概率統計

1.（新課標全國n卷）某農業研究部門在面積相等的loo塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產

量（均在［900,1200）之間，單位：kg）并部分整理下表

畝產量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

頻數612182410

據表中數據，結論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產量的中位數小于1050kg

B.100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間

2.（新高考天津卷）下列圖中，相關性系數最大的是（）

3.（全國甲卷數學（文））甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A-4B-3C-TD-i

4.（新高考上海卷）已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數為正數，對此描述正確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

5.（新課標全國I卷）（多選）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到

推動出口后畝收入的樣本均值于=2.1,樣本方差$2=0,01,已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布

N（L8,0.12）,假設推動出口后的畝收入F服從正態分布NG，S?）,則（）（若隨機變量Z服從正態分布

N（u,a2^,P（Z<"+（T）利0.8413）

A.P{X>2）>0.2B.尸（X>2）<0.5

c.P（r>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

6.（新課標全國I卷）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1,3,

5,7,乙的卡片上分別標有數字2,4,6,8,兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的

卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄

置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率

為.

7.（全國甲卷數學（理））有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6,從中不放回地隨機抽取3次,

每次取1個球.記機為前兩次取出的球上數字的平均值，〃為取出的三個球上數字的平均值，則加與〃差的

絕對值不超過g的概率是.

8.（新高考天津卷）48,C,D,E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.（1）甲選到A的概率為；

已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為.

9.（新高考上海卷）某校舉辦科學競技比賽，有4B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000

道題，C題庫有3000道題.小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92,3題庫的正確率是0.86,C題

庫的正確率是0.72.現他從所有的題中隨機選一題，正確率是.

10.（新課標全國n卷）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一

階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次,

則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為

第二階段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為0,乙每次投中的概率為

各次投中與否相互獨立.

（1）若P=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.

（2）假設o<P<g,

（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

（ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

11.（全國甲卷數學（理））某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的

產品中隨機抽取150件進行檢驗，數據如下:

優級品合格品不合格品總計

甲車間2624050

乙車間70282100

總計96522150

（1）填寫如下列聯表:

優級品非優級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲，乙兩車間產品

的優級品率存在差異?

（2）已知升級改造前該工廠產品的優級品率p=0.5,設萬為升級改造后抽取的n件產品的優級品率.如果

萬＞p+1.65j約二則認為該工廠產品的優級品率提高了，根據抽取的150件產品的數據，能否認為生

產線智能化升級改造后，該工廠產品的優級品率提高了？（晌R2.247）

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

12.（新高考北京卷）已知某險種的保費為0.4萬元，前3次出險每次賠付0.8萬元，第4次賠付0.6萬元

賠償次數01234

單數800100603010

在總體中抽樣100單，以頻率估計概率：

（1）求隨機抽取一單，賠償不少于2次的概率;

（2）（i）毛利潤是保費與賠償金額之差.設毛利潤為X,估計X的數學期望；

（ii）若未賠償過的保單下一保險期的保費下降4%,已賠償過的增加20%.估計保單下一保險期毛利潤的

數學期望.

13.（新高考上海卷）為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業成績的關系，從該地區29000名學生中抽取

580人，得到日均體育鍛煉時長與學業成績的數據如下表所示：

時間范圍學業成績[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

優秀5444231

不優秀1341471374027

（1）該地區29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數約為多少？

（2）估計該地區初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）

（3）是否有95%的把握認為學業成績優秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關?

(附：---7T7~7T7----n=a+b+c+dP(/>3.841)^0.05.)

