=6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查了多邊形內角和公式，理解題意是解題的關鍵.

26.（2022?浙江臺州）如圖，在AASC中，NACB=90。，D,E,F分別為AB,BC,C4的中點.若EF

的長為10,則8的長為

c

E

【分析】根據三角形中位線定理求出AB,根據直角三角形的性質解答.

【詳解】解：?"、F分別為BC、AC的中點，

：.AB=2EF=20,

：/ACB=90。，點。為AB的中點，

Z.CD=-AB=10,

2

故答案為：10.

【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且

等于第三邊的一半是解題的關鍵.

27.（2022?湖北荊州）如圖，點E,尸分別在口ABC。的邊AB,C。的延長線上，連接EF,分別交A。，BC

于G,H.添加一個條件使0AEG0團這個條件可以是.（只需寫一種情況）

【答案】AE=CF（答案不唯一）

【分析】由平行四邊形的性質可得：4=/C,證明=再補充兩個三角形中的一組相對應的邊相等

即可.

【詳解】解：???uABCD,\AB//CD,1A?C,

\?F?E,所以補充：AE^CF,

0AEGEBCPH,故答案為：AE=CF（答案不唯一）

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，掌握"平行四邊形的性質與利用ASA

證明三角形全等”是解本題的關鍵.

28.（2022?江蘇蘇州）如圖，在平行四邊形ABC。中，AB±AC,AB=3,AC=4,分別以A,C為圓心,

大于［AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點V,N,過N兩點作直線，與BC交于點E,與A。交于點R

2

連接AE,CF,則四邊形AECF的周長為

【答案】10

【分析】根據作圖可得MN，AC,且平分AC,設AC與MN的交點為。，證明四邊形AECF為菱形，根

據平行線分線段成比例可得AE為44BC的中線，然后勾股定理求得8C,根據直角三角形中斜邊上的中線

等于斜邊的一半可得AE的長，進而根據菱形的性質即可求解.

【詳解】解：如圖，設AC與的交點為O,

根據作圖可得MN，AC，且平分AC,.〔AOMOC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，:.AD//BC,:.ZFAO=ZOCE,

又一；ZAOF=NCOE,AO^CO,:.AAOFmACOE,:.AF=EC,

A/〃CE,二四邊形AECF是平行四邊形，

???VN垂直平分AC,.?.￡4=EC,.?.四邊形AEC尸是菱形，

RFOC

AB1AC,MNLAC,:.EF//AB,—=—=1,為3c的中點，

ECAO

氐△ABC中，AB=3,AC=4,BC=VAB2+AC2=5，AE=^BC=^,

，四邊形AECF的周長為4AE=10.故答案為：10.

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，菱形的性質與判定，勾股定理，平行線分線段成比例，平行四邊

形的性質與判定，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

29.（2022,湖南邵陽）如圖，在等腰AABC中，ZA=120°,頂點2在口。。跖的邊OE上，已知4=40。，

貝l|Z2=_________

【答案】noe

【分析】先根據等腰三角形的性質求出蜘BC的度數；再根據平行四邊形對邊平行和兩直線平行同旁內角互

補的性質，得出I32+EMBE=18O。，代入求解即可.

【詳解】解：回AABC是等腰三角形，04=1205,0EMBC=0C=（18O?-a4）4-2=3Oe,

0四邊形ODEF是平行四邊形，

SOF//DE,002+EL4BE=18O5,即02+30。+40。=180。，

002=1109.故答案為：1102.

【點睛】此題考查了等腰三角形的性質和平行四邊形的性質，解題的關鍵是數形結合，熟練運用上述知識

求解.

30.（2022?甘肅武威）如圖，在四邊形A3CD中，AB\\DC,AD//BC,在不添加任何輔助線的前提下，

要想四邊形ABCD成為一個矩形，只需添加的一個條件是.

【答案】ZA=90°（答案不唯一）

【分析】】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結論.

【詳解】解：需添加的一個條件是蜘=90。，理由如下：

ELAB0DC,ADSBC,

回四邊形ABCD是平行四邊形，

又EEM=90°,

團平行四邊形ABCD是矩形，

故答案為：射=90。（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的

判定與性質是解題的關鍵.

31.（2022?山東濱州）如圖，在矩形ABC。中，AB=5,AD=10.若點E是邊4。上的一個動點，過點E作

AC且分別交對角線AC,直線BC于點O、F,則在點E移動的過程中，AF+M+EC的最小值為.

