PAGEPAGE19北京市第四中學2025屆高三數學調研卷（二）文（含解析）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，，，那么等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合B，然后進行補集、交集的運算即可．【詳解】由題得或，，.故選：C【點睛】本題主要考查集合的補集和交集運算，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平和分析推理實力.2.在復平面內，復數對應的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由題意可得：z=2【詳解】由題意可得：z=則復數z對應的點為2,?本題選擇D選項.【點睛】本題主要考查復數的運算法則，各個象限內復數的特征等學問，意在考查學生的轉化實力和計算求解實力.3.已知曲線C1:yA.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移π3B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π3C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移πD.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π【答案】C【解析】【分析】干脆利用三角函數圖像的平移變換和伸縮變換的應用求出結果．【詳解】對于選項A,把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移π3個單位長度，得到曲線對于選項B,把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π3個單位長度，得到曲線對于選項C,曲線C1:y=sinx，把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，得到對于選項D,把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π3故選：C【點睛】本題考查三角函數圖像的平移變換和伸縮變換的應用，主要考查學生的運算實力和轉化實力，屬于基礎題型．4.某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產方式，其次組工人用其次種生產方式．依據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪制了如圖莖葉圖：則下列結論中表述不正確的是()A.第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所須要的時間至少80分鐘B.其次種生產方式比第一種生產方式的效率更高C.這40名工人完成任務所需時間的中位數為80D.無論哪種生產方式的工人完成生產任務平均所須要的時間都是80分鐘．【答案】D【解析】【分析】依據莖葉圖統計數據、求平均數、求中位數，再依據結果作選擇.【詳解】第一種生產方式的工人中，完成生產任務所須要的時間至少80分鐘有15人,占1520第一種生產方式的中，完成生產任務所須要的平均時間為68+其次種生產方式的中，完成生產任務所須要的平均時間為65=74.7這40名工人完成任務所需時間從小到大排列得中間兩數為79，81所以D錯誤.選D.【點睛】本題考查莖葉圖，考查基本分析求解實力.屬基本題.5.一個棱長為2的正方體被一個平面截去部分后，余下部分的三視圖如圖所示，則截去部分與剩余部分體積的比為A.1：3 B.1：4 C.1：5 D.1：【答案】A【解析】【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數據求解幾何體的體積即可．【詳解】解：由題意可知：幾何體被平面ABCD平面分為上下兩部分，設正方體的棱長為2，上部棱柱的體積為：12下部為：2×2×故選：A．【點睛】本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關系，棱柱的體積的求法，考查計算實力.6.若m,n是兩條不同的直線，A.若α⊥β,m⊥β，則C.若m⊥α,n//【答案】D【解析】【分析】在A中，則m//α或m?α；在B中，則n與α相交、平行或n?α；在C【詳解】由m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，知：在A中，若α⊥β，m⊥β，則m/在B中，若m//α，n⊥m，則n與α在C中，若m⊥α，n//β，m⊥n在D中，若m//β，m?α，α故選：D【點睛】本題考查命題真假的推斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎學問，考查空間想象實力，是中檔題．7.