§2.11函數的零點與方程的解

【考試要求】1.理解函數的零點與方程的解的聯系2理解函數零點存在定理，并能簡單應用.

3.了解用二分法求方程的近似解.

■落實

【知識梳理】

1.函數的零點與方程的解

（1）函數零點的概念

對于一般函數y=黃勸，我們把使心3=0的實數尤叫做函數y=Ox）的零點.

（2）函數零點與方程實數解的關系

方程式尤）=0有實數解二函數v=/U）有零點㈡函數y="）的圖象與x軸有公共點.

（3）函數零點存在定理

如果函數y=Ax）在區間［a,6］上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有血）也）<0,那么，函數

Y=/U）在區間（a,6）內至少有一個零點,即存在cG（a,b）,使得總?）=0,這個c也就是方程

40=0的解.

2.二分法

對于在區間［。，切上圖象連續不斷且應皿組的函數y=/a），通過不斷地把它的零點所在區

間一分為二,使所得區間的兩個端點逐步逼近雯直，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

【常用結論】

1.若連續不斷的函數近尤）是定義域上的單調函數，則/（X）至多有一個零點.

2.連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點.（X）

（2）連續函數>=於）在區間（a,b）內有零點，則|砂型）<0.（X）

（3）函數>=加）為R上的單調函數，則?r）有且僅有一個零點.（X）

（4）用二分法求函數零點的近似值適合于變號零點.（V）

【教材改編題】

1.觀察下列函數的圖象，判斷能用二分法求其零點的是（）

答案A

解析由圖象可知，B,D選項中函數無零點，A,C選項中函數有零點，C選項中函數零點

兩側函數值符號相同，A選項中函數零點兩側函數值符號相反，故A選項中函數零點可以用

二分法求近似值，C選項不能用二分法求零點.

3

2.函數>=提一Inx的零點所在區間是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

答案B

,_3

解析因為函數的定義域為(0,+°°),且函數在(0,+8)上單調遞減；y=—In%在(0,

+8)上單調遞減，

3

所以函數y=1—Inx為定義在(0,+8)上的連續減函數，

3

又當x=2時，>=2一ln2>0；

當冗=3時，y=l-ln3<0,

兩函數值異號，

3

所以函數丁=：-Inx的零點所在區間是(2,3).

3.函數/(x)=e%+3x的零點個數是()

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析由/(尤)=e'+3>0,所以兀0在R上單調遞增，又八一1)=9一3<0,五0)=1>0,因此

函數犬乃有且只有一個零點.

■探究核心題型

題型一函數零點所在區間的判定

例1(1)函數五x)=lnx+2x—6的零點所在的區間是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

答案B

解析由題意得，?=lnx+2x-6,在定義域內單調遞增，

汽2)=ln2+4—6=ln2—2<0,

A3)=ln3+6-6=ln3>0,

則42加3)<0,

二零點在區間(2,3)上.

延伸探究用二分法求函數八x)=Inx+2x-6在區間(2,3)內的零點近似值，至少經過

次二分后精確度達到0.1()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析...開區間(2,3)的長度等于1,

每經過一次操作，區間長度變為原來的一半，

經過〃次操作后，區間長度變為去，

故有卷(0.1,解得“24,

至少需要操作4次.

(2)(2023?蚌埠模擬)已知xi+2國=0,X2+log2尤2=0,32一iog>3=0，貝U()

A.X\<X2<X3B.X2<Xi<X3

C.X1<X3<X2D.X2<X3<X{

答案A

解析設函數八x)=x+2，，易知人x)在R上單調遞增，

X-l)=-1.刖)=1，即式一1求0)<0,

由函數零點存在定理可知，-1<的<0.

設函數g(%)=x+log2X,

易知g(x)在(0,+8)上單調遞增，g⑤=—3，g(l)=l,

即g自g⑴<0,

由函數零點存在定理可知，

設函數餌%)=(1)—10g2X,

易知/z(x)在(0,+8)上單調遞減，/2(1)=1,以尤3)=0,

因為h(l)>h(X3),

由函數單調性可知，X3>1,

即一1<X1<O<X2<1<X3.

思維升華確定函數零點所在區間的常用方法

(1)利用函數零點存在定理：首先看函數y=/(x)在區間m，切上的圖象是否連續，再看是否有

八。)次b)<0.若有，則函數>=/(尤)在區間(a,6)內必有零點.

(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與無軸在給定區間上是否有交點來判斷.

跟蹤訓練1(1)(多選)函數x—2在下列哪個區間內必有零點()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

答案AD

解析八-2)=！>0,A-i)=1-i<o,

/0)=-1<0,Al)=e-3<0,

A2)=e2-4>0,

因為八一2)次-l)<0,八1)負2)<0,

所以穴尤)在(-2,—1)和(1,2)內存在零點.

