難點03全等三角形的應用?？碱}型

（5大熱考題型）

題型一：全等三角形的性質

題型二：添加條件證明三角形全等

題型三：全等三角的綜合問題

題型四：角平分線性質定理

題型五：線段垂直平分線的性質與判定

題型一：全等三角形的性質

【中考母題學方法】

【典例1】（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知△ABC≌△DEC,A60,B40，則DCE的度數為

（）．

A．40B．60C．80D．100

【答案】C

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質、三角形內角和定理等知識點，掌握全等三角形的對應角相等

成為解題的關鍵．

先根據三角形內角和定理求得ACB，然后根據全等三角形的對應角相等即可解答．

【詳解】解：∵在VABC中，A60,B40，

∴ACB180AB80，

∵△ABC≌△DEC，

∴DCEACB80．

故選C．

【變式1-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在VABC中，ABAC4，BAC120，點D，E分別

是邊AB，BC上的動點，且ADBE，連接AE，CD，當AECD的值最小時，AEB的度數為（）

A．90B．120C．135D．150

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形的判定和性質．將△ADC拼接到△BEF，連接AF交BC

于點G，推出AECDAEEFAF，當點E與點G重合時，AECD的值最小，據此求解即可．

【詳解】解：如圖，將△ADC拼接到△BEF，連接AF交BC于點G，

則ADC≌BEF，

CDEF，ACBF，EBFDAC120，

AECDAEEFAF，

當A，E，F三點共線，即點E與點G重合時，AECD的值最小，

ABAC，BAC120，

ABCACB30，

ABF150，ABACBF，

BAFBFA15，

∠AGB135

即AECD最小時，AEB的度數為135．

故選：C．

【變式1-2】（2024·河北秦皇島·二模）如圖，△ABC≌△AEF，有以下結論：①ACAE；②FABEAB；

③EFBC；④EABFAC．其中正確的個數是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】B

【分析】本題考查的是全等三角形的性質；掌握三角形全等的性質是解題的關鍵．

根據已知找準對應關系，運用三角形全等的性質“全等三角形的對應角相等，對應邊相等”求解即可．

【詳解】解：ABC≌AEF，

BCEF，BACEAF，故③正確；

EABBAFFACBAF，

即EABFAC，故④正確；

AC與AE不是對應邊，不能求出二者相等，也不能求出FABEAB，

故①、②錯誤；

∴正確的有③④共2個．

故選：B．

【變式1-3】（2024·四川成都·模擬預測）如圖，CAE≌EBD，CAAB，且ACE55，則BDE的度

數為．

【答案】35

【分析】本題考查了全等三角形的性質以及直角三角形的性質等知識，熟練掌握全等三角形的性質是解題

的關鍵．

【詳解】解：∵CAAB，

∴A90，

又∵ACE55，

∴AEC90ACE905535，

又∵CAE≌EBD，

∴BDEAEC35，

故答案為：35．

5．（2024·江蘇鎮江·中考真題）如圖，CD90，CBADAB．

(1)求證：ABC≌BAD；

(2)若DAB70，則CAB__________°．

【答案】(1)答案見解析

(2)20

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解

題的關鍵．

（1）利用AAS即可證得ABC≌BAD；

（2）先根據三角形內角和定理求出DBA的度數，再根據全等三角形的性質即可得出CAB的度數．

【詳解】（1）證明：在VABC和BAD中，

CD90

CBADAB，

ABBA

ABC≌BADAAS；

（2）解：DAB70，DD=90°，

DBA907020，

由（1）知ABC≌BAD，

CABDBA20，

故答案為：20．

【中考模擬即學即練】

1．（2024·江蘇南通·模擬預測）下面四個幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖是全等圖形的幾何圖形是（）

A．圓柱B．正方體C．三棱柱D．圓錐

【答案】B

【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖及全等圖形的概念，熟練掌握常見幾何體的三視圖是解題的關鍵．根

據簡單幾何體的三視圖逐個判斷即可．

【詳解】解：A．圓柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是圓形，故此選項不符合題意；

B．正方體的三視圖都是正方形，且大小一樣，即全等，故此選項符合題意；

C．三棱柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是三角形，故此選項不符合題意；

D．圓錐的主視圖和左視圖是三角形，俯視圖是帶圓心的圓，故此選項不符合題意；

故選：B．

2．（2024·江蘇常州·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD，BCA2DCA，點E

在AC上，EDCABC．若BC5，CD25，AD2AE，則AC的長為．

161

【答案】/5

33

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識，解

題關鍵是注意探究題中的隱含條件，通過適當添加輔助線構造全等三角形和相似三角形；

根據角平分線的特點，在AB上截取AFAD，連結CF，構造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的