［答案】一

【分析】過點D作曲W〃小交BC于M,過點A作AN/EF,使AN=￡F,連接A/E,當N、E、C三點、

共線時，AF+FE+EC>CN+AN,分別求出C/V、AN的長度即可.

過點D作交BC于M,過點A作⑷V〃砂，使AN=EF,連接NE,

二四邊形4VEF是平行四邊形，AN=EF,AF=NE,

:.當N、E、C三點共線時，AR+CE最小，

???四邊形ABCD是矩形，AB=5,AE>=10,

.-.AD=BC=W,AB=CD=5,AD/7BC,ZABC=90°,

AC=VAB2+BC2=575，?二四邊形EFM。是平行四邊形，

/.DM=EF,:.DM=EF=AN,

-.-EFYAC,/.DM±AC,ANLAC,ZCAN=90°,

/.ZMDC+ZACD=90°=AACD+ZACB,.\ZMDC=ZACB,

「.tanAMDC=tanAACB,即---=---,MC=一,

CDBC2

在RACDM中，由勾股定理得DM=JCD?+CM'=正=AN，

2

在必AACN中，由勾股定理得CN=彳,

■.■AF+FE+EC>CN+AN,AF+FE+EC>25+5^,

2

.?.AF+EE+EC的最小值為25+5石,故答案為：25+5^.

22

【點睛】本題考查了利用軸對稱求最短距離問題，勾股定理，矩形的性質，解直角三角形，平行四邊形的

判定和性質，熟練掌握知識點，準確作出輔助線是解題的關鍵.

三、解答題

32.（2022?浙江嘉興）小惠自編一題："如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC,B。交于點O,4C0BD,08=

OD.求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學小潔交流.

小惠：

證明：EL4C0BD,OB=OD,小潔：

EL4C垂直平分BD.這個題目還缺少條件，需要補充一個條件才

蜘B=A0,CB=CD,能證明.

回四邊形ABCD是菱形.

若贊同小惠的證法，請在第一個方框內打"V";若贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明.

【答案】贊成小潔的說法，補充=OC證明見解析

【分析】先由。B=0D,Q4=OC,證明四邊形ABCD是平行四邊形，再利用對角線互相垂直，從而可得結

論.

【詳解】解：贊成小潔的說法，補充。4=OC

證明：SOB=OD,OA=OC,

■.四邊形ABCD是平行四邊形，

回四邊形A8C。是菱形.

【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定，菱形的判定，掌握"菱形的判定方法”是解本題的關鍵.

33.（2022?浙江溫州）如圖，在AABC中，ACBC于點。，E,F分別是AC,A3的中點，。是D廠的中點,

E。的延長線交線段8￡＞于點G,連結DE,EF,FG.

⑴求證：四邊形。EFG是平行四邊形.

⑵當AT＞=5,tanN￡DC=|■時，求FG的長.

【答案】⑴見解析

（2）＜

2

【分析】（1）根據E，F分別是AC,AB的中點，得出EFV/BC,根據平行線的性質，得出NREO=NDGO,

NEFO=NGDO,結合。是￡＞戶的中點，利用"AAS”得出△EFO0Z\GDO,得出EF=G￡＞,即可證明DEFG

是平行四邊形；

（2）根據E是AC中點，得出OE=；AC=EC,即可得出tanC=tan/EOC=：,即粲=：，根

據AD=5,得出CD=2,根據勾股定理得出AC的長，即可得出DE,根據平行四邊形的性，得出FG=DE=叵.

2

（1）

解：⑴回E,F分別是AC,A3的中點，

回EF〃BC,

B1ZFEO=ZDGO,ZEFO=ZGDO,

回。是D廠的中點，

BFO=DO,

^AEFO^^GDO(AAS),

QEF=GD,

回四邊形DEFG是平行四邊形.

(2)

0AD±BC,E是AC中點，

SDE=-AC=EC,

2

SZEDC=ZC,

IEtanC=tanZEDC=—,

2

「AD5

團---二—，

DC2

團AT>=5,

0CD=2,

^DE^-AC^-^AD-+CD-=-XA/52+22

2222

團四邊形DEFG為平行四邊形，

同??A/29

0FG=DE=------.

2

【點睛】本題主要考查了平行線四邊形的判定和性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，三角形全等

的判定和性質，三角函數的定義，平行線的性質，中位線的性質，根據題意證明

△EFO已AGDO,是解題的關鍵.

