高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（23）

15.如圖，在三棱錐尸—ABC中，PA±AC,。,。,石分別是線段PAQCAC的中點(diǎn),

AB=BC,BD=O，PA=4,AC=2,BE=1.

P

（1）求證：DE工平面ABC；

（2）求二面角Q—A正弦值.

16.記S,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知。6=邑+2,S6=4a5.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

—

（2）設(shè)（=I1---邑-1人-----S-3-1人.....s..j.I1---S-“-+-J,證明：-2<T—4?

17.佛山順德雙皮奶是一種粵式甜品，上層奶皮甘香，下層奶皮香滑潤(rùn)口，吃起來(lái)，香氣

濃郁，入口嫩滑，讓人唇齒留香.雙皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，輔以雞蛋

和白糖制成.水牛奶中含有豐富的蛋白質(zhì)，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人體生

長(zhǎng)發(fā)育所需的氨基酸和微量元素.不過(guò)新鮮的水牛奶保質(zhì)期較短.某超市為了保證顧客能

購(gòu)買到新鮮的水牛奶又不用過(guò)多存貨，于是統(tǒng)計(jì)了50天銷售水牛奶的情況，獲得如下數(shù)

據(jù)：

日銷售量/

0123

件

天數(shù)5102510

假設(shè)水牛奶日銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.

（1）求接下來(lái)三天中至少有2天能賣出3件水牛奶的概率；

（2）已知超市存貨管理水平的高低會(huì)直接影響超市的經(jīng)營(yíng)情況.該超市對(duì)水牛奶實(shí)行如下

存貨管理制度：當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若存貨少于2件，則通知配送中心立即補(bǔ)貨至

3件，否則不補(bǔ)貨.假設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有3件水牛奶，求第二天營(yíng)業(yè)結(jié)束后貨架

上有1件存貨的概率.

18.己知函數(shù)/（x）=lnx-ov+a2（aeR）,g（x）=lnx+—（meR）.

%

（1）當(dāng)根=1時(shí)，求函數(shù)y=g（x）的最小值；

⑵否存在0＜藥＜不，且%，%，退依次成等比數(shù)列，使得g（%1）,g（%2），

g（F）依次成等差數(shù)列？請(qǐng)證明；

2

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)了（無(wú)）有兩個(gè)零點(diǎn)外,馬，是否存在西+無(wú)，＞。+——1的關(guān)系？若存

a

在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)寫出正確的關(guān)系.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)A（T,O）,B（4,0）,M平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，自M作

MN垂直于A3,垂足N介于A和8之間，且

（i）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡r；

（2）設(shè)過(guò)。（0,1）的直線交曲線「于C,。兩點(diǎn)，。為平面上一動(dòng)點(diǎn)，直線QC,QD,QP

112

的斜率分別為匕，k2,k0,且滿足廠+廠=廠.問(wèn)：動(dòng)點(diǎn)。是否在某一定直線上？若

K、K＞2"O

在，求出該定直線的方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(23)

15.如圖，在三棱錐P—ABC中，PA±AC,分別是線段PAQCAC的中點(diǎn),

AB=BC,BD=yfl>PA=4,AC=2,BE=1.

(1)求證：DE1平面ABC；

(2)求二面角。—3。—A的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解答

⑵

3

【解答】

【分析】(1)利用中位線知識(shí)得到3石工。石，然后使用線面垂直的判定定理;

(2)直接使用空間向量求解.

【小問(wèn)1詳解】

由于E是AC的中點(diǎn)，AB=BC,故鹿，AC.

而。，石分別是QC,AC的中點(diǎn)，故。石〃QA且。E=LQA=，PA=1,而

24

DE2+BE2=1+1=2=BD-<所以BEJ.DE.

由。E〃QA,知DE“Pb、而故。E_ZAC.

而BEJ.DE,ACBE在平面ABC內(nèi)交于點(diǎn)E,故DE1平面ABC

【小問(wèn)2詳解】

p

Q

C

xA

B\

夕、

已證成1.AC，。石工平面ABC,

故可以E原點(diǎn)，分別作為x，%z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(1,O,O),8(0,1,0),0(0,0,1),且由40=；4。=2知。(1,0,2).

設(shè)&=（p,q,r）,巧=（〃,%.）分別是平面QBD和5ZM的一個(gè)法向量,

-BD=n-DQ=0-q+r~p+r=O

則由＜_________x______可知V

-v+w=u-v=O

n2?BD-n2,BA=0

-*/\——?z\—>—*-1+1+11

故可取勺得

=(—1,1,1),n2=(1,1,1),cos%%=g■石=],

所以二面角Q—BD—A的正弦值是宜2.

3

.記“是等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和，已知。邑+

16S｛4｝6=2,S6=4a5.