性質求出AC的長；

【詳解】解：如圖，在AB上取一點F，使AFAD，連接CF，

AC平分BAD，

FACDAC，

ACAC，

AEC≌ADCSAS，

CFCD，FCADCA，AFCADC，

FCABCFBCA2DCA，

DCABCF，

即DCEBCF，

EDCABC，即EDCFBC，

DCE∽BCF，

CDCE

，DECBFC，

BCCF

BC5，CFCD25，

2

CD·CF25，

CE4

BC5

AEDDEC180，

AFCBFC180，

AEDAFCADC，

EADDAC，

EAD∽DAC，

AD2AE，

AEAD1

，

ADAC2

4416

AC2AD4AECE4，

333

16

故答案為：

3

3．（2024·上?！つM預測）如圖，已知點A，B，C在同一直線上，點B在點A，C之間，點D，E在直線AC

同側，ABBC，AC90，EAB≌BCD，連接，設ABa，BCb，DEc，下列結論正

確的數量為（）??

（1）abc（2）a2b2ab（3）2(ab)c

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質，過點D作DFAC,則四邊形ABGF、BCDG是

矩形，即可判斷（1）；根據EAB≌BCD可以得BEBD，然后根據勾股定理即可判斷（3）；根據全等三

角形得到AEBCb，然后利用勾股定理判斷（2）．

【詳解】（1）過點D作DFAC,交AE于點F,過點B作BGFD,交FD于點G.

∵DFAC,ACAE,

∴DFAE,

又∵BGFD,

∴BGAE,

∴四邊形ABGF為矩形，

同理可得，四邊形BCDG也為矩形，

∴FDFGGDab,

∴在RtEFD中,直角邊abc.

故（1）正確，符合題意；

（2）∵EAB≌BCD,

∴AEBCb,

在RtEAB中，BEAB2AE2a2b2,

ABAEBE,

aba2b2,

故（2）正確，不符合題意；

（3）EAB≌BCD，

AEBCBD,BEBD，

又AEBABE90，

CBDABE90，

EBD90，

BEBD，

BEDBDE45，

2

BEa2b2c，

2

c2a2b2，

22

2ab2a22abb22a2b24ab2a2b2，

2ab2a2b2，

2abc，故（3）正確，符合題意；

故選:C.

4．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，VABC和△DCE都是等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，

DCEC，連接AD,BE．

(1)求證：△ACD≌△BCE；

(2)直接寫出AD和BE的位置關系．

【答案】(1)見解析

(2)ADBE

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形兩銳角互余，對頂角相等，證明△ACD≌△BCE

是解答本題的關鍵．

（1）先證明ACDBCE，然后根據SAS即可證明△ACD≌△BCE；

（2）延長AD交BE于點F，交BC于點N，由全等三角形的性質得CADCBE，由CADANC90

可證CBEBNF90，進而可證結論成立．

【詳解】（1）∵ACBDCE90，

∴∠ACB∠BCD∠DCE∠BCD，

∴ACDBCE，

∵ACBC，DCEC，

∴ACD≌BCESAS；

（2）延長AD交BE于點F，交BC于點N

∵△ACD≌△BCE，

∴CADCBE

∵ACB90，

∴CADANC90，

∵ANCBNF，

CBEBNF90，

∴BFN90，

∴ADBE．

5．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐

【問題情境】

“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，

表示為VABC和△DFE，其中ACBDEF90，AD，將VABC和△DFE按圖2所示方式擺放，

其中點B與點F重合（標記為點B）．當ABEA時，延長DE交AC于點G，試判斷四邊形BCGE的形

狀，并說明理由．

【數學思考】

（1）請你解答以上老師提出的問題；

【深入探究】

（2）老師將圖2中的DBE繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在VABC內部，讓同學們提出新的問題并請

