專題02方程與不等式

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。

02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識梳理）

知識模塊一：一次方程（組）

知識模塊二：分式方程

知識模塊三：一元二次方程

知識模塊四：一次不等式（組）

03究·考點(diǎn)考法：對考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（6大基礎(chǔ)考點(diǎn)+2方法技巧）

考點(diǎn)一：一元一次方程的解法

考點(diǎn)二：二元一次方程（組）的解法

考點(diǎn)三：分式方程及其解法

考點(diǎn)四：一元二次方程的解法

考點(diǎn)五：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系

考點(diǎn)六：一次不等式（組）的解法及解集表示（高頻）

考點(diǎn)七：方程（組）的含參問題（方法技巧）

考點(diǎn)八：方程（組）的實際應(yīng)用（方法技巧）

04辨·易混易錯：點(diǎn)撥易混易錯知識點(diǎn)，沖刺高分。（2大易錯點(diǎn)）

易錯點(diǎn)1：解分式方程時首要步驟去分母，分?jǐn)?shù)相相當(dāng)于括號，易忘記根檢驗，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果出錯。

易錯點(diǎn)2：關(guān)于一元一次不等式組有解無解的條件易忽視相等或增根的情況。

知識模塊一：一次方程（組）

知識點(diǎn)一：方程的有關(guān)概念

一、等式

1.等式：用“=”來表示相等關(guān)系的式子叫作等式。

2.等式的性質(zhì)：

（1）性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等（如果ab，那么acbc（c

為一個數(shù)或式子））。

（2）性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等（如果ab，那么acbc；如

ab

果ab（c0），那么）

cc

3.等式性質(zhì)的延伸：

（1）對稱性：等式左右兩邊互換，所得結(jié)果仍相等，即如果ab，那么ba。

（2）傳遞性：如果ab，bc，那么ac。

二、方程的概念和方程的解

1.方程的概念：含有未知數(shù)的等式叫作方程。

2.方程與等式的區(qū)別：方程是等式，但等式中不一定含有未知數(shù)，即等式不一定是方程。

3.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。

4.判斷一個數(shù)（或一組數(shù)）是不是某方程的解，只需看兩點(diǎn)：

（1）它是方程中的未知數(shù)的值；

（2）將它分別代入方程的左右兩邊，若左邊等于右邊，則它是方程的解，否則不是。

5.解方程：求方程解的過程叫作解方程。

6.方程的解和解方程的區(qū)別：方程的解是一個結(jié)果，解方程則是得到這個結(jié)果的一個過程。

7.一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫作一元一次方程。

8.一元一次方程知識拓展：

（1）“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)；

（2）一元一次方程滿足3個條件：

①是整式方程；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的次數(shù)是1.

（3）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：axb0(a0,a、b是已知數(shù))。

知識點(diǎn)二：解一元一次方程與一元一次方程的應(yīng)用

一、解一元一次方程

1.移項：把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫作移項，注意移項要變號。

2.解一元一次方程的步驟：

（1）去分母：把方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（去分母時，若分子是多項式，要添括號）；

（2）去括號：先去小括號，再去中括號，最后去大括號（不要漏乘括號里的項，不要弄錯符號）；

（3）移項：把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，其他項移到另一邊（注意移項要變號）；

（4）合并同類項：把等號兩邊的同類項分別合并，化成“axb”的形式（a0）；

b

（5）系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a得方程的解為x。

a

二、一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的常見類型有：

（1）和、差、倍、分問題：和、差、倍、分對應(yīng)兩個量之間的加、減、乘、除，解題時要注意弄清倍、分

關(guān)系和多少關(guān)系等；

（2）增長（減少）率問題：增長后的量=原有量×（1+增長率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；

（3）等積變形問題：長方形體積=長×寬×高；圓柱體積=r2h；

（4）行程問題：路程=速度×?xí)r間；快車行駛路程+慢車行駛路程=原距離（相向而行）；快車行駛路程-慢

車行駛路程=原距離（同向而行）。

（5）航行問題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；

（6）調(diào)配問題：從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系；

（7）比例分配問題：全部數(shù)量=各種成分的數(shù)量之和；

（8）年齡問題：大小兩個年齡的差不會變；

（9）工程問題：工作量=工作效率×工作時間；兩個或幾個工作效率不同的對象所完成的工作量的和等于總

工作量；一般情況下，把總工作量設(shè)為1.

