專題6.5 平面向量的應(yīng)用【七大題型】(人教A版2019必修第二冊(cè))【含答案解析】_第1頁(yè)
專題6.5 平面向量的應(yīng)用【七大題型】(人教A版2019必修第二冊(cè))【含答案解析】_第2頁(yè)
專題6.5 平面向量的應(yīng)用【七大題型】(人教A版2019必修第二冊(cè))【含答案解析】_第3頁(yè)
專題6.5 平面向量的應(yīng)用【七大題型】(人教A版2019必修第二冊(cè))【含答案解析】_第4頁(yè)
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專題6.5平面向量的應(yīng)用【七大題型】【人教A版(2019)】TOC\o"1-3"\h\u【題型1用向量證明平面幾何中的平行問(wèn)題】 1【題型2用向量證明平面幾何中的垂直問(wèn)題】 4【題型3用向量解決夾角問(wèn)題】 8【題型4用向量解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題】 11【題型5向量與幾何最值】 15【題型6向量在幾何中的其他應(yīng)用】 18【題型7向量在物理中的應(yīng)用】 21【知識(shí)點(diǎn)1平面幾何中的向量方法】1.平面幾何中的向量方法(1)用向量研究平面幾何問(wèn)題的思想向量集數(shù)與形于一身,既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此,用向量解決平面幾何問(wèn)題,就是將幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問(wèn)題,將“證”轉(zhuǎn)化為“算”,思路清晰,便于操作.(2)向量在平面幾何中常見的應(yīng)用①證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題,以及相似問(wèn)題,常用向量共線定理:∥=-=0(≠0).

②證明線段垂直問(wèn)題,如證明四邊形是矩形、正方形,判斷兩直線(或線段)是否垂直等,常用向量垂直的條件:=0+=0.

③求夾角問(wèn)題,利用夾角公式:==.

④求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等,可以用向量的模:||=或|AB|=||=.(3)向量法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”第一步,轉(zhuǎn)化:建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;第二步,運(yùn)算:通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問(wèn)題;第三步,翻譯:把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【題型1用向量證明平面幾何中的平行問(wèn)題】【例1】(24-25高一·上海·課堂例題)如圖,已知M,N是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),且AM=CN,求證:四邊形BMDN是平行四邊形.【解題思路】設(shè)AB=a,【解答過(guò)程】證明:設(shè)AB=a,AD=所以AM=λ所以AN=BM=ND=所以BM=所以四邊形BMDN是平行四邊形.【變式1-1】(23-24高一·上海·課堂例題)如圖,已知△ABC,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),求證;DE∥【解題思路】用AE,AD表示【解答過(guò)程】DE=因?yàn)镈、E分別是AB、AC的中點(diǎn),所以AB=2AD,所以BC=所以BC∥DE,因?yàn)樗訢E∥【變式1-2】(23-24高一下·河北保定·期中)已知m>0,n>0,如圖,在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足AM=mAB,AN=nAC,D是線段BC上一點(diǎn),BD=1

(1)求3m+6n的最小值.(2)若點(diǎn)O滿足2AO=OB【解題思路】(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得AE=13mAM+16n(2)根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得OE=112【解答過(guò)程】(1)由題可知AD=因?yàn)辄c(diǎn)E為AD的中點(diǎn),所以AE∵AM=mAB因?yàn)镸,N,E三點(diǎn)共線,所以13m∴3m+6n=3m+6n當(dāng)且僅當(dāng)m=2所以3m+6n的最小值為4.(2)

由2AO=OB+OCOE=所以O(shè)E//CB,又E,C,B三點(diǎn)不共線,所以【變式1-3】(23-24高一下·河北邯鄲·階段練習(xí))如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F依次是對(duì)角線AC上的兩個(gè)三等分點(diǎn),設(shè)AB=(1)請(qǐng)用a與b表示DF;(2)用向量方法證明:四邊形DFBE是平行四邊形.【解題思路】(1)根據(jù)平面向量基本定理,結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)平面向量基本定理,結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)、相等向量的定義進(jìn)行證明即可.【解答過(guò)程】(1)因?yàn)镋、F依次是對(duì)角線AC上的兩個(gè)三等分點(diǎn),所以AF=于是有DF=DA+即DF=(2)因?yàn)镋、F依次是對(duì)角線AC上的兩個(gè)三等分點(diǎn),所以AE=于是有BE=BA+即BE=?23顯然有DF=EB,因此DF//EB且DF=EB,所以四邊形DFBE是平行四邊形.【題型2用向量證明平面幾何中的垂直問(wèn)題】【例2】(23-24高一下·河南信陽(yáng)·期中)已知在△ABC中,點(diǎn)M是BC邊上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn),點(diǎn)N在AB邊上,且AN=NB,設(shè)AM與CN相交于點(diǎn)P.記AB=

