第04講概率

01學習目標

課程標準學習目標

1.理解隨機現象、必然現象、樣本點、樣本空間、隨機

1.結合具體實例，理解樣本點和有限樣本

事件、必然事件、不可能事件、基本事件的概念.

空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關

2.了解事件之間的關系與運算以及互斥事件、對立事件

系.

的概念，能用概率的性質求事件的概率.

2.了解隨機事件的并、交、互斥與對立的含

3.通過學習古典概型的定義，通過應用古典概型的概率

義，能結合實例進行隨機事件的并、交運算.

計算公式解決實際問題培養邏輯推理素養和數學運算

3.結合具體實例，理解古典概型，能計算

素養.

古典概型中簡單隨機事件的概率.

4.了解頻率與概率的意義，會用頻率估計概率.

4.結合實例，會用頻率估計概率

5.通過學習相互獨立事件的概念培養數學抽象素養，通

5.結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件

獨立性的含義，結合古典概型，利用獨立性過運用事件的獨立性解決問題培養邏輯推理素養和數

計算概率.

學運算素養.

02思維導圖

1.必然現象與隨機現象的判斷

2.樣本點和樣本空間

；3.事件間的關系及運算

4.互斥與對立的判斷

事件的關系與運算

5.互斥事件概率公式的應用

古典概型6.古典概型的特征

7.簡單古典概型的計算

概率

概率與頻率8.有放回和無放回的概率問題

9.根據概率求參數

隨機事件的獨立性

10.根據加法公式求古典概型概率

H.頻率與概率的辨析

12.用頻率估計概率

13.事件獨立性的判斷

14.相互獨立事件概率的計算

03知識清單

知識點01樣本空間與事件

1.隨機現象、必然現象的概念

一定條件下，發生的結果事先不能確定的現象就是隨機現象（或偶然現象），發生的結果事先能夠確定的

現象就是必然現象（或確定性現象）.

2.樣本點、樣本空間的概念

為了方便起見，我們把在相同條件下，對隨機現象所進行的觀察或實驗稱為隨機試驗（簡稱為試驗）.

我們把隨機試驗中每一種可能出現的結果,都稱為樣本點，把由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間（通

常用大寫希臘字母2表示）.

3.隨機事件、必然事件、不可能事件的概念

如果隨機試驗的樣本空間為Q,則隨機事件A是Q的一個非空真子集.任何一個隨機事件既有可能發

生，也有可能不發生.

因為任何一次隨機試驗的結果，一定是樣本空間Q中的元素，因此可以認為每次試驗中◎一定發生，

從而稱Q為必然事件；又因為空集。不包含任何樣本點，所以可以認為每次試驗中。一定不發生，從而稱。

為不可能事件.

一般地，不可能事件、隨機事件、必然事件都可簡稱為事件，通常用大寫英文字母A,B,C,…來表

示事件.因為事件一定是樣本空間的子集，從而可以用表示集合的維恩圖來直觀地表示事件.特別地，只

含有一個樣本點的事件稱為基本事件.

4.隨機事件發生的概率

事件A發生的概率通常用P（A）表示.

我們將不可能事件。發生的概率規定為0,將必然事件。發生的概率規定為1,即P（0）O,尸（01.

對于任意事件A來說，OWP（A）W1.

【即學即練1】

1.（2024?甘肅天水一中高一月考）下面四個選項中，是隨機事件的是（）

A.刻舟求劍B.水中撈月

C.流水不腐D.守株待兔

2.（多選）下列結論正確的是（）

A.事件A發生的概率可能為P（A）0.6

B.不可能事件發生的概率為0,必然事件發生的概率為1

C.小概率事件就是不可能發生的事件，大概率事件就是必然要發生的事件

D.老師講一道數學題，李峰能聽懂的概率是80%,是指老師每講一題，該題有80%的部分李峰能聽懂，

20%的部分李峰聽不懂

知識點02事件間的關系

1.事件的包含

(1)一般地，如果事件A發生時，事件2一定發生，則稱“A包含于2"(或包含A”),記作(或

這一關系可用下圖表示.

