試卷第=page22頁，共=sectionpages100100頁難點11銳角三角函數的?？碱}型（6大熱考題型）題型一：正弦概念的辨析與應用題型二：余弦概念的辨析與應用題型三：正切的概念辨析與應用題型四：特殊角三角函數值的應用題型五：解直角三角形的相關運算題型六：解直角三角形的實際應用題型一：正弦概念的辨析與應用【中考母題學方法】【典例1】（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點，且，連接與相交于點，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·四川資陽·中考真題）第屆國際數學教育大會（）會標如圖所示，會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（，，，）和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知兩條平行線、，點A是上的定點，于點B，點C、D分別是、上的動點，且滿足，連接交線段于點E，于點H，則當最大時，的值為．【變式1-3】（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，已知內接于，是的直徑，的平分線交于點，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．【變式1-4】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標系中，反比例函數（k為常數且）上有一點，且與直線交于另一點．

(1)求k與m的值；(2)過點A作直線軸與直線交于點C，求的值．【中考模擬即學即練】1．（2024·河北張家口·模擬預測）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．

2．（2024·廣東·模擬預測）正方形網格中，如圖所示放置（點A，O，C均在網格的格點上，且點C在上），則的值為（

）A． B． C． D．13．（2024·廣東廣州·模擬預測）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·陜西西安·模擬預測）直角三角形的斜邊與一直角邊的比是，且較大的銳角為，則等于（）A． B． C． D．5．（2025·上海奉賢·一模）在平面直角坐標系的第一象限內有一點，射線與x軸正半軸的夾角為，如果，那么點P坐標為．6．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，正方形的邊長為2，M是AD的中點，將四邊形沿翻折得到四邊形，連接，則的值等于．7．（2024·上海青浦·模擬預測）如圖是一張矩形紙片，點M是對角線的中點，點E在邊上，把沿直線折疊，使點C落在對角線上的點F處，連接．若，則的正弦值為．8．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，四邊形的頂點均在網格的格點上．(1)求的值．(2)操作與計算：用尺規作圖法過點C作，垂足為E，并直接寫出的長．（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）9．（2024·北京·模擬預測）如圖，是等腰三角形，．已知，用兩種方法表示的面積______【探究】你能否從這里得出的計算公式呢？題型二：余弦概念的辨析與應用【中考母題學方法】【典例1】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點在上，把沿折疊，點恰好落在邊上的點處，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2023·四川攀枝花·中考真題）中，、、的對邊分別為、、．已知，，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2023·江蘇揚州·中考真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8【變式2-3】（2024·山東青島·中考真題）如圖，中，，以為直徑的半圓O分別交于點D，E，過點E作半圓O的切線，交于點M，交的延長線于點N．若，，則半徑的長為．【變式2-4】（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對角線折疊，使點C落在點E處，與交于點F，若，，則的值是．【變式2-5】（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至所在直線，對應點分別為，，若，則．【變式2-6】（2023·山東·中考真題）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點在邊上，若，，則．

【中考模擬即學即練】1．（2025·湖南婁底·一模）若是一個銳角，且，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南·模擬預測）我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形面積為，小正方形面積為，則的值為（

）A． B．43 C． D．453．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）如圖，在正方形網格中，已知的三個頂點均在格點上，則的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東·模擬預測）如圖，直徑為10的經過點C0,6和點O0,0，是軸右側上一點，則的余弦值為（

）A． B． C． D．455．（2023·廣東東莞·模擬預測）如圖，在中，E是直徑延長線上一點，切于點，若，則的余弦值為（）A． B． C． D．6．（2024·上?！つM預測）在中，，于D，若和的面積比為，則的余弦值為7．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，內接于，是的直徑，平分，，延長交的延長線于點A，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．題型三：正切的概念辨析與應用【中考母題學方法】【典例1】（2024·云南·中考真題）在中，，已知，則的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川內江·中考真題）如圖，在矩形中，，，點在上，將矩形沿折疊，點恰好落在邊上的點處，那么．

【變式3-1】（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點，分別落在點，處．則的值是（

）A．2 B． C． D．【變式3-2】（2024·四川達州·中考真題）如圖，由8個全等的菱形組成的網格中，每個小菱形的邊長均為2，，其中點，，都在格點上，則的值為（

