專題8.7空間直線、平面的垂直（二）【九大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求二面角】 2【題型2由二面角大小求線段長度或距離】 3【題型3由二面角大小求其他角】 5【題型4面面垂直的判定】 8【題型5面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用】 10【題型6求點面、線面距離】 11【題型7求面面距離】 13【題型8平行關(guān)系與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用】 15【題型9立體幾何中的探索性問題】 16【知識點1二面角】1．二面角(1)二面角的定義

①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.

(2)二面角的表示

①棱為AB，面分別為α，β的二面角記作二面角α-AB-β，如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角α-l-β，如圖(1).②若在α，β內(nèi)分別取不在棱上的點P，Q，這個二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).(3)二面角的平面角①自然語言在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.②圖形語言③符號語言∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.(4)二面角大小的度量①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

②當(dāng)二面角的兩個半平面重合時，規(guī)定二面角的大小是0°；當(dāng)二面角的兩個半平面合成一個平面時，規(guī)定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范圍是.2．幾何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.【題型1求二面角】【例1】（24-25高二上·山西運城·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，底面ABCD為等腰梯形，AD//BC,?AB=AD=,CD=1,?BC=PA=2，BC的中點為E，則平面PDE與平面CED所成角的余弦值為（

）A．5719 B．5117 C．?57【變式1-1】（23-24高一下·湖北武漢·期末）已知△ABC中，AC=1，AB=2，BC=3，點M為AB中點，連接CM．將△ACM沿直線CM折起，使得點A到達A'的位置，且平面ACM⊥平面BCM，則二面角A′?BC?MA．21313 B．1313 C．2【變式1-2】（23-24高一下·青海·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面四邊形ABCD是直角梯形，AD=2AB=2BC=4,AB⊥AD,AB⊥BC,E是AD的中點，PC⊥BE．(1)證明：BE⊥平面PAC．(2)若PA=PC=22，求二面角B?PA?D【變式1-3】（23-24高一下·四川涼山·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAB是正三角形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，E是PB的中點.(1)求證：AE⊥平面PBC；(2)求側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的正弦值.【題型2由二面角大小求線段長度或距離】【例2】（23-24高一下·新疆克孜勒蘇·期中）如圖，已知大小為60°的二面角α?l?β棱上有兩點A，B，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l，若AC=3，BD=3，CD=7，則AB的長度（

）

A．22 B．44 C．210 D．【變式2-1】（23-24高一下·廣東惠州·期末）已知直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為8，二面角C1?AB?C的大小為π4，且AC=BCA．2 B．22 C．23 【變式2-2】（23-24高一下·貴州黔西·階段練習(xí)）如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線AC折起使得點D到點D′的位置，連接BD′，O(1)若平面D′AC⊥平面ABC，求(2)不考慮點D′與點B重合的位置，若二面角A?BD′?C的余弦值為【變式2-3】（23-24高一下·安徽·期末）如圖①，已知△AB′C是邊長為2的等邊三角形，D是AB′的中點，DH⊥B′(1)在線段BC上是否存在點F，使得AF//平面BDH？若存在，求BF(2)若平面BHC與平面BDA所成的二面角的正切值為22，求點B到直線CH【題型3由二面角大小求其他角】【例3】（23-24高一下·四川綿陽·期末）如圖，在三棱錐P?ABC中，△ABC和△ABP均為正三角形，AB=4，二面角P?AB?C的大小為60°，則異面直線PB與AC所成角的余弦值是（

A．?18 B．18 C．?【變式3-1】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，二面角α?l?β的大小是60°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是（

）A．2529 B．34 C．33【變式3-2】（23-24高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是棱PD的中點，AD=2．

(1)證明：AM⊥平面PCD；(2)若二面角M?BC?D的余弦值為63，求異面直線AB與PC【變式3-3】（24-25高二上·上海·階段練習(xí)）如圖，邊長為3的正方形ABCD所在平面與半圓弧BC所在平面垂直，點M是BC上異于B、C的點.

(1)求證：平面ACM⊥平面ABM；(2)當(dāng)二面角A?CM?B的大小為60°時，求直線CA與平面ABM所成角的正弦值.【知識點2平面與平面垂直】1．面面垂直的定義及判定定理(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直，記作α⊥β.(2)兩個平面互相垂直的畫法

如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.(3)平面與平面垂直的判定定理①自然語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.2．平面與平面垂直的性質(zhì)定理(1)平面與平面垂直的性質(zhì)定理①自然語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.②圖形語言③符號語言.(2)性質(zhì)定理的作用①證明線面垂直、線線垂直；

②構(gòu)造面的垂線.3．直線、平面位置關(guān)系中的相關(guān)結(jié)論及其轉(zhuǎn)化(1)判定直線與直線垂直的方法

①定義法：兩條直線所成的角為，則這兩條直線互相垂直.