(2)4=2也可用充分必要的語言表述為：A發生是2發生的充分條件，8發生是A發生的必要條件.

(3)如果則尸(A)WP(B).

2.事件的相等

(1)如果事件A發生時，事件B一定發生；而且事件B發生時，事件A也一定發生，則稱“A與B相等”，

記作AB.

且BQA.

AB也可用充分必要的語言表述為：A發生是B發生的充要條件.

(3)當時，有P(A)P(B).

【即學即練2】在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件.例如，事件Ci｛出現1點｝,事件C2｛出現2點｝,

事件C3｛出現3點｝,事件C4｛出現4點｝,事件C5｛出現5點｝,事件C6｛出現6點｝,事件Di｛出現的點數不

大于1｝,事件。2｛出現的點數大于3｝,事件。3｛出現的點數小于5｝,事件E｛出現的點數小于7｝,事件刊出

現的點數為偶數｝,事件G｛出現的點數為奇數｝,請根據上述定義的事件，請舉出符合包含關系、相等關系

的事件.

知識點03事件間的運算

1.事件的和(并)

(1)給定事件A，B,由所有A中的樣本點與3中的樣本點組成的事件稱為A與3的和(或并)，記作(或

AUB).事件A與2的和可以用如圖所示的陰影部分表示.

(2)由定義可知：①事件發生時，當且僅當事件A與事件2中至少有一個發生；

②AU(A+3)且B￡(A+B).

因此，尸(A)WP(A+8)且P(B)WP(A+B),P(A+8)W尸(A)+P(B).

2.事件的積(交)

(1)給定事件A,B,由A與8中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交)，記作(或AC8).

事件A與8的積可以用如圖所示的陰影部分表示.

(2)由定義可知：①事件AB發生時，當且僅當事件A與事件B都發生.

@ABQA,ABQB.

因止匕，尸(AB)WP(A),P(AB)^P(B).

【即學即練3】擲一個骰子，“向上的點數是1或2”為事件4“向上的點數是2或3”為事件2,則()

A.AQB

B.AB

C.A+B表示向上的點數是1或2或3

D.AB表示向上的點數是1或2或3

知識點04事件的互斥與對立

(1)給定事件A，B,若事件A與2不能同時發生，則稱A與2互斥，記作420(或AC20),這一關系可用下

圖表示.

(2)任意兩個基本事件都是互斥的，。與任意事件互斥.

(3)當A與2互斥(即時，有尸(A+3)P(A)+P(B),這稱為互斥事件的概率加法公式.

一般地，如果地,Az，…，4是兩兩互斥的事件，則尸(Ai+A2H-----FAn)P(A1)+P(AQ)4-----HP(A?).

2.事件的對立

⑴給定樣本空間。與事件A，則由a中所有不屬于A的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記作了，用

集合的觀點來看，了是A在O中的補集，如圖所示.

(2)如果BA,則稱A與B相互對立.

(3)按照定義可知，每次隨機試驗，在事件A與彳中，有一個發生，而且只有一個發生.又由于必然事件的

概率為1,因此尸(A)+P(上)1.

【即學即練3】從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的事件是()

A.至少有一個紅球與都是紅球

B.至少有一個紅球與都是白球

C.至少有一個紅球與至少有一個白球

D.恰有一個紅球與恰有兩個紅球

知識點05古典概型

1.古典概型的定義

一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是有限的（簡稱為有限性），而且可以認為每個只

包含一個樣本點的事件（即基本事件）發生的可能性大小都相等（簡稱為等可能性），則稱這樣的隨機試驗為

國古典概率模型，簡稱為古典概型.

一個隨機試驗是否能歸結為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征一有限性與等可

能性.

2.古典概型的概率計算公式

古典概型中，假設樣本空間含有〃個樣本點，如果事件C包含機個樣本點，則尸（。:.