^a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

一、單選題

I.（2024?山東?模擬預測）一組數據按從小到大的順序排列為1,4,加，12,14,21,若該組數據的中位

3

數是極差的］，則該組數據的第45百分位數是（）

A.4B.6C.8D.12

2.（2024?福建泉州?二模）己知線性回歸方程，=最+0.6相應于點（2,5.5）的殘差為-0」，貝上的值為（）

A.-2.4B.-2.5C.2.4D.2.5

3.（2024?陜西?三模）2024年1月九省聯考的數學試卷出現新結構，其中多選題計分標準如下：①本題共3

小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對得6分，有選

錯的得0分；③部分選對得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確

選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）.已知在某次新結構數學試題的考試中，

小明同學三個多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機地選了兩個選項，第三小題隨機地選了一個選

項，則小明同學多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數為（）

A.9B.10C.11D.12

4.（2024?四川成都?三模）如圖，由觀測數據（孫乂）（，=123,4,5,6）的散點圖可知，V與x的關系可

以用模型y=b\nx+a擬合，設z=lnx,利用最小二乘法求得/關于z的回歸方程y=bz+l.已知

Z=1人

占入2%3%4%5%6=?I?,X%=18,貝I5=（）

6

%

*

*

*

,?

O：x

1712

A.—rrB.—rrC.1

ee

5.（2024?天津?二模）為了加深師生對黨史的了解，激發廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了

