專題19立體幾何初步（II）（七大題型+模擬精練）

題型歸納

目錄：

?題型01平面的基本性質

?題型02空間共點、共線、共面等問題

?題型03異面直線

?題型04空間直線與平面的位置關系

?題型05空間平面與平面的位置關系

?題型06空間中的角、距離問題綜合

?題型07空間中動點、旋轉、翻折等動態問題

?題型01平面的基本性質

1.下列說法正確的是（）

A.若直線/,加,〃兩兩相交，則直線/,機,“共面

B.若直線/，加與平面a所成的角相等，則直線。加互相平行

C.若平面1上有三個不共線的點到平面廣的距離相等，則平面&與平面廣平行

D.若不共面的4個點到平面。的距離相等，則這樣的平面。有且只有7個

2.下列說法正確的是（）

A.四邊形確定一個平面

B.如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內

C.經過三點確定一個平面

D.經過一條直線和一個點確定一個平面

3.已知見夕是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（）

A.若=且則/e/

B.若4民。是平面a內不共線三點，A/BEB,貝

C.若直線aua,直線6u/7,則。與6為異面直線

D.若/ea且Bea,則直線48ua

4.下列結論正確的是（）

A.兩個平面a,6有一個公共點N,就說a,6相交于過/點的任意一條直線.

B.兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.

C.如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

D.若直線。不平行于平面a,且aCa,則a內的所有直線與。異面.

?題型02空間共點、共線、共面等問題

5.已知互不重合的三個平面a、夕、y,其中ac/=a,6rlz=6,yC\a=c,且=尸，則下列結論一

定成立的是（）

A.b與c是異面直線B.。與c沒有公共點

C.bileD.bC\c=P

6.如圖，在三棱柱”c-48c中，瓦凡G,H分別為期,cq,/￡，4G的中點，則下列說法錯誤的是

()

A.E,尸,G,"四點共面B.EFIIGH

C.EG,FH,三線共點D.NEGB\=NFHC1

?題型03異面直線

7.設加，”是兩條不同的直線，夕,￡是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）

A.若加〃a,”//a,則機〃"B.若mlIn,tn!la,則"〃a

C.若機ua,〃u〃，則機,7?是異面直線D.若1//￡,加ua,〃u尸，則m〃〃或加，〃是異面直線

8.已知四邊形48。是矩形，尸/_L平面/BCL>,48=1,BC=2,尸4=2,￡為BC的中點，則異面直線4E?與尸。

所成的角為（）

9.已知圓錐S。的母線長為6,48是底面圓的直徑，C為底面圓周上一點，ZAOC=120°,當圓錐SO的體

積最大時，直線/C和S8所成角的余弦值為（）

A.旦B."C.在D.旦

2354

10.直線/與平面￡成角為30。,點P為平面1外的一點，過點P與平面成角為60。，且與直線/所成角為50。

的直線有（）

A.0條B.1條C.2條D.4條

?題型04空間直線與平面的位置關系

11.若加，力為兩條直線，。為一個平面，則下列結論中正確的是（）

A.若加//a,〃ua,則加〃"B.若機//a,nlla,則加//"

C.若加//a,?±（z,則S_L〃D.若n±a,則加與"相交

12.如圖，己知四棱錐P-48czl中，平面尸40_L平面/BCD,/ADC=90°,AD=2BC=2CD=4,

8C///D,￡,尸分別為的中點.

⑴求證：昉〃平面P4D；

（2）若側面P4D為等邊三角形，求四面體3-C斯的體積.

13.如圖，在四棱錐尸一48CD中，底面48CD是菱形，/氏4。=120。，48=2,/CplAD=O,P。_L底面

ABCD,點￡在棱上.

⑴求證：/C_L平面PAD；

（2）若。尸=2,點E為尸。的中點，求二面角尸一/C-E的余弦值.

14.如圖，在四棱錐E-A8co中，￡(3，平面/88,/3〃。。4/。。為等邊三角形,

DC=2/B=2,C3=CE,點尸為棱8E上的動點.

(1)證明：OCL平面8CE；

(2)當二面角尸-的大小為45。時，求線段CF的長度.

?題型05空間平面與平面的位置關系

15.已知兩條直線正,"和三個平面a,P，y,下列命題正確的是()

A.若〃?||a,m\\/3,則a〃Q

B.若a_L￡,?±y,則〃〃7

C.若c_Ly,/?!/,a[\p=m,則%_L/

D.若nuy,n〃a,力”，a^(3=m,貝1]加〃/

16.如圖，已知四棱錐P-4SCD中，底面NBCD為平行四邊形，點M,N,Q分別在上.