你解答此問題．

“善思小組”提出問題：如圖3，當ABEBAC時，過點A作AMBE交BE的延長線于點M，BM與AC

交于點N．證明：AMBE．

【拓展提升】

（3）如圖4，當CBEBAC時，過點A作AHDE于點H，若BC3，AC4，求AH的長．

9

【答案】（1）正方形，見解析；（2）見解析；（3）

5

【分析】對于（1），先根據“三個角是直角的四邊形是矩形”證明四邊形BCGE為矩形，再根據ACB≌DEB

得BCBE，即可得出答案；

對于（2），先根據“等角對等邊”得ANBN，進而確定AMBN，再根據三角形面積相等得BCAM，

然后由（1）得出答案；

對于（3），設AB，DE的交點為M，并作MGBD，根據ACB≌DEB得出CBEDBM，再根據“等

角對等邊”得MDMB，再根據勾股定理求AB，

DGDE

進而求出DG，然后由cosD，求出DM，可得AM，再證明△AMH∽△BME，根據相似三

DMBD

AHAM

角形的對應邊成比例得，即可得出答案．

BEBM

【詳解】（1）結論：四邊形BCGE為正方形．

理由如下：

BED90，

BEG180BED90，

ABEA，

AC∥BE，

CGEBED90，

C90，

四邊形BCGE為矩形．

ACB≌DEB，

BCBE．

矩形BCGE為正方形；

（2）證明：ABEBAC，

ANBN，

C90，

BCAN．

AMBE，即AMBN，

11

SANBCBNAM，

ABN22

ANBN，

BCAM．

由（1）得BEBC，

AMBE；

（3）解：如圖，設AB，DE的交點為M，過M作MGBD于點G，

ACB≌DEB，

BEBC3，DEAC4，DBAB，BACD，ABCDBE，

CBEDBM．

CBEBAC，

DBMD，

MDMB．

MGBD，

點G是的中點，

??

由勾股定理得ABAC2BC25，

15

DGBD．

22

DGDE

cosD，

DMBD

5

5

DGBD25，

DM2

DE48

25

即BMDM，

8

2515

AMABBM5．

88

AHDE，BEDE，AMHBME，

AMH∽BME，

AHAM3

，

BEBM5

339

AHBE3，

555

9

即AH的長為．

5

【點睛】本題主要考查了正方形的判定，全等三角形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，余弦

等，勾股定理是求線段的長的常用方法．

題型二：添加條件證明三角形全等

【中考母題學方法】

【典例1】（2024·山東德州·中考真題）如圖，C是AB的中點，CDBE，請添加一個條件，使

ACD≌CBE．

【答案】ADCE或ACDB

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定定理，是解決問題的關鍵．

要使ACD≌CBE，已知ACBC，CDBE，則可以添加一對邊ADCE，從而利用SSS來判定其全等，

或添加一對夾角ACDB，從而利用SAS來判定其全等（填一個即可，答案不唯一）．

【詳解】解：∵C是AB的中點，

∴ACBC，

∵CDBE，

∴添加ADCE或ACDB，

可分別根據SSS、SAS判定ACD≌CBE（填一個即可，答案不唯一）．

故答案為：ADCE或ACDB．

【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，VABC中，D是AB上一點，CF∥AB，D、E、F三點

共線，請添加一個條件，使得AECE．（只添一種情況即可）

【答案】DEEF或ADCF（答案不唯一）

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．根

據題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．

【詳解】解：∵CF∥AB

∴AECF，ADECFE，

∴添加條件DEEF，可以使得ADE≌CFEAAS，

添加條件ADCF，也可以使得ADE≌CFEASA，

∴AECE；

故答案為：DEEF或ADCF（答案不唯一）．

【變式2-1】（2024·湖南株洲·模擬預測）如圖，銳角三角形ABC中，∠ABCACB，點D，E分別在邊AB，

AC上，連接BE，CD．下列命題中，假．命．題．是（）

A．若ACDABE，則CDBEB．若BDCE，則BECD

C．若CDBE，則ACDABED．若ADAE，則CBEDCB

【答案】C

【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．由∠ABCACB，可得ABAC，

再分別利用全等三角形的判定和性質即可得出結論．

【詳解】解：∵∠ABCACB，

∴ABAC，

若ACDABE，又CADBAE，ABAC，

∴△CAD≌△BAEASA，

∴CDBE，則原命題是真命題，故選項A不符合題意；

若BDCE，∴ADAE，又CADBAE，ABAC，

∴CAD≌BAESAS，

∴CDBE，則原命題是真命題，故選項B不符合題意；

若CDBE，又CADBAE，ABAC，

不能證明CAD與BAE全等，則ACD與ABE不一定相等，

則原命題是假命題，故選項C符合題意；

若ADAE，又CADBAE，ABAC，

∴CAD≌BAESAS，

∴ACDABE，

∵∠ABCACB，

∴CBEDCB，則原命題是真命題，故選項D不符合題意；

故選：C．

【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預測）如圖，已知AB與CD相交于點O，AC∥BD．只添加一個條件，