【即學即練5】

1.下列試驗中，屬于古典概型的是（）

A.種下一粒種子，觀察它是否發芽

B.從規格直徑為270mm±0.6mm的一批合格產品中任意抽一根，測量其直徑”

C.拋一枚質地均勻的硬幣，觀察其出現正面或反面

D.某人射擊中靶或不中靶

2.有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏

色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（）

B5

1

D5

知識點06頻率與概率

1.頻率與概率之間的關系

在大量重復的試驗過程中，一個事件發生的頻率會很接近于這個事件發生的概率，而且，試驗的次數

越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大.

2.用頻率估計概率

一般地，如果在〃次重復進行的試驗中，事件A發生的頻率為：，則當〃很大時，可以認為事件A發

生的概率尸（A）的估計值為藍.這種確定概率估計值的方法稱為用頻率估計概率.

【即學即練6】下列說法正確的是（）

①頻率反映隨機事件的頻繁程度，概率反映隨機事件發生的可能性大小;

②做n次隨機試驗，事件A發生m次，則事件A發生的頻率￡就是事件A的概率；

③頻率是不能脫離n次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值；

④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值.

A.①②③④B.①②④

C.①③④D.②③④

知識點07隨機事件的獨立性

1.相互獨立事件的概念

(1)一般地，當RAB)尸(A)P(B)時，就稱事件A與8相互獨立(簡稱獨立).

［說明］“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A,B相互獨立”的充要條件.

(2)事件A與B相互獨立的直觀理解是，事件A是否發生不會影響事件B發生的概率，事件B是否發生也不

會影響事件A發生的概率.

(3)兩個事件相互獨立的概念也可以推廣到有限個事件，即“4,4，…，4相互獨立”的充要條件是“其

中任意有限個事件同時發生的概率都等于它們各自發生的概率之積”.

2.相互獨立事件的性質

(1)如果事件A與8相互獨立，則彳與2,A與萬，不與否也相互獨立.

(2)多個事件獨立具有與兩個事件獨立類似的性質.例如，如果4,4,A3相互獨立，則Wi，A2,4也相互

獨立等.

【即學即練7】擲一個骰子一次，記事件A表示“出現偶數點”，事件8表示“出現3點或6點”，則事

件A與8是()

A.互斥事件

B.相互獨立事件

C.既互斥又相互獨立事件

D.既不互斥又不相互獨立事件

E題型精講

題型01必然現象與隨機現象的判斷

【典例01］(23-24高二?上海?課堂例題)下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的

三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數。，6都不為0,但°2+k=0；④某地區明年7月

的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是()

A.①④B.①②③C.②③④D.②④

【變式1】(24-25高二上?四川雅安?階段練習)下列事件是隨機事件的是()

①同種電荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物體做勻速直線運動；④函數,=罐(。＞0,。*1)在

定義域上是增函數.

A.①③B.①④C.②④D.③④

【變式2］（23-24高二上?貴州黔東南?期末）在12件同類產品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意

抽出3件，則下列事件為必然事件的是（）

A.3件都是正品B.至少有2件是次品

C.3件都是次品D.至少有工件是正品

【變式3］（多選）（23-24高一下?內蒙古通遼?期末）下列事件中，是必然事件的是（）

A.明天北京市不下雨

B.在標準大氣壓下，水在4回時結冰

C.早晨太陽從東方升起

D.xwR,則忖的值不小于。

題型02樣本點和樣本空間

【典例2】（23-24高一上?全國?課后作業）高一⑴班計劃從A,B,C,D,E這五名班干部中選兩人代表

班級參加一次活動，則樣本空間中樣本點的個數為（）

A.5B.10

C.15D.20

【變式1］（22-23高一?全國?課后作業）隨機事件"連續擲一顆篩子直到出現5點停止，觀察擲的次數”的

樣本空間是（）

A.5B.1到6的正整數C.6D.一切正整數

【變式2］（24-25高二?上海?課堂例題）從0、1、2這3個數字中，不放回地取兩次，每次取一個數字，

構成有序數對（元,y）,x為第1次取到的數字，y為第2次取到的數字.

