PAGEPAGE1熱點(八)平面對量1．(平面對量基本定理)設D為△ABC的邊BC的延長線上一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案：C解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選C.2．(向量共線的坐標表示)已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，則x＝()A．9B．6C．5D．3答案：B解析：因為向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)且a∥b，所以4×3＝2x，x＝6，故選B.3．(向量的模)已知|a|＝1，|b|＝2，a＝λb，λ∈R，則|a－b|等于()A．1B．3C．1或3D．|λ|答案：C解析：由a＝λb可知a∥b，即a與b的夾角為0或π，|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cos0＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|＝1＋4－4＝1，或|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cosπ＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|＝1＋4＋4＝9，∴|a－b|＝1或3，故選C.4．(數量積的應用)設向量a＝(1，cosθ)與b＝(－1,2cosθ)垂直，則cos2θ等于()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C．－1D．0答案：D解析：向量a＝(1，cosθ)與b＝(－1,2cosθ)垂直，可得2cos2θ－1＝0，故cos2θ＝2cos2θ－1＝0，故選D.5．(向量的線性運算)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案：D解析：在△ABD中，BD＝eq\f(1,2)AB＝1.又BC＝3，所以BD＝eq\f(1,3)BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).∵O為AD的中點，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，∴λ＋μ＝eq\f(2,3)，故選D.6．(共線定理的推廣＋角平分線性質)在△AOB中，G為AB邊上一點，OG是∠AOB的平分線，且eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))，m∈R，則eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))|,|\o(OB,\s\up6(→))|)＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案：C解析：如圖所示，△AOB中，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))，由平面對量的基本定理得eq\f(2,5)＋m＝1，解得m＝eq\f(3,5)，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\f(|\o(AG,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(|\o(BG,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,5)，又OG是∠AOB的平分線，∴eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))|,|\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AG,\s\up6(→))|,|\o(BG,\s\up6(→))|)，∴eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))|,|\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,2).故選C.7．(向量的夾角)已知向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝eq\r(3)，|b|＝1，則向量b與a－b的夾角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(5π,6)答案：B解析：因為|a＋b|＝|a－b|，所以a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·因此cos〈b，a－b〉＝eq\f(b·a－b,|b||a－b|)＝eq\f(－b2,\r(b2)\r(a－b2))＝－eq\f(|b|,\r(a2＋b2))＝－eq\f(1,2).所以向量b與a－b的夾角為eq\f(2π,3)，故選B.8．(數量積的應用)已知向量a＝(eq\r(2)，－eq\r(2))，b＝(cosα，sinα)，則|a－b|的最大值為()A．1B.eq\r(5)C．3D．9答案：C解析：因為|a－b|＝eq\r(\r(2)－cosα2＋－\r(2)－sinα2)＝eq\r(5＋2\r(2)sinα－cosα)＝eq\r(5＋4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))，所以當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝1時，|a－b|取得最大值，最大值為eq\r(5＋4)＝3，故選C.9．(數量積的應用)在△ABC中，設|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，則動點M的軌跡必通過△ABC的()A．垂心B．內心C．重心D．外心答案：D解析：|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→)))＝0?eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝0，設E為BC的中心，則eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(ME,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·2eq\o(ME,\s\up6(→))＝0?eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(ME,\s\up6(→))?ME為BC的垂直平分線，∴M的軌跡必過△ABC的外心，故選D.10．(向量運算與函數)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，若點E為邊CD上的動點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))的最小值為()A.eq\f(21,16)B.eq\f(3,2)C.eq\f(25,16)D．3答案：A解析：連接BD，AC，由AB⊥BC，AD⊥CD，得∠BCD＝60°，易證△ACD≌△ACB，所以CD＝BC，所以△BCD為等邊三角形，易知BD＝eq\r(3).設eq\o(DE,\s\up6(→))＝teq\o(DC,\s\up6(→))(0≤t≤1)，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))·(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋eq\o(DE,\s\up6(→))2＝eq\f(3,2)＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))2＝3t2－eq\f(3,2)t＋eq\f(3,2)(0≤t≤1)．所以當t＝eq\f(1,4)時，上式取得最大值eq\f(21,16)，故選A.11．(數量積的定義)在正三角形ABC中，AB＝2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))，且AD與BE相交于點O，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,4)C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(1,2)答案：B解析：如圖．因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以D是BC的中點，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，設eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，λ>0，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)λeq\o(AC,\s\up6(→))，因為B，O，E三點共線，所以存在實數μ，使得eq\o(AO,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－μ)eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(1－μ)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＝μ，,\f(1,2)λ＝\f(1,3)1－μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,4)，))所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AC,\s\up6(→))))＝－eq\f(3,16)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,16)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝－eq\f(3,16)×22－eq\f(1,8)×2×2×cos60°＋eq\f(1,16)×22＝－eq\f(3,4)，故選B.12．[2024·浙江卷](向量的綜合應用)已知a，b，e是平面對量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為eq\f(π,3)，向量b滿意b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是()A.eq\r(3)－1B.eq\r(3)＋1C．2D．2－eq\r(3)答案：A解析：解法一∵b2－4e·b＋3＝0，∴(b－2e)2＝1，∴|b－2e|＝1.如圖所示，把a，b，e的起點作為公共點O，以O為原點，向量e所在直線為x軸，則b的終點在以點(2,0)為圓心，半徑為1的圓上，|a－b|就是線段AB的長度．要求|AB|的最小值，就是求圓上動點到定直線的距離的最小值，也就是圓心M到直線OA的距離減去圓的半徑長，因此|a－b|的最小值為eq\r(3)－1.故選A.解法二設O為坐標原點，a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點B的軌跡是以C(2,0)為圓心，1為半徑的圓．因為a與e的夾角為eq\f(π,3)，所以不妨令點A在射線y＝eq\r(3)x(x>0)上，如圖，數形結合可知|a－b|min＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)－1.故選A.解法三由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.設b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，e＝eq\o(OE,\s\up6(→))，3e＝eq\o(OF,\s\up6(→))，所以b－e＝eq\o(EB,\s\up6(→))，b－3e＝eq\o(FB,\s\up6(→))，所以eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0，取EF的中點為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖．設a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，作射線OA，使得∠AOE＝eq\f(π,3)，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(BC,\s\up6(→))|≥eq\r(3)－1.故選A.13．(向量的模)已知向量a，b滿意a＝(1，－1)，a＋b＝(3,1)，則|b|＝________.答案：2eq\r(2)解析：依題意b＝(a＋b)－a＝(3,1)－(1，－1)＝(2,2)，故|b|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).14．(數量積)設a，b是相互垂直的單位向量，且(λa＋b)⊥(a＋2b)，則實數λ的值是________．答案：－2解析：依題意，有|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，又(λa＋b)⊥(a＋2b)，所以(λa＋b)·(a＋2b)＝