《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨意投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是（）A.2π15； B.3π20； C.【答案】C【解析】【分析】求出內切圓半徑，計算內切圓和三角形的面積，從而得出答案．【詳解】直角三角形的斜邊長為52設內切圓的半徑為，則5?r+∴內切圓的面積為πr∴豆子落在內切圓外部的概率P=故選：C【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率計算，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平和分析推理實力.8.若函數fx在其圖象上存在不同的兩點Ax1,y1,Bx2,y2其中為“柯西函數”的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由柯西不等式得對隨意的實數x1，x當且僅當x1x2=y1y2【詳解】由柯西不等式得對隨意的實數x1，x當且僅當x1x2結合“柯西函數”定義可知，f(x)是柯西函數?f(x)的圖像上存在兩點A與B，使得A,O,B三點共線?過原點直線與f(x)有兩個交點.①fx=x+1xx②fx=lnx0<③fx=c故選：B【點睛】本題主要考查柯西不等式，考查學生對新概念的理解和應用，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平和分析推理實力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分．9.曲線fx=xex【答案】x【解析】【分析】本題首先可以求出曲線f(x)=xex【詳解】因為曲線f(x將x=0帶入曲線中可得f(所以曲線f(x)=xex【點睛】本題考查了曲線的某一點處的切線方程的求法，首先可以依據曲線方程計算出切點坐標，然后依據曲線的導函數計算出切線斜率，最終依據點斜式方程即可得出切線方程，考查計算實力，考查對導數的理解，是簡潔題。10.若變量x,y滿意則目標函數x?【答案】28【解析】【分析】本題首先可以通過不等式組在平面直角坐標系上畫出可行域，然后將目標函數化為直線方程的斜截式，通過數形結合即可得出最優解，最終帶入目標函數中即可得出結果。【詳解】如圖所示，依據不等式組x-y+2≥0,x+y-2≥0,3x【點睛】本題主要考查簡潔線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算實力，屬于基礎題。11.將數列3，6，9，……依據如下規律排列，記第m行的第n個數為am,n，如a3,【答案】44【解析】【分析】本題首先可以通過數列3、6、9?來確定2024是數列的第673【詳解】由題意可知，數列3、6、9?令數列3、6、9?為數列{bn}，則有再由圖可知：前1列共有1個數；前2列共有1+前3列共有1+前4列共有1+??前36列共有1+前37列共有1+所以2024是第37列第7個數，故m+【點睛】本題考查數列的相關性質，主要考查數列的某一項的項數以及數列的前n項和，考查推理實力以及計算實力，考查學生從題意中獲得信息并找尋規律的實力，是中檔題。12.已知函數f(x)=|lnx|，實數m,n滿意【答案】e【解析】【分析】利用函數的單調性可得|lnm2【詳解】由題意得﹣lnm＝lnn，∴1又函數f(∴|lnm2∴當|lnm2|＝2時，m=1e，又n=1m，∴n＝e，此時，f（當lnn＝2時，n＝e2，m=1e2，此時，f（x）在區間[m綜上，n＝e，m=1e．故答案為e2【點睛】本題考查了含肯定值函數的單調性、函數的最值的求法，體現了分類探討的數學思想，屬于中檔題．13.設D為ΔABC所在平面內一點，AD=【答案】-3【解析】【分析】干脆利用向量的線性運算求出結果．【詳解】∵D為ΔABC∴B，C，D三點共線.若BC=λDC化為：AD=1λAB+λ?1λAC，與A即答案為-3.【點睛】本題考查的學問要點：向量的線性運算及相關的恒等變換問題．14.若圓x2+y2=【答案】?【解析】【分析】依據兩圓相切得圓心之間距離等于半徑之和或之差的肯定值，解得m的值.【詳解】因為x2+y因為兩圓相切，所以32+4解得m=-9【點睛】本題考查兩圓位置關系，考查基本分析求解實力.屬基本題.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.若數列an的前n項和為Sn，且a1（1）求數列an（2）若an>0n∈N*，令b【答案】(1)an=((2)Tn【解析】分析：（1）an=Sn-Sn-1=an2+a詳解：（1）當n=1時，2當n≥2時，即(an∴an=（2）由an>0，∴∴T16.設函數f(x)=3(1)求ω和(2)若f(【答案】（1）ω=2，?【解析】【分析】1依據圖象上相鄰兩最高點與最低點之間的距離由勾股定理列方程可得ω，再依據對稱中心列式可解得φ；2依據已知等式解得sinα，再得cos【詳解】解：1由圖象上相鄰兩最高點與最低點之間的距離為π得(∵函數fx=∵-π2由1知：fx=∵0<∴cos【點睛】本題考查由y=17.