⑴寫出這個隨機試驗的樣本空間；

（2）寫出"第1次取出的數字是2”這個事件相應的樣本空間.

題型03事件間的關系及運算

【典例3］（24-25高二上?吉林?階段練習）擲一枚質地均勻的骰子，"向上的點數是1或3"為事件4"向上

的點數是1或5”為事件3,則（）

A.A=B

B.A8表示向上的點數是1或3或5

C.A3表示向上的點數是1或3

D.表示向上的點數是1或5

【變式1】（24-25高二上?山東淄博?階段練習）對空中移動的目標連續射擊兩次，設4=｛兩次都擊中目標

｝，8=｛兩次都沒擊中目標）,C=｛恰有一次擊中目標｝,｛至少有一次擊中目標｝，下列關系不正確的是（）

A.AcDB.AC=BD

C.A<JC=DD.B0=0

【變式2】（2024高一下?全國?專題練習）對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設4=｛兩

彈都擊中飛機｝,3=｛兩彈都沒擊中飛機｝,C=｛恰有一彈擊中飛機｝,。=｛至少有一彈擊中飛機｝,下列說法

不正確的是（）

A.A<=DB.BD=0C.AuC=DD.AC=B\D

【變式3】（23-24高一下?天津?期末）對于兩個事件則事件MuN表示的含義是（）

A."與N同時發生B.M與N不能同時發生

C.加與N有且僅有一個發生D.河與N至少有一個發生

題型04互斥與對立的判斷

【典例4］（24-25高二上?山東淄博?階段練習）某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，

則下列事件是互斥而不對立的事件是（）

A."恰有一名男生"和"全是男生"B."至少有一名男生"和"至少有一名女生"

C."至少有一名男生"和"全是男生"D."至少有一名男生"和"全是女生"

【變式1】（24-25高二上?重慶銅梁?階段練習）在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A,B,C,O發生的概率分

別是0.2,020.3,0.3,則下列說法正確的是（）

A.A3與C是互斥事件，也是對立事件

B.與。是互斥事件，也是對立事件

C.AUC與3。是互斥事件，但不是對立事件

D.A與BC。是互斥事件，也是對立事件

【變式2】（24-25高三上?上海?開學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如

下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件"兩球都

為白球”互斥而非對立的事件是（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

【變式3］（24-25高二上?山東濟寧?階段練習）下列各組事件中，是互斥事件的是（）

A.一個射手進行一次射擊，命中環數大于8與命中環數小于6

B.統計一個班的數學成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分

C.播種100粒菜籽，發芽90粒與發芽80粒

D.檢驗某種產品，合格率高于70%與合格率低于70%

【變式4］（24-25高二上,河南,階段練習）已知某籃球運動員共投籃兩次，記事件A="第一次投籃投中"，

事件8="第二次投籃投中"，事件C="兩次投籃均投中"，則下列說法正確的是（）

A.A,3互為互斥事件B.可與C互為互斥事件

C.AlB=CD.入。豆與C互為對立事件

題型05互斥事件概率公式的應用

【典例5］（24-25高二上?上海?階段練習）已知A與8是互斥事件，且P（m=0.3,P（B）=0.1,則尸（AB）

等于（）

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.8

2

【變式1】（24-25高二上?廣東佛山?階段練習）已知事件A、B互斥，A、8至少一個發生的概率且

尸（A）=2尸（8）,則叩）=（）

.1452

A.—B.-C.-D.一

3993

【變式2】（24-25高二上?山東淄博?階段練習）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為。，和棋的概率為則

