專題6.5平面向量的應(yīng)用【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1用向量證明平面幾何中的平行問(wèn)題】 1【題型2用向量證明平面幾何中的垂直問(wèn)題】 4【題型3用向量解決夾角問(wèn)題】 8【題型4用向量解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題】 11【題型5向量與幾何最值】 15【題型6向量在幾何中的其他應(yīng)用】 18【題型7向量在物理中的應(yīng)用】 21【知識(shí)點(diǎn)1平面幾何中的向量方法】1．平面幾何中的向量方法(1)用向量研究平面幾何問(wèn)題的思想向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問(wèn)題，就是將幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問(wèn)題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作.(2)向量在平面幾何中常見的應(yīng)用①證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，以及相似問(wèn)題，常用向量共線定理：∥=-=0(≠0).

②證明線段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：=0+=0.

③求夾角問(wèn)題，利用夾角公式：==.

④求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=.(3)向量法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”第一步，轉(zhuǎn)化：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；第二步，運(yùn)算：通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；第三步，翻譯：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【題型1用向量證明平面幾何中的平行問(wèn)題】【例1】（24-25高一·上海·課堂例題）如圖，已知M,N是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AM=CN，求證：四邊形BMDN是平行四邊形．【解題思路】設(shè)AB=a,【解答過(guò)程】證明：設(shè)AB=a,AD=所以AM=λ所以AN=BM=ND=所以BM=所以四邊形BMDN是平行四邊形．【變式1-1】（23-24高一·上海·課堂例題）如圖，已知△ABC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，求證；DE∥【解題思路】用AE,AD表示【解答過(guò)程】DE=因?yàn)镈、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，所以AB=2AD，所以BC=所以BC∥DE，因?yàn)樗訢E∥【變式1-2】（23-24高一下·河北保定·期中）已知m>0,n>0，如圖，在△ABC中，點(diǎn)M,N滿足AM=mAB，AN=nAC,D是線段BC上一點(diǎn)，BD=1

(1)求3m+6n的最小值．(2)若點(diǎn)O滿足2AO=OB【解題思路】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得AE=13mAM+16n（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得OE=112【解答過(guò)程】（1）由題可知AD=因?yàn)辄c(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，所以AE∵AM=mAB因?yàn)镸,N,E三點(diǎn)共線，所以13m∴3m+6n=3m+6n當(dāng)且僅當(dāng)m=2所以3m+6n的最小值為4.（2）

由2AO=OB+OCOE=所以O(shè)E//CB，又E,C,B三點(diǎn)不共線，所以【變式1-3】（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F依次是對(duì)角線AC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)AB=(1)請(qǐng)用a與b表示DF;(2)用向量方法證明：四邊形DFBE是平行四邊形.【解題思路】（1）根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)、相等向量的定義進(jìn)行證明即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镋、F依次是對(duì)角線AC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以AF=于是有DF=DA+即DF=（2）因?yàn)镋、F依次是對(duì)角線AC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以AE=于是有BE=BA+即BE=?23顯然有DF=EB，因此DF//EB且DF=EB，所以四邊形DFBE是平行四邊形.【題型2用向量證明平面幾何中的垂直問(wèn)題】【例2】（23-24高一下·河南信陽(yáng)·期中）已知在△ABC中，點(diǎn)M是BC邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，點(diǎn)N在AB邊上，且AN=NB，設(shè)AM與CN相交于點(diǎn)P．記AB=

(1)請(qǐng)用m，n表示向量AM；(2)若n=2m，設(shè)m，n的夾角為θ，若cosθ=【解題思路】（1）結(jié)合圖形，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得；（2）以m，n為基底表示出CN,AB，結(jié)合已知求【解答過(guò)程】（1）BC=AC?所以AM=（2）由題意，CN=∵n=2m，cosθ=∴CN?∴CN⊥【變式2-1】（23-24高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖所示，已知在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M.

