專題10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分類討論模型

特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分類討論模型，是初中各類考試中幾何壓軸題的?？?，并

且形式多樣，內容新穎，能較好地考查同學們的應用意識和思維能力。在歷年中考當中，很多考生因為在

處理等腰三角形和直角三角形有關的多解問題時，常?？紤]不全面，導致漏解丟分。在學習等腰或直角三

角形的性質和判定時，分類討論的思想尤為重要，希望大家要認真對待。本專題將把特殊三角形分類討論

情形作系統的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。

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模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型.................................................2

模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型.....................................................................2

模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型................................5

模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型.................................................................6

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模型1.等腰三角形中的分類討論模型-對角（邊）與高的分類討論模型

1）若等腰三角形沒有明確角的種類，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分頂角

與底角兩種情況進行分類討論。當然有時候已知條件是以邊的形式給出，我們討論頂角和底角與討論底和

腰的原理相同。

2）若等腰三角形沒有明確高的位置，要分類討論；從銳角等腰三角形和鈍角等腰三角形的角度入手分腰上

高與底邊高、界內高與界外高兩種情況進行分類討論。

例1．（24-25九年級上·山東·期末）若等腰VABC內接于O，ABAC，BOC100，則VABC底角的

度數為（）

A．65B．25C．65或25D．65或35

例2．（2023·四川廣元·八年級校聯考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50，那么這個等

腰三角形的頂角等于（）

A．40B．140或40C．15或75D．140

例3．（2023春·山東棗莊·八年級?？计谥校┮阎獂，y滿足4xy80，則以，的值為兩邊長的等

腰三角形的周長是（）

A．20或16B．20C．16D．以上答案均不對

例4．（2024八年級上·湖北·專題練習）等腰三角形三邊長分別為a，2a3，3a5，則等腰三角形的周長

為（）

A．10B．7或10C．7或4D．10或7或4

例5．（24-25八年級上·浙江嘉興·階段練習）等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分為6cm和

15cm兩部分，那么這個等腰三角形的底邊長是．

模型2.等腰三角形中的分類討論模型-對邊的分類討論模型

1）等腰三角形沒有明確邊的種類，要分類討論；結合三角形三邊關系分腰與底邊兩種情況進行分類討論。

2）坐標系中的等腰三角形的分類討論。

等腰三角形的兩種分類討論方法

方法1.“兩圓一線”；（一般符合“兩個定點一個動點”的等腰三角形）。

如圖：已知A，O兩點是定點，在坐標軸上找一點P構成等腰△OAP。

①以已知線段OA為底作它的垂直平分線，與坐標軸的交點即為點P（有2個）；

②以已知線段OA為腰：用線段的兩個端點為圓心，線段長為半徑，分別作圓。（以O為圓心的有4個，

以A為圓心的有2個）。具體題目要通過計算這些點的坐標來考慮是否出現重疊現象。

方法2.“三邊兩兩相等分三種情況”討論，先列出三種情況，再首先選最簡單的那種情況先解答。

若是“兩個動點一個定點”，多采用第二種方法分類討論。但就算是用第二種方法分類討論，也可以先用“兩

圓一線”確定符合等腰三角形的點可能有幾個及這些點的大致位置。

例1．（2024·山東·統考二模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為1,3，若M為x軸上

一點，且使得MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

例2．（2023·福建南平·八年級?？计谥校┮阎狝BC中，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個

三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直△角三角形，則稱這條直線為ABC的關于點B的二分割線．如

圖1，RtABC中，顯然直線BD是ABC的關于點B的二分割線．在圖2△的ABC中，∠ABC＝110°，若直

線BD是△ABC的關于點B的二分割△線，則∠CDB的度數是．△

△

例3．（2023·江蘇泰州·統考中考真題）如圖，ABC中，ABAC，A30，射線CP從射線CA開始繞

點C逆時針旋轉角075，與射線AB相交于點D，將ACD沿射線CP翻折至△ACD處，射線CA

與射線AB相交于點E．若ADE是等腰三角形，則的度數為．

例4．（2023春·四川達州·八年級校考期中）在直角坐標系中，O為坐標原點，已知點A（1，2），點P是

y軸正半軸上的一點，且AOP為等腰三角形，則點P的坐標為．

例5．（2024·江蘇泰州·八年△級校聯考階段練習）如圖1，ABC中，CDAB于D，且BD:AD:CD2:3:4，

2

(1)試說明ABC是等腰三角形；(2)已知SABC40cm，如圖2，動點M從點B出發以每秒1cm的速度沿線

段BA向點A運動，同時動點N從點A出發以相同速度沿線段AC向點C運動，當其中一點到達終點時整個

運動都停止．設點M運動的時間為t（秒），①若DMN的邊與BC平行，求t的值；②若點E是邊AC的中

點，問在點M運動的過程中，MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

例6．（2024·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，經過A2，6的直

線交x軸正半軸于點B，交y軸于點C，OBOC，直線AD交x軸負半軸于點D，若△ABD的面積為27

(1)求直線AB的表達式和點D的坐標；(2)橫坐標為m的點P在線段AB上（不與點A、B重合），過點P作x

軸的平行線交AD于點E，設PE的長為yy0，求y與m之間的函數關系式并直接寫出相應的m取值范

圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使PEF為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標；