52

乙不輸的概率為（）

4311

A.—B.—C.—D.一

51025

【變式3】（24-25高二上?北京平谷?階段練習）從一箱獎券中隨機地抽取一件，設事件A="抽到一等獎"，

事件3="抽到二等獎”,事件C="抽到三等獎”.已知尸（A）=0.55,P（B）=0.3,P（C）=0.1,則事件"抽到的不是

一等獎”的概率為（）

A.0.20B.0.39C.0.35D.0.45

題型06古典概型的特征

【典例6］（23-24高二上?上海?課后作業）下列關于古典概率模型的說法中正確的是（）

①試驗中所有可能出現的樣本點只有有限個；②每個事件出現的可能性相等；③每個樣本點出現的可能

性相等；④樣本點的總數為小隨機事件A若包含k個樣本點，貝I］P（A）=￡

n

A.②④B.③④C.①④D.①③④

【變式1】（22-23高一下?新疆?期末）下列實驗中，是古典概型的有（）

A.某人射擊中靶或不中靶

B.在平面直角坐標系內，從橫坐標和縱坐標都為整數的所有點中任取一個

C.四名同學用抽簽法選一人參加會議

D.從區間［1,10］上任取一個實數，求取到1的概率

【變式2】下列關于古典概型的說法中正確的是（）

①試驗的樣本空間所包含的樣本點個數只有有限個；②每個事件出現的可能性相等；③每個樣本點出現的

可能性相等；④樣本點的總數為小隨機事件A若包含上個樣本點，則P（A）未

A.②④B.①③④

C.①④D.③④

【變式3】下列概率模型中，是古典概型的個數為（)

①從區間［1,10］內任取一個數，求取到1的概率；

②從1,2,3,…，10中任意取一個整數，求取到1的概率；

③在一個正方形ABC。內畫一點P,求點P剛好與點A重合的概率；

④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現反面朝上的概率.

A.1B.2

C.3D.4

題型07簡單古典概型的計算

【典例7】甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲任想一數字，記為m再由乙猜甲剛才想的數字，把乙猜出的

數字記為6,且m6d{1,2,3,4）,若|a—6區1,則稱甲、乙“心有靈犀”.現任意找兩個人玩這個游戲，

則他們“心有靈犀”的概率為（）

35

A-8B8

C&D上

e1616

【變式1］（22-23高一上?云南昆明?期末）已知函數y=的圖象與函數y=e''的圖象關于直線y=x對稱，

則函數、=/（爐--+3）的單調遞增區間為（）

A.B.（Y°,2）C.（2,+oo）D.（3,+oo）

【變式2】三張卡片上分別寫上字母E,E,B,將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概

率為?

【變式3】一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球.這個試驗

的樣本空間所包含的樣本點個數為,摸出的2只球都是白球的概率是.

【變式4］（23-24高二上?黑龍江?階段練習）已知xeZ,yeZ,且慟+聞42,則Y42的概率為（）

題型08有放回和無放回的概率問題

【典例8］（23-24高一下?天津西青?期末）從兩名男生（記為耳和臺2）、兩名女生（記為G］和G?）中任意抽

取兩人，分別采取不放回簡單隨機抽樣和有放回簡單隨機抽樣.在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一

男生一女生的概率分別為（）

21111211

A.一,—B.一,—C.一,—D.—,一

32462364

【變式1］（23-24高二上?陜西漢中?開學考試）盒中有3個大小質地完全相同的球，其中2個白球、1個黑

球，從中不放回地依次隨機摸出2個球.則恰好摸出一個白球一個黑球的概率為.

【變式2］（23-24高一上?全國?課后作業）在試驗線"袋中有白球3個（編號為1,2,3）、黑球2個（編號

為1,2）,這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸1個，觀察摸出球的情況"中，

摸到白球的結果分別記為嗎，摸到黑球的結果分別記為求：

w2,w3,4,b2.

⑴取到的兩個球都是白球的概率；

⑵取到的兩個球顏色相同的概率；

⑶取到的兩個球至少有一個是白球的概率.