）A．2 B． C． D．3【變式3-3】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交邊于點E、F．若，，則．【變式3-4】（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．【變式3-5】（2023·江蘇·中考真題）如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到，則的值是．

【變式3-6】（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，．(1)求證：；(2)點E在邊上，滿足．若，，求的長及的值．【中考模擬即學即練】1．（2024·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，在邊長為的正方形網格中，點、、、、都在小正方形格點的位置上，連接，相交于點，根據圖中提示所添加的輔助線，可以求得的值是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川樂山·模擬預測）在如圖所示的網格中，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D都在格點上，則的正切值是（）A．2 B． C． D．3．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在中，，，，延長到點，使，連接．利用此圖，可算出的值是（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知點與點分別在反比例函數與的圖像上，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西渭南·一模）在中，，，則的值為．6．（2025·山東青島·一模）如圖所示，在矩形中，，點分別在邊上．連接，將四邊形沿翻折，點分別落在點處．則的值是．7．（2024·甘肅定西·模擬預測）已知在中，，若，則的值為．題型四：特殊角三角函數值的應用【中考母題學方法】【典例1】（2024·山東青島·中考真題）計算：．【變式4-1】（2024·西藏·中考真題）計算：．【變式4-2】（2024·山東濟南·中考真題）計算：．【中考模擬即學即練】1．（2025·上海普陀·一模）計算：．2．（2025·廣東·模擬預測）計算：．3．（2025·湖南·模擬預測）計算：．題型五：解直角三角形的相關運算【中考母題學方法】【典例1】（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，平行四邊形中，、分別是，的平分線，且E、F分別在邊，上．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的面積．【變式5-1】（2024·海南·中考真題）如圖，在中，，以點D為圓心作弧，交于點M、N，分別以點M、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點F，作直線交于點E，若，則四邊形的周長是（

）

A．22 B．21 C．20 D．18【變式5-2】（2024·江蘇南通·中考真題）若菱形的周長為，且有一個內角為，則該菱形的高為．【變式5-3】（2024·山西·中考真題）如圖，在中，為對角線，于點E，點F是延長線上一點，且，線段的延長線交于點G．若，，，則的長為．【變式5-4】（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標為0,4，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉得到，則點的坐標為．【變式5-5】（2024·江蘇南通·中考真題）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線的長的度數腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1__________________請補全表格中數據，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數量關系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數量關系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，中，，點D在邊上，．以點C為圓心，長為半徑作弧與線段相交于點E，過點E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？圖序角平分線的長的度數腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1【中考模擬即學即練】1．（2024·浙江寧波·二模）如圖與均為等腰直角三角形，，直線與直線交于點，在與繞點任意旋轉的過程中，到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2025·湖南·模擬預測）如圖，在矩形中，，，為對角線，的平分線交于點E，連接DE交于點F．則下列結論中錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2024·四川綿陽·三模）如圖中，，，若，，且的面積是面積的10倍，則的長度是（

）A． B． C． D．4．（2025·上海普陀·一模）已知中，，是邊上的高，．如果，那么．5．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）正方形中，E，F分別是的中點，則6．（2024·甘肅嘉峪關·二模）如圖，已知．(1)尺規作圖：作的邊AB的垂直平分線，交AB于點D，交于點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若，求DE的長．7．（2023·四川樂山·模擬預測）如圖，為的直徑，是的一條弦，D為弧的中點，過點D作，垂足為的延長線上的點E，連接．(1)求證：是的切線；(2)延長交的延長線于F，若，，求的長．8．（2024·河北邢臺·一模）如圖1，四邊形中，，，，為四邊形的對角線，．