(2)若a<b<c,則函數於)=(%一”)?(%—b)+(x—/?)(%—c)+(%—c)(%—〃)的兩個零點分別位于區間

()

A.(a,力)和(b,c)內

B.(—8,和(〃，/?)內

C.(b,c)和(c,+8)內

D.(—8,4)和(C,+8)內

答案A

解析函數y=/(x)是開口向上的二次函數，最多有兩個零點，由于。<。<。，則a—/?<0,a—

c<0,b—c<0,因此/(〃)=(〃一b)(a—c)>0,f(b)=(b—c)(b—a)<0,/(c)=(c—a)(c—b)>0.

所以必/b)<0,加/c)<0,

即危)在區間(a,b)和區間(。，c)內各有一個零點.

題型二函數零點個數的判定

例2(1)若函數/(x)=|x|,則函數y=/(x)—log1|尤|的零點個數是()

2

A.5B.4C.3D.2

答案D

解析在同一平面直角坐標系中作出/(x)=|x|,g(x)=log］|x|的圖象如圖所示，則y=/(x)—

2

log1|x|的零點個數，即"r)與g(x)圖象的交點個數，由圖可知選D.

2

(2)已知在R上的函數/)滿足對于任意實數尤都有五2+尤)={2—勸，犬7+防=/(7—x),且在

區間［0,7］上只有尤=1和x=3兩個零點，則八無)=0在區間［0,2023］上根的個數為()

A.404B.405C.406D.203

答案C

解析因為犬2+x)=/(2—x),1x)關于直線x=2對稱且式5+尤)=/(—x—1)；

因為五7+勸=/(7—x),故可得五5+工)=/(—x+9)；

故可得八一x—1)=K—x+9),則五尤)=/(x+10),

故人x)是以10為周期的函數.

又/(x)在區間［0,7］上只有x=l和x=3兩個零點，

根據函數對稱性可知，1Ax)在一個周期［0,10］內也只有兩個零點，

又區間［0,2023］內包含202個周期,

故兀0在［0,2020］上的零點個數為202X2=404,

又7U)在(2020,2023］上的零點個數與在(0,3］上的零點個數相同，有2個.

故五x)在［0,2023］上有406個零點，

即40=0在區間［0,2023］上有406個根.

思維升華求解函數零點個數的基本方法

(1)直接法：令五x)=0,方程有多少個解，則兀r)有多少個零點；

(2)定理法：利用定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等；

(3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點

個數.

I|lgx\,x>0,

跟蹤訓練2(1)(2022?泉州模擬)設定義域為R的函數1x)=2cf則關于x的函

［xr2x，x0,

數y=）（無）一3加）+1的零點的個數為（）

A.3B.7C.5D.6

答案B

解析根據題意，令"飛0—浜尤）+1=0,

得加）=1或段）=當

作出/（x）的簡圖如圖所示，

2

由圖象可得當於）=1和段）=￡時，

分別有3個和4個交點，

故關于x的函數》二^④一3段）+1的零點的個數為7.

（2）函數/尤）=、36—f-cosx的零點個數為.

答案6

解析令BG—x2'。，解得一6WxW6,

.\Kx）的定義域為[—6,6].

令人x）=0得36—/=0或cosx=0,

由36一爐=0得尤=±6,

71

由COS尤=0得X=]+防T,左GZ,

又xd[—6,6],的取值為一苧,—彳，當

故人X）共有6個零點.

題型三函數零點的應用

命題點1根據零點個數求參數

4一爐xW2,

'''g（x）=kx—3k,若函數段）與8（此的圖象

{log3（X—1）,x>2,

有三個交點，則實數上的取值范圍為（）

A.（2^2-6,0）B.（2^3-6,0）

C.（-2,0）D.（2^/5-6,0）

答案D

解析作出函數於)=：14—(-)，】＞2的圖象’如圖所示,

設與＞=4一，相切的直線為/,

且切點為P(xo,4—焉)，

因為_/=-2%,所以切線的斜率為％=—2xo,

則切線方程為y—4+xo=-2xo(x-xo),

因為g(x)=kx—3k過定點(3,0),且在切線I上，

代入切線方程求得必=3一小或尤o=3+小(舍去)，

所以切線的斜率為％=2小一6,

因為函數/U)與g(￡)的圖象有三個交點，

由圖象知，實數左的取值范圍為(2小一6,0).

命題點2根據函數零點的范圍求參數

1CLX

例4(2023?北京模擬)已知函數本)=3'-若存在無()e(—8,-1),使得加o)=O,則實

數。的取值范圍是()

C.(-8,0)D.0,+°0

答案B

解析由加0=3，一三1—I—回ax=0,可得。=3工一點1

令g(x)=3*—：其中xG(—8,—1),

由于存在尤0^(—8,—1),使得y(xo)=o,

則實數。的取值范圍即為函數g(X)在(一8,—1)上的值域.