若不存在，請說明理由．

模型3.直角三角形中的分類討論模型-斜邊（或直角）不確定的直角三角形模型

若直角三角形沒有明確誰直角（斜邊），要分類討論；從直角（斜邊）入手分三種情況進行討論。

例1．（2024·浙江嘉興·三模）已知直角三角形兩邊長為3，4，則該直角三角形斜邊上的中線長為（）

7

A．2或2.5B．5或7C．2.5或7D．2.5或

2

例2．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，AD是ABC的角平分線，CE是ABC的高，BAC60，

ACB78，點F為邊AB上一點，當VBDF為直角三角形時，則ADF的度數為．

例3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）如圖，在Rt△ABC中，C90，A30，BC2，點D是AC的中點，

點E是斜邊AB上一動點，沿DE所在直線把VADE翻折到ADE的位置，AD交AB于點F，若△BAF為

直角三角形，則AE的長為．

模型4.直角三角形中的分類討論模型-直角三角形存在性模型

直角三角形存在性的問題，首先需要觀察圖形，判斷直角頂點是否確定。若不確定，則需要進行分類討論，

如下面模型構建。直角三角形存在性的問題?？急尘坝蟹郏ㄕ郫B）、動點、旋轉等。

“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見與坐標系綜合、或結合翻折（折疊）、動點、旋轉等）。

問題：已知點A，B和直線l，在l上求點P，使PAB為直角三角形．

△

分三種情況，如圖：

①以A為直角頂點，即∠BAP＝90°：過點A作AB的垂線，與已知直線l的交點P1即為所求；

②以B為直角頂點，即∠ABP＝90°：過點B作AB的垂線，與已知直線l的交點P2即為所求；

③以P為直角頂點，即∠APB＝90°：以AB的中點Q為圓心，QA的長為半徑畫圓，與已知直線l的交點

P3，P4即為所求．

代數法計算：分別表示出點A，B，P的坐標，再分別表示出AB，AP和BP的長，由①BP2＝AB2＋AP2；②

AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分別列方程求解．若方程有解，則此情況存在；若方程無解，則此情況

不存在。

幾何法計算：找相似，利用相似三角形求解，如果圖中沒有相似三角形，可通過添加輔助線構造相似三角

形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考慮用勾股定理或銳角三角函數求解．

例1．（2023九年級·廣東·專題練習）如圖，已知A2,6、B8,2，C為坐標軸上一點，且ABC是直角三

角形，則滿足條件的C點有()個．

A．6B．7C．8D．9

例2．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，在平面直角坐標系中，已知A(4，0)，B(0，3)，以AB為一邊在AOB

外部作等腰直角ABC．則點C的坐標為．

例3．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖所示，在VABC中，ABBC8,OAOB,AOC60，點M

是射線CO上的一個動點．（1）當AOM為直角三角形時，AM的長為．

（2）若點M在邊AB的下方，當ABM為直角三角形時，AM的長為．

例4．（23-24九年級上·江西景德鎮·期末）如圖，等邊VABC的邊長為4cm，點Q是AC的中點，若動點P

以2cm/s的速度從點A出發沿ABA方向運動，設運動時間為t秒，連接PQ，當△APQ是直角三角形

時，則t的值為秒．

例5．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習）在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為(0，2)，ABO為等

邊三角形，P是x軸上的一個動點（不與O點重合），將線段AP繞A點按逆時針旋轉60°，P點△的對應點為

點Q，連接OQ，BQ。(1)點B的坐標為；(2)①如圖①，當點P在x軸負半軸運動時，求證：∠ABQ=90°；

②當點P在x軸正半軸運動時，①中的結論是否仍然成立？請補全圖②，并作出判斷（不需要說明理由）；

(3)在點P運動的過程中，若OBQ是直角三角形，直．接．寫出點P的坐標.