(1)請(qǐng)用m,n表示向量AM;(2)若n=2m,設(shè)m,n的夾角為θ,若cosθ=【解題思路】(1)結(jié)合圖形,根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得;(2)以m,n為基底表示出CN,AB,結(jié)合已知求【解答過(guò)程】(1)BC=AC?所以AM=(2)由題意,CN=∵n=2m,cosθ=∴CN?∴CN⊥【變式2-1】(23-24高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中)如圖所示,已知在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是邊AB,BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)M.

(1)設(shè)AB=a,AD=b,用a,b表示(2)猜想AF與DE的位置關(guān)系,寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想.【解題思路】(1)利用向量的線性運(yùn)算求解即可;(2)用基底表示兩個(gè)向量,利用數(shù)量積的運(yùn)算證明AF⊥DE即可.【解答過(guò)程】(1)AF=DE=(2)AF⊥DE,證明如下:由(1)知AF=a+所以AF?設(shè)a=b=t所以AF⊥DE,所以【變式2-2】(24-25高一下·山東濟(jì)南·階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A0,b,B?a,0,Ca,0(且ab≠0),D為AB的中點(diǎn),E為△ACD的重心,F(xiàn)(1)求重心E的坐標(biāo);(2)用向量法證明:EF⊥CD.【解題思路】(1)求出D的坐標(biāo),根據(jù)重心坐標(biāo)公式即可求出E的坐標(biāo);(2)求出F的坐標(biāo),證明CD?【解答過(guò)程】(1)如圖,∵A0,b,B?a,0,∴D?a2(2)CD=易知△ABC的外心F在y軸上,可設(shè)為0,y.由AF=CF,得∴y=b2?∴EF=∴CD→∴CD⊥EF,即【變式2-3】(24-25高一下·湖南常德·階段練習(xí))如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,E是AB的中點(diǎn),F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)M.

(1)求∠EMF的余弦值.(2)若點(diǎn)P自A點(diǎn)逆時(shí)針沿正方形的邊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),在這個(gè)過(guò)程中,是否存在這樣的點(diǎn)P,使得EF⊥MP?若存在,求出MP的長(zhǎng)度,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題思路】(1)如圖所示,建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系,由于∠EMF就是DE,(2)根據(jù)向量的共線表示聯(lián)立方程組可求解M187,67,分點(diǎn)P在AB【解答過(guò)程】(1)如圖所示,建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系.則D0,6由于∠EMF就是DE,

∴cos∠EMF=DE?(2)設(shè)M∵AM∴x=18由題得EF=①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí),設(shè)Px,0∴3x?54②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí),設(shè)P6,y∴72綜上,存在P22【題型3用向量解決夾角問(wèn)題】【例3】(23-24高一下·山東菏澤·期末)如圖,在△ABC中,已知AC=1,AB=3,∠BAC=60°,且PA+PB+【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算結(jié)合已知PA+PB+PC=0可得故【解答過(guò)程】由題意得|AB|=3,|AC|=1,PA+PB+又AB=PB?故PA=?1于是|PA∴|PA|PC|∴cos∠APC=【變式3-1】(23-24高一下·廣西河池·階段練習(xí))如圖,在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN

