高考數學二輪復習測試卷

（江蘇專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.全集為R,集合A=<1>,8={x|f_6x+840},則（）

A.{x|x<0}B,{x|2<x<4}

C.{x[0<x<2或無>4}D.1x|0<x<2^x>4}

2.若復數宴是純虛數，則實數"=（）

2+1

3322

A.——B.—C.——D.-

2233

3.在，ABC中，AB=3,AC=2,ABAC=120,且BD=2DC，則（）

12

A.—B.-C.1D.2

33

4.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點的.在神經網絡優化中，指

G

數衰減的學習率模型為乙=4〃^,其中L表示每一輪優化時使用的學習率，4表示初始學習率，。表示衰

減系數，G表示訓練迭代輪數，Go表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為05衰

減速度為22,且當訓練迭代輪數為22時，學習率衰減為0.45,則學習率衰減到0.05以下（不含0.05）所

需的訓練迭代輪數至少為（）（參考數據：坨2。0.3010,lg3。0.4771）

A.11B.22C.227D.481

2222

5.已知a>6>0,設橢圓G：1+1=1與雙曲線C?：=一2=1的離心率分別為G，%若e2=3q,

abab

則雙曲線C2的漸近線方程為（）

,2V50_工4

AA.y=±------xB.y—±三x

53

C.y=±^-xD.y=±^-x

25

6.在jABC中，角A,3,C所對的邊分別為〃，b,c,若。=2A,a,b,。成等差數列，貝lJcosC=().

A.-B.-C.--D.-

8425

7.若平面內分別到定點4(-5,0),舄(5,0)的距離之差為6的點的軌跡是曲線C,過點F2且斜率為指的直線

與曲線。交于兩點(點A在1軸上方).設人耳耳耳鳥的內切圓半徑分別為、馬，則二=()

一一一r2

32

A.2B.3C.-D.-

23

2022I

8.已矢口〃=?一赤，人=山2024—ln2023,c=sin^^,貝|()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知。>0,函數〃x)=sin0xcos0x+抬'cos%尤-4的最小正周期為2兀，則下列結論正確的是()

A.CD=\

jrjr

B.函數/(x)在區間-內，不上單調遞增

C.將函數『⑺的圖象向左平移2個單位長度可得函數g(x)=cosx的圖象

0

D.函數小)的圖象關于直線x4對稱

10.在正方體ABC。-A4GA中，P，。分別為線段22，AD上的動點，貝I]()

A.存在P,。兩點，使得PQ//AB

B.A.PVDC,

c.AP與2G所成的最大角為;

4

D.8。與平面所成的最大角的正弦值為過1

3

11.某商場設有電子盲盒機，每個盲盒外觀完全相同，規定每個玩家只能用一個賬號登陸，且每次只能隨

機選擇一個開啟.已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎品的概率為從第二次抽盲盒開始，若前一次沒抽中獎

4

品，則這次抽中的概率為:，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為《.記玩家第"次抽盲盒，抽中獎品

的概率為匕，則下列結論中正確的是（）

A.乙=|B.數列［匕-功為等比數列

C.匕4*D.當心2時，”越大，月越小

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知圓/+;/=4,直線/：y=x+"圓上恰好有兩個點到直線/的距離等于1.則符合條件的實數b可

以為.（只需寫出一個滿足條件的實數即可）

13.招待客人時，人們常使用一次性紙杯，將其視為圓臺，設其杯底直徑為2R,杯口直徑為3R,高為力,

將該紙杯裝滿水（水面與杯口齊平）后，再將一直徑為2尺的小鐵球緩慢放入杯中，待小鐵球完全沉入水中

并靜止后，從杯口溢出水的體積為紙杯容積的右，則^=_____

19R

14.函數“X）=Sin1x+。的圖象與直線/：y=T+g的交點個數為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

如圖所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為4cm和6cm,8月為圓臺的兩條不同的母線.

B

⑴求證：\BJIAB.

（2）截面AB8a與下底面所成的夾角大小為60。，且截面截得圓臺上底面圓的劣弧A耳的長度為牛，求

截面的面積.