“學黨史、育文化”的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績取整數）整理成如圖

所示的頻率分布直方圖，估計這組數據的第85百分位數為（）分

頻率

A.84B.85C.86D.87

6.（2024?四川綿陽?模擬預測）某教育機構為調查中小學生每日完成作業的時間，收集了某位學生100天每

天完成作業的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區間均為左閉右開），根據此直方圖得出了

下列結論，其中正確的是（）

A.估計該學生每日完成作業的時間在2小時至2.5小時的有50天

B.估計該學生每日完成作業時間超過3小時的概率為0.3

C.估計該學生每日完成作業時間的中位數為2.625小時

D.估計該學生每日完成作業時間的眾數為2.3小時

7.（2024?上海?三模）下列命題錯誤的是（）

A.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1

B.設…（“）,若磯!）=30,。⑷=20,則”=90

C.線性回歸直線y=%+a一定經過樣本點的中心（x,y）

D.一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中不放回地隨機摸出20個球

作為樣本，用隨機變量X表示樣本中黃球的個數，則X服從二項分布，且E（X）=8

Y=bx+a+e,,

8.（2024?湖北荊州?三模）根據變量￥和尤的成對樣本數據，由一元線性回歸模型E（e）=0,D（e）=cr2侍到

經驗回歸模型，=%+&,求得如圖所示的殘差圖.模型誤差（）

A.滿足一元線性回歸模型的所有假設

B.不滿足一元線性回歸模型的E（e）=0的假設

C.不滿足一元線性回歸模型的D（e）=〃假設

D.不滿足一元線性回歸模型的E（e）=0和。⑻=M的假設

9.（2024?黑龍江?二模）根據分類變量x與y的成對樣本數據，計算得/=2.826,依據a=0.05的獨立性

檢驗，結論為（）參考值：

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

A.x與y不獨立

B.x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.05

C.x與y獨立

D.x與y獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.05

10.（2024?四川綿陽?模擬預測）袋子中有9個除顏色外完全相同的小球，其中5個紅球，4個黃球.若從袋

子中任取3個球，則在摸到的球顏色不同的條件下，最終摸球的結果為2紅1黃的概率為（）

II.（2024?河南?三模）已知

X<〃+cr）=0.6827,P（〃-2cr4X<〃+2cr）=0.9545,P（〃一3cr4X<〃+3cr）=0.9973.某體育器材

廠生產一批籃球，單個籃球的質量y（單位：克）服從正態分布N（600,4）,從這一批籃球中隨機抽檢300

個，則被抽檢的籃球的質量不小于596克的個數約為（）

A.286B.293C.252D.246

12.（2024?河北衡水?三模）已知甲、乙、丙三人參加射擊比賽，甲、乙、丙三人射擊一次命中的概率分別

213

為且每個人射擊相互獨立，若每人各射擊一次，則在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概

率為（）

1210

A.—B.-C.—D.—

331313

13.（2024?湖南長沙?三模）已知隨機變量X服從正態分布N出叫,且P{X<2-上）=P（X>2+Q=0.3,左>0,

貝!]P（2<X<2+左）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

二、多選題

14.（2024?河北?三模）根據中國報告大廳對2023年3月?10月全國太陽能發電量進行監測統計，太陽能發

電量（單位：億千瓦時）月度數據統計如下表：

月份3456

發電量/億千瓦時242.94230.87240.59259.33

月份78910

發電量/億千瓦時258.9269.19246.06244.31

關于2023年3月?10月全國太陽能發電量，下列四種說法正確的是（）

A.中位數是259.115B.極差是38.32

C.第85百分位數是259.33D.第25百分位數是240.59

15.（2024?江西南昌?二模）為了解中學生喜愛足球運動與性別是否有關，甲、乙兩校的課題組分別隨機抽

取了本校部分學生進行調查，得到如下兩個表格:

喜愛足球運動不喜愛足球運動合計

男性15520

女性81220

合計231740

甲校樣本

喜愛足球運動不喜愛足球運動合計

男性7030100

女性4555100

合計11585200

乙校樣本

n(ad-bcf

（參考公式及數據：,2=n-a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

則下列判斷中正確的是（）

A.樣本中，甲校男學生喜愛足球運動的比例高于乙校男學生喜愛足球運動的比例

B.樣本中，甲校女學生喜愛足球運動的比例高于乙校女學生喜愛足球運動的比例

C.根據甲校樣本有99%的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關

D.根據乙校樣本有99%的把握認為中學生喜愛足球運動與性別有關

16.（2024?湖南長沙?三模）某校在運動會期間進行了一場“不服來戰”對抗賽，由籃球專業的1名體育生組

成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進行對抗比賽.具體規則為甲組的同學連續投球3次，

乙組的同學每人各投球1次.若甲組同學和乙組3名同學的命中率依次分別為；二,—,=，貝U（）

3256

13

A.乙組同學恰好命中2次的概率為養

B.甲組同學恰好命中2次的概率小于乙組同學恰好命中2次的概率

C.甲組同學命中次數的方差為:

D.乙組同學命中次數的數學期望為不

17.（2024?全國?二模）甲、乙兩個不透明的袋子中分別裝兩種顏色不同但是大小相同的小球，甲袋中裝有

3個紅球和4個綠球；乙袋中裝有5個紅球和2個綠球.先從甲袋中隨機摸出一個小球放入乙袋中，再從乙

袋中隨機獲出一個小球，記4表示事件“從甲袋摸出的是紅球“，4表示事件“從甲袋摸出的是綠球“，記用表

示事件“從乙袋摸出的是紅球”，鳥表示事件“從乙袋摸出的是綠球”，則下列說法正確的是（）

A.4，4是對立事件B.4，坊是獨立事件

37

C.P（5|A）=-D.尸（鳥⑷+P同4）=6

214o

18.（2024?河南?二模）現有編號分別為4?=1,2,3）的三個盒子，其中4盒中共20個小球，其中紅球6個,

4盒中共20個小球，其中紅球5個，4盒中共30個小球，其中紅球6個.現從所有球中隨機抽取一個，記

事件A：“該球為紅球”，事件耳：“該球出自編號為4（，=1，2,3）的盒中“，則下列說法正確的是（）

A.尸（，閨）=口

9

B.P（A\=—

V735

C.P（瓦]

D.若從所有紅球中隨機抽取一個，則該球來自4盒的概率最小

19.（2024?山東日照?二模）同時投擲甲、乙兩枚質地均勻的硬幣，記“甲正面向上”為事件A,“乙正面向上“

為事件3,“甲、乙至少一枚正面向上”為事件C,則下列判斷正確的是（）

21

A.A與8相互獨立B.A與B互斥C.P（S|C）=-D.P（C）=-

20.（2024?福建三明?三模）假設甲袋中有3個紅球和2個白球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現從甲袋中