△

例6．（2023秋·遼寧錦州·八年級統考期末）【模型構建】

如圖，將含有45的三角板的直角頂點放在直線l上，過兩個銳角頂點分別向直線l作垂線，這樣就得到了

兩個全等的直角三角形．由于三個直角的頂點都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型

在數學解題中被廣泛使用．

【模型應用】(1)如圖1，在平面直角坐標系中，直線yx4與x軸，y軸分別交于A，B兩點，①則

OAB_________；②C，D是正比例函數ykx圖像上的兩個動點，連接AD，BC，若BCCD，BC3，

則AD的最小值是_______；(2)如圖2，一次函數y2x2的圖像與y軸，x軸分別交于A，B兩點．將直

線AB繞點A逆時針旋轉45得到直線l，求直線l對應的函數表達式；

【模型拓展】(3)如圖3，點A在x軸負半軸上，OA8，過點A作ABx軸交直線y2x3于點B，P

是直線y2x3上的動點，Q是y軸上的動點，若△APQ是以其中一個動點為直角頂點的等腰直角三角

形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

1．（2023秋·廣東八年級課時練習）若ABC是等腰三角形，A36，則C的度數是（）

A．72或108B．36或72C．108或36D．36或72或108

2．（2024·安徽亳州·九年級校聯考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點P(4,3)關于y軸的對稱點P，

點Q(t,0)是x軸上的一個動點，當PQO是等腰三角形時，t值個數是()

A．1個B．2個C．3個D．4個

3．（23-24九年級上·廣東深圳·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，過原點O及點A0,2、C6,0作長方

形OABC，AOC的平分線交AB于點D.點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線OD方向移

動；同時點Q從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿軸正方向移動.設移動時間為t秒，當△PQB為直

角三角形時t為（）?

A．2或55B．2或55C．55或55D．2或55或55

4．（23-24八年級下·江西九江·期末）如圖，在VABC中，A30，將一塊足夠大的直角三角尺PMN

（M90，MPN30）按如圖放置，頂點P在邊AC上滑動，三角尺的直角邊PM始終經過點B，斜

邊PN交AB于點D，若點P在滑動中恰能使△PAD與△PBC均為等腰三角形，則∠C的度數為．

5．（2023春·湖北襄陽·九年級?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為15，則等腰三角形的底

角的度數是．

6．（23-24九年級上·江蘇常州·階段練習）如圖，在VAOB中，AO2BO4，AOB90，點C，D分別

是OA，AB的中點，在射線CD上有一動點P，若ABP是直角三角形，則PD的長為．

7．（2024·河南鄭州·三模）在矩形ABCD中，AB1，E為的中點，取AE的中點F，連接BE，BF，當

△BEF為直角三角形時，BC的長為．??

8．（2024·浙江杭州·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，C90，B30，AC3，點D是BC的中點，

點E是邊AB上一動點，沿DE所在直線把VBDE翻折到BDE的位置，BD交AB于點F，若ABF為直

角三角形，則AE的長為．

9.（2024·江西南昌·模擬預測）在ABCD中，AB3，A120，AD6，點P為平行四邊形ABCD邊上

的動點，且滿足△PBC是直角三角形，則BP的長度是．

10．（2024·江西南昌·模擬預測）在平面直角坐標系中，Rt△OBC的頂點B，C的坐標分別為(0,4)，(43,4)，

點B繞點O順時針旋轉(0180)到點P，連接PO，PC，若△POC為直角三角形，則點P到x軸的距

離為．

11．（24-25九年級上·貴州貴陽·期中）如圖，已知在矩形紙片ABCD中，AB2，BC22，點E是AB的

中點，點F是AD邊上的一個動點，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△AEF，連接AC，AD，則當ADC

是等腰三角形時，AF的長是．

12．（2023春·河南開封·八年級?？计谥校┯幸幻娣e為53的等腰三角形，它的一個內角是30，則以它的

腰長為邊的正方形的面積為．

13．（2023·安徽·九年級專題練習）在矩形ABCD中，AB3，BC4，點E，F分別為BC，AC上的兩個

動點，將△CEF沿EF折疊，點C的對應點為G，若點G落在射線AB上，且AGF恰為直角三角形，則線

段CF的長為．

14．（2023春·浙江紹興·八年級校聯考期中）如圖，MAN90，點C在邊AM上，AC2，點B為邊AN

上一動點，連接BC，ABC與ABC關于BC所在的直線對稱，點D，E分別為AB，BC的中點，連接DE

并延長交AC所在直線于點F，連接AE，當△AEF為直角三角形時，AB的長為

15．（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習）定義：如果1條線段將一個三角形分割成2個等腰三角形，我們

把這條線段叫做這個三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這2

條線段叫做這個三角形的“三等腰線”．如圖1，BE是△ABD的“雙等腰線”，AD、BE是VABC的“三等腰

線”．

(1)請在圖2三個圖中，分別畫出VABC的“雙等腰線”，并做必要的標注或說明．

①C90；②B70，A35；③B81，A27

(2)如果一個等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數是________．

3

(3)如圖3，VABC中，CB，B45．畫出VABC所有可能的“三等腰線”，使得對B取值范圍內

2

的任意值都成立，并做必要的標注或說明．（每種可能用一個圖單獨表示，如果圖不夠用可以自己補充）

16．（2024·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中有矩形AOBC，AO6