16.（15分）

(1)估計這120個學生學習時長的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代表);

(2)以表中y的分組中各組的頻率為概率，校領導要從120名學生中任意抽取兩名進行家長座談.若抽

取的時長ye[0,1),則贈送家長慰問金100元；抽取的時長ye[1,2),則贈送家長慰問金20。元；抽取的時

長yw[2,5],則贈送家長慰問金300元.設抽取的2名學生家長慰問金額之和為X,求X的分布列及數學

期望.

17.(15分)

己知正項數列｛”“｝中，4=1,%+i=%+2y+L

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)記數列bn=2向+1的前n項和S",求滿足S?＜眼的正整數n的集合.

100

18.（17分）

4

在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線C:y2=2px(p>0)和點R(4,5).點p在C上，且OP=《OR.

⑴求C的方程；

(2)若過點R作兩條直線4與4，4與C相交于A,8兩點，4與C相交于E,D兩點，線段48和EO中

,1111

點的連線的斜率為左，直線AB,ED,AD,班的斜率分別為勺，％2，%3，女4，證明：廠+廠=1+

K?K3K4

111

且1+4一工為定值.

19.(17分)

已知常數％為非零整數，若函數y=/(x),xe[O,l]滿足：對任意占"2c[0』，

|〃斗)-〃％)閆(網+球-(9+1)],則稱函數y=〃x)為乙⑻函數.

⑴函數y=2x,xe[0,l]是否為“2)函數？請說明理由；

(2)若y=〃x)為L⑴函數，圖像在xe[0,l]是一條連續的曲線，"0)=0,”1)=g,且在區間(0,1)

上僅存在一個極值點，分別記“X)1mx、/⑴代為函數y=/(x)的最大、小值，求“0皿-"x*的取值

范圍；

(3)若a>0,f(x)=0.05%2+0.lx+aIn(x+1),且y=/(x)為L(-1)函數，g(x)=/(x),對任意x,ye[0,1],

恒有|g(尤)-g(y)|4M,記M的最小值為M(a),求。的取值范圍及v(a)關于。的表達式.

高考數學二輪復習測試卷

（江蘇專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.全集為R,集合A=<1>,8={x|f_6x+840},則（）

A.{x|x<0}B.{x\2<x<4}

C.{.0<x<2或無>4}D.1x|0<x<2^x>4}

【答案】C

【解析】由=故谷0,A={x|無NO},

又3={x|2VxV4},

故-8={小＜2或x＞4},4門02={404尤＜2或彳＞4}.

故選：C

2.若復數學是純虛數，則實數。=()

2+1

A.--B.-C.--D.-

2233

【答案】A

【解析】(a+3i)(2-i)=2a+3+(6-a)i,則2。+3=(),有％=—3.

2+i552

故選：A

3.在，ASC中，AB=3,AC=2,ZBAC=120,S.BD=2DC，則48必。=()

2

B.C.1D.2

3

【答案】C

【解析】因為8O=2OC,則AO-A2=2（AC-AO）,可得A。=；（AB+2AC）,

在，ABC中，AB=3,AC=2,ABAC=120,

由平面向量數量積的定義可得AB-AC=kB，Aqcosl20=3x2x^-1j=-3,

因止匕，AB-Ar>=|AB-（AB+2AC）=1（AB2+2AB-AC）=1x（9-2x3）=l.

4.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點的.在神經網絡優化中，指

G

數衰減的學習率模型為L=其中L表示每一輪優化時使用的學習率，4表示初始學習率，。表示衰

減系數，G表示訓練迭代輪數，Go表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.5,衰

減速度為22,且當訓練迭代輪數為22時，學習率衰減為0.45,則學習率衰減到0.05以下（不含0.05）所

需的訓練迭代輪數至少為（）（參考數據：Ig2。0.3010,lg3“0.4771）

A.11B.22C.227D.481

【答案】D

GG

【解析】由于乙=”G。，所以乙=0.5XD正，

22g

依題意0.45=0.5xD無nO=2,貝UL=05X12￥2,

ioUoJ

由Z=0.5x]1j2,221

<0.05得

A10

G

r9>,1G.9,

—<1g—,---1g—<-1

UOj102210

22

G（lg9-lgl0）<-22,G（lglO-lg9）>22,G>-------------

lgl0-lg9

22=上

會480.35,

l-21g31-2x0.47710.0458

所以所需的訓練迭代輪數至少為481輪.