由于函數y=3*,y=—：在區間(-8,—1)上均單調遞增，

所以函數g(x)在(一8,—1)上單調遞增.

當Xd(—8,—1)時，

1_4

g(x)=3x--＜g(-l)=3-1+l=3,

又g(x)=3*—：>0,

所以函數g(x)在(一8,—1)上的值域為(0,￡).

因此實數。的取值范圍是(o,￡).

思維升華根據函數零點的情況求參數的三種常用方法

(1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍.

(2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決.

(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后數形結合

求解.

2

跟蹤訓練3(1)函數段)=2%—最一〃的一個零點在區間(1,2)內，則實數〃的取值范圍是()

A.0<。<3B.1<。<3

C.l<a<2D.

答案A

22

解析因為函數y=2",>=—嚏在(0,+8)上單調遞增，所以函數式尤)=2*—a在(0,+°0)

上單調遞增，

2

由函數八勸=2工一提一a的一個零點在區間(1,2)內得，式1)義<2)=(2—2—a)(4—1—a)=(—a)

X(3-a)<0,解得0<a<3.

Inx.

----，x>0,

(2)(2023?唐山模擬)已知函數兀v)=j尤若ga)=/(x)—。有3個零點，則實數。

xWO,

的取值范圍為()

A.(-1,0)B(-1,￡)

c［。，I)D(0,§U{-1}

答案B

解析設3)=?(尤>0),

,1—Inx

則h(x)=~~2—,

令(x)>0,得0<x〈e,

令/(x)<0,得%>e,

所以函數人(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減.

所以/l(X)max=//(e)=：.

因為函數g(x)=/(x)一。有3個零點，

所以方程式x)=a有3個解.

作出函數y=/(x)和y=a的圖象如圖所示,

所以a的取值范圍為(一1,I).

課時精練

應基礎保分練

X

1.(2022?焦作模擬)設函數式x)=2葉弓的零點為尤。，則xo所在的區間是()

A.(—4,—2)B.(—2,—1)

C.(1,2)D.(2,4)

答案B

1?11

解析易知於)在R上單調遞增且連續，式-2)=耳一弓<0,八-1)=]—彳>°，所以尤()6(—2,

-1).

2.用二分法研究函數H1的零點時，第一次經過計算得五0)<0,/0.5)>0,則其

中一個零點所在區間和第二次應計算的函數值分別為()

A.(0,0.5),八0.125)B.(0,0.5),八0.375)

C.(0.5,1),X0.75)D.(0,0.5),犬0.25)

答案D

解析因為八0求0.5)<0,

由函數零點存在定理知，零點為6(0,0.5),

根據二分法，第二次應計算上汽，即汽0.25).

[x2-2x—3,

3.函數/(%)=,c一八的零點個數為()

[log2X—3x+4,x>0

A.1B.2C.3D.4

答案c

解析當xWO時，令人期=%2—2%—3=0,

得x=—1（元=3舍去），

當x＞0時，令?r）=0,得log2X=3x—4,

作出y=log2X與y=3x—4的圖象，如圖所示,

由圖可知，y=log＞與y=3x—4有兩個交點，

所以當心＞0時，“x）=0有兩個零點，

綜上，八工）有3個零點.

4.已知函數/（x）=k）g2a+l）—：+根在區間（1,3］上有零點，則實數機的取值范圍為（）

B.1-8,—|^U（0,+°0）

c（-8,—|U（0,+°0）

D［T°）

答案D

解析由于函數y=log2（x+l）,y=zn—：在區間（1,3］上單調遞增,

所以函數人x）在（1,3］上單調遞增，

由于函數yu）=iog2（x+i）—;十機在區間（1,3］上有零點，

m<0,

即|5

則43)N0,

m+^^O,

解得一加＜0.

因此，實數機的取值范圍是0）.

\2~x,x＜0,

5.已知函數兀c）=J，'、若函數g（x）=A尤）一機有三個零點，則實數機的取值

L1+\x~11,x30,

范圍是（）

A.(1,2]B.(1,2)

C.(0,1)D.[1,+8)

答案A

解析因為函數g(x)=fix)—m有三個零點，

所以函數?x)的圖象與直線y=機有三個不同的交點，

作出函數段)的圖象，如圖所示，

由圖可知，l<m^2,即根的取值范圍是

6.已知函數加0=%—5(x>0),g(x)=%+e”,/z(x)=%+lnx(x>0)的零點分別為陽,孫知則()

A.Xl<X2<X3B.X2<Xl<X3

C.X2<X3<XlD.X3<Xl<X2

答案c

解析函數7(x)=x—3：(x>0),ga)=x+e*,/z(x)=x+lnx(x>0)的零點，即為、=無與y=/(x>0),

y=—e*,y=—lnx(x>0)的交點的橫坐標，

作出y=x與y=5(x>0),y=~ex,y=-In尤(x>0)的圖象，如圖所示.