(1)求AM的長(zhǎng)度;(2)求∠MPB的正弦值.【解題思路】(1)根據(jù)AM是中線,由AM=(2)易知∠MPB為向量AM,NB的夾角【解答過(guò)程】(1)解:因?yàn)锳M是中線,所以AM=所以AM?則AM=(2)由圖象知:∠MPB為向量AM,NB的夾角因?yàn)镹B=所以NB2=4?2?5?12+又AM?NB==1所以cos∠MPB=因?yàn)椤螹PB∈0,所以sin∠MPB=【變式3-2】(23-24高一下·福建廈門·期末)在四邊形ABCD中,AB=2m?2n,AD=?m+3(1)判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明;(2)若m=2,n=1,m與n的夾角為60°,F(xiàn)為BC【解題思路】(1)根據(jù)向量線性運(yùn)算判斷AB,(2)利用向量數(shù)量積先求AB,AF和AF?【解答過(guò)程】(1)因?yàn)锳D=?m+3所以DC=又因?yàn)锳B=2m?2又因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)不共線,所以AB∥DC且AB≠DC,所以四邊形ABCD為梯形.(2)因?yàn)锳B=2所以AB=因?yàn)镕為BC中點(diǎn),所以AF=所以AF=m=2所以cos∠FAB=因?yàn)椤螰AB∈0,π,所以【變式3-3】(24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè))已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC邊的中點(diǎn),BE⊥AD,垂足為E,延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F,連接DF,求證:【解題思路】以B為原點(diǎn),BC,BA所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,證明DA,DB的夾角與【解答過(guò)程】如圖,以B為原點(diǎn),BC,BA所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A0,2,C2,?0設(shè)AF=λAC,則又因?yàn)镈A=?1,?2,所以?2λ+22?2λ=0,解得λ=所以DF=又因?yàn)镈C=所以cos∠ADB=DA?又因?yàn)椤螦DB,∠FDC∈0,π,所以∠ADB=∠FDC【題型4用向量解決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題】【例4】(24-25高一下·河北滄州·階段練習(xí))如圖,在△ABC中,AB=4,AC=6,BD(1)求BC的長(zhǎng);(2)求AD的長(zhǎng).【解題思路】(1)確定DE=?13AC,DF=?(2)AD=23【解答過(guò)程】(1)DE=DF=DE?DF=BC=(2)AD=AD=2【變式4-1】(23-24高二上·浙江·期末)如圖,在△ABC中,已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°,M,N分別為AC,BC上的兩點(diǎn)AN=12AC,BM=13

(1)求AM的值;(2)求證:AM⊥PN.【解題思路】(1)用AB、AC表示AM,再根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得;(2)用AB、AC表示AM、BN,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出AM?【解答過(guò)程】(1)因?yàn)锽M=所以AM=所以AM2所以AM=(2)因?yàn)锳N=所以BN=所以AM?所以AM⊥BN,即AM⊥BN,所以【變式4-2】(22-23高一下·廣東廣州·期中)如圖,在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點(diǎn),CE⊥AB,AD與CE(1)求CE和AD的長(zhǎng)度;(2)求cos∠CFD【解題思路】(1)利用三角函數(shù)定義即可求得CE的長(zhǎng);利用向量法即可求得AD的長(zhǎng)度;(2)利用向量夾角的余弦公式即可求得cos∠CFD【解答過(guò)程】(1)∵CE是高,∴∠AEC=π2,在Rt△AEC中,所以CE=ACsin∵AD是中線,∴AD∴AD2=∴CE=3,AD=19∴EC=AC?另解:過(guò)D作DG//CE交BE于∵D是BC的中點(diǎn),∴G是BE的中點(diǎn),∴AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位線,DG是△BCE的中位線,∴EF=1cos∠CFD=【變式4-3】(23-24高一下·浙江臺(tái)州·期中)在直角梯形ABCD中,已知AB∥DC,AD⊥AB,CD=1,AD=2,AB=3,動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段BC和DC上,AE和BD交于點(diǎn)M,且BE=λBC,DF=(1)當(dāng)AE?BC=0(2)當(dāng)λ=23時(shí),求(3)求AF+【解題思路】(1)在直角梯形ABCD中,根據(jù)幾何關(guān)系求出∠ABC和BC長(zhǎng)度,當(dāng)AE⊥BC時(shí),求出BE長(zhǎng)度,從而可得λ=BE(2)設(shè)AM=xAE,DM=yDB,以AB,AD為基底用兩種形式表示出AM,從而可得關(guān)于(3)以AB,AD為基底表示出AE、AF,從而表示出AF+12【解答過(guò)程】(1)在直角梯形ABCD中,易得∠ABC=π4,∵AE?BC=0,∴AE⊥BC,∴△ABE故λ=BE(2)AE=1?當(dāng)λ=23時(shí),設(shè)AM=xAE,則AM=xAM=∵AB,AD不共線,∴59x=y2(3)∵AF=AD+∴AF+AF+12由題意知,λ∈0,1∴當(dāng)λ=35時(shí),AE+AF取到最小值當(dāng)λ=0時(shí),AE+AF取到最大值∴AF+12【題型5向量與幾何最值】【例5】(23-24高一下·浙江寧波·期末)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與C、