題型09根據概率求參數

【典例9］（23-24高二上?浙江?期中）有5張未刮碼的卡片，其中〃張是"中獎”卡，其它的是“未中獎"卡，

現從這5張卡片隨機抽取2張.你有資金100元，每次在對一張卡片刮碼前，下注已有資金的一半.若刮碼結

果為“中獎"，則贏得與下注金額相同的另一筆錢，若刮碼結果是“未中獎"，則輸掉下注的資金.抽取的2張

卡片全部刮完后，要使資金增加的概率大于資金減少的概率，則〃至少為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式1】（22-23高一下?重慶?期末）在一個不透明的袋中有4個紅球和〃個黑球，現從袋中有放回地隨機

Q

摸出2個球，已知取出的球中至少有一個紅球的概率為,，則〃=（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2】（22-23高一下?江蘇南京?期末）一個口袋中裝有10個紅球和若干個黃球，在不允許將球倒出來數

的前提下，為估計口袋中黃球的個數，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出1個球，記下球的顏色后

再把球放回口袋中搖勻.不斷重復上述過程200次，共摸出紅球80次，根據上述數值，估計口袋中大約有

黃球（）個.

A.10B.15C.25D.40

【變式3】某箱臍橙共有18個，其中有少部分是壞果.若從這箱臍橙中任取2個，恰好取到1個壞果的概率

為,，則這箱臍橙中壞果的個數為（）

A.3B.5C.2D.4

題型10根據加法公式求古典概型概率

【典例10］（22-23高一下?河北邢臺?階段練習）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取

出2球，事件A="取出的兩球同色"，事件3="取出的2球中至少有一個黃球"，事件C="取出的2球至少

有一個白球"，事件。="取出的2球不同色"，E="取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的是（）

11

A.P（A）=-B.P（BDC）=-

o

C.P（C._E）=1D.P（0=§

【變式1】（21-22高一?全國?單元測試）某商場舉行購物抽獎活動，抽獎箱中放有編號分別為1,2,3,4,

5的五個小球.小球除編號不同外，其余均相同.活動規則如下：從抽獎箱中隨機抽取一球，若抽到的小球編

號為3,則獲得獎金100元；若抽到的小球編號為偶數，則獲得獎金70元；若抽到其余編號的小球，則不

中獎.現某顧客依次有放回地抽獎兩次，則該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為100元的概率為（）

4168

A.—B.-C.—D.—

2552525

【變式2】拋擲一枚質地均勻的骰子（骰子的六個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點）一次，觀察擲出