能判定△AOC≌△BOD的是（）

A．AODOB．AOBOC．ABD．AOCBOD

【答案】B

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，ASA，

ASA，SSS，SAS，HL．根據全等三角形的判定方法，逐項進行判斷即可．

【詳解】解：∵AC∥BD，

∴AB，CD．

A．添加AODO不能判斷△AOC≌△BOD，故此選項錯誤；

B．添加AOBO可以根據AAS或AAS能夠判斷△AOC≌△BOD，故此選項錯誤；

C．添加AB，不能判斷△AOC≌△BOD，故此選項錯誤；

D．添加AOCBOD，不能判斷△AOC≌△BOD，故此選項錯誤．

故選：B．

【變式2-3】（2024·貴州黔東南·一模）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，ABDC，ECFB，______．

求證：AEDF．

在①AEDF；②EC∥FB這兩個條件中任選一個作為已知條件，補充在上面的橫線上，并加以解答．

【答案】見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，選擇①利用SSS證明△AEC≌△DFB，即可；選擇②，利用SAS，

證明△AEC≌△DFB，即可．

【詳解】證明：選條件①，ABDC,

ABBCDCBC,

ACDB，

AEDF，

在△AEC和△DFB中，ACDB，

ECFB，

△AEC≌△DFBSSS,

AD,

AE∥DF．

選條件②，EC∥FB,

ACEDBF,

ABDC,

ABBCDCBC,

ACDB，

ACDB，

在△AEC和△DFB中ACEDBF，

ECFB，

AEC≌DFB，

AD,

AE∥DF．

【中考模擬即學即練】

1．（2024·北京西城·二模）如圖，點C為線段AB的中點，BAMABN，點D,E分別在射線AM,BN上，

ACD與BCE均為銳角，若添加一個條件一定可以證明VACD≌VBCE，則這個條件不能是（）

A．ACDBCEB．CDCE

C．ADCBECD．ADBE

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪

一種方法，取決于題目中的已知條件．

由于ACBC，AB，則可根據全等三角形的判定方法可對各選項進行判斷．

【詳解】解：如圖：

點C為線段AB的中點，

ACBC，

AB，

A、當添加ACDBCE時，VACD≌VBCE(ASA)，故本選項不符合題意；

B、當添加CDCE時，不能確定VACD≌VBCE，故本選項符合題意；

C、當添加ADCBEC時，ACD≌BCEAAS，故本選項不符合題意；

D、當添加ADBE時，△ACD≌△BCE(SAS)，故本選項不符合題意．

故選：B．

2．（2024·黑龍江雞西·二模）如圖，已知ABDE，AD，請你添加一個條件（一個即可）：，

使△ABC≌△DEC．

【答案】ACBDCE(合理即可）

【分析】本題是開放性題目，考查了全等三角形的判定，由已知條件：ABDE，AD，再添加一組

角相等或ACDC即可證明全等．

【詳解】添加條件：ACBDCE；

證明：∵ABDE，AD，ACBDCE

∴△ABC≌△DECAAS，

故答案為：ACBDCE(合理即可）．

3．（22-23八年級上·福建福州·期中）如圖，ABAC，點D，E分別在AB與AC上，CD與BE相交于點F．只

填一個條件使得ABE≌ACD，添加的條件是：．

【答案】BC（答案不唯一）

【分析】本題主要考查的是全等三角形的判定定理，根據全等三角形的判定定理添加條件即可．

【詳解】添加的條件是：BC

∵BC，ABAC，AA

∴△ABE≌△ACDSAS

故答案為：BC（答案不唯一）．

4．（2024·北京·模擬預測）如圖，AD，BE是VABC的兩條高線，只需添加一個條件即可證明△AEB≌△BDA

（不添加其它字母及輔助線），（不添加其它字母及輔助線），這個條件可以是．（寫出

一個即可）

【答案】BDAE（答案不唯一）

【分析】本題考查了添加條件使三角形全等，添加BDAE，通過“HL”即可證明△AEB≌△BDA．熟練掌

握三角形全等的判定是解此題的關鍵．

【詳解】解：添加BDAE，

AD，BE是VABC的兩條高線，

BEAADB90，

在RtAEB和RtBDA中，

BDAE

，

ABBA

RtAEB≌RtBDAHL，

故答案為：BDAE（答案不唯一）．

5．（2024·河南安陽·模擬預測）如圖，在VABC和△ABD中，AD與BC相交于點O，BCAD，添加一個

條件可以證明ACBD．

(1)①12；②CADCBD；③OCOD；④CD，上面四個條件可以添加的是______（填序

號）．

(2)請你選擇一個條件給出證明．

【答案】(1)①③

(2)詳見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定：

（1）添加①或③，即可；

（2）添加①，根據等腰三角形的判定可得OAOB，從而得到OCOD，可證明AOC≌BOD，即可；

添加③，可得OAOB，可證明AOC≌BOD，即可．

【詳解】（1）解：上面四個條件可以添加的是①；

故答案為：①③

（2）若添加①12；

∵12，

∴OAOB，

∵BCAD，

∴OCOD，

在△AOC和BOD中，

∵OCOD，AOCBOD，OAOB，

∴AOC≌BODSAS，