②利用直線與平面垂直的性質(zhì)來判定.

③若一條直線垂直于兩平行直線中的一條，則該直線也垂直于另一條.

(2)判定直線與平面垂直的方法

①定義法：一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則該直線與這個平面垂直.

②利用直線與平面垂直的判定定理來判定.

③利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理來判定.

④如果兩平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，即a∥b，a⊥α?b⊥α.

⑤如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么該直線也垂直于另一個平面，即α∥β，a⊥α?a⊥β.(3)平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論

①如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).②如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.③如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).④如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.⑤三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.(4)線、面垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化(5)平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化4．點到平面的距離的常見求法(1)直接法：過P點作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面α的距離.②轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線l平行于平面α，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點到平面α的距離來求.③等體積法.【題型4面面垂直的判定】【例4】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，△PAD是正三角形，∠BAD=60°,PB=AB=2AD=4．證明：平面PAD⊥平面ABCD.【變式4-1】（24-25高三上·河南許昌·期中）如圖，棱長1的正方體ABCD?A

(1)求三棱錐C1(2)求證：平面C1BD⊥平面【變式4-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)證明：平面BMC1(2)在棱BB1上是否存在點Q，使得AQ⊥平面BC【變式4-3】（24-25高二上·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知四邊形ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，△ABD為等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為PA的中點，AD=2BC=22，PA=3PD=3

(1)求證：BE//平面PDC；(2)求證：平面ABP⊥平面PBD；(3)求三棱錐B?DEP的體積．【題型5面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例5】（24-25高三上·天津濱海新·階段練習(xí)）設(shè)m,n是兩條直線，α,β是兩個平面，下列說法錯誤的是（

）A．如果α//β,m?α，那么m//β.B．若m⊥α,α⊥β，則m//βC．若α∩β=m，n//α,n//β，則m//nD．若m⊥α,n⊥β,α⊥β，則m⊥n【變式5-1】（24-25高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，且“a⊥α，b⊥β”，則a⊥b是α⊥β的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-2】（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，已知三棱錐P?BCD的體積為23，PB=1，CD=BD=2，BD⊥CD，E為BC的中點．求證：DE⊥平面PBC【變式5-3】（24-25高二上·北京·期中）如圖，在三棱錐P?ABC中，△PBC為等邊三角形，點O為BC的中點，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC.(1)求證：直線AC⊥平面PBC；(2)已知E為PO的中點，F(xiàn)是線段AB上的點，AF=λAB.若EF⊥BC，求λ的值.【題型6求點面、線面距離】【例6】（23-24高一下·河南鄭州·期中）如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為4，△A1BCA．4B．3C．2D．2【變式6-1】（24-25高二上·吉林長春·期末）如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=1，點E是棱PB的中點.直線AB與平面ECDA．1 B．33 C．83 【變式6-2】（23-24高一下·廣西玉林·期中）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1,ABB1A1(1)求證：BC1//(2)求點A1到平面A【變式6-3】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C(1)求直三棱柱ABC?A(2)求證：BC//平面AB1C1，并求出【題型7求面面距離】【例7】（23-24高一下·貴州貴陽·期末）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-1】（2024·廣東·二模）半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體ABCD?EFGH就是一個半正多面體，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH均為正方形，其余八個面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長均為2，則平面ABCD與平面EFGH之間的距離為（

）

A．2 B．48 C．112 【變式7-2】（23-24高一下·廣東揭陽·期末）如圖在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，E是BB1上的一點，且EB1=1，D、F、(1)求證：B1D⊥平面(2)求平面EGF與平面ABD的距離．【變式7-3】（23-24高一下·福建廈門·期末）如圖，棱長為2的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，過E作平面α，使得α//平面BDF.(1)作出α截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；(2)求平面α與平面BDF的距離.【題型8平行關(guān)系與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用】【例8】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，A．EF//BD B．FD1C．EF⊥BC1 D．AF⊥【變式8-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點，則下面結(jié)論中錯誤的是（

）A．AE⊥CEB．BC//平面ADEC．平面ADE⊥平面BCED．DE⊥平面BCE【變式8-2】（23-24高一下·貴州黔西·期末）如圖，在正方體ABCD?A(1)求證：CD1∥平面(2)求證：B1D⊥平面【變式8-3】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥PC,CA=CB，M是AB的中點．點N在棱PC上，點D是BN的中點．求證：(1)MD//平面PAC；(2)平面ABN⊥平面