可知X2<X3<JCl.

7.(多選)函數/)=sinx+2|sinx|,xd[0,2用的圖象與直線y=Z的交點個數可能是()

A.1B.2C.4D.6

答案ABC

解析由題意知，

fix)=sinx+2|sinx\,x[0,2TI],

[3sinx,[0,7i],

[—sinx,%￡(兀,2K],

在坐標系中畫出函數兀燈的圖象如圖所示.

由其圖象知，直線y=k與>=式尤)的圖象交點個數可能為0,1,2,3,4.

8.(多選)(2023?南京模擬)在數學中，布勞威爾不動點定理可應用到有限維空間，是構成一般

不動點定理的基石，它得名于荷蘭數學家魯伊茲?布勞威爾(LEJ.Brouwer),簡單地講，就是

對于滿足一定條件的連續函數兀v),存在一個點xo,使得五xo)=xo,那么我們稱該函數為“不

動點”函數，下列函數是“不動點”函數的是()

A.式尤)=2*+xB.fix)=^-x~3

C.左:)=2+1D.X^)=llog2x|-1

答案BCD

解析選項A,若玲⑹=刈，則2'。=0,該方程無解，

故該函數不是“不動點”函數；

選項B,若兀⑹=須，則看一2xo—3=0,

解得沏=3或xo=—1,故該函數是“不動點”函數；

選項C,若於0)=尤0,則河+l=X0,

可得看一3xo+l=O,且xo》l,

解得xo=故該函數是"不動點"函數；

選項D,若於o)=xo,則|logzxo|—l=xo,

即|log2尤o|=Xo+l,

作出y=|log刈與y=x+l的函數圖象，如圖，

由圖可知，方程|log"|=x+l有實數根xo,

即存在尤0,<|log2Xo|—l=xo,

故該函數是“不動點”函數.

9.已知指數函數為?x)=4'1則函數y=?T)—2”1的零點為

答案1

解析由兀V)—2”1=4*—2#1=0,得2%2工-2)=0,x=l.

10.(2023?蘇州質檢)函數人尤)滿足以下條件：①ZU)的定義域為R,其圖象是一條連續不斷的

曲線；@VxeR,<無)=八一%)；③當即，X2e(o,+8)且打不尬時，如)二人龍”>0；④小尤)恰

X\一X2

有兩個零點，請寫出函數人元)的一個解析式.

答案於)=/一1(答案不唯一)

解析因為VxGR,所以/(x)是偶函數，

因為當XI,%2^(0,+8)且X1WX2時，*“)

X\~X2

所以在(O,+8)上單調遞增，

因為“X)恰有兩個零點，

所以犬x)圖象與x軸只有2個交點，

所以函數式X)的一個解析式可以為/(x)=x2-1(答案不唯一).

flog2X,X>0,

11.已知函數兀ye且關于X的方程7(X)+X—4=0有且只有一個實根，則實

〔3%,xWO,

數〃的取值范圍是.

答案(1,+°°)

解析方程火x)+x—〃=0有且只有一個實根，即次X)=—有且只有一個實根，

即函數y=?x)的圖象與直線y=—有且只有一個交點.

如圖，在同一直角坐標系中分別作出y=/(x)與y=—X+Q的圖象，其中〃表示直線y=—x+

。在y軸上的截距.

由圖可知，當時，直線y=-與y=/(x)有兩個交點，

當〃>1時，直線y=—x+q與y=/(x)只有一個交點.

故實數4的取值范圍是(1,+8).

倒一1|,X^l,

12.已知函數加)={函數y=/(x)一〃有四個不同的零點％1,%2,X3，X4,且

[(%—2)”,%>1,

2』+2%2

X1<X2<X3<%4，則-------

x3+尤4

答案2

解析y=/(x)—a有四個不同的零點修，X2,X3,X4,

即方程兀x)=”有四個不同的解，

即y=/U)的圖象與直線y=a有四個交點?

在同一平面直角坐標系中分別作出y=?x)與>=〃的圖象，如圖所示,

oxi_i_?巧1

所以2通+2*=2,故

%3+x4/

筵綜合提升練

13.已知函數/(x)=|ex—1|+1,若函數g(x)=[/(x)]2+(a—2求x)—2a有三個零點，則實數a的

取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

答案A

解析令則函數g(f)=—+(a—2)t—2a,由產+(a—2)t—2。=0得，f=2或/=-a.