（10）利潤問題：商品的售價=商品的標(biāo)價×折扣；商品的利潤=商品售價-商品進(jìn)價；商品的利潤率

商品利潤

=×100%；

商品進(jìn)價

（11）數(shù)字問題：設(shè)x、y分別為一個兩位數(shù)的個位、十位上的數(shù)字，則這個兩位數(shù)可表示為10yx；

（12）儲蓄問題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期數(shù)）；

溶質(zhì)質(zhì)量

（13）濃度問題：溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量；百分比濃度=100%；溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量×

溶液質(zhì)量

百分比濃度。

（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求

的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求

解、作答，即設(shè)、列、解、答．

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟

1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．

2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．

3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．

4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．

5．答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．

知識點(diǎn)三：二元一次方程（組）及其解法

（一）二元一次方程

1.二元一次方程的定義

含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．

二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)

都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．

2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解。

（二）二元一次方程組

1.概念：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組；組成方程組的兩

5x3y9

個方程不必同時含有兩個未知數(shù)，例如：也是二元一次方程組。

72x6

axbyc

二元一次方程組的一般形式為：111

2.（其中a1、a2、b1、b2不同時為0）

a2xb2yc2

3.如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么他們也組成一個二元一次方程組。

4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫作二元一次方程組的解。

axbyc

二元一次方程組111解的情況：

（其中a1、a2、b1、b2不同時為0）

a2xb2yc2

ab

（1）當(dāng)11時，方程組有唯一的一組解；

a2b2

abc

（2）當(dāng)111時，方程組無解；

a2b2c2

abc

（3）當(dāng)111時，方程組有無數(shù)組解。

a2b2c2

（三）消元—解二元一次方程組

1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為

我們熟悉的一元一次方程，可以先求出一個未知數(shù)，然后再求出另一個未知數(shù)。這種將未知數(shù)由多化少，

逐一解決的思想，叫作消元思想。

2.代入消元法

（1）定義：在二元一次方程組中，將其中一個方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，

再代入另一個方程中，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解，這種解方程組的方法稱為代入消元

法。

（2）代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：①變形；②代入；③解方程；④求值；⑤聯(lián)立。

（3）代入消元法的技巧：

①當(dāng)方程組中含有一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式時，可以直接利用代入法求解；

②若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1（或-1）的方程，則選擇系數(shù)為1（或-1）的方程進(jìn)行變形比較簡便；

③若方程組中所有方程里的未知數(shù)的系數(shù)都不是1（或-1），選系數(shù)較簡單的方程和系數(shù)較簡單的未知數(shù)變

形比較簡便。

3.用加減消元法解二元一次方程組

（1）定義：兩個二元一次方程中，同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減從

而消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法。

（2）加減法解二元一次方程組的一般步驟：①變形；②加減；③解方程；④求值；⑤聯(lián)立。

（3）加減法的技巧：

①當(dāng)方程組中兩個方程的同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等時，可直接用加減法進(jìn)行消元；

②當(dāng)方程組的兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，可把其中一個方面的兩邊乘以倍數(shù)，使這個未