任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.下列選項正確的是（）

3

A.從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為《

B.從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為5

C.從乙袋中取出的2個球是紅球的概率為孟

1Q

D.已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為行

三、填空題

21.（2024?上海?三模）已知人工廠庫房中的某種零件60%來自甲公司，正品率為90%；40%來自乙公司，

正品率為95%,從庫房中任取一個這種零件，它是正品的概率為

22.（2024?安徽安慶?三模）一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數字1,2,3,4,

4.現甲從中隨機摸出一個球記下所標數字后放回，乙再從中隨機摸出一個球記下所標數字，若摸出的球上

所標數字大即獲勝（若所標數字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為.

23.（2024?天津?模擬預測）一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球7個，黑球3個.每次從袋中隨機摸

出1個球，摸出的球不再放回.設第1,2,3次都摸到紅球的概率為耳；在第1,2次都摸到紅球的條件下，

第3次摸到紅球的概率為6.求耳+6=.

24.（2024?福建廈門?模擬預測）在"維空間中（力22,〃eN）,以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標

可表示為n維坐標（%,%…嗎），其中卬?{0,1}（1V，V%，eN）.貝l]5維“立方體”的頂點個數是；定義:

在〃維空間中兩點與（4也,…也）的曼哈頓距離為何-陰+|。2-仇|+…+.在5維“立方體”

的頂點中任取兩個不同的頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離，則E（x）=.

25.（2024?廣東廣州?模擬預測）如圖所示，一個質點在隨機外力的作用下，從原點。出發，每隔1s等可能

地向左或向右移動一個單位，共移動5次.該質點在有且僅有一次經過-1位置的條件下，共經過兩次1位置

的概率為.

-6-5-4-3-2-10123456

26.（2024?廣東廣州?三模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1,2,3,4的四個外觀相同的空箱子中隨機選

擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關閉，也就是主持人知道獎品在哪個箱子里，當抽獎人選擇了某個

箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機打開了另一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇以

便增加中獎概率.現在已知甲選擇了1號箱，用4表示i號箱有獎品。=1,2,3,4）,用瓦表示主持人打開i號

箱子（/=2,3,4）,貝,若抽獎人更改了選擇，則其中獎概率為.

四、解答題

27.（2024?福建泉州?二模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為1,2,3,4的四個外觀相同的空箱子中隨

機選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規則是：主持人請

抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得.現有抽獎人甲選擇了2號箱，

在打開2號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子.按游戲規則，主持人將隨機打開甲選

擇之外的一個空箱子，記為X號箱.

（1）求X=1的概率；

⑵求X的方差；

⑶若X=l,現在給抽獎人甲一次重新選擇的機會，請問他是堅持選2號箱，還是改選3號或4號箱？

28.（2024?陜西?三模）“村超”是貴州省榕江縣舉辦的“和美鄉村足球超級聯賽”的簡稱.在2023年火爆“出圈”

后，“村超”熱度不減.2024年1月6日，萬眾矚目的2024年“村超”新賽季在“村味”十足的熱鬧中拉開帷幕，

一場由鄉村足球發起的“樂子”正轉化為鄉村振興的“路子”，為了解不同年齡的游客對“村超”的滿意度，某組

織進行了一次抽樣調查，分別抽取年齡超過35周歲和年齡不超過35周歲各200人作為樣本，每位參與調

查的游客都對“村超”給出滿意或不滿意的評價.設事件/="游客對“村超”滿意“，事件8="游客年齡不超過

35周歲”，據統計，尸（削8）=:尸3/）=；.