∴ACBD；

若添加③OCOD；

∵BCAD，OCOD，

∴OAOB，

在△AOC和BOD中，

∵OCOD，AOCBOD，OAOB，

∴AOC≌BODSAS，

∴ACBD．

6．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，AE∥BF，AEBF．

若________，則ABCD．

請從①CE∥DF；②CEDF；③EF這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并

說明理由．

【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據平行線的性質得出AFBD,DECA，再由

全等三角形的判定和性質得出ACBD，結合圖形即可證明；②得不出相應的結論；③根據全等三角形的

判定得出AEC≌BFD(SAS)，結合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．

【詳解】解：選擇①CE∥DF；

∵AE∥BF，CE∥DF，

∴AFBD,DECA，

∵AEBF，

∴AEC≌BFD(AAS)，

∴ACBD，

∴ACBCBDBC，即ABCD；

選擇②CEDF；

無法證明△AEC≌△BFD，

無法得出ABCD；

選擇③EF；

∵AE∥BF，

∴AFBD，

∵AEBF，EF，

∴AEC≌BFDASA，

∴ACBD，

∴ACBCBDBC，即ABCD；

故答案為：①或③（答案不唯一）

7（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知ABCD，點E，F在線段BD上，且AFCE．

請從①BFDE；②BAFDCE；③AFCF中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得

△ABF≌△CDE．

你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．

添加條件后，請證明AECF．

【答案】①（或②）

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質及平行線的判定，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定

理與性質并靈活運用．利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解，再根據全等三角

形的性質及平行線的判定證明即可．

【詳解】解：可選?、倩颌冢ㄖ贿x一個即可），

證明：當選?、贂r，

在△ABF與CDE中，

ABCD

AFCE，

BFDE

ABF≌CDE(SSS)，

BD，

BFDE，

BFEFDEEF，

BEDF，

在ABE與VCDF中，

ABCD

BD，

BEDF

△ABE≌△CDF(SAS)，

AEBCFD，

AE∥CF；

證明：當選取②時，

在△ABF與CDE中，

ABCD

BAFDCE，

AFCE

△ABF≌△CDE(SAS)，

BD，BFDE，

BFEFDEEF，

BEDF，

在ABE與VCDF中，

ABCD

BD，

BEDF

△ABE≌△CDF(SAS)，

AEBCFD，

AE∥CF；

故答案為：①（或②）

題型三：全等三角的綜合問題

【中考母題學方法】

【典例1】（2024·山東·中考真題）【實踐課題】測量湖邊觀測點A和湖心島上鳥類棲息點P之間的距離

【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具

【實踐活動】某班甲小組根據湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點B．測量A，B兩點間的距離以及PAB

和PBA，測量三次取平均值，得到數據：AB60米，PAB79，PBA64．畫出示意圖，如圖

【問題解決】（1）計算A，P兩點間的距離．

（參考數據：sin640.90，sin790.98，cos790.19，sin370.60，tan370.75）

【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2，選擇合適的點D，E，F，使得A，D，E在同一條直線上，且ADDE，DEFDAP，當F，

D，P在同一條直線上時，只需測量EF即可．

（2）乙小組的方案用到了________．（填寫正確答案的序號）

①解直角三角形②三角形全等

【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據現場地形狀況選擇可實施的方案．

【答案】（1）A，P兩點間的距離為89.8米；（2）②

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質的應用，解直角三角形的應用，靈活應用知識點是解本題

的關鍵；

（1）如圖，過B作BHAP于H，先求解AHABcos79600.1911.4，

BHABsin79600.9858.8，再求解APB37及PH即可；

（2）由全等三角形的判定方法可得ADP≌EDFASA，可得APEF，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，過B作BHAP于H，