知數(shù)的系數(shù)相同或相反，然后運(yùn)用加減法消去這個未知數(shù)。

③當(dāng)方程組中兩個未知數(shù)的系數(shù)均不成整數(shù)倍時，一般選擇系數(shù)較為簡單的未知數(shù)消元，將兩個方程分別

乘以某個數(shù)，使該未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，再加減消元求解。

（四）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組．

（4）求解．

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．

（五）列二元一次方程組解應(yīng)用題的常見類型

（1）和差倍分問題：增長量=原有量×增長率；較大量=較小量+多余量；總量=倍數(shù)×倍量；

（2）產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是加工總量成比例；

（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間；各部分工作量之和=總量；

利潤

（4）利潤問題：商品售價=標(biāo)價×折扣率；商品利潤=商品售價-商品進(jìn)價；利潤率=100%；

進(jìn)價

（5）行程問題：速度×?xí)r間=路程；順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；

（6）方案問題：在解決問題時，常常需合理安排，需要從幾種方案中選擇最佳方案，方案選擇題的題干較

長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點(diǎn)，比較幾種方案得出最佳方案。

知識模塊二：分式方程

知識點(diǎn)一：分式方程

求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．

注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生

增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

知識點(diǎn)二：分式方程的增根

（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或

是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．

（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未

知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式

方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是

原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．

（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果

為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．

知識點(diǎn)三：解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．

（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．

所以解分式方程時，一定要檢驗．

知識點(diǎn)四：換元法解分式方程

1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對

象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡

化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．

知識點(diǎn)五：解分式方程應(yīng)用題

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗、答．

必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位

等．

2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時

間等等．

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會分析題意，提高理解能力．

知識模塊三：一元二次方程

知識點(diǎn)一：一元二次方程

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．

（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的

最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．

知識點(diǎn)二：一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解

也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．

2

（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）

的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．

22

ax1+bx1+c＝0（a≠0），ax2+bx2+c＝0（a≠0）．

知識點(diǎn)三：配方法解一元二次方程

（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫

配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方

程無實數(shù)解．

知識點(diǎn)四：因式分解法解一元二次方程

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個

因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二

次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，

得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．

知識點(diǎn)五：根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．

一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．

上面的結(jié)論反過來也成立．

知識點(diǎn)六：一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗

和作答．

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．

（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次

增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、

梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，

列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．

（4）運(yùn)動點(diǎn)問題：物體運(yùn)動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，

可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．

2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．

3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．

4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．

5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．

6．答：寫出答案．

知識模塊四：一次不等式（組）

知識點(diǎn)一：不等式的基本性質(zhì)

（一）不等式

1.一般地，用符號“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小關(guān)系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等關(guān)系

的式子也是不等式。

2.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解；

3.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集；

4.不等式解集的表示方法：

（1）用最簡的不等式表示，一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解集是一個范圍；

（2）用數(shù)軸表示，不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來，形象的表明不等式的無限個解（注意：邊

界點(diǎn)和方向）。

①確定邊界點(diǎn)：若邊界點(diǎn)是不等式的解，則用實心點(diǎn)；若邊界點(diǎn)不是不等式的解，則用空心點(diǎn)；②確定方

向：對邊界點(diǎn)a而言，當(dāng)xa或xa時，向右畫；當(dāng)xa或xa時，向左畫。

（二）不等式的性質(zhì)

1.不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變。

2.不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

3.不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

知識點(diǎn)二：一元一次不等式（組）及其應(yīng)用

（一）一元一次不等式

1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫作一元一次不等式。

2.一元一次不等式與一元一次方程的區(qū)別與聯(lián)系：

（1）相同點(diǎn)：二者都是只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1，左邊和右邊都是整式；

（2）不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號連接，不等號有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，

由等號連接，等號沒有方向。

（二）一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式的解集的過程叫作解不等式。

2.解一元一次不等式的一般步驟：

①去分母：防止漏乘不含分母的項，乘以（或除以）負(fù)數(shù)時，不等號要改變方向，分子是多項式時，須加

括號；

②去括號：防止漏乘括號內(nèi)的項和出現(xiàn)符號錯誤；

③移項：過了不等號的項要變號；

④合并同類項：防指計算錯誤；

⑤系數(shù)化為1：除以負(fù)數(shù)時要改變不等號的方向。

（三）一元一次不等式組

1.一元一次不等式組的概念：一般地關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元

一次不等式組。（這幾個不等式必須含有同一個未知數(shù)）

2.解一元一次不等式組：

（1）一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中幾個不等式的解集的公共部分叫作這個一元一次不等