故選：D

2222

5.已知a>6>0,設橢圓G：[+多=1與雙曲線C?：三一斗=1的離心率分別為G，%.若4=3q,

abab

則雙曲線G的漸近線方程為（）

A.y=±^^-xB.y=±—x

55

C.y=±^-xD.y=±^-x

25

【答案】A

a2+b2

【解析】由題意可知,=

a2

a2+b2b14b2小

又4=3,，所以9--n-=>F—=>一=---

5a5

易知雙曲線G的漸近線方程為y=±-x,所以其漸近線方程為y=+^HX.

a5

故選：A

6.在啟ABC中，角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,若。=2A,a,b,。成等差數歹U,貝！JcosC=（）.

A.-B.-C.--D.-

8425

【答案】A

【解析】因為C=2A,所以3=兀一3A.

又因為“，b,c成等差數列，則26=a+c.

根據正弦定理可得：2sin5=sinA+sinC,即2sin（3A）=sinA+sinC,

展開得：2sin2AcosA+2cos2AsinA=sinA+sinC,

進一步得：sin2A（2cosA-1）=sinA（l-2cos2A）,

因為sinA。0,可得8cos2A-2cosA-3=0,

又易知A為銳角，所以cosA=g,貝iJcosC=2x（」[-1=1,故A正確.

4⑷8

故選：A.

7.若平面內分別到定點耳（-5,0）,6（5,0）的距離之差為6的點的軌跡是曲線C,過點F2且斜率為出的直線

與曲線C交于A,8兩點（點A在X軸上方）.設A月居,,B片鳥的內切圓半徑分別為小4,則口=（）

r2

32

A.2B.3C.-D.-

23

【答案】B

【解析】根據雙曲線的定義得，曲線C是以耳,月分別為左、右焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，其方程

22

為］±=l（x>0）.設小耳心的內切圓與X軸切于點廠（號,0）.

根據雙曲線的定義及圓的切線長定理，知|明|-|鵬|=|筋|-|鉆|=24=6,

即［號-（-5）］—（5—號）=24=6,解得*=3,所以八4耳耳的內切圓與無軸切于點尸（3,0）.

同理，△明鳥的內切圓與x軸也切于點/（3,0）,所以|R|=5-3=2.

設△4￡區的內切圓圓心為a,AB的斜率為括，則傾斜角為?，即/Agx=；,

27r7r

則ZAF2F1=干，根據圓的性質可得ZHF2F=1,

所以］=tang=A^,解得a=26.

同理，得2=tan'=立，解得=2叵所以2=3

r2

2022I

8.已知〃=?一赤，人=山2024—ln2023,c=sin^,貝ij(

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【角軍析】令/（尤）=e*—x-l,x<0,

則f'（x）=e*-1<0在0）上恒成立，故〃x）在（一雙0）上單調遞減,

)故小篇2022

^/(x)>/(O=l-O-l=O,e-20232022]

2023J-l>0,

—也2Q22]1

即e2023=即〃〉

202320232023

令gG)=j;—sinx,貝ljg<x)=l-cos%>。，故g(x)在定義域內單調遞增,

故/」一]=」---sin」一>g(0)=0-0=0,即〃>c；

(2023)20232023v7

令/z(x)=sinx-ln(x+l),0<x<l,

則〃(%)=cosx-----1---=l1-2csm.2-%--------1-->l1-2cx

x+12\+x

1x(2+x)(l—x)

>0在(0,1)上恒成立,

1+x2(l+x)

故/z(x)在(0,1)上單調遞增，

X/z(0)=sin0-lnl=0,故七]>〃(0)=0,

故sin」—>In1理當，即c>b,

2023L2023J

故有a>c>b.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知。>0,函數/(x)=sin°xcos0x+百cos?@工一4的最小正周期為2兀，則下列結論正確的是()

A.(o=\

7TTT

B.函數/(x)在區間-0，丘上單調遞增

C.將函數〃x)的圖象向左平移?個單位長度可得函數g(x)=cosx的圖象

0

D.函數〃x)的圖象關于直線x4對稱

【答案】BC

【解析Jf(x)=sin?xcos(yx+A/3cos2mx-=—sin2a)x+—(1+cos2cox)--

=—sin2cox-\-----cos2a）x=sin2cox+—,

22I

兀

所以T=^2=27tno=1；,故A錯誤；

2a>2

即/（x）=sin^x+-1-^,

TT7TTTjr57r

當xeTT時，x+gep—,所以函數單調遞增，故B正確；

1.乙INJI_L4

將函數〃X）的圖象向左平移￡個單位長度得了（x+/=sin]x+,+T=sin（x+3=cosx,故C正確;

/哈）=sinR+1=siH?±l,所以函數/（x）的圖象不關于直線對稱.