A.1312 B.2116 C.3【解題思路】建立平面直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),求得EA,【解答過(guò)程】由于AB⊥BC,AD⊥CD,如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,連接AC,由于AB=AD=1,則△ADC≌△ABC,

而∠BAD=120°,故∠CAD=∠CAB=60°,則則D(0,設(shè)E(0,y),0≤y≤3,則EA=(1,?y),故EA?當(dāng)y=34時(shí),EA?故選:B.【變式5-1】(23-24高一下·廣東東莞·開學(xué)考試)如圖,A、B、C三點(diǎn)在半徑為1的圓O上運(yùn)動(dòng),且AC⊥BC,M是圓O外一點(diǎn),OM=2,則MA+MB+2A.5 B.8 C.10 D.12【解題思路】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)、向量運(yùn)算以及向量絕對(duì)值三角不等式,求得答案.【解答過(guò)程】連接AB,如下圖所示:因?yàn)锳C⊥BC,則AB為圓O的一條直徑,故O為AB的中點(diǎn),所以MA+所以|=|4MO+2當(dāng)且僅當(dāng)M、O、C共線且MO、OC同向時(shí),等號(hào)成立,因此,MA+MB故選:C.【變式5-2】(23-24高一下·浙江寧波·期中)已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E為AB中點(diǎn),P(1)求PA?(2)設(shè)線段AP與DE的交點(diǎn)為G,求AG?【解題思路】(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得結(jié)果;(2)根據(jù)三角形相似得出AGPG=AE【解答過(guò)程】(1)設(shè)DP=aa∈∵A0,0,D∴PA=?a,?1,PB=(2)由圖可得:△AEG∽△PDG則AG∴AP=a,1當(dāng)且僅當(dāng)a+1=2a+1即∴AG?AP【變式5-3】(24-25高一下·四川成都·階段練習(xí))在△ABC中,已知AB=2,AC=1,AB?AC=?1,CP=λCB0≤λ≤1,(1)當(dāng)t=?1且λ=12,設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M,求線段(2)若PA?PQ+3=【解題思路】(1)用AB,AC表示(2)結(jié)合題目條件和向量積的公式,逐步化簡(jiǎn),可得到7λ【解答過(guò)程】(1)因?yàn)閠=?1且λ=12,所以A是CQ的中點(diǎn),P是BC的中點(diǎn),則M是設(shè)AB=a所以CM=CM=(2)因?yàn)镃P=λCB0≤λ≤1所以AP=PQ=AP?PA?由PA?PQ+3=所以t1?2λ=7λ2?9λ+5所以12<λ≤1,令m=1?2λ∈?1,0,則t=74所以當(dāng)m=?1時(shí),t有最大值-3.【題型6向量在幾何中的其他應(yīng)用】【例6】(23-24高一下·湖南常德·期中)在△ABC中,BA?AC+AC2=0,A.等腰直角三角形 B.三邊均不相等的三角形C.等邊三角形 D.等腰(非直角)三角形【解題思路】由數(shù)量積的運(yùn)算律得到BC?AC=0,即可得到∠ACB=【解答過(guò)程】因?yàn)锽A?AC+AC2所以BC⊥AC,即AC⊥BC,則又ACAC表示與AC同向的單位向量,ABAB表示與所以ACAC?ABAB=1×1×所以∠CBA=π所以△ABC是等腰直角三角形.故選:A.【變式6-1】(23-24高二上·河南省直轄縣級(jí)單位·開學(xué)考試)如圖所示,O點(diǎn)在△ABC內(nèi)部,D,E分別是AC,BC邊的中點(diǎn),且有OA+2OB+3OC=0,則A.32 B.23 C.43【解題思路】由題意可知O,D,E三點(diǎn)共線,且DEOD【解答過(guò)程】由OA+2OB+3又因?yàn)镈,E分別是AC,BC邊的中點(diǎn),所以O(shè)A+OC=2所以2OD=?4OE所以O(shè),D,E三點(diǎn)共線,且DEOD所以E到AC的距離與O到AC的距離之比也為32又△AEC的面積與△AOC的面積都以AC為底,所以△AEC的面積與△AOC的面積的比為32故選:A.【變式6-2】(24-25高一下·四川涼山·階段練習(xí))用向量的方法證明如圖,在?ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AD和DC邊的中點(diǎn),BE,BF分別交AC于點(diǎn)R,T.你能發(fā)現(xiàn)AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎?