（1）根據已知條件，填寫下列2x2列聯表并說明理由；

年齡滿意不滿意合計

年齡不超過35周歲

年齡超過35周歲

合計

（2）由（1）中2x2列聯表數據，分析是否有99%的把握認為游客對“村超”的滿意度與年齡有關聯？附:

,n(ad-be}

K-=-------------—~'――--------fi=a+b+c+d

^a+b)[c+d)(a+c)(b+d)

參考數據：

P(K0.100.050.0250.0100.0050.001

上02.7063.8415.0246.6357.87910.828

29.（2024?浙江杭州?二模）杭州是國家歷史文化名城，為了給來杭州的客人提供最好的旅游服務，某景點

推出了預訂優惠活動，下表是該景點在某App平臺10天預訂票銷售情況:

日期，12345678910

銷售量了（萬張）1.931.951.971.982.012.022.022.052.070.5

1101010

經計算可得：歹=京2>:"85,2>，=96，?；=385.

1UZ=1Z=1Z=1

（1）因為該景點今年預訂票購買火爆程度遠超預期，該App平臺在第10天時系統異常，現剔除第10天數據,

求V關于f的線性回歸方程（結果中的數值用分數表示）；

⑵該景點推出團體票，每份團體票包含四張門票，其中X張為有獎門票（可憑票兌換景點紀念品），X的

分布列如下：

X234

￡j_

P

36

今從某份團體票中隨機抽取2張，恰有1張為有獎門票，求該份團體票中共有3張有獎門票的概率.

附：對于一組數據（%,匕）,（％%），…，（〃"，％），其回歸線￡=4+應，的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

n

Z"，匕-nuv

8T------------,a=v-/3u

i=l

30.（2024?湖南長沙?三模）如圖，在數軸上一個質點在外力的作用下，從原點出發，每隔1s向左或向右移

動一個單位，向右移動的概率為共移動4s,設隨機變量X為移動4s后質點的坐標.

-6-5-4-3-2-'16123456*

（1）求移動4s后質點的坐標為正數的概率；

（2）求隨機變量X的分布列及數學期望.

31.（2024?北京?三模）某公司有甲、乙兩條生產線生產同一種產品，該產品有48兩個指標.從兩條產品

線上各隨機抽取一些產品，指標數據如下表：

甲生產線

12345678910

產品序號

A指標0.980.961.071.021.000.930.920.961.111.02

B指標2.011.971.962.032.031.981.951.992.072.02

乙生產線

12345678

產品序號

A指標1.020.970.950.941.130.980.971.01

B指標2.012.032.151.932.012.022.192.04

假設用頻率估計概率，且兩條生產線相互獨立.

(1)從甲生產線上隨機抽取一件產品，估計其A指標大于1且B指標大于2的概率；

(2)從甲、乙生產線上各隨機抽取一件產品，設X表示B指標大于2的產品數，估計X的數學期望；

(3)已知產品45指標之和與3的差的絕對值越小則產品越好，兩條生產線各生產一件產品，甲、乙哪條生

產線產品更好的概率估計值最大？(結論不要求證明)

32.(2024?湖南衡陽?三模)現有48兩個不透明盒子，都裝有m個紅球和m個白球，這些球的大小、形

狀、質地完全相同.

(1)若刃=3,甲、乙、丙依次從/盒中不放回的摸出一球，設X表示三人摸出的白球個數之和，求X的分

布列與數學期望；

(2)若加=1,從/、3兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，〃(〃eN*)次這樣的操作后，記/

盒子中紅球的個數為X“，求：

⑴凡=1的概率；

(ii)X”的分布列.

33.(2024?廣東廣州?三模)甲進行摸球跳格游戲，圖上標有第1格，第2格，■■■,第25格，棋子開始在第

1格.盒中有5個大小相同的小球，其中3個紅球，2個白球(5個球除顏色外其他都相同).每次甲在盒中

隨機摸出兩球，記下顏色后放回盒中，若兩球顏色相同，棋子向前跳1格；若兩球顏色不同，棋子向前跳2

格，直到棋子跳到第24格或第25格時，游戲結束.記棋子跳到第〃格的概率為乙(〃=1,2,3,…,25).

(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個數記為X,求X的分布列和期望；

(2)求｛々｝的通項公式.