某商場營銷人員進行某商品M市場營銷調查發覺，每回饋消費者肯定的點數，該商品當天的銷量就會發生肯定的改變，經過試點統計得到以下表：反饋點數x12345銷量（百件）/天0.50.611.41.7（1）經分析發覺，可用線性回來模型擬合當地該商品一天銷量y（百件）與該天返還點數x之間的相關關系.請用最小二乘法求y關于x的線性回來方程y=（2）若節日期間營銷部對商品進行新一輪調整.已知某地擬購買該商品的消費群體非常浩大，經過營銷部調研機構對其中的200名消費者的返點數額的心理預期值進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數表：返還點數預期值區間（百分比）[[[[[[頻數206060302010將對返還點數的心理預期值在[1,3)和[11,13]的消費者分別定義為“欲望緊縮型”消費者和“欲望膨脹型”消費者，現采納分層抽樣的方法從位于這兩個區間的30名消費者中隨機抽取6名，再從這6人中隨機抽取3名進行跟蹤調查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨脹型”消費者的概率.（參考公式及數據：①回來方程a=y-【答案】（1）y=0.32t+0.08【解析】【分析】(1)求出變量x,y的平均數，求出最小二乘法所須要的數據，可得線性回來方程的系數b,再依據樣本中心點肯定在線性回來方程上，求出a的值，寫出線性回來方程；x=6代入線性回來方程求出對應的y的值，即可預料返回6個點時該商品每天銷量；(2)利用分層抽樣方法求得“欲望膨脹型”消費者與“欲望緊縮型”消費者中抽取的人數，利用列舉法得到全部的抽樣狀況共20種，其中至少有1名“欲望膨脹型”【詳解】（1）易知x=i=15a=則y關于x的線性回來方程為y=當x=6時，（2）設從“欲望膨脹型”消費者中抽取m人，從“欲望緊縮型”消費者中抽取n人，由分層抽樣的定義可知630=m在抽取的6人中，2名“欲望膨脹型”消費者分別記為A1，A共20種，其中至少有1名“欲望膨脹型”消費者的狀況有16種，記事務A為“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨脹型’消費者”，則PA=【點睛】本題主要考查回來方程的求法與應用、分層抽樣與古典概型概率公式的應用，屬于中檔題.利用古典概型概率公式求概率時，找準基本領件個數是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本領件個數較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為困難的問題中的基本亊件的探求.在找基本領件個數時，肯定要按依次逐個寫出：先(A1,B1)，(A1,B2)….(A1,18.如圖，四棱錐P?ABCD中，AB=AD=2BC（Ⅰ）證明：平面PAB⊥（Ⅱ）若點P究竟面ABCD的距離為2，E是線段PD上一點，且PB//平面【答案】（1）見解析（2）8【解析】【分析】（Ⅰ）證明AB⊥PB，AB（Ⅱ）如圖，連接BD，AC交于點O，因為BC//AD，由（Ⅰ）點P到平面所以點E到平面ABCD的距離為h=23【詳解】（Ⅰ）證明：∵AB⊥AD，且∵AB=AD=2，又∵AB⊥AD，BC//所以AB⊥平面PBC，又因為所以平面PAB⊥（Ⅱ）如圖，連接BD，AC交于點O，因為BC且AD=2BC因為PB//平面ACE，所以PB//由（Ⅰ）點P到平面ABC所以點E到平面ABCD所以VA即四面體A-CD【點睛】本題考查面面垂直的證明以及錐體體積的實際，屬中檔題.19.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點(3,12)（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；②直線l與橢圓C交于A,B兩點．若△OAB【答案】（1）x24+y【解析】分析：（1）依據條件易得圓的半徑，即得圓的標準方程，再依據點在橢圓上，解方程組可得a,b，即得橢圓方程；（2）第一問先依據直線與圓相切得一方程，再依據直線與橢圓相切得另一方程，解方程組可得切點坐標.其次問先依據三角形面積得三角形底邊邊長，再結合①中方程組，利用求根公式以及兩點間距離公式，列方程，解得切點坐標，即得直線方程.詳解：解：（1）因為橢圓C的焦點為F1可設橢圓C的方程為x2a2+y所以3a2因此，橢圓C的方程為x2因為圓O的直徑為F1F2（2）①設直線l與圓O相切于P(x0所以直線l的方程為y=-x由x24+(4因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，所以Δ=因為x0,y因此，點P的坐標為(2②因為三角形OAB的面積為267，所以12設A(由（*）得x1,2所以A=(因為x0所以AB2=解得x02=52(x綜上，直線l的方程為y=點睛：直線與橢圓的交點問題的處理一般有兩種處理方法：一是設出點的坐標，運用“設而不求”思想求解；二是設出直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理求出交點坐標，