【解題思路】根據(jù)向量基本定理得到AR=2λAE+λAB,結(jié)合B,R,E三點(diǎn)共線,求出【解答過(guò)程】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,所以AC=設(shè)AR=λ因?yàn)镋是AD的中點(diǎn),所以AD=2故AR=λ又因?yàn)锽,R,E三點(diǎn)共線,可設(shè)BR=mBE,即即AR=m故m=2λ1?m=λ,相加可得3λ=1,解得λ=故AR=同理可證CT=故可知R,T為AC的三等分點(diǎn),故AR=RT=TC.【變式6-3】(24-25高一下·遼寧·階段練習(xí))已知點(diǎn)A2,0,B8,3,C6,?1,D為線段BC的中點(diǎn),E為線段AB(1)求D,E的坐標(biāo).(2)在①△ADE,②△BDE問(wèn)題:按角分類,判斷______的形狀,并說(shuō)明理由.(注:若選擇兩個(gè)條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分)【解題思路】(1)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出D的坐標(biāo),先得到AE=23(2)根據(jù)數(shù)量積的正負(fù)判斷角的類型,得到三角形的形狀.【解答過(guò)程】(1)因?yàn)?+62=7,3?12=1AB=6,3,故所以O(shè)E=OA+AE=(2)選①,△ADE為鈍角三角形,理由如下:由(1)可知AE=4,2,AD=因?yàn)锳E?AD=4×5+2×1=22>0易得DA=?5,?1,因?yàn)镈A?因?yàn)镋A?ED=故△ADE為鈍角三角形.選②,△BDE理由如下:由(1)可知BD=?1,?2,BE=因?yàn)锽D?BE=2+2=4>0易得DB=1,2,因?yàn)镈B?因?yàn)镋B?ED=故△BDE【知識(shí)點(diǎn)2向量在物理中的應(yīng)用】1.力學(xué)問(wèn)題的向量處理方法向量是既有大小又有方向的量,它們可以有共同的作用點(diǎn),也可以沒(méi)有共同的作用點(diǎn),但力卻是既有大小,又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的量.用向量知識(shí)解決力的問(wèn)題,往往是把向量平移到同一作用點(diǎn)上.2.速度、位移問(wèn)題的向量處理方法速度、加速度與位移的合成和分解,實(shí)質(zhì)就是向量的加減法運(yùn)算,而運(yùn)動(dòng)的疊加也用到向量的合成.3.向量與功、動(dòng)量

物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積,它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積.

(1)力的做功涉及兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角,即W=||||.功是一個(gè)實(shí)數(shù),它可正,可負(fù),也可為零.

(2)動(dòng)量涉及物體的質(zhì)量m,物體運(yùn)動(dòng)的速度,因此動(dòng)量的計(jì)算是向量的數(shù)乘運(yùn)算.【題型7向量在物理中的應(yīng)用】【例7】(23-24高一下·河南南陽(yáng)·期中)小娟,小明兩個(gè)人共提一桶水勻速前進(jìn),已知水和水桶總重力為G,兩人手臂上的拉力分別為F1,F(xiàn)2,且F1=F2,F(xiàn)1A.θ越小越費(fèi)力,θ越大越省力 B.始終有FC.當(dāng)θ=2π3時(shí),F(xiàn)1=【解題思路】根據(jù)題意,由向量的平行四邊形法則可得F1【解答過(guò)程】根據(jù)題意,由于F1+F則有向量F1,F(xiàn)則有F1=F對(duì)于A,由于G不變,則

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