向上的點數，設事件A為擲出向上為偶數點，事件8為擲出向上為3點，則P（AB）=（）

題型11頻率與概率的辨析

【典例11］（24-25高二上?四川成都?階段練習）下列說法一定正確的是（）

A.一名籃球運動員，號稱"百發百中"，若罰球三次，不會出現三投都不中的情況

B.隨機事件發生的概率與試驗次數無關

C.若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元

D.一個骰子擲一次得到2的概率是:，則擲6次一定會出現一次2

6

【變式1】（23-24高一下?廣西河池?期末）下列說法中正確的是（）

A.隨機事件發生的頻率就是這個隨機事件發生的概率

B.在〃次隨機試驗中，一個隨機事件A發生的頻率具有確定性

C.隨著試驗次數〃的增大，一個隨機事件A發生的頻率會逐漸穩定于事件A發生的概率

D.在同一次試驗中，每個試驗結果出現的頻率之和不一定等于1

【變式2X23-24高一下?江蘇淮安?期末）已知某醫院治療一種疾病的治愈率為10%,下列說法正確的是（）

A.患此疾病的病人被治愈的可能性為10%

B.醫院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈

C.如果前9位病人都沒有治愈，第10位病人一定能被治愈

D.醫院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的

【變式3】（2024高一下?全國?專題練習）下列說法正確的是（）

7

A.一個人打靶，打了10發子彈，有7發子彈中靶，因此這個人中靶的概率是，

B.一個同學做擲硬幣試驗，擲了6次，一定有3次正面向上

C.某地發行彩票，其回報率為47%,有人花了100元錢買彩票，一定會有47元的回報

D.大量試驗后，可以用頻率近似估計概率

題型12用頻率估計概率

【典例121（24-25高二上?山東濟寧?階段練習）在調查運動員是否服用過興奮劑的時候,給出兩個問題作答，

無關緊要的問題是："你的身份證號碼的尾數是奇數嗎？"敏感的問題是："你服用過興奮劑嗎？"然后要求被

調查的運動員擲一枚硬幣，如果出現正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題.由于回答哪一個問

題只有被測試者自己知道，所以應答者一般樂意如實地回答問題.如我們把這種方法用于300個被調查的

運動員，得到80個“是"的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為（）

A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%

【變式1】（2024高二下?湖北?學業考試）從某自動包裝機包裝的奶粉中，隨機抽取20袋，測得各袋的質量

分別為（單位：g）：

492496494495498497701702704496

497703706708707492496700701499

用頻率估計概率，該包裝機包裝的袋裝奶粉質量在497.5g~501.5g之間的概率約為（）

A.0.1B.0.15C.0.25D.0.5

【變式2】（23-24高一下?山東棗莊?期末）某地區的公共衛生部門為了調查本地區中學生的吸煙情況，對隨

機抽出的200名學生進行調查.調查中使用了兩個問題.問題1:你父親的公歷出生月份是不是奇數？問題2：

你是否經常吸煙？調查者設計了一個隨機化裝置，這是一個裝有大小、形狀和質量完全一樣的70個白球和

70個紅球的密封袋子，每個被調查者隨機地從袋中摸取1個球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學生如

實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答"是"的人往一個盒子中放一個小石子，回答

"否"的人什么都不要做.若最終盒子中的小石子為580個，則該地區中學生吸煙人數的比例約為（）

A.2%B.3%C.6%D.8%

【變式3】（2024高一下?全國?專題練習）眾所周知，長時間玩手機可能影響視力.據調查，某校學生大約

40%的人近視，而該校大約有30%的學生每天玩手機超過2h,這些人的近視率約為70%.現從每天玩手機

不超過2h的學生中任意調查一名學生，則該名學生近視的概率為（）

3534

A.—B.—C.-D.一

141477

【變式4】天氣預報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為80%.現采用隨機模擬的方法估計這三天中

恰有兩天下雨的概率.用1，2,3,4,5,6表示下雨，用計算機產生了10組隨機數180,792,454,417,

165,809,798,386,196,206據此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（）

【變式5】每年4月15日為全民國家安全教育日，某學校黨委組織黨員學習《中華人民共和國國家安全法》，

為了解黨員學習的情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的學習時間（單位：時）進行調查，統計數據

如下表所示：

學習時間（時）［。，2）[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]

黨員人數81391010

則從該校隨機抽取1名黨員，估計其學習時間不少于6小時的概率為（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

題型13事件獨立性的判斷

【典例13】（多選）下列事件A,2是相互獨立事件的是（）

A.一枚硬幣拋擲兩次，事件A為“第一次為正面“，事件B為“第二次為反面”

B.袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸兩球，事件A為“第一次摸到白球”，事件B為“第二次摸

到白球“

C.擲一枚骰子，事件A為“出現點數為奇數”，事件B為“出現點數為偶數”

D.事件D為“甲能活到20歲”,事件D為“乙能活到70歲”

【變式1］一袋中裝有100個球，其中有20個白球，在有放回地摸球中，用4表示第一次摸得白球，A2

表示第二次摸得白球，則事件4與無是（）

A.相互獨立事件B.對立事件

C.互斥事件D.無法判斷

【變式2］（24-25高一下?全國?隨堂練習）壇子中放有3個白球，2個黑球，從中不放回地摸球2次，用4表

示第1次摸到白球，4表示第2次摸到白球，則A與4（）

A.是互斥事件B.是相互獨立事件

C.是對立事件D.不是相互獨立事件

【變式3］（23-24高一下.江蘇無錫?期末）已知事件A,8滿足尸（A）=Q5,P（B）=Q2,則（）

A.若則尸（A5）=0.5B.若A與8互斥，則P（A+8）=0.7

C.若A與8相互獨立，則P（AB）=0.1D.若P（B）+P（C）=1,則C與3相互對立

題型14相互獨立事件概率的計算

【典例14］（22-23高一下?甘肅?期末）某商場在618大促銷活動中，活動規則是：滿168元可以參加促

銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2

個白球.顧客首先擲一枚質地均勻的骰子，如果出現點數為1或2,顧客從甲箱子隨機摸出一個球；如果點

數為3,4,5,6,從乙箱子隨機摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領取獎品，問顧客中獎率為.