⑺若PM:MA=BN:ND=PQ:QD,求證：平面平面尸BC；

(2)若點。滿足尸。:8=2:1,則點M滿足什么條件時，3M〃平面/QC?并證明你的結論.

TT

17.如圖，在四棱錐P-48CD中，PA=3,AB=2,四邊形/BCD為菱形，ZABC=-,尸/_L平面

ABCD,E,F,。分別是2C,PC,尸。的中點.

⑴證明：平面斯。〃平面「48；

(2)求二面角A-EF-Q的正弦值.

18.如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個圓柱組合而成，與￡為半個圓柱上底面的直徑,

/ACB=90°,NC=8C=2,點E,尸分別為/C,48的中點，點。為而的中點.

⑴證明：平面BCD//平面GE尸；

(2)若尸是線段G尸上一個動點，當CC=2時，求直線4尸與平面BCD所成角的正弦值的最大值.

?題型06空間中的角、距離問題綜合

19.在平行六面體/BCD-44GA中，已知/8=/。=44]=1,NA/B=N&AD=NBAD=60。,則下列選

項中錯誤的一項是()

A.直線4c與2。所成的角為90。

B.線段4c的長度為亞

C.直線4c與34所成的角為90。

D.直線4。與平面N3CD所成角的正弦值為逅

3

20.在四棱錐尸-48CD中，AP4D為等邊三角形，四邊形/BCD為矩形，旦AB=GBC，平面P4D_L平面

ABCD,則直線NC與平面PCD所成角的正弦值為（）

21.已知棱長為1的正方體N8CD-/百分別是和5c的中點，則跖V到平面4G。的距離為

()

D.如

AB-T

-T2

22.在四面體N3CP中，平面/3C1平面P/C,△尸/C是直角三角形，P4=PC=4,AB=BC=3,則二

面角力-尸C-8的正切值為

?題型07空間中動點、旋轉、翻折等動態問題

23.若將正方體43。-44GA繞著棱旋轉30。后,CD所在位置為C力的位置,則直線臺4和平面。C'

所成的角為.

2兀

24.邊長都是為1的正方形/3。和正方形/BE尸所在的兩個半平面所成的二面角為三，P、。分別是對

角線NC、8尸上的動點，且4P=F0,則P。的取值范圍是（）

A.（?]B.g,揚C.g,偽D.停刀

25.如圖，AB1/CD,CD!!EF,AB=DE=EF=CF=1,CD=4,AD=BC=屈,=為。的

中點.

(1)證明：￡〃//平面3(7/；

(2)求點M至IJ4DE的距離.

26.已知棱長為1的正方體”C。-48GA內有一個動點M,滿足M4="A，且兒必=1,則四棱錐

M-ADD}AX體積的最小值為.

27.如圖1,在矩形/BCD中，點E在邊。上，BC=DE=2EC=2,將沿/E進行翻折，翻折后。

點到達尸點位置，且滿足平面尸平面/8CE,如圖2.

-------------4A-------------------耳

圖1圖2

⑴若點尸在棱尸/上，P8A平面CEb=G,求證：CE//FG；

(2)求點E到平面PAB的距離.

28.在正方體N8C。-4片中，點尸為線段8,上的動點,直線加為平面與平面8cp的交線，現

有如下說法

①不存在點P,使得BBJI平面ARP

②存在點尸，使得用尸，平面4。尸

③當點尸不是8功的中點時，都有加〃平面4qC7)

④當點尸不是的中點時，都有俏平面

其中正確的說法有()

5

C.②③D.①④

一、單選題

1.（2024?西藏?模擬預測）已知4，4，/是三條不同的直線，a,〃是兩個不同的平面，且《ua,

l2u/3,設甲：1.//1,乙：則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?安徽蕪湖?三模）下列說法正確的是（）

A.正方體各面所在平面將空間分成27個部分

B.過平面外一點，有且僅有一條直線與這個平面平行

C.若空間中四條不同的直線乙，/，。滿足則4，乙

D.若私〃為異面直線，加，平面a,77,平面戶，且。與月相交，若直線/滿足貝心必平行于

a和尸的交線

3.（2024?山東濟南?二模）已知正方體NBCD-44G2，M,N分別是4。,。啰的中點，貝|（）

A.A、D"D、B,MN”平面ABCD

B.&D//D[B,MN工平面BBRD

C.40，〃2,小〃平面48CD

D_〃5,MV_L平面BBQD

4.（2024?陜西商洛?模擬預測）如圖，四邊形/BCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A,8的一點,