(1)設(shè)AB=a，AD=b，用a，b表示(2)猜想AF與DE的位置關(guān)系，寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想.【解題思路】（1）利用向量的線性運(yùn)算求解即可；（2）用基底表示兩個(gè)向量，利用數(shù)量積的運(yùn)算證明AF⊥DE即可.【解答過(guò)程】（1）AF=DE=（2）AF⊥DE，證明如下：由（1）知AF=a+所以AF?設(shè)a=b=t所以AF⊥DE，所以【變式2-2】（24-25高一下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A0,b，B?a,0，Ca,0(且ab≠0)，D為AB的中點(diǎn)，E為△ACD的重心，F(xiàn)(1)求重心E的坐標(biāo)；(2)用向量法證明：EF⊥CD．【解題思路】（1）求出D的坐標(biāo)，根據(jù)重心坐標(biāo)公式即可求出E的坐標(biāo)；（2）求出F的坐標(biāo)，證明CD?【解答過(guò)程】（1）如圖，∵A0,b，B?a,0，∴D?a2（2）CD=易知△ABC的外心F在y軸上，可設(shè)為0,y．由AF=CF，得∴y=b2?∴EF=∴CD→∴CD⊥EF，即【變式2-3】（24-25高一下·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M．

(1)求∠EMF的余弦值．(2)若點(diǎn)P自A點(diǎn)逆時(shí)針沿正方形的邊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，由于∠EMF就是DE,（2）根據(jù)向量的共線表示聯(lián)立方程組可求解M187,67，分點(diǎn)P在AB【解答過(guò)程】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系．則D0,6由于∠EMF就是DE,

∴cos∠EMF=DE?（2）設(shè)M∵AM∴x=18由題得EF=①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)Px,0∴3x?54②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，設(shè)P6,y∴72綜上，存在P22【題型3用向量解決夾角問(wèn)題】【例3】（23-24高一下·山東菏澤·期末）如圖，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算結(jié)合已知PA+PB+PC=0可得故【解答過(guò)程】由題意得|AB|=3,|AC|=1，PA+PB+又AB=PB?故PA=?1于是|PA∴|PA|PC|∴cos∠APC=【變式3-1】（23-24高一下·廣西河池·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM，BN

(1)求AM的長(zhǎng)度；(2)求∠MPB的正弦值.【解題思路】（1）根據(jù)AM是中線，由AM=（2）易知∠MPB為向量AM,NB的夾角【解答過(guò)程】（1）解：因?yàn)锳M是中線，所以AM=所以AM?則AM=（2）由圖象知：∠MPB為向量AM,NB的夾角因?yàn)镹B=所以NB2=4?2?5?12+又AM?NB==1所以cos∠MPB=因?yàn)椤螹PB∈0,所以sin∠MPB=【變式3-2】（23-24高一下·福建廈門·期末）在四邊形ABCD中，AB=2m?2n，AD=?m+3(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明；(2)若m=2，n=1，m與n的夾角為60°，F(xiàn)為BC【解題思路】（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算判斷AB,（2）利用向量數(shù)量積先求AB，AF和AF?【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳D=?m+3所以DC=又因?yàn)锳B=2m?2又因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)不共線，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四邊形ABCD為梯形．（2）因?yàn)锳B=2所以AB=因?yàn)镕為BC中點(diǎn)，所以AF=所以AF=m=2所以cos∠FAB=因?yàn)椤螰AB∈0,π，所以【變式3-3】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD，垂足為E，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F，連接DF，求證：【解題思路】以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，證明DA,DB的夾角與【解答過(guò)程】如圖，以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A0，2，C2，?0設(shè)AF=λAC，則又因?yàn)镈A=?1，?2，所以?2λ+22?2λ=0，解得λ=所以DF=又因?yàn)镈C=所以cos∠ADB=DA?又因?yàn)椤螦DB，∠FDC∈0，π，所以∠ADB=∠FDC【題型4用向量解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題】【例4】（24-25高一下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求AD的長(zhǎng).【解題思路】（1）確定DE=?13AC，DF=?（2）AD=23【解答過(guò)程】（1）DE=DF=DE?DF=BC=（2）AD=AD=2【變式4-1】（23-24高二上·浙江·期末）如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M，N分別為AC，BC上的兩點(diǎn)AN=12AC，BM=13