∵AB60米，PAB79，sin790.98，cos790.19，

∴AHABcos79600.1911.4，

BHABsin79600.9858.8，

∵PAB79，PBA64，

∴APB180796437，

BH

∴tanAPBtan370.75，

PH

58.8

∴PH78.4，

0.75

∴APAHPH11.478.489.8（米）；

即A，P兩點間的距離為89.8米；

（2）∵ADDE，DEFDAP，當F，D，P在同一條直線上時，

∴ADPEDF，

∴ADP≌EFDASA，

∴APEF，

∴只需測量EF即可得到AP長度；

∴乙小組的方案用到了②；

【典例2】（2024·重慶·中考真題）在VABC中，ABAC，點D是BC邊上一點（點D不與端點重合）．點D

關于直線AB的對稱點為點E，連接AD,DE．在直線AD上取一點F，使EFDBAC，直線EF與直線

AC交于點G．

(1)如圖1，若BAC60,BDCD,BAD，求AGE的度數（用含的代數式表示）；

(2)如圖1，若BAC60,BDCD，用等式表示線段CG與DE之間的數量關系，并證明；

(3)如圖2，若BAC90，點D從點B移動到點C的過程中，連接AE，當△AEG為等腰三角形時，請直

CG

接寫出此時的值．

AG

【答案】(1)60

2

(2)CG3DE

3

3135

(3)或

22

【分析】（1）由三角形內角和定理及外角定理結合EFDBAC即可求解；

（2）在CG上截取CMBD，連接BM,BE，BM交AD于點H，連接BE,AE，先證明，再證明四邊形EBMG

是平行四邊形，可得CG2BD，記AB與DE的交點為點N，則由軸對稱可知：DEAB，NEND，再

解Rt△BND即可；

（3）連接BE，記AB與DE的交點為點N，由軸對稱知EABDAB，DEAB，NEND，

EBADBA45，當點G在邊AC上時，由于EAG90，當△AEG為等腰三角形時，只能是AEAG，

同（1）方法得BAD，AGE，Rt△AFG中，290，解得30，然后AFx，解直角

三角形，表示出AG2x，CG31x，即可求解；當點G在CA延長線上時，只能是GEGA，設

BADBAE，在RtAFE中，90180290，解得60，設GFx，解直角三角形求

出CG53x，即可求解．

【詳解】（1）解：如圖，

∵EFDBAC，BAC60，

∴EFD60

∵EFD1BAD1，

∴160，

∵AGE1BAC180，

∴AGE1806011201，

∴AGE1206060；

2

（2）解：CG3DE，

3

在CG上截取CMBD，連接BM,BE,AE，BM交AD于點H，

∵ABAC,BAC60，

∴VBCA為等邊三角形，

∴ABCC60,BCAB，

∴△ABD≌△BCM，

∴3=4，

∵AHM35，

∴AHM4560，

∵EFDBAC60，

∴AHMEFD，

∴EG∥BM，

∵點D關于直線AB的對稱點為點E，

∴AEAD,BEBD,ABEABC60，

∴EBC120，

∴EBCC180，

∴EB∥AC，

∴四邊形EBMG是平行四邊形，

∴BEGM，

∴BEGMBDCM，

∴CG2BD，

記AB與DE的交點為點N，

則由軸對稱可知：DEAB，NEND，

3

∴RtDNB中，DNBDsinABCBD，

2

∴DE2DN3BD，

CG2BD2

∴3，

DE3BD3

2

∴CG3DE；

3

（3）解：連接BE，記AB與DE的交點為點N，

∵ABAC,EFDBAC90，

∴ABC45，

由軸對稱知EABDAB,EBADBA45,DEAB,NEND，

當點G在邊AC上時，由于EAG90，

∴當△AEG為等腰三角形時，只能是AEAG，

同（1）方法得BAD，AGE，

∴EAB，

∴EAD2，

∵AEAG,EGAD，

∴FAGEAD2，

∴Rt△AFG中，290，解得30，

∴EAD60，而AEAD，

∴△AED為等邊三角形，

∴AEED，

設AFx，

∵EAD60，

AF

∴AGAEED2x，

cos60

∴DNx，

DN

∴在Rt△DAN中，AN3DN3x，

tanDAB

∵DEAB,ABC45，

DN

∴BNDNx，

tan45

∴ACAB3xx，

∴CGACAG3xx2x31x，

CG31

∴；

AG2

當點G在CA延長線上時，只能是GEGA，如圖：

設BADBAE，

∴DACGAF90，EAF1802，

∴GAEEAFGAF90，

∵GEGA，

∴GAEGEA90，

∵EFDBAC90

∴在RtAFE中，90180290，

解得60，

∴DAC906030GAF，

設GFx，則AGGE2x，AF3x，