則下面結論中錯誤的是（）

A.AEICE

B.2C7/平面4DE

C.平面ZOE_L平面BCE

D.DE/平面BCE

5.（2024?陜西商洛?模擬預測）如圖，正三棱柱43C-44。的底面邊長是2,側棱長是26，M為4G的

中點，N是側面8CG4內的動點，且兒W〃平面/2G，則點N的軌跡的長度為（）

C.亞D.4

6.（2024?遼寧?三模）如圖，已知正四面體。-/8C（所有棱長均相等的三棱錐），P,Q,R分別為

BC,C4上的點，AP=PB,黑=粵=2,分別記二面角。-尸R-。，D-PQ-R,。-。五一尸的平面角為

（JCKA

。，4，7,則（）

A.y<a</3B.a<y</3

C.a<p<YD.(3<y<a

7.（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖所示是一個以42為直徑，點S為圓心的半圓，其半徑為4,尸為線段/S

的中點，其中C,D,E是半圓圓周上的三個點，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該半圓圍

成一個以S為頂點的圓錐的側面，則在該圓錐中下列結果正確的是（）

A.為正三角形B.“，平面C￡尸

C.〃平面CEFD.點。到平面CE戶的距離為26

8.（2024?浙江紹興?二模）在邊長為4的正三角形48c中，E,廠分別是N8,NC的中點，將△/￡尸沿著EF

翻折至△HM,使得則四棱錐的外接球的表面積是（）

A.8兀B.12KC.16兀D.32兀

二、多選題

9.（2024?湖南衡陽?三模）設。，尸是兩個不同的平面，m,〃是兩條不同的直線，則下列結論正確的是

（）

A.若加_La,m上。,貝ija〃g

B.若a〃尸，mua,〃u￡,則切〃〃

C.若〃〃a,m-Ln,則加_La

D.若i_L4，mLa,nV（3,則加_L〃

10.（2024?貴州六盤水,三模）（多選）如圖，在棱長為1的正方體力BCD-44GA中，點尸是線段4。上

A.的面積為e

2

B.三棱錐4-P8G的體積為9

6

C.存在點P,使得

D.存在點P,使得4。J?平面尸8a

11.（2024.山東泰安?模擬預測）如圖,在五邊形ABCDE中，四邊形ABCE為正方形，CD工DE,CD=DE=逝，

廠為中點，現將ANBE沿8E折起到面4族位置，使得則下列結論正確的是（）

A.平面2CDE_L平面4臺￡

B.若。為BE的中點，則。E〃平面尸0c

C.折起過程中，尸點的軌跡長度為:

D.三棱錐4-CDE的外接球的體積為逐兀

三、填空題

12.（2024?福建泉州?模擬預測）若將正方體/BCD-繞著棱旋轉30。后，CD所在位置為C力'的

位置，則直線網和平面CDC'所成的角為.

13.（2023?廣西?模擬預測）如圖，已知在矩形48CD和矩形NBE尸中，4B=2,AD=AF=\,且二面角

C-4B-F為60。,則異面直線AC與BF所成角的正弦值為.

14.（2024?山東?模擬預測）如圖，正方形A8CD和矩形48E尸所在的平面互相垂直，點尸在正方形/BCD及

其內部運動，點。在矩形/BE尸及其內部運動.設48=2,AF=6，若P4上尸E,當四面體B4QK體積最

大時，則該四面體的內切球半徑為.

四、解答題

15.（2024?浙江?模擬預測）如圖，已知正三棱柱/3。-43?,/3=7144，。，￡分別為棱4綜8。的中點.

8

（1）求證：48,平面/CQ；

⑵求二面角A-QD-E的正弦值.

16.（2022?全國?模擬預測）已知四棱錐S-/BCD的底面為正方形，其中點S在平面48CD上的投影為D,

點M在線段S3上.

⑴求證：平面M4c，平面（SD3；

（2）若S3與平面N8CD所成角為45。，求二面角C-BS-D的余弦值.

17.（23-24高三上?山東棗莊?期末）如圖，直四棱柱NBC。-的底面為平行四邊形，分別為

/民。。的中