(1)求點到的距離；(2)如圖2，點在邊上，且．以為圓心，長為半徑作，點為上一點，連接交于．．①當與相切時，求的長；②當時，直接寫出的長．題型六：解直角三角形的實際應用【中考母題學方法】【典例1】（2024·山西·中考真題）研學實踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學校組織研學活動．同學們來到毛主席東渡黃河紀念碑所在地，在了解相關歷史背景后，利用航模搭載的掃描儀采集紀念碑的相關數據．數據采集：如圖，點是紀念碑頂部一點，的長表示點到水平地面的距離．航模從紀念碑前水平地面的點處豎直上升，飛行至距離地面20米的點處時，測得點的仰角；然后沿方向繼續飛行，飛行方向與水平線的夾角，當到達點正上方的點處時，測得米；數據應用：已知圖中各點均在同一豎直平面內，，，三點在同一直線上．請根據上述數據，計算紀念碑頂部點到地面的距離的長（結果精確到1米．參考數據：，，，，，．【變式6-1】（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區域內的標志性建筑，在其塔頂可俯視景區全貌．某數學興趣小組用無人機測量潮汐塔的高度，測量方案如圖所示：無人機在距水平地面的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無人機沿水平方向飛行到達點N，測得潮汐塔底端B的俯角為（點在同一平面內），則潮汐塔的高度為（