式組的解集。

（2）由2個一元一次不等式組成的不等式組的解集的情況：同小取小；同大取大；大小小大取中間，大大

小小取不到。

（3）一元一次不等式組的解法：

第一步：分別求出不等式組中各不等式的解集；

第二步：將各不等式的解集在數(shù)軸上表示出來；

第三步：在數(shù)軸上找出各不等式的解集的公共部分，這個公共部分就是這個不等式組的解集。

3.一元一次不等式（組）的應(yīng)用：審題設(shè)未知數(shù)找不等關(guān)系列不等式（組）解不等式（組）

檢驗回答

考點(diǎn)一：一元一次方程的解法

【典例1】（2024·海南·中考真題）若代數(shù)式x3的值為5，則x等于（）

A．8B．8C．2D．2

【典例2】（2024·貴州·中考真題）小紅學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”

三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設(shè)“■”與“●”的質(zhì)量分別為x，y，則下列關(guān)系式正確的是（）

A．xyB．x2yC．x4yD．x5y

a2b,a0,

【典例3】（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運(yùn)算：ab例如：24(2)240，

ab,a0,

3

23231．若x1，則x的值為．

4

考點(diǎn)二：二元一次方程（組）的解法

【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”

的讀書活動．班級決定為在活動中表現(xiàn)突出的同學(xué)購買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎勵（兩種獎品都買），其中

筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購買方案（）

A．5B．4C．3D．2

【典例2】（2024·四川宜賓·中考真題）某果農(nóng)將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千

克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農(nóng)現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則

所裝的箱數(shù)最多為（）

A．8箱B．9箱C．10箱D．11箱

【典例3】（2024·湖北·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個關(guān)于“方程”的問題：“今有

牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問牛羊各直金幾何？”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值

金10兩．牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少？”若設(shè)牛每頭值金x兩，羊每頭值金y

兩，則可列方程組是（）

5x2y102x5y10

A．B．

2x5y85x2y8

5x5y105x2y10

C．D．

2x5y82x2y8

2xy5

【典例4】（2024·浙江·中考真題）解方程組：

4x3y10

考點(diǎn)三：分式方程及其解法

kx3

【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程2無解，則k的值為

x33x

（）

A．k2或k1B．k2C．k2或k1D．k1

33

【典例2】（2024·江蘇徐州·中考真題）分式方程的解為．

x12x

xmx

【典例3】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程3的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為．

x11x

13

【典例4】（2024·廣東廣州·中考真題）解方程：．

2x5x

考點(diǎn)四：一元二次方程的解法

【典例1】（2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程x22x20230時，將它轉(zhuǎn)化為(xa)2b

的形式，則ab的值為（）

A．2024B．2024C．1D．1

【典例2】（2024·山東濰坊·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2mxn2mn10，其中m,n滿足