在Rt△EFA中，EF2xx3x，由勾股定理求得AE23x，

在Rt△EAN中，ANAEcos603x，ENDNBNAEsin603x，

∴ABAC3x3x，

∴CGAGAC53x，

CG35

∴，

AG2

CG3531

綜上所述：或．

AG22

【點睛】本題考查了三角形的內角和，外角定理，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，

解直角三角形，等腰三角形的分類討論，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是

解題的關鍵．

【變式3-1】（2023·湖南岳陽·一模）如圖，在VABC中，ABAC，D、E是BC邊上的點．請從以下三個

條件：①BDCE；②BC；③BADCAE中，選擇一個合適的作為已知條件，使得ADAE．

(1)你添加的條件是______（填序號）；

(2)添加了條件后，請證明ADAE．

【答案】(1)①（答案不唯一）

(2)見解析

【分析】（1）利用全等三角形的判定定理進行分析，選取合適的條件進行求解即可；

（2）結合（1）進行求解即可．

【詳解】（1）解：可選取①或③（只選一個即可），

故答案為：①（答案不唯一）；

（2）證明：當選?、贂r，

ABAC，

BC，

在△ABD與△ACE中，

ABAC

BC，

BDCE

△ABD≌△ACESAS，

ADAE；

當選?、蹠r，

ABAC，

BC，

在△ABD與△ACE中，

BADCAE

ABAC，

BC

ABD≌ACEASA，

ADAE．

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，解答的關鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質并靈活

運用．

【變式3-2】（2024九年級下·全國·專題練習）如圖，在VABC和DEF中，點A、E、B、D在同一條直線

上，AC∥DF，ACDF，只添加一個條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（）

A．AEDBB．CFC．BCEFD．ABCDEF

【答案】C

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，先證明AD，再根據三角形全等的判定方法做出選擇即

可．

【詳解】解：∵AC∥DF，

∴AD，

A、∵AE＝DB，AD，ACDF，∴AEEBDBEB，∴ABC≌DEFSAS，該選項不符合題意；

B、∵CF，ACDF，AD，∴ABC≌DEFASA，該選項不符合題意；

C、BCEF，AD，ACDF不能判斷△ABC≌△DEF，該選項符合題意；

D、∵ABCDEF，AD，ACDF，∴ABC≌DEFAAS，該選項不符合題意．

故選：C．

【變式3-2】（2024·四川南充·模擬預測）如圖，在VABC中，ACB90，CAB35，將VABC沿AB邊

所在直線翻折得△ABC，連接CC交AB于點D，則BCC的度數為（）

A．35B．45C．55D．65

【答案】A

【分析】本題考查由翻折，全等三角形的性質，由翻折得到ABC≌ABC，ABCC即可得到BCBC，

ABCABC，ACBACB90，然后根據余角的性質得到BCCCAB90ACC35即

可．

【詳解】∵將VABC沿AB邊所在直線翻折得△ABC，

∴ABC≌ABC，ABCC，

∴BCBC，BDCACB90，CABCAB35，

∴BCCCAB90ACC35，

故選：A．

【變式3-3】（2023·四川成都·二模）如圖，OB是AOC內的一條射線，D、E、F分別是射線OA、射線OB、

射線OC上的點，D、E、F都不與O點重合，連接ED、EF，添加下列條件，能判定DOE≌FOE的是（）

A．DOEEOF，ODEOEFB．ODOF，EDOA，EFOC

C．DEOF，ODEOFED．ODOF，ODEOFE

【答案】B

【分析】運用全等三角形的判定方法逐項判定即可．

【詳解】解：A.DOEEOF，ODEOEF不符合對應邊、對應角相等，故不能證明DOE≌FOE，

故不符合題意；

B.ODOF，EDOA，EFOC，運用HL可證DOE≌FOE，故符合題意；

C.DEOF，ODEOFE不符合對應邊、對應角相等，故不能證明DOE≌FOE，故不符合題意；

D.ODOF，ODEOFE再加上隱含條件OEOE,運用SSA不能證得DOE≌FOE，故不符合題

意．

故選B．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，知道SSA不能判定三角形全等是解答本題的關鍵．