故選：BC.

10.在正方體ABCD-A耳￡口中，P,。分別為線段82，AQ上的動點，則（）

A.存在P,Q兩點，使得PQ〃A8

B.A-DG

c.AP與2a所成的最大角為;

4

D.8。與平面ADG所成的最大角的正弦值為逑

3

【答案】ABD

【解析】在正方體ABCD-A耳GR中，建立如圖所示的空間直角坐標系，令4?=2,

則A(2,0,0),A(2,0,2),8(2,2,0),A(0,0,2),Q(0,2,2),RB=(2,2,-2),DA,=(2,0,2),

由尸在線段B2上，彳尋RP=tRB=(2t,2t,-2t),則P(2t,2人2-2。，0<r<1,

由。在線段4。上，得==(2",0,2"),則Q(2",0,2")，OWi/Wl,

對于A,當a=f=g時，。尸=(O,l,O)=g(O,2,O)=gAB,即QP//AB,而。0A8,則PQ〃AB,A正確;

對于B,DQ=(0,2,2),AP=(2f—22,—2力，DC；?AP=4-4/=0,則B正確;

UUUUL

對于C,AP=(2t-2,2t,2-2t),DC=(0,2,0),當，=0時，APD￡=0,

此時AP與RG所成的角為90,C錯誤;

n-DA^=2_r+2z=0

對于D,OG=(0,2,2),設平面ADC1的法向量〃=(x,y,z),則，

fl-DQ=2y+2z=0

令z=—1,得〃=(1,1,-1),BQ=(2u-2,-2,2u)f設3。與平面所成的角為6,

.八?/八小?442。2

貝Usin6=|cos〈%BQ)|=----------=—~~.=<------,

\n\\BQ\TX/8〃2_8M+8辰"(21『+33

當且僅當”==時取等號，D正確.

故選：ABD

11.某商場設有電子盲盒機，每個盲盒外觀完全相同，規定每個玩家只能用一個賬號登陸，且每次只能隨

機選擇一個開啟.已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎品的概率為從第二次抽盲盒開始，若前一次沒抽中獎

品，則這次抽中的概率為:，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為:記玩家第"次抽盲盒，抽中獎品

z3

的概率為匕，則下列結論中正確的是()

A.鳥=|B.數列，，-,為等比數列

C.P?<^D.當時，〃越大，匕越小

【答案】BC

【解析】對于A,A錯誤；

434224

對于B,Pn^PnA(y-Pn_^-lPnA,=

32O2/oV/7

3sf3151

又6-二=-三，?.?數列花-二是以-2為首項,為公比的等比數列，B正確;

728I/J286

對于c,由B得：匕_3=_9/_工］

〃728I6J

當〃為奇數時，—x

28

n—1

351,35111

當”為偶數時,=--1----x

728I6)7286—7286—24

113.?.《《￡，正確;

一>—c

247

351“35111

對于D,鳥=——I-------X—，PA=---1----X-----:P?=—x<0,

7286472821642282166

即巴<鳥，D錯誤.

故選：BC.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知圓/+,2=4,直線/:工元+"圓上恰好有兩個點到直線/的距離等于1.則符合條件的實數b可

以為.（只需寫出一個滿足條件的實數即可）

【答案】2（答案不唯一，符合（-3立-夜）（夜,3夜）即可）

【解析】圓心為（0,0）,圓的半徑為2,設圓心到直線/的距離為d,

因為圓上恰好有兩個點到直線/的距離等于1,

?網

所以lvdv3,即1<<3,

解得-30<b<-及，后<6<3后，

所以6的取值范圍為卜3也-五）（0,3夜）.

故答案為：2（答案不唯一，符合（-3夜,-夜）（夜,3夜）即可）.