m2n3，關(guān)于該方程根的情況，下列判斷正確的是（）

A．無實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根

C．有兩個不相等的實數(shù)根D．無法確定

【典例3】（2024·河北·中考真題）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答

案小1，則a（）

A．1B．21C．21D．1或21

【典例4】（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水

深度，其示意圖如圖②，其中ABAB，ABBC于點(diǎn)C，BC0.5尺，BC2尺．設(shè)AC的長度為x尺，

可列方程為．

【典例5】（2024·江蘇徐州·中考真題）關(guān)于x的方程x2kx10有兩個相等的實數(shù)根，則k值為．

考點(diǎn)五：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系

2

【典例1】（2024·山東日照·中考真題）已知，實數(shù)x1,x2x1x2是關(guān)于x的方程kx2kx10k0的

11

兩個根，若2，則k的值為（）

x1x2

11

A．1B．1C．D．

22

【典例2】（2024·山東德州·中考真題）已知a和b是方程x22024x40的兩個解，則a22023ab的

值為．

考點(diǎn)六：一次不等式（組）的解法及解集表示（高頻）

【典例1】（2024·廣東廣州·中考真題）若ab，則（）

A．a(chǎn)3b3B．a(chǎn)2b2C．a(chǎn)bD．2a2b

3x22x①

【典例2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）解不等式組時，不等式①和不等式②的解集在

2x1x1②

數(shù)軸上表示正確的是（）

A．B．

C．D．

【典例3】（2024·山東·中考真題）根據(jù)以下對話，

給出下列三個結(jié)論：

①1班學(xué)生的最高身高為180cm；

②1班學(xué)生的最低身高小于150cm；

③2班學(xué)生的最高身高大于或等于170cm．

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

2x1x

【典例4】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）關(guān)于x的不等式1的解集是，這個不等式的任意

32

一個解都比關(guān)于x的不等式2x1xm的解大，則m的取值范圍是．

【典例5】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實數(shù)a，b定義運(yùn)算“※”為a※ba3b，例如

5※253211，則關(guān)于x的不等式x※m2有且只有一個正整數(shù)解時，m的取值范圍是．

1x

【典例6】（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式x1的正整數(shù)解．

3

考點(diǎn)七：方程（組）的含參問題（方法技巧）

【典例1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對于任意實數(shù)a、b、c，有【a，b】★cacb，其中等式右

面是通常的乘法和加法運(yùn)算，如【2，3】★12135．若關(guān)于x的方程【x,x1】★mx0有兩個不相等

的實數(shù)根，則m的取值范圍為（）

1111

A．mB．mC．m且m0D．m且m0

4444

axybx3

【典例2】（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于x、

cxydy2

ax2y2ab

y的方程組的解是．

cx2y2cd

2x1

3

【典例3】（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組3的解集為x4，且關(guān)于y的

4x23xa

a8y

分式方程1的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．

y2y2

【答案】12

3x21

【典例4】（2024·西藏·中考真題）解不等式組：2x1，并把解集在數(shù)軸上表示出來．

x2

3

考點(diǎn)八：方程（組）的實際應(yīng)用（方法技巧）

【典例1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四

折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；

把繩四折來量，井外余繩一尺．繩長、井深各幾尺？若設(shè)繩長為x尺，則可列方程為（）

1111

A．x4x1B．x4x1

3434

1111

C．x4x1D．x4x1

3434

【典例2】（2024·四川巴中·中考真題）某班學(xué)生乘汽車從學(xué)校出發(fā)去參加活動，目的地距學(xué)校60km，一

部分學(xué)生乘慢車先行0.5h，另一部分學(xué)生再乘快車前往，他們同時到達(dá)．已知快車的速度比慢車的速度每

小時快20km，求慢車的速度？設(shè)慢車的速度為xkm/h，則可列方程為（）

6060160601

A．B．

xx202x20x2

6060160601

C．D．

x20x2xx202

【典例3】（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從A地

勻速出發(fā)，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，駐足交流10min后，繼續(xù)以原速步行前進(jìn)；乙因故比甲晚

出發(fā)30min，跑步到達(dá)B地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距

離ym與甲出發(fā)的時間xmin之間的函數(shù)關(guān)系．()

那么以下結(jié)論：

①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為20min；

②甲出發(fā)86min時，甲、乙兩人之間的距離達(dá)到最大值3600m；

③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發(fā)后100min；

④A，B兩地之間的距離是11200m．

其中正確的結(jié)論有：

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

【典例4】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專屬漢字“辰”為名．某

廠家生產(chǎn)大小兩種型號的“龍辰辰”，大號“龍辰辰”單價比小號“龍辰辰”單價貴15元，且用2400元購進(jìn)小號

“龍辰辰”的數(shù)量是用2200元購進(jìn)大號“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍，則大號“龍辰辰”的單價為元．某網(wǎng)

店在該廠家購進(jìn)了兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數(shù)不超過小號“龍辰辰”個數(shù)的一半，