）（結果精確到．參考數據：）A． B． C． D．【變式6-2】（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在徐州云龍湖旅游景區，點為“彭城風華”觀演場地，點為“水族展覽館”，點為“徐州漢畫像石藝術館”．已知，，．求“彭城風華”觀演場地與“水族展覽館”之間的距離AB（精確到）．（參考數據：，）【變式6-3】（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．(1)求點離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結果保留根號）．【變式6-4】（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，為了測量無人機的飛行高度，在水平地面上選擇觀測點A，B．無人機懸停在C處，此時在A處測得C的仰角為無人機垂直上升懸停在D處，此時在B處測得D的仰角為點A，B，C，D在同一平面內，A，B兩點在的同側．求無人機在C處時離地面的高度．（參考數據：）【變式6-5】（2024·山東青島·中考真題）“滑滑梯”是同學們小時候經常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高．從安全性及適用性出發，小亮同學對所在小區的一處滑梯進行調研，制定了如下改造方案，請你幫小亮解決方案中的問題．方案名稱滑梯安全改造測量工具測角儀、皮尺等方案設計如圖，將滑梯頂端拓寬為，使，并將原來的滑梯改為，（圖中所有點均在同一平面內，點在同一直線上，點在同一直線上）測量數據【步驟一】利用皮尺測量滑梯的高度；【步驟二】在點處用測角儀測得；【步驟三】在點處用測角儀測得．解決問題調整后的滑梯會多占多長一段地面？（即求的長）（參考數據：）【變式6-6】（2024·海南·中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處．記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處．記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向．請你根據以上信息解決下列問題：(1)填空：________，________，________海里；(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異?！眳^，請計算說明．（參考數據：）【變式6-7】（2024·山東濟南·中考真題）城市軌道交通發展迅猛，為市民出行帶來極大方便，某?！熬C合實踐”小組想測得輕軌高架站的相關距離，數據勘測組通過勘測得到了如下記錄表：綜合實踐活動記錄表活動內容測量輕軌高架站的相關距離測量工具測傾器，紅外測距儀等過程資料相關數據及說明：圖中點，在同平面內，房頂，吊頂和地面所在的直線都平行，點在與地面垂直的中軸線上，，．成果梳理……請根據記錄表提供的信息完成下列問題：(1)求點到地面的距離；(2)求頂部線段的長．（結果精確到，參考數據：，，，）【中考模擬即學即練】1．（2025·山東臨沂·一模）某中學為新操場采購了一批可調節高度的籃球架，右圖是其側面示意圖，底座高度忽略不計．已知其支架，，安裝完畢后小明測得，，國家規定中學生所用籃球架中籃筐距地面標準高度約為，請你幫小明判斷安裝后的這批籃球架是否符合國家標準？（參為數據：，結果保留整數）2．（2025·山東青島·一模）阿代的數學研學日記課題：測量旗桿的高度地點：青島市山海二十六中學操場時間：2025月3月2日昨天上午代興國老師要帶我們去操場測量旗桿的高度，昨天我們小組設計了一個方案，方案如下：小亮拿著標桿垂直于地面放置，我和小聰用卷尺測量標桿、標桿的影長和旗桿的影長，如圖1所示，標桿，影長，旗桿的影長，則可求得旗桿的高度為_______．今天測量時陰天就不能用昨天的方案了，如圖2所示，張世昌老師將升旗用繩子拉直，使繩子的底端G剛好觸到地面，用儀器測得繩子與地面的夾角為，然后又將繩子拉到一個0.5米高的平臺上，拉直繩子使繩子上的H點剛好觸到平臺，剩余的繩子長度為5米，此時測得繩子與平臺的夾角為，利用這些數據能求出旗桿的高度嗎？請你回答阿代的問題．若能，請求出旗桿的高度；若不能，請說明理由．（參考數據：，，；，，）3．（2024·浙江·一模）圖1是我國古代提水的器具桔槔（jiégāo），創造于春秋時期．它選擇大小兩根竹竿，大竹竿中點架在作為杠桿的竹梯上．大竹竿末端懸掛一個重物，前端連接小竹竿（小竹竿始終與地面垂直），小竹竿上懸掛水桶．其原理是通過對架在竹梯上的大竹竿末端下壓用力，從而提水出井．當放松大竹竿時，小竹竿下降，水桶就會回到井里．如圖2是桔槔的示意圖，大竹竿米，O為的中點，支架垂直地面，此時水桶在井里時，．(1)如圖2，求支點O到小竹竿的距離（結果精確到0.1米）；(2)如圖3，當水桶提到井口時，大竹竿旋轉至的位置，小竹竿至的位置，此時，求點A上升的高度（結果精確到0.1米）．（參考數據：，，，）4．（2024·浙江紹興·二模）隨著時代的發展，手機“直播帶貨”已經成為當前最為強勁的購物新潮流．某種手機支架如圖1所示，立桿垂直于地面，其高為，為支桿，它可繞點旋轉，其中長為，為懸桿，滑動懸桿可調節的長度．（參考數據：，，）(1)如圖2，當、、三點共線，時，且支桿與立桿之間的夾角為，求端點距離地面的高度；(2)調節支桿，懸桿，使得，，如圖3所示，且點到地面的距離為，求的長．（結果精確到）5．（2024·甘肅定西·模擬預測）甘肅科技館（如圖）是甘肅省有史以來投資和建設規模最大的社會公益性科普項目，是實施科教興國戰略和創新驅動發展戰略的重要基礎設施建設．甘肅科技館的建成，標志著甘肅省科普陣地建設邁上了新臺階．某校學習小組把測量甘肅科技館的高度作為一次課題活動，同學們制定了測量方案，并完成了實地測量，測得結果如下表課題測量甘肅科技館的高度測量示意圖說明甘肅科技館樓頂一角的D處到地面的高度為，在A點用儀器測得點D的仰角為，在E點用該儀器測得點D的仰角為，且點A，B，C，D，E，F均在同一豎直平面內測量數據，，，測角儀的高度為請你根據上表的測量數據，幫助該小組求出甘肅科技館的高度（結果保留一位小數）．（參考數據：，，，，，）6．（2024·上海浦東新·一模）如圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長為，南門設立在邊的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計），東側有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測得雕塑在北偏東方向上，在處測得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結果精確到，參考數據：，，，，）7．（2024·湖南長沙·模擬預測）為推進《學生出入校門智能管理方案》的實施，圖1是某校安裝的人臉識別系統（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識別的最遠水平距離．（計算結果精確到）(1)頭部高度為、身高的小帥站在離攝像頭水平距離的點處，請問小帥最少需要下蹲多少厘米才能被識別？(2)頭部高度為，身高的小美踮起腳尖可以增高，但仍無法被識別，若學校工作人員及時將攝像頭的仰角、俯角都調整為，此時小美能被識別嗎？請計算說明．（參考數據：，，，，，8．（2024·重慶南岸·模擬預測）春天是踏青的好季節，小明和小華決定去公園出游踏青．如圖，已知為公園入口，景點位于點東北方向米處，景點位于點南偏東方向，景點在景點的正北方向，景點既位于景點正東方向310米處，又位于景點的北偏西方向．景點既位于景點的正東方向，又位于景點的正南方向．米．（參考數據：）(1)求的長；（精確到個位）(2)小明選擇了游覽路線①：，小明行駛的平均速度是72米/分，小明在景點處各停留了10分鐘、5分鐘．小華選擇了游覽路線②：，小華行駛的平均速度為96米/分．小華在景點