13.招待客人時，人們常使用一次性紙杯，將其視為圓臺，設其杯底直徑為2R,杯口直徑為3R,高為％,

將該紙杯裝滿水（水面與杯口齊平）后，再將一直徑為2R的小鐵球緩慢放入杯中，待小鐵球完全沉入水中

并靜止后，從杯口溢出水的體積為紙杯容積的4白，則h^=_____

19R

【答案】4

1（9R2/QD2）IQJT/?2/?

【解析】由題可得紙杯的體積為兀—+J--N2+R2

A

小鐵球的體積為］兀*，

,日百r-曰419iiR2h471H3h

由題可得一x---------=--------,即:=4.

19123R

故答案為：4

14.函數/(x)=sin]x+3的圖象與直線/：y=f+g的交點個數為.

【答案】1

【解析】令》+1=/,貝|》=.一]，

函數公尤+三在區間(-8,+向上單調遞增，

所以，曲線y=/(x)與直線/的交點個數等于曲線g(t)=sinr與直線/:y=T+兀的交點個數,

作圖易知，曲線g(r)=sinf和直線/:y=T+兀都過點P(兀,0),且都關于點尸對稱，

所以，曲線y=g?)與直線/：y=T+兀的交點個數或者為1或者為3.

下面考察關于，的方程sinr=T+7t在區間上的解的個數，

令/2?)=sin.+.-兀,其中曰<?<兀，

貝IJ〃?)=(：05/+1>0對\//€1],兀)恒成立，

所以，函數2)在區間修兀]上單調遞增，則幽<〃(兀)=0,

所以，關于f的方程sinr=T+兀在區間。，"上的解的個數為。，

因此函數〃x)=sin(x+T的圖象與直線/：y=-x+/的交點個數為1.

故答案為：1.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

如圖所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為4cm和6cm,明,2耳為圓臺的兩條不同的母線.

⑴求證：44//AB;

(2)截面42月4與下底面所成的夾角大小為60。，且截面截得圓臺上底面圓的劣弧A片的長度為g，求

截面小洱A的面積.

【解析】(1)因為圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺的母線也就是

生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.

可知母線AA與母線B瓦的延長線必交于一點，即A，A，尻用四點共面，

又因為圓面。1〃圓面0,且平面A551Al圓面。1=44，平面1圓面O=AB,

所以4月〃A5.

(2)解法一：因為劣弧44的長度為(則"。4=］兀

2

由...A。151sAOBf可得ZAO3=".

如圖，建立空間直角坐標系。-w,設|OQ|=r(r>0),

則A(6,0,0),網一3,3石,0),4(4,00,

可得的=(-2,0,?),AB=(-9,3^,0),

n-AA^=—2x+/z=0

設平面的一個法向量為4=(x,y,z),貝!!<

n?AB=-9x+36y=0

令x=l,則y="z=j,可得4=11,6：

由題意可知：底面的一個法向量&=（0,0,。,

因為截面與下底面所成的夾角大小為60,

解得公君，即|。。卜百，可得BB1=5,

在等腰梯形AB4A中，44=4&AB=6后，

可得等腰梯形與A的高〃=2,

所以S梯詡期a=14代+6⑹?2=10瘋

解法二：如圖，分別取的中點為C，G，連結OC，C￡,OC,

由題意可得：OC，A8,CG，A8,

所以NOCG為截面ABB^與底面所成夾角，即ZOCC,=60,

過點C1作CQLOC于點。，由。￡=2,OC=3,得8=1,

則|CCj=2（即梯形的高）,

所以S梯形A網A=3,6+66>2=1。氐n?.

16.（15分）

我校教研處為了解本校學生在疫情期間居家自主學習情況，隨機調查了120個學生，得到這些學生5

天內每天堅持自主學習時長y（單位：小時）的頻數分布表，假如每人學習時間長均不超過5小時.

時［（),i)[1,2)[2,3)[3,4)卜■,5]

長y

學32411

生數04060

(1)估計這120個學生學習時長的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值代表);

(2)以表中y的分組中各組的頻率為概率，校領導要從120名學生中任意抽取兩名進行家長座談.若抽

取的時長ye[0,l),則贈送家長慰問金100元；抽取的時長ye[1,2),則贈送家長慰問金200元；抽取的時

長yw[2,5],則贈送家長慰問金300元.設抽取的2名學生家長慰問金額之和為X,求X的分布列及數學

期望.