34.(2022?云南)如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD,E為線段AD的中點，延長BE與CD的延長線交

于點F,連接AF,0SDF=9O°

⑴求證：四邊形ABOF是矩形；

(2)若AD=5,DF=3,求四邊形ABCF的面積S.

【答案】⑴見解析；

⑵18.

【分析】（1）根據平行四邊形的性質及全等三角形的判定證得"BE回△射，即可得到AB=DF,從而證明

四邊形ABDF是平行四邊形，再根據鼬。F=90。即可證明四邊形ABDF是矩形；

（2）根據全等的性質、矩形性質及勾股定理得到AB=DF=3,AF=4,由平行四邊形性質求得CF=6,最后利用

梯形的面積公式計算即可.

（1）

證明：田四邊形ABCD是平行四邊形，

EMB0CD,即AB^CF,

^BBAE=SFDE,

EIE為線段A。的中點，

蜘E=DE,

又EBAEB=E1DEF,

0Z\AB￡0Ar）FE（ASA）,

MB=OF,

又EMBEIDF,

團四邊形ABDF是平行四邊形，

00BDF=9O0,

回四邊形ABDF是矩形；

⑵

解：由（1）知，四邊形ABDF是矩形，

^AB=DF=3,EMFD=90°,

團在必AW中，AF=jAlf-DF2=-52—32=4,

團四邊形ABCD是平行四邊形，

蜘8=8=3,

EICF=CD+DF=3+3=6,

0S=1（AB+CF）.AF=1x（3+6）x4=18.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理

等知識，熟練掌握各性質及判定定理進行推理是解題的關鍵.

35.（2022?四川涼山）在RtIMBC中，鼬47=90。，。是BC的中點，E是A。的中點，過點A作人用BC交CE

的延長線于點F.

⑴求證：四邊形AOBF是菱形；

⑵若AB=8,菱形ADBF的面積為40,求AC的長.

【答案】⑴見解析

⑵1。

【分析】(1)證AAE用EIDEC(AAS),得ME用回DEC(AAS),再證四邊形ADBF是平行四邊形，然后由直角三

角形斜邊中線等于斜邊的一半得證AD=BD=gBC,即可由菱形判定定理得出結論；

(2)連接DF交A8于O,由菱形面積公式S^ADBF=^AB-。尸=40,求得OD長，再由菱形性質得OA=OB,

證得。D是三角形的中位線，由中位線性質求解可.

(1)

證明：田E是AD的中點，

EME=DE

^AF//BC,

02MF￡=0DCE,

在AAEF和ADEB中，

'NAFE=ZDCE

<ZAEF=ZDEC,

AE=DE

HIAE甩回DEC(AAS),

5iAF=CD,

EID是BC的中點，

EICD=eD,

EMF=BD,

回四邊形ADBF是平行四邊形，

盟8AC=90",

即是8c的中點,

^AD=BD=^BC,

回四邊形ADBF是菱形；

（2）

解：連接DF交AB于0,如圖

由（1）知：四邊形AD8F是菱形，

EMB0DF,0A=3AB=!X8=4,SXI/：：ADBF=-AB-DF=40,

222

0-DFx8=4O,

2

0DF=1O,

0OD=5,

回四邊形ADBF是菱形，

國。是AB的中點，

回。是BC的中點，

0OD是EI8AC的中位線，

EMC=2OD=2x5=10.

答：AC的長為10.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定與性質，三角形全等的判定與性質，直角三角形斜邊中

線的性質，三角形中位線的性質，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵.

36.（2022?四川自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框ABCD,把邊8c固定在地面上，向右推動矩形框，矩

形框的形狀會發生改變（四邊形具有不穩定性）.

⑴通過觀察分析，我們發現圖中線段存在等量關系，如線段EB由A3旋轉得到，所以四=AB.我們還可

以得到FC=,EF=；

(2)進一步觀察，我們還會發現政團A。，請證明這一結論；

⑶已知BC=30cm,DC=80cm,若BE恰好經過原矩形。C邊的中點H,求E尸與8C之間的距離.

【答案】⑴8,AD；

⑵見解析；

⑶EF于8c之間的距離為64cm.

【分析】(1)由推動矩形框時，矩形ABCD的各邊的長度沒有改變，可求解；

(2)通過證明四邊形BEFC是平行四邊形，可得結論；

RH「H

(3)由勾股定理可求的長，再證明ABCH盟1BGE,得到一=—,代入數值求解EG,即可得到答案.