（1）求｛。”｝的通項(xiàng)公式;

/、、、

⑵設(shè)r=i—=1—1[1--

證明:

c

‘S4.n+1三

八7\J

【答案】（1）=2/7-1

（2）證明見(jiàn)解答

【解答】

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式得到關(guān)于的方程組，解之即可得解;

（2）由（1）求得力，再利用累乘法求得7；,從而利用“eN*及北與〃的關(guān)系式的性質(zhì)即

可得證.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

二廠得1a+5d—3d]+3d+2%—1

則由＜,解得《

6q+15d=4q+16dd—2

所以數(shù)列｛4｝通項(xiàng)公式為%=1+2(“—1)=2”—1.

【小問(wèn)2詳解】

數(shù)歹U{4}的前〃項(xiàng)和Sn=(1+2,)“=〃2,

⑺一1)5+1)

一

V

<°?+17

1x32x43x5(〃+1)(〃+1)〃(〃+2)1n+2

—-X-X—X???X-------------------------X-------------———X------------

223242n2(〃+1)22n+1

因?yàn)椤癳N*，所以安=1+工＞1,1n+21

則(二——x->----；

n+1n+12n+12

,1〃+211

因?yàn)?---=-x

2n+12〃+1

當(dāng)“增大，則々減少，所以〃=1時(shí),士取得最大值為1

M+1

所以I,=gx(i+」二]最大為3；

2(n+1)4

13

綜上，-＜?；＜-.

17.佛山順德雙皮奶是一種粵式甜品，上層奶皮甘香，下層奶皮香滑潤(rùn)口，吃起來(lái)，香氣

濃郁，入口嫩滑，讓人唇齒留香.雙皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，輔以雞蛋

和白糖制成.水牛奶中含有豐富的蛋白質(zhì)，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人體生

長(zhǎng)發(fā)育所需的氨基酸和微量元素.不過(guò)新鮮的水牛奶保質(zhì)期較短.某超市為了保證顧客能

購(gòu)買到新鮮的水牛奶又不用過(guò)多存貨，于是統(tǒng)計(jì)了50天銷售水牛奶的情況，獲得如下數(shù)

據(jù)：

日銷售量/

0123

件

天數(shù)5102510

假設(shè)水牛奶日銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.

（1）求接下來(lái)三天中至少有2天能賣出3件水牛奶的概率；

（2）已知超市存貨管理水平的高低會(huì)直接影響超市的經(jīng)營(yíng)情況.該超市對(duì)水牛奶實(shí)行如下

存貨管理制度：當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若存貨少于2件，則通知配送中心立即補(bǔ)貨至

3件，否則不補(bǔ)貨.假設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有3件水牛奶，求第二天營(yíng)業(yè)結(jié)束后貨架

上有1件存貨的概率.

13

【答案】（1）—;

125

⑵U.

25

【解答】

【分析】（1）由題設(shè)三天中賣出3件水牛奶的天數(shù)X?3（3,：）,利用二項(xiàng)分布的概率概

率公式求P（X22）即可；

（2）討論第一天營(yíng)業(yè)結(jié)束是否需要補(bǔ)貨，利用全概率公式分別求出不需補(bǔ)貨、需要補(bǔ)貨情

況下在第二天營(yíng)業(yè)結(jié)束貨架上有1件存貨的概率，即可得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

14

由題設(shè)，能賣出3件水牛奶的概率為不，3件以下的概率為彳，

所以三天中賣出3件水牛奶的天數(shù)X?5（3,1）,

則P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=C|(1)(1)2

【小問(wèn)2詳解】

由（1）及題意知：第一天營(yíng)業(yè)結(jié)束后不補(bǔ)貨的情況為A=｛銷售0件｝或2=｛銷售1件｝,

所以P(A)=$,P(B)=1

11

令。二｛第二天貨架上有i件存貨｝,則尸(c|A)=$,P(C|B)=-,

9

所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|8)=高.

第一天營(yíng)業(yè)結(jié)束后補(bǔ)貨的情況為。=｛銷售3件｝或￡=｛銷售2件｝,

所以尸(D)=g,P(E)=1,

令辰｛第二天貨架上有1件存貨｝,貝UP(用D)=g,P(F|E)=1,

7

所以P(F)=P(D)P(F|D)+P(E)P(F|E)=—.

綜上，第二天營(yíng)業(yè)結(jié)束后貨架上有1件存貨的概率P=P(C)+P(尸)=!|.

18.已知函數(shù)/(x)=lnx-奴+q2(aeR),g(x)=lnx+—(meR).

x

(1)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求函數(shù)y=g(x)最小值；

⑵是否存在0<%1<%2<%，且%,%，七依次成等比數(shù)列，使得g(M，g(九2)，

g(f)依次成等差數(shù)列？請(qǐng)證明；

21

(3)當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)/(無(wú))有兩個(gè)零點(diǎn)占，龍2，是否存在再+%。----1的關(guān)系？若存

a

在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)寫出正確的關(guān)系.