小號“龍辰辰”售價為60元，大號“龍辰辰”的售價比小號“龍辰辰”的售價多30%．若兩種型號的“龍辰辰”全

部售出，則該網(wǎng)店所獲最大利潤為元．

【典例5】（2024·重慶·中考真題）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)A能寫成m2n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m

與n的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2n的過程，稱為“方減分

解”．例如：因為60225223，25與23的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，

602分解成60225223的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個“方減

數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即Am2n，將m放在n的左邊組成一個新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且

2mnk2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為．

【典例6】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的“黃金地帶”，年總產(chǎn)量占全國

總產(chǎn)量的50%以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位．某商店準(zhǔn)備在該地購進(jìn)特級鮮

品、特級干品兩種猴頭菇，購進(jìn)鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購進(jìn)鮮品猴頭菇4箱、干品

猴頭菇5箱需910元．請解答下列問題：

(1)特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進(jìn)價各是多少元？

(2)某商店計劃同時購進(jìn)特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇共80箱，特級鮮品猴頭菇每箱售價定為50元，

特級干品猴頭菇每箱售價定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，

該商店有哪幾種進(jìn)貨方案？

(3)在（2）的條件下，購進(jìn)猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數(shù)）折售出，最

終獲利1577元，請直接寫出商店的進(jìn)貨方案．

【典例7】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）一條公路上依次有A、B、C三地，甲車從A地出發(fā)，沿公路經(jīng)

2

B地到C地，乙車從C地出發(fā)，沿公路駛向B地．甲、乙兩車同時出發(fā)，勻速行駛，乙車比甲車早小時

7

到達(dá)目的地．甲、乙兩車之間的路程ykm與兩車行駛時間xh的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象信息，解答

下列問題：

(1)甲車行駛的速度是_____km/h，并在圖中括號內(nèi)填上正確的數(shù)；

(2)求圖中線段EF所在直線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

(3)請直接寫出兩車出發(fā)多少小時，乙車距B地的路程是甲車距B地路程的3倍．

【典例8】（2024·山東東營·中考真題）隨著新能源汽車的發(fā)展，東營市某公交公司計劃用新能源公交車淘

汰“冒黑煙”較嚴(yán)重的燃油公交車．新能源公交車有A型和B型兩種車型，若購買A型公交車3輛，B型公交

車1輛，共需260萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車3輛，共需360萬元．

(1)求購買A型和B型新能源公交車每輛各需多少萬元？

(2)經(jīng)調(diào)研，某條線路上的A型和B型新能源公交車每輛年均載客量分別為70萬人次和100萬人次．公司準(zhǔn)

備購買輛A型、B型兩種新能源公交車，總費(fèi)用不超過650萬元．為保障該線路的年均載客總量最大，

10

請設(shè)計購買方案，并求出年均載客總量的最大值．

【典例9】（2024·山東德州·中考真題）某校開設(shè)棋類社團(tuán)，購買了五子棋和象棋．五子棋比象棋的單價少

8元，用1000元購買的五子棋數(shù)量和用1200元購買的象棋數(shù)量相等．

(1)兩種棋的單價分別是多少？

(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購買五子棋和象棋共30副，根據(jù)學(xué)生報名情況，購買五子棋數(shù)量不超過象棋數(shù)量的3倍．問

購買兩種棋各多少副時費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？

【典例10】（2024·山東日照·中考真題）【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師

生提供更加良好的閱讀環(huán)境，學(xué)校決定擴(kuò)大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進(jìn)20個書架用于擺放書籍．

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有A,B兩種書架可供選擇，A種書架的單價比B種書架單價高20%；

素材二：用18000元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買B種書架的數(shù)量多6個；

2

素材三：A種書架數(shù)量不少于B種書架數(shù)量的．

3

【問題解決】

(1)問題一：求出A,B兩種書架的單價；

(2)問題二：設(shè)購買a個A種書架，購買總費(fèi)用為w元，求w與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出費(fèi)用最少時的購買

方案；

1

(3)問題三：實際購買時，商家調(diào)整了書架價格，A種書架