34.(2024?河北衡水?模擬預測)已知甲口袋有加(加1,%eN*)個紅球和2個白球，乙口袋有21,”eN*)

個紅球和2個白球，小明從甲口袋有放回地連續摸球2次，每次摸出一個球，然后再從乙口袋有放回地連

續摸球2次，每次摸出一個球.

⑴當加=4,”=2時,

(i)求小明4次摸球中，至少摸出1個白球的概率；

(ii)設小明4次摸球中，摸出白球的個數為X,求X的數學期望；

(2)當機="時，設小明4次摸球中，恰有3次摸出紅球的概率為P,則當相為何值時，P最大？

35.(2024?湖南長沙?三模)開展中小學生課后服務，是促進學生健康成長、幫助家長解決接送學生困難的

重要舉措是進一步增強教育服務能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學生

課后服務工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學生對這兩個方案的支持情況，對學生進行簡單隨

機抽樣，獲得數據如表：

男女

支持方案一2416

支持方案二2535

假設用頻率估計概率，且所有學生對活動方案是否支持相互獨立.

(1)從該校支持方案一和支持方案二的學生中各隨機抽取1人，設X為抽出兩人中女生的個數，求X的分布

列與數學期望；

(2)在(1)中Y表示抽出兩人中男生的個數，試判斷方差。(X)與。(丫)的大小.

概率統計

1.（新課標全國n卷）某農業研究部門在面積相等的loo塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產

量（均在［900,1200）之間，單位：kg）并部分整理下表

畝產量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

頻數612182410

據表中數據，結論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產量的中位數小于1050kg

B.100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】C

【分析】計算出前三段頻數即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數，再計算比例即可判斷B；根據極差計

算方法即可判斷C；根據平均值計算公式即可判斷D.

【詳解】對于A,根據頻數分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產量的中位數不小于1050kg,故A錯誤；

對于B,畝產量不低于1100kg的頻數為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為10個0-3盧4=66%,故B錯誤；

對于C,稻田畝產量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確；

對于D,由頻數分布表可得，畝產量在［1050,1100）的頻數為100-（6+12+18+24+10）=30,

所以平均值為$0x（6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175）=1067,故D錯誤.

故選；C.

2.（新高考天津卷）下列圖中，相關性系數最大的是（）

y/

c.D.

->

OxOx

【答案】A

【分析】由點的分布特征可直接判斷

【詳解】觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較

好，呈現明顯的正相關，卜|值相比于其他3圖更接近1.

故選：A

3.（全國甲卷數學（文））甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）

112

A.—B.—C.-D.,

4323

【答案】B

【分析】分類討論甲乙的位置，得到符合條件的情況，然后根據古典概型計算公式進行求解.

【詳解】當甲排在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意；

基本事件總數顯然是A：=24,

O1

根據古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為三=9

243

故選：B

4.（新高考上海卷）已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數為正數，對此描述正確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

【答案】C

【分析】根據相關系數的性質可得正確的選項.

【詳解】對于AB,當氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯誤.

對于CD,因為相關系數為正，故隨著氣候溫度由低到高時，海水表層溫度呈上升趨勢，

故C正確，D錯誤.

故選：C.

5.（新課標全國I卷）（多選）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到

推動出口后畝收入的樣本均值丁=2.1,樣本方差$2=o,oi,已知該種植區以往的畝收入X服從正態分布

N（L8,012）,假設推動出口后的畝收入Y服從正態分布N（只s）,則（）（若隨機變量Z服從正態分布

N（U,CT~^,P（Z<U+<J）~0.8413）

A.P{X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（Y>2）>0,5D.尸（J>2）<0.8

【答案】BC

【分析】根據正態分布的3b原則以及正態分布的對稱性即可解出.