【變式1］（23-24高一下?安徽馬鞍山?期末）已知事件A,3滿足：尸⑷=0.5,P（B）=0.3,則（）.

A.若A,B互斥,則尸（AuB）=0.8

B.若A,B互斥,則尸（AB）=Q15

C.若A,B互相獨立，貝”（Au3）=0.8

D.若A,B互相獨立，則尸（AB）=0.15

【變式2】（多選）甲、乙兩人練習射擊，命中目標的概率分別為芥金，甲、乙兩人各射擊一次，下列說法正

確的是（）

A.目標恰好被命中一次的概率為（

B.目標恰好被命中兩次的概率為:

2

C.目標被命中的概率為w

D.目標未被命中的概率為1

【變式3］（23-24高一下?廣西崇左?期末）2024年5月底，各省教育廳陸續召開了2024年高中數學聯賽的

相關工作.若某市經過初次選拔后有甲、乙、丙三名同學成功進入決賽，在決賽環節中這三名同學同時解答一

道有關組合數論的試題.已知甲同學成功解出這道題的概率是彳3，甲、丙兩名同學都解答錯誤的概率是去1，

412

乙、丙兩名同學都成功解出的概率是:，且這三名同學能否成功解出該題相互獨立.

⑴求乙、丙兩名同學各自成功解出這道題的概率；

⑵求這三名同學中不少于兩名同學成功解出這道題的概率.

jiff強化訓練

一、單選題

1.（2023高一?全國?課后作業）下列說法一定正確的是（）

A.一名籃球運動員，號稱"百發百中"，若罰球三次，不會出現三投都不中的情況

B.一個骰子擲一次得到2的概率是!，則擲6次一定會出現一次2

C.若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元

D.隨機事件發生的概率與試驗次數無關

2.（24-25高二上?吉林?階段練習）若隨機試驗的樣本空間為。={0」,2},則下列說法不正確的是（）

A.事件P={1,2}是隨機事件B.事件Q={0,1,2}是必然事件

C.事件/={-1,-2}是不可能事件D.事件{T0}是隨機事件

3.（24-25高一上?四川成都?開學考試）某煙花爆竹廠從20萬件同類產品中隨機抽取了100件進行質檢，發

現其中有5件不合格，那么請你估計該廠這20萬件產品中合格產品約有（）

A.1萬件B.18萬件C.19萬件D.20萬件

4.（24-25高一下?全國?隨堂練習）口袋內裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出

紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（）

A.0.42B.0.28C.0.3D.0

5.（24-25高一下?全國?隨堂練習）擲一枚骰子，設事件A=｛出現的點數不小于5｝,8=｛出現的點數為偶

數｝,則事件A與事件B的關系是（）

A.A^BB.AB=｛出現的點數為6｝

C.事件A與B互斥D.事件A與8是對立事件

6.（22-23高二上?廣東佛山?期末）一個袋子中裝有形狀大小完全相同的6個紅球，〃個綠球，現采用不放回

的方式從中依次隨機取出2個球.若取出的2個球都是紅球的概率為:，則n的值為（）

A.4B.5C.12D.15

7.（23-24高一上,四川內江?開學考試）某公園有東、南、西、北共4個大門供游客出入，小軍、小明從不

同的大門進入公園游玩，游玩結束后，他們隨機地從其中一個大門離開，則他們恰好從同一個大門出去的

概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.一

16842

8.（24-25高二上?貴州遵義?階段練習）七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，它是由如圖所示的七塊板

組成的，即五塊等腰直角三角形板（兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板），一塊正

方形板和一塊平行四邊形板.現從這七塊板中