(1)求AM的值；(2)求證：AM⊥PN．【解題思路】（1）用AB、AC表示AM，再根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得；（2）用AB、AC表示AM、BN，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出AM?【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锽M=所以AM=所以AM2所以AM=（2）因?yàn)锳N=所以BN=所以AM?所以AM⊥BN，即AM⊥BN，所以【變式4-2】（22-23高一下·廣東廣州·期中）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點(diǎn)，CE⊥AB,AD與CE(1)求CE和AD的長(zhǎng)度；(2)求cos∠CFD【解題思路】（1）利用三角函數(shù)定義即可求得CE的長(zhǎng)；利用向量法即可求得AD的長(zhǎng)度；（2）利用向量夾角的余弦公式即可求得cos∠CFD【解答過(guò)程】（1）∵CE是高，∴∠AEC=π2，在Rt△AEC中，所以CE=ACsin∵AD是中線，∴AD∴AD2=∴CE=3,AD=19∴EC=AC?另解：過(guò)D作DG//CE交BE于∵D是BC的中點(diǎn)，∴G是BE的中點(diǎn)，∴AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位線，DG是△BCE的中位線，∴EF=1cos∠CFD=【變式4-3】（23-24高一下·浙江臺(tái)州·期中）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段BC和DC上，AE和BD交于點(diǎn)M，且BE=λBC，DF=(1)當(dāng)AE?BC=0(2)當(dāng)λ=23時(shí)，求(3)求AF+【解題思路】(1)在直角梯形ABCD中，根據(jù)幾何關(guān)系求出∠ABC和BC長(zhǎng)度，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，求出BE長(zhǎng)度，從而可得λ=BE(2)設(shè)AM=xAE，DM=yDB，以AB,AD為基底用兩種形式表示出AM，從而可得關(guān)于(3)以AB,AD為基底表示出AE、AF，從而表示出AF+12【解答過(guò)程】（1）在直角梯形ABCD中，易得∠ABC=π4，∵AE?BC=0，∴AE⊥BC，∴△ABE故λ=BE（2）AE=1?當(dāng)λ=23時(shí)，設(shè)AM=xAE，則AM=xAM=∵AB,AD不共線，∴59x=y2（3）∵AF=AD+∴AF+AF+12由題意知，λ∈0,1∴當(dāng)λ=35時(shí)，AE+AF取到最小值當(dāng)λ=0時(shí)，AE+AF取到最大值∴AF+12【題型5向量與幾何最值】【例5】（23-24高一下·浙江寧波·期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與C、

A．1312 B．2116 C．3【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得EA,【解答過(guò)程】由于AB⊥BC,AD⊥CD，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA,DC為x,y軸建立直角坐標(biāo)系，連接AC,由于AB=AD=1，則△ADC≌△ABC,

而∠BAD=120°，故∠CAD=∠CAB=60°，則則D(0，設(shè)E(0,y),0≤y≤3，則EA=(1,?y)，故EA?當(dāng)y=34時(shí)，EA?故選：B．【變式5-1】（23-24高一下·廣東東莞·開學(xué)考試）如圖，A、B、C三點(diǎn)在半徑為1的圓O上運(yùn)動(dòng)，且AC⊥BC，M是圓O外一點(diǎn)，OM=2，則MA+MB+2A．5 B．8 C．10 D．12【解題思路】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)、向量運(yùn)算以及向量絕對(duì)值三角不等式，求得答案.【解答過(guò)程】連接AB，如下圖所示：因?yàn)锳C⊥BC，則AB為圓O的一條直徑，故O為AB的中點(diǎn)，所以MA+所以|=|4MO+2當(dāng)且僅當(dāng)M、O、C共線且MO、OC同向時(shí)，等號(hào)成立，因此，MA+MB故選：C.【變式5-2】（23-24高一下·浙江寧波·期中）已知矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E為AB中點(diǎn)，P(1)求PA?(2)設(shè)線段AP與DE的交點(diǎn)為G，求AG?【解題思路】（1）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得結(jié)果；（2）根據(jù)三角形相似得出AGPG=AE【解答過(guò)程】（1）設(shè)DP=aa∈∵A0,0,D∴PA=?a,?1,PB=（2）由圖可得：△AEG∽△PDG則AG∴AP=a,1當(dāng)且僅當(dāng)a+1=2a+1即∴AG?AP【變式5-3】（24-25高一下·四川成都·階段練習(xí)）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，AB?AC=?1，CP=λCB0≤λ≤1，(1)當(dāng)t=?1且λ=12，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M，求線段(2)若PA?PQ+3=【解題思路】（1）用AB,AC表示（2）結(jié)合題目條件和向量積的公式，逐步化簡(jiǎn)，可得到7λ【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閠=?1且λ=12，所以A是CQ的中點(diǎn)，P是BC的中點(diǎn)，則M是設(shè)AB=a所以CM=CM=（2）因?yàn)镃P=λCB0≤λ≤1所以AP=PQ=AP?PA?由PA?PQ+3=所以t1?2λ=7λ2?9λ+5所以12<λ≤1，令m=1?2λ∈?1,0，則t=74所以當(dāng)m=?1時(shí)，t有最大值－3.【題型6向量在幾何中的其他應(yīng)用】【例6】（23-24高一下·湖南常德·期中）在△ABC中，BA?AC+AC2=0，A．等腰直角三角形 B．三邊均不相等的三角形C．等邊三角形 D．等腰（非直角）三角形【解題思路】由數(shù)量積的運(yùn)算律得到BC?AC=0，即可得到∠ACB=【解答過(guò)程】因?yàn)锽A?AC+AC2所以BC⊥AC，即AC⊥BC，則又ACAC表示與AC同向的單位向量，ABAB表示與所以ACAC?ABAB=1×1×所以∠CBA=π所以△ABC是等腰直角三角形．故選：A.【變式6-1】（23-24高二上·河南省直轄縣級(jí)單位·開學(xué)考試）如圖所示，O點(diǎn)在△ABC內(nèi)部，D,E分別是AC,BC邊的中點(diǎn)，且有OA+2OB+3OC=0，則A．32 B．23 C．43【解題思路】由題意可知O,D,E三點(diǎn)共線，且DEOD【解答過(guò)程】由OA+2OB+3又因?yàn)镈,E分別是AC,BC邊的中點(diǎn)，所以O(shè)A+OC=2所以2OD=?4OE所以O(shè),D,E三點(diǎn)共線，且DEOD所以E到AC的距離與O到AC的距離之比也為32又△AEC的面積與△AOC的面積都以AC為底，所以△AEC的面積與△AOC的面積的比為32故選：A.【變式6-2】（24-25高一下·四川涼山·階段練習(xí)）用向量的方法證明如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD和DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別交AC于點(diǎn)R，T．你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？