【變式3-4】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，C90，BAC的平分線交BC于點D，

過點D作DEAB于點E．

(1)求證：ACAE；

(2)若AC4，BC3，求CD的長．

【答案】(1)證明見解析；

4

(2)CD的長為．

3

【分析】（1）根據角平分線的性質得到DECD，再證明Rt△ACD≌Rt△AED即可得到ACAE；

（2）根據勾股定理求得AB5，設CDx，則DECDx，BD3x，再應用勾股定理即可求解．

本題考查了解平分線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．

【詳解】（1）解：BD是BAC的角平分線，C90，DEAB，

∴DECD，

DECD

∵，

ADAD

∴RtACD≌RtAEDHL，

∴ACAE；

（2）解：∵C90，AC4，BC3，ACAE，

∴ABAC2BC242325，AEAC4，

∴BEABAE1，

設CDx，則DECDx，BD3x，

在RtBED中，DE2BE2BD2，

2

即x2123x，

4

解得：x，

3

4

∴CD的長為．

3

【變式3-5】（2024·浙江寧波·三模）如圖，在66的方格紙中，有VABC，僅用無刻度的直尺，分別按要求

作圖：

(1)在圖1中，找到一格點D，使VABC與ACD全等；

(2)在圖2中，在BC上找一點E，使得SABE:SACE2:3．

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查作圖—應用與設計作圖，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，

解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．

（1）構造平行四邊形ABCD即可；

（2）取格點P，Q，連接PQ交BC于點E，連接AE即可（利用相似三角形的性質PCE∽QBE,證

明:BE:ECBQ:PC2:3）．

【詳解】（1）解：如圖1中，點D即為所求；

（2）如圖2中，點E即為所求．

【中考模擬即學即練】

1．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，

其中射線OP為AOB的平分線的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，中垂線的性質

和判定，根據作圖痕跡，逐一進行判斷即可．

【詳解】解：第一個圖為尺規作角平分線的方法，OP為AOB的平分線；

第二個圖，由作圖可知：OCOD,OAOB，

∴ACBD，

∵AODBOC，

∴△AOD≌△BOC，

∴OADOBC，

∵ACBD，BPDAPC，

∴BPD≌APC，

∴APBP，

∵OAOB,OPOP，

∴△AOP≌△BOP，

∴AOPBOP，

∴OP為AOB的平分線；

第三個圖，由作圖可知ACPAOB,OCCP，

∴CP∥BO，COPCPO，

∴DCPO=DBOP

∴COPBOP，

∴OP為AOB的平分線；

第四個圖，由作圖可知：OPCD，OCOD，

∴OP為AOB的平分線；

故選D．

2．（2024·湖南·模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，線段CD繞點C逆時針旋轉到CE處，旋轉角為，

點F在直線DE上，且ADAF，連接BF．

(1)如圖1，當090時，求證：EF2BF．

(2)如圖2，取線段EF的中點G，連接AG，已知AB2，請直接寫出在線段CE旋轉過程中（0360）

△ADG面積的最大值．

【答案】(1)見解析

(2)△ADG面積的最大值為12

【分析】（1）連接BE，計算得到BCE90BAF，利用SAS證明△BCE≌△BAF，推出EBF是等

腰直角三角形，據此即可證明EF2BF；

（2）過點G作AD的垂直，交直線AD于點H，連接AC，BD相交于點，連接OG，利用直角三角形的性

質推出點G在以點O為圓心，OB為半徑的一段弧上，得到當點H、O、G在同一直線上時，GH有最大值，

則ADG面積的最大值，據此求解即可．

【詳解】（1）解：連接BE．

DCE，

BCE90BAF，

CDCEADAFBC，

BCE≌BAFSAS，

BFBE，ABFCBE．

ABC90，

EBF90

EBF是等腰直角三角形，

EF2BF；

（2）解：過點G作AD的垂線，交直線AD于點H，連接AC，BD相交于點，O，連接OG，

由（1）得EBF是等腰直角三角形，又點G為斜邊EF的中點，

BGEF，即BGD90，

四邊形ABCD是正方形，

OBOD．

OBODOG，

點G在以點O為圓心，OB為半徑的一段弧上，

當點H、O、G在同一直線上時，GH有最大值，則ADG面積的最大值，

11111

GHABOGABBD22212．

22222

1

ADG面積的最大值為ADGH12．

2

【點睛】本題考查的是正方形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、

直角三角形的性質、勾股定理，掌握相關的判定定理和性質定理是解題的關鍵．

k

3．（2024·湖北·一模）如圖，一次函數ykxbk0的圖象與反比例函數y2k0的圖象在第一

1112x2

象限內交于點A，與y軸交于點C，與x軸交于點B，C為AB的中點，SVAOC4．

(1)求k2的值；

(2)當OB2，y1y20時，求x的取值范圍．

【答案】(1)k216

(2)x2

【分析】本題考查反比例函數的圖象與性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識

解決問題，

（1）過點A作y軸的垂線，垂足為D，證明VADC≌V