【詳解】依題可知，X=2.1,52=0.01,所以y~N（2.1,0.1）,

^P（Y>2）=P（y>2.1-0.1）=<2.1+0.1）?0.8413>0.5,C正確，D錯誤；

因為X~N（1.8,0.1）,所以尸（X>2）=尸（X>1.8+2x0.1）,

因為尸（X<1.8+0.1卜0.8413,所以尸（X>1.8+0.1卜l-0.8413=0.1587<0.2,

而尸（X>2）=/（X>L8+2xO.l）<HX》1.8+0j<。2,B正確，A錯誤,

故選：BC.

6.（新課標全國I卷）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1,3,

5,7,乙的卡片上分別標有數字2,4,6,8,兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的

卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄

置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率

為.

【答案】1/0.5

【分析】將每局的得分分別作為隨機變量，然后分析其和隨機變量即可.

【詳解】設甲在四輪游戲中的得分分別為乂,X2，工，工，四輪的總得分為X.

對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在

該輪獲勝的概率/（瑪=1）=捷=|,所以E（七）=|（左=1,2,3,4）.

44oo

從而成用=￡(3+占+》3+工)=￡典到)=￡3=亍

k=lk=\3Z

記4=尸(X=碩左=0,1,2,3).

如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對應乙出2,4,6,8,所以0。=±==；

如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對應乙出8,2,4,6,所以。3=±==.

3

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故20+P1+P2+A=1，Pi+2P2+323=￡(幻二萬.

所以01+22+3=1，01+222+：=!"，兩式相減即得22+,故02+)3二.

12o22422

所以甲的總得分不小于2的概率為P2+P3=g.

故答案為：y.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于將問題轉化為隨機變量問題，利用期望的可加性得到等量關系，從

而避免繁瑣的列舉.

7.(全國甲卷數學(理))有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6,從中不放回地隨機抽取3次,

每次取1個球.記機為前兩次取出的球上數字的平均值，〃為取出的三個球上數字的平均值，則加與〃差的

絕對值不超過g的概率是.

【答案】看7

【分析】根據排列可求基本事件的總數，設前兩個球的號碼為6,第三個球的號碼為。，則

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.

【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A；=120種，

設前兩個球的號碼為6,第三個球的號碼為。，則”|上一審wg,

故12c-(〃+b)區3,故-3W2c-(a+6)W3,

故〃+6-3?2。<。+6+3,

若c=l,則a+b?5,則為:(2,3),(3,2),故有2種，

若c=2,m<a+b<l,則(。同為:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10種，

當c=3,貝IJ3(Q+6?9,貝()(〃/)為:

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16種,

當c=4,則5Va+bVll,同理有16種,

當c=5,則74。+6413,同理有10種，

當c=6,貝!!9Va+bW15,同理有2種，

共加與〃的差的絕對值不超過g時不同的抽取方法總數為2（2+10+16）=56,

故所求概率為需=5.

7

故答案為：—

8.（新高考天津卷）48,C,D,E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.（1）甲選到A的概率為:

已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為.

【答案】--

【分析】結合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到A的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選

了A活動，他再選擇5活動的概率.

【詳解】解法一：列舉法

從五個活動中選三個的情況有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE10種情況，

其中甲選到A有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

則甲選到A得概率為：尸=持=:；

乙選A活動有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再選則3有3種可能性：ABC,ABD,ABE,

31

故乙選了A活動，他再選擇3活動的概率為：=二.

62

解法二：

設甲、乙選到A為事件乙選到B為事件N,

C23

則甲選到A的概率為尸（河）=清=子

q

乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為尸（MM）=,篇）

ct

山林心生3i

故答案為：-；y

52

9.（新高考上海卷）某校舉辦科學競技比賽，有4B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000

道題，C題庫有3000道題.小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92,B題庫的正確率是0.86,C題

庫的正確率是0.72.現他從所有的題中隨機選一題，正確率是.

【答案】0.85

【分析】求出各題庫所占比，根據全概率公式即可得到答案.

【詳解】由題意知,48,C題庫的比例為：5:4:3,

各占比分別為25=4白3，

121212

543

則根據全概率公式知所求正確率P=五*0.92+—x0