【解題思路】根據(jù)向量基本定理得到AR=2λAE+λAB，結(jié)合B,R,E三點(diǎn)共線，求出【解答過(guò)程】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AC=設(shè)AR=λ因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以AD=2故AR=λ又因?yàn)锽,R,E三點(diǎn)共線，可設(shè)BR=mBE，即即AR=m故m=2λ1?m=λ，相加可得3λ=1，解得λ=故AR=同理可證CT=故可知R,T為AC的三等分點(diǎn)，故AR=RT=TC.【變式6-3】（24-25高一下·遼寧·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A2,0，B8,3，C6,?1，D為線段BC的中點(diǎn)，E為線段AB(1)求D，E的坐標(biāo).(2)在①△ADE，②△BDE問(wèn)題：按角分類，判斷______的形狀，并說(shuō)明理由.（注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）【解題思路】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出D的坐標(biāo)，先得到AE=23（2）根據(jù)數(shù)量積的正負(fù)判斷角的類型，得到三角形的形狀.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?+62=7,3?12=1AB=6,3，故所以O(shè)E=OA+AE=（2）選①，△ADE為鈍角三角形，理由如下：由（1）可知AE=4,2，AD=因?yàn)锳E?AD=4×5+2×1=22>0易得DA=?5,?1，因?yàn)镈A?因?yàn)镋A?ED=故△ADE為鈍角三角形.選②，△BDE理由如下：由（1）可知BD=?1,?2，BE=因?yàn)锽D?BE=2+2=4>0易得DB=1,2，因?yàn)镈B?因?yàn)镋B?ED=故△BDE【知識(shí)點(diǎn)2向量在物理中的應(yīng)用】1．力學(xué)問(wèn)題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒(méi)有共同的作用點(diǎn)，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的量.用向量知識(shí)解決力的問(wèn)題，往往是把向量平移到同一作用點(diǎn)上.2．速度、位移問(wèn)題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解，實(shí)質(zhì)就是向量的加減法運(yùn)算，而運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成.3．向量與功、動(dòng)量

物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積.

(1)力的做功涉及兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角，即W=||||.功是一個(gè)實(shí)數(shù)，它可正，可負(fù)，也可為零.

(2)動(dòng)量涉及物體的質(zhì)量m，物體運(yùn)動(dòng)的速度，因此動(dòng)量的計(jì)算是向量的數(shù)乘運(yùn)算.【題型7向量在物理中的應(yīng)用】【例7】（23-24高一下·河南南陽(yáng)·期中）小娟，小明兩個(gè)人共提一桶水勻速前進(jìn)，已知水和水桶總重力為G，兩人手臂上的拉力分別為F1，F(xiàn)2，且F1=F2，F(xiàn)1A．θ越小越費(fèi)力，θ越大越省力 B．始終有FC．當(dāng)θ=2π3時(shí)，F(xiàn)1=【解題思路】根據(jù)題意，由向量的平行四邊形法則可得F1【解答過(guò)程】根據(jù)題意，由于F1+F則有向量F1，F(xiàn)則有F1=F對(duì)于A，由于G不變，則