-1

【解析】(1)這120個學生學習時長的平均數》=百(0.5、30+1.5義24+2.5*40+3.5*16+4.5*10)=2.1.

301

⑵依題意可得的概率為由二,

”口,2)的概率為急=點，ye[2,5]的概率為40+16+1011

12020

X的所有可能取值為200,300,400,500,600,

，1

P(X=200)=-x-=—,P(X=300)=2xxl=—,

44164510

P…(X=4…00)=2x—1x—11+—1x—1=--6-3--,

42055200

P(X=500)=2x-x—=—,P(X=600)=—x—=—,

520502020400

則X的分布列為

46

0000000000

115311121

16100050Z00

故/乂)=乂郎+

200300X—+400x—+500x—+600X—=460.

1020050400

17.(15分)

已知正項數列｛%｝中，q=1,%+1=凡+2阮+1.

(1)求數列｛%｝的通項公式;

⑵記數列bn=2M+1的前n項和sn,求滿足Sn<^~的正整數n的集合.

aa100

,.?+i

【解析】⑴由。用=%+2口+1,有1=(瘋+1丫，

即向?=(4+1『，

因為數列｛q｝是正項數列，

所以j%+i=+1，即Va?+i—=i，

可得數列｛、z｝是首項為1，公差為1的等差數列，

所以用'=飆"+72-1=〃，

故數列｛%｝的通項公式為=n2；

2〃+1(九+1)2-〃211

(2)由(1)可得么=

“2(〃+1『"+1)2/"I)”

所以S"=—最-0”+11

1------7

n2(n+1)2(〃+1)一

99199

故不等式S“〈面可化為1一記『(訴解得0v〃<9,

所以滿足S.〈器的正整數〃的集合為｛“eN*|lW〃<8｝.

18.(17分)

4

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C:y2=2px(p>0)和點R(4,5).點尸在C上，S.OP=-OR.

⑴求C的方程；

(2)若過點R作兩條直線4與4，4與C相交于A,B兩點，4與C相交于E,。兩點，線段43和EO中

,1111

點的連線的斜率為左,直線AB,ED,AD,郎的斜率分別為人,匕,k,k,證明：—+—=—+—,

34K、K?*3K4

111

且7+7--5為定值.

k3左4k

【解析】(1)設點P(X。,%),則。尸=小,%),因為OP=1OR,07?=(4,5),

所以Xo=?x4=/,|x5=4,所以點p[g,4),

代入方程V=2px中，得P=：

所以C的方程為黃=5X.

（2）設點A（石,yJ,B（x2,y2）,磯不，%），。（%，%），

則直線鉆的斜率2黃略5當

同理得直線ED的斜率%==-

工3%+”

5

直線AD的斜率勺==

/一七X+%

5

直線BE的斜率a="一%

工3-^2為+為'

11=!（%+丫2+%+丹）

所以［+廣

55

11%+y4y2+>31/\

7+廠==/1+%+%+%）,

Avy|

1111

從而得不+丁二廠+丁.

勺左2I44

由消去x得幻~＞5（5-秋）=。，

55（5-4fc）

所以%+%=丁，%為=---;----

由A=25_20匕（5—4年）＞0,得及＞士咨或冗＜葭付

設AB和即的中點分別為M,N,

貝!JVw=；（%+%）=/，Xm""J，

乙乙K1

1111c

L即耳+1廠2,

19.（17分）

已知常數上為非零整數，若函數y=〃x）,工目0,1］滿足：對任意為9式0』，

|/（占）-〃3）|＜|（占+1）"，則稱函數y=〃x）為乙優）函數.

⑴函數y=2尤，xe[O,l]是否為〃2）函數？請說明理由；

（2）若y=/（x）為”1）函數，圖像在xe[O,l]是一條連續的曲線，〃0）=。，/⑴=；，且“外在區間（0,1）

上僅存在一個極值點，分別記"“皿為函數y=〃x）的最大、小值，求“Ma-“WL的取值

范圍；

（3）若a>0,/（%）=0.05X2+0.1x+aln（x+l）,且y=/（x）為L（-l）函數，g（x）=r（x）,對任意x,y￡[0,1],

恒有|g（尤）-g（y）|w/，記M的最小值為M（〃），求。的取值范圍及/（a）