【答案】(1)1(2)答案見(jiàn)解答，證明見(jiàn)解答

(3)存在，證明見(jiàn)解答

【解答】

【分析】(1)代入〃2=1,再對(duì)/(無(wú))求導(dǎo)，并研究其單調(diào)性，可得答案；

(2)利用等差中項(xiàng)建立等式，結(jié)合等比中項(xiàng)以及對(duì)數(shù)運(yùn)算律化簡(jiǎn)等式，根據(jù)分類討論思想,

可得答案；

(3)先分析AM的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得到。<%<1<馬，再構(gòu)造函數(shù)

P(x)=lnx_2(x-1),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，建立關(guān)于石,9,。的不等式，整理可即可

X+1

得解.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)根=1時(shí)，g(x)=lnx+—,g(x)=——,

xx

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(%)<0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)尤>1時(shí)，g'(x)>0,則g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以gOOmin=g(D=L

【小問(wèn)2詳解】

要證g(%)，g(%)，g(&)依次成等差數(shù)列，只需證

mmm

ln%1+—+lnx3+—=2lnx9+—,

七七I-Xl)

整理可得111百年+加工+'———=0,由西,々，％3依次成等比數(shù)列，則工1&=*，

%2％3X?7

「112、

所以加——I-------=0

(玉尤3Xl)

①當(dāng)加=0時(shí)，上式顯然成立；

’1121

②當(dāng)加。0時(shí)，貝U--1--------0,整理可得2%］工3=%2(%+%3)，

3%3Xl)-

由不々,％,依次成等比數(shù)列可得2x；=x2(x,+x3),則2々=七+七，

代入X；=X/3得：(西一無(wú)3)2=0與題意0<%<々<%3矛盾，故此時(shí)不存在；

綜上：當(dāng)機(jī)=0時(shí)，存在滿足要題意的石,々,％3；

當(dāng)時(shí)，不存在滿足要題意的西,々,退.

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)?(%)=x>0,a>\,

所以/’(%)=，_〃=1a"，

xx

當(dāng)0<x<1時(shí)，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

a

當(dāng)》〉：時(shí)，/(*)<0,7(%)單調(diào)遞減，

又當(dāng)a>l時(shí)，/(l)=lnl—a+〃=(a—g)—(>o恒成立，

當(dāng)x趨于。時(shí)，趨于無(wú)窮小；當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí)，趨于無(wú)窮小;

所以/(X)在(0,1),(1,轉(zhuǎn))上各有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)0<玉<1<%,

12

則In=axx-a,lnx2=ax2-a.

設(shè)函數(shù)E(x)=lnx—生心，則/(1)=0,——二二(D：20,

x+1X(x+1)M%+1)

所以F(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)xe(0,l)時(shí)，F(xiàn)(%)<0,即lnx<2(l),

x+1

當(dāng)x￡(l,+oo)時(shí)，F(xiàn)(x)>0,即In%>2(*),

%+1

22(匹—1)22(%2—1)

所以依]一〃<-------,ax2-a>-------,

玉+1x2+1

所以(dLX]—a?)(玉+1)—2(X]—1)<。V_a?)(4+1)—2(%2-1)，

整理可得：—%；)+(〃—a?—2)(芯—/)V0，

2

即a(石+%)>a2—〃+2,所以再+犬2>aT---1.

a

【小結(jié)】方法小結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與兄軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；

(3)參變量分離法：由/("二()分離變量得出〃=g(x),將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線y=〃

與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)A（TO）,B（4,0）,M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，自M作

垂直于AB,垂足N介于A和8之間，且.

（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡r；

（2）設(shè)過(guò)P（0,l）的直線交曲線r于C,。兩點(diǎn)，。為平面上一動(dòng)點(diǎn)，直線QC,QD,QP

112

的斜率分別為左，左2，即，且滿足廠+廠=廠.問(wèn)：動(dòng)點(diǎn)。是否在某一定直線上？若

/C］化2憶0

在，求出該定直線的方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】（1）土+匕=1

168

（2）在定直線y=8（九W0）上.

【解答】

【詳解】（1）設(shè)M（x,y）,則N（x,0）,由題意知一4<x<4.

,.,2|ACV|2=|TW|.|A?|,/.2/=（x+4）（4-%）,即2y2=16—/,故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡F

22

為工+匕=1.

168

（2）存在滿足題意的。，在定直線y=8（xWO）上.理由如下：

當(dāng)直線C。的斜率存在時(shí)，設(shè)