BEEG

⑴

解：回把邊3c固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發生改變(四邊形具有不穩定性).

團由旋轉的性質可知矩形ABC。的各邊的長度沒有改變，

EL4B=BE,EF=AD,CF=CD,

故答案為：CD,AD-,

⑵

解：回四邊形ABCD是矩形，

SAD//BC,AB=CD,AD=BC,

EMB=BE,EF=AD,CF=CD,

弼=CF,EF=BC,

團四邊形BEFC是平行四邊形，

QEF[/BC,

0EF”AD；

⑶

解：如圖，過點E作EG鼬C于點G,

EICH=OH=40cm,

在中，EBCH=90°,

BH=NBC?+CH?="。2+302=5。(cm),

0EGI3BC,

EEEGB=aBCH=90°,

SCH//EG,

0ABCH00BGE,

BHCH

團---------

BEEG

5040

團—=---

80EG

EIEG=64,

0EFHBC,

0￡F與BC之間的距離為64cm.

【點睛】此題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定和性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識,

靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵.

37.（2022?江蘇宿遷）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、歹分別是AD、3C的中點.求證：AF=CE.

【答案】見詳解

【分析】根據"平行四邊形ABCD的對邊平行且相等的性質”證得四邊形AECF為平行四邊形，然后由“平行四

邊形的對邊相等"的性質證得結論.

【詳解】證明：回四邊形ABCD是平行四邊形，

0AD0BC,AD=BC；

又回點E、F分別是AD、BC的中點，

0AEE1CF,AE=CF=^AD,

團四邊形AECF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形），

0AF=CE（平行四邊形的對邊相等）.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質.平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們

之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法.

38.（2022?四川瀘州）如圖，已知點E、F分別在I3ABCD的邊AB、CD±,且AE=CF.求證：DE=BF.

4FC

【答案】證明詳見解析.

【分析】由"平行四邊形ABCD的對邊平行且相等〃的性質推知AB=CD,AB0CD.然后根據圖形中相關線段間

的和差關系求得BE=FD,易證四邊形EBFD是平行四邊形，即可得出結論.

【詳解】證明：回四邊形ABCD是平行四邊形，

OAB=CD,AB0CD.

0AE=CF.

0BE=FD,BEBFD,

El四邊形EBFD是平行四邊形，

EIDE=BF.

考點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質.

39.（2022?江蘇揚州）如圖，在QABCD中，BE、DG分別平分NABC、ZADC,交AC于點E、G.

AD

⑴求證：BE//DG,BE=DG.

(2)過點E作所，AB,垂足為若QABCD的周長為56,EF=6,求AABC的面積.

【答案】⑴見詳解

⑵84

【分析】(1)由平行四邊形的性質證AABE三ACDG(ASl)即可求證；

(2)作E。_LBC,由S^BC=SAABE+S^c即可求解；

(1)

證明：在口ABCD中，

---AB//CD,

：./BAE=NDCG,

'：BE、DG分別平分ZABC,ZADC,ZABC=ZADC,

：.ZABE=ZCDG,

在AABE和ACDG中，

ZBAE=ZDCG

'：\AB=CD

NABE=ZCDG

AABE=ACDG(ASA),

：.BE=DG,ZAEB=ZCGD,

BE//DG.

⑵

如圖，作EQLBC,

DABCD的周長為56,

AB+BC^28,

'：BE平分ZABC,

...EQ=EF=6,

SMBC=S^E+S^BC=^EF-AB+^EQBC=3(AB+BC)=84.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質、三角形的全等、角平分線的性質，掌握相關知識并靈活應用是

解題的關鍵.

40.(2022?新疆)在AABC中，點。，F分別為邊AC,AB的中點.延長DF到點E,使功=EF,連接BE.

(1)求證：AADF^ABEF;

⑵求證：四邊形BCDE是平行四邊形.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(])利用SAS直接證明；

(2)利用/XAD尸絲△BEF和已知條件證明。C=BE,￡＞。/3￡1即可推出四邊形BCDE是平行四邊形.

(1)

證明：：點F為邊AB的中點，

BF=AF,

在AADF與&BEF中，

AF=BF

，ZAFD=ZBFE,

DF=EF

：.AADF絲AB￡F(SAS)；

(2)

證明：：點。為邊AC的中點，

AD=DC,

由(1)得△ADF當,

：.AD=BE,ZADF=ZBEF,

：.DC